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专题22.10 二次函数y=ax ²+bx+c（a≠0）的图象与性质
（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．已知抛物线 （b为常数）的顶点不在抛物线 （c为常数）上，则c
应满足（ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数 配方为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数 的图象上有两点 ，则 的值是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
5．已知 ， 是函数 上的点，则
A． B． C． D． ， 的大小关系不确定
6．已知二次函数 的图象如图所示，则 、 、 满足（ ）A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
7．二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小
8．若二次函数 （a，b为常数）的图象如图，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为 ，且经过点（2,0）．下列说法：①
；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上的两点，则 ．其中说法
正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④10．已知二次函数 的图象开口向上，并经过点 ， 下列结论正确的是
（ ）
A．当 时，函数值 随 的增大而增大
B．当 时，函数值 随 的增大而减小
C．存在一个负数 ，使得当 时，函数值 随 的增大而减小；当 时，函数值 随 的
增大而增大
D．存在一个正数 ，使得当 时，函数值 随 的增大而减小；当 时，函数值 随 的
增大而增大
二、填空题
11．抛物线 的对称轴是直线 ．
12．已知抛物线 的顶点在 轴的下方，则实数 的取值范围是 .
13．学校航模组设计的火箭升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式
，则点火后最多能达到 米.
14．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围是 ．
15．在同一坐标系中画出函数 和 的图象，试写出这两个函数的图象都具有
的一个性质 ．
16．点 均在二次函数 的图象上，则 的大小关系是
17．二次函数 的图像如图所示，根据图像可知：当 时，方程
根情况为 ．18．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ， 同号；②当 和
时，函数值相等；③ ；④当 时， 正确的结论有 ．
三、解答题
19．抛物线 与y轴交于点 ．
（1）求m的值；
（2）判断点 是否在抛物线上，并说明理由．
20．已知二次函数 的图象经过点 ．求：
（1）该二次函数的表达式；
（2）函数图象的顶点坐标；
（3）当自变量x满足 时，函数值y的取值范围为______．
21．二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：
x … 0 1 2 …y … m 7 1 1 7 …
解答下列问题：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）表格中m的值等于 ；
（3）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．
22．画出一元二次函数 的图象．求开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，与 轴交点坐
标，与 轴交点坐标，以及 取哪些值时， 随 的增大而增大； 取哪些值时， 随 的增大而减小．
23．已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线解析式及对称轴．
（2）关于该函数在 的取值范围内，有最小值 ，有最大值1，求m的取值范围．24．如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线．抛物线
的统一形式为 ，且顶点始终在直线 上．
（1）若 ，且抛物线顶点纵坐标为3，求 、 的值；
（2）试推断： 与 的数量关系；
（3）横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色．那
么，当 时，这组抛物线中有几条会改变颜色．
参考答案
1．D
【分析】先求出抛物线 （b为常数）的顶点为 ，求出顶点
在 上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线 （c为常数）上时c的取值范围．
解：由 知，抛物线 （b为常数）的顶点
为 ，
当顶点 在 上时，则 ，则 ，∴抛物线 （b为常数）的顶点不在抛物线 （c为常数）上时，则c应
满足 ．
故选：D
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键．
2．B
【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可．
解：将二次函数 配方为 的形式为 ，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，
先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．
3．A
【分析】根据二次函数 的顶点坐标为 ，它的开口方向向下，且图象经过原点，即可
解答．
解：∵二次函数 ，
∴开口向下，顶点为 ，且经过原点．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标．
4．B
【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y ，y 的值即可.
1 2
解：∵二次函数y=− （x−2）2+a 的图象上有两点（-1，y ），（5， y ），
1 2
y =- （-1-2）2 +a，
1
y = （5-2）2+a，
2
∴y -y =- （-1-2）2+a+ （5-2）2-a=- ×9+ ×9=0，
1 2
故选B.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键.
5．B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论．
解：∵ ， 是函数 上的点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出a，b的值是解
题的关键．
6．D
【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的
交点可得c的符号．
解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上， ；对称轴
在y轴右侧，a，b异号；抛物线与y轴的交点即为c的值．
7．D
【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．
解： ， ， ， ，
∴ 选项，开口向上，故 选项错误；
选项，对称轴为 ，故 选项错误；
选项，顶点坐标的横坐标为 ，纵坐标为 ，即顶点坐标为 ，故 选项错误；选项，开口向上，对称轴为 ，在对称轴坐标 时， 随 的增大而减小，故 选项正确．
故选： ．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题
的关键．
8．D
【分析】根据图象开口向下可知 ，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解
关于a的一元二次方程即可．
解：把原点 代入抛物线解析式，得 ，
解得 ，
∵函数开口向上， ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题
的关键．
9．A
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a＞0，利用抛物线与y轴
的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到
c=-2a，加上b=-a，则可对②进行判断；利由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b2-4ac＞
0，，则可对③进行判断；通过比较点（- ，y ）到直线x= 的距离与点（ ，y ）到直线x= 的距离的
1 2
大小可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x= = ，
∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴c=-2a，
∴-2b+c=2a-2a=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③错误；
∵点（ ，y ）到直线x= 的距离比点（ ，y ）到直线x= 的距离大，
1 2
∴y ＜y ；所以④正确．
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题
的关键．
10．D
【分析】根据二次函数 的图象开口向上，并经过点 ， 得出 ，
，则对称轴 ，即可求解．
解：根据二次函数 的图象开口向上，并经过点 ， ．
将 代入函数解析式得： ，
将 代入函数解析式得： ，
得： ，解得： ，
又 抛物线开口向上，可得 ，
，
则函数的对称轴 ．
所以A、B、C不正确；D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，得出对称轴 是解题的关键．
11．
【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．解：∵ ，
∴对称轴是直线 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
中，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
12．
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出m的范围．
解： ，
∵抛物线 的顶点在 轴的下方，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴
下方．
13．170
【分析】把 化为顶点式，根据二次函数性质即可得到答案
解：∵ ， ，
∴抛物线开口向下，二次函数 有最大值170，
∴点火后最多能达到170米，
故答案为：170
【点拨】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和最值是解题的关键．
14．
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当 和 对应的y
值，最后求出最大值和最小值即可．
解：二次函数化为顶点式为 ，∵ ，
∴二次函数有最小值为 ，此时 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴该函数在 的取值范围内，y的取值范围内是 ，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当 和
对应的y值是解此题的关键．
15．对称轴都为 （答案不唯一）
【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．
解：如图所示，
由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为 ，
故答案为：对称轴都为 （答案不唯一）．
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
16．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为 ，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断 的大小关系．
解：∵ ， ，
∴对称轴为 ，开口向下，
∵ ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增
减性，解题的关键是利用对称性求解．
17．无实数根
【分析】根据函数图像得到二次函数的最大值，根据 的范围即可得到答案．
解：由题可知， 的开口向下，
当 时，函数有最大值 ，且 ，
当 时， 无实数根．
故答案为：无实数根．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到 ，利用抛物线的对称轴得到 ，则可对①③进行判断；
利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，再
根据二次函数的图象可对④进行判断．
解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，所以①错误，
，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
当 和 时，函数值相等，所以②正确；抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
当 时， ，所以④正确．
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用图象进行分析，得到相应系数的
符号．
19．（1） ；（2）点 不在抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法求出m的值即可；
（2）把点的坐标代入即可判断．
（1）解：把 代入 得，
，
则m的值是 ．
（2）解：点 不在抛物线上．
理由如下：把 代入 得，
，
把 代入 得，
，
所以点 不在抛物线上．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，掌握
待定系数法是解题的关键．
20．（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）将 代入二次函数 求得m的值，即可求出二次函数表达式；
（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（3）直接求出当自变量x满足 时，函数值y的取值范围．解：（1）将 代入二次函数 得：
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2） ，
所以抛物线的顶点坐标为 ；
（3）当自变量x满足 时，函数值y的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根
据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．（1） ；（2）17；（3）见分析．
【分析】（1）由表中数据看出对称轴是直线 ，即y轴，顶点为 ，设这个二次函数的解析
式为， ，把 代入，求出a值，即得；
（2）把 代入 ，即可求得m的值；
（3）根据表中数据描点，然后用光滑的曲线顺次连接即可.
解：（1）由表中数据看出， 与 ， 与 对称，
∴对称轴是直线 ，即y轴，顶点为 ，
∴设这个二次函数的解析式为， ，
把 代入，得 ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ；（2）把 代入 ，
得 ，
故答案为：17；
（3）运用表中数据，在直角坐标系中描出 ， ， ， ， 各点，然后用光滑
的曲线顺次连接各点，画出这个函数的图象，如图，
．
【点拨】本题主要考查了二次函数．熟练掌握表格中数据的对称性，待定系数法求解二次函数的解析
式，描点连线，是解决问题的关键．
22．见分析
【分析】根据函数图象的作法的一般步骤作出相应图象，然后利用二次函数的基本性质求解即可．
解：列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如图所示：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵ ，
∴开口方向向下，
对称轴为： ，
∵顶点坐标为： ，
∴最大值为：4，
与x轴交点坐标为：
令 ，即 ，
解得： ，
∴ 或 ，
∴与x轴的交点坐标为： ，
当 时， ，
∴与y轴交点坐标为： ，
当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
【点拨】题目主要考查二次函数图象的作法及基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
23．（1）抛物线解析式为 ，对称轴为 ；；（2）
【分析】（1）把点 ， ，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．
（1）解：将点 ， 代入抛物线 ，得
，
得 ，∴抛物线解析式为 ，
对称轴为： ；
（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，
由图象可知：当 时，y的最小值为 ，最小值为1，
∴当 时，对应的函数的的最小值为 ，最小值为1，m的取值范围为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的
关键．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为 ，根据顶点坐标公式即可求解；
（2）根据顶点始终在直线 上，列出等式，即可求解；
（3）根据对称轴为直线 且为整数，得出 的值，进而即可求解．
（1）解：∵ ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；（2）解：依题意，顶点始终在直线 上
∴ ，又 ，
解得： ，
（3）解：∵ ，
∴ ，顶点在 上，
∵对称轴为直线 是整数
∴当
∴当 时，这组抛物线中有8条会改变颜色
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关
键．
