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专题 19 三角形的概念和性质【十六大题型】
【题型1 画三角形的高、中线、角平分线】.........................................................................................................2
【题型2 等面积法求三角形的高】..........................................................................................................................6
【题型3 利用网格求三角形的面积】......................................................................................................................9
【题型4 根据三角形的中线求解】........................................................................................................................13
【题型5 与垂心性质有关的计算】........................................................................................................................16
【题型6 利用三角形的三边关系求解】................................................................................................................21
【题型7 利用三角形内角和定理求解】................................................................................................................24
【题型8 三角形内角和与平行线的综合应用】...................................................................................................27
【题型9 三角形内角和与角平分线的综合应用】...............................................................................................30
【题型10 利用三角形内角和定理解决三角板问题】...........................................................................................34
【题型11 利用三角形内角和定理探究角的数量关系】.......................................................................................41
【题型13 利用三角形外角的性质求角度】.........................................................................................................52
【题型14 三角形的外角性质与平行线的综合】...................................................................................................55
【题型15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】...............................................................................................60
【题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合】...............................................................................................67
【知识点 三角形】
1.三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
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(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
(4)三角形的高.中线.角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形
的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形
的高）。
(5)三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应
用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角。
三角形的外角和等于360°。
(7)三角形的面积
1
2
三角形的面积= ×底×高
【题型1 画三角形的高、中线、角平分线】
【例1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，
折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）
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A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段AD是△ABC的高线，
图②中，线段AD是△ABC的角平分线，
图③中，线段AD是△ABC的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
【变式1-1】（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找出对角线为AC的矩形，连接另一条对称线，两条对角线的交点就是D，连接BD即可；
（2）找出与线段AC相等的线段BT，AC与BT交于点E，连接BE即可；
（3）延长BC到H，使CH的长为小方格的正方形的边长，则AB=BH=5，连接AH交外围大正方形的边
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于点W，则W是线段AH的中点，连接BW即可．
【详解】（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，线段BF即为所求．
【点睛】本题考查了用网格作图，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和
性质，正方形的性质，熟练运用这些知识是解题的关键．
【变式1-2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他
打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
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C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【答案】C
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当AC与BC重合时，折痕是∠C的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是AB的中垂线，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式1-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点
均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出△ABC中BC边上的高AD，垂足为D；
(2)在图2中画出△ABC中AB边上的中线CE；
(3)直接写出图2中三角形ACE的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)4
【分析】（1）根据高线的定义，画出AD即可；
（2）取AB的中点E，连接CE即可；
（3）利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，AD即为所求；
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（2）如图所示，CE即为所求；
1
（3）三角形ACE的面积为 ×2×4=4．
2
【点睛】本题考查画高线，中线，求三角形的面积．熟练掌握高线和中线的定义，是解题的关键．
【题型2 等面积法求三角形的高】
【例2】（2023·陕西西安·校考三模）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均
为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高的长度是（ ）
7√5 7√17 14√17
A． B．7√13 C． D．
10 17 17
【答案】D
【分析】由勾股定理求得BC=√17，由割补法求得S =7，设△ABC中BC边上的高的长度是h，利用
△ABC
三角形面积公式列方程求解即可．
1 1 1
【详解】解：由题意可知，BC=√12+42=√17，S =4×4− ×2×3− ×2×4− ×1×4=7，
△ABC 2 2 2
设△ABC中BC边上的高的长度是h，
1
∴S = h⋅BC=7，
△ABC 2
14 14√17
∴h= = ，
√17 17
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，割补法求面积，一元一次方程的应用你，分母有理化，利用属数形结合的
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思想解决问题是解题关键．
【变式2-1】（2023·江苏苏州·统考三模）数学活动课上，小敏、小颖分别画了 ABC和 DEF，数据如图，
如果把小敏画的三角形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作S DEF，那△么你认为△( )
△ △
A．S ABC >S DEF B．S ABC <S DEF
△ △ △ △
C．S ABC =S DEF D．不能确定
△ △
【答案】C
【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
【详解】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在 ABG和 DHE中，AB=DE=5，
∠B△=50°，∠△DEH=180°-130°=50°，
∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，
∴△AGB≌△DHE(AAS)，
∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，
∴S ABC=S DEF．
△ △
故选：C．
【点睛】要题考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等．证明 AGB≌△DHE是解题的关
键． △
【变式2-2】（2023上·陕西延安·二模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方格线的交
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点上．
(1)请在图中作出△ABC中AB边上的高．
(2)求△ABC的面积．
16
(3)点B到AC边所在直线的距离为 ，求AC的长度．
5
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)AC=5
【分析】（1）根据高线的定义结合网格特点作图即可；
（2）利用三角形的面积公式计算即可；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：如图，AB边上的高CD即为所作；
1 1
（2）如图，S = AB⋅CD= ×4×4=8；
△ABC 2 2
16
（3）∵点B到AC边所在直线的距离为 ，
5
1 16
∴S = AC× =8，
△ABC 2 5
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∴AC=5．
【点睛】本题考查了三角形的高线，三角形的面积计算，熟练掌握网格特点是解题的关键．
【变式2-3】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点A，B，C，D中选一个点；与点M，N为顶点构成
一个三角形，其面积等于△KMN的面积，这个点为（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】与点M，N为顶点构成一个三角形，其面积等于△KMN的面积，即寻找以MN为底边，高为KN
长的三角形．根据两平行线间的距离处处相等，只需要找到过点K且与 MN平行的直线即可．
【详解】解：由于平行线间的距离处处相等，所有在过点K且与 MN平行的直线上的点与M、N组成的三
角形都满足其面积与△KMN的面积相等，有网格的特点可知只有过点K、C的直线与MN平行，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形面积，熟知平行线间的距离处处相等是解题的关键．
【题型3 利用网格求三角形的面积】
【例3】（2023·安徽安庆·校考一模）如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网
格格点上除点A，B外任取一点C，则使△ABC的面积为1的概率是 ．
2
【答案】
9
【分析】根据△ABC的面积为1，在网格上找到满足题意的点C，再根据概率公式，即可．
【详解】解：∵任意放置一点C（除点A，B）共有20−2=18种可能的结果，
其中能使△ABC的面积为1的结果有4种，
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4 2
∴使△ABC的面积为1的概率为： = ．
18 9
2
故答案为： ．
9
【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是全面找到满足题意的结果，熟练掌握概率的公式．
【变式3-1】（2023·北京·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则
S S (填“＞”，“＜”或“＝”)．
ΔABC ΔACD
【答案】＜
【分析】分别求出△ABC的面积和△ACD的面积，即可求解．
【详解】解：由题意，
1 9
S = ×3×3= ，
ΔABC 2 2
1 9 1
S = ×(2+3)×5− − ×2×2=6，
ΔACD 2 2 2
∴S <S ；
ΔABC ΔACD
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在每个小正方形的边长均为
1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．
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(1)在方格纸中画出以AB为斜边的Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上；
15
(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰△≝¿，点F在小正方形的顶点上，且△≝¿的面积为 ．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，取格点C，连接AC，BC即可；
（2）如图，取格点F，连接DF，EF即可．
【详解】（1）解：如图所示，Rt△ABC即为所画，
（2）解：如图所示，等腰△≝¿即为所画，
∵DE=√32+42=5，EF=5，
∴DE=EF，
S
1 1 15 ．
△≝¿=3×5− ×1×3− ×3×4= ¿
2 2 2
【点睛】本题考查利用网格作三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在9×9的正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1，点A，B均在小正方形的顶点上
(1)在图中，按要求画一个△ABC，使点C在格点上，使得AC=5，且△ABC的面积是8
(2)在图中，在格点上取一点D，画一个△ABD，使得△ABD的面积是12，且tanB=2；
(3)连接CD，直接写出△ACD的面积
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）由三角形面积可求出AB边高为4，再根据勾股定理即可确定点C的位置；
（2）由△ABD的面积是12，可求出D到AB边距离为6，再根据tanB=2即可确定点D的位置；
（3）根据割补法即可求出三角形面积．
【详解】（1）解：如图，△ABC为所求；
（2）如图，△ABD为所求；
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1 1 1
（3）S =3×6− ×3×4− ×2×2− ×1×6=7．
△ACD 2 2 2
【点睛】此题主要考查网格作图、勾股定理、三角函数的应用，解题的关键是熟知三角形的面积的求法、
正切的定义及网格的特点．
【题型4 根据三角形的中线求解】
【例4】（2023·湖北·统考中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，
具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，
∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，
∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，
故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
【变式4-1】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，△ABD和
△BCD的周长差为 ．
【答案】2
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【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到AD=CD，再
分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
△ABD的周长=AB+BD+AD，
△BCD的周长=BC+CD+BD，
∵AB=6，BC=4，
∴AB+BD+AD−(BC+CD+BD)=AB+BD+AD−BC−CD−BD=AB−BC=2，
∴△ABD和△BCD的周长差为2，
故答案为：2．
【变式4-2】（2023·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，
1
∠C=45°，sinB= ，AD=1．
3
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
1
【答案】（1）2√2+1；（2）√2−
2
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解
Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2√2，然后根据BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即
可求解．
【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
1
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，
3
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AD 1
AB= = =3
∴ sinB 1 ．
3
∴BD=√AB2−AD2=√32−12=2√2．
∴BC=BD+DC=2√2+1．
1 1
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC=√2+ ．
2 2
1
∴DE=CE﹣CD=√2− ．
2
DE 1
∴tan∠DAE= =√2− ．
AD 2
【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与
Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．
【变式4-3】（2023·江苏·统考中考真题）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点
BD
D．若BF=3FE，则 = ．
DC
3
【答案】
2
【分析】连接ED，由BE是△ABC的中线，得到S =S ，S =S ，由BF=3FE，得到
△ABE △BCE △AED △EDC
S S 5
△ABF =3, △BFD =3，设S =x,S = y，由面积的等量关系解得x= y，最后根据等高三角形的性
S S △AEF △EFD 3
△AFE △FED
S BD
质解得 △ABD = ，据此解题即可．
S DC
△ADC
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【详解】解：连接ED
∵BE是△ABC的中线，
∴S =S ，S =S
△ABE △BCE △AED △EDC
∵BF=3FE
S S
∴ △ABF =3, △BFD =3
S S
△AFE △FED
设S =x,S = y，
△AEF △EFD
∴S =3x，S =3 y
△ABF △BFD
∴S =4x,S =4x,S =4 y
△ABE △BEC △BED
∴S =S −S =4x−4 y
△EDC △BEC △BED
∵S =S
△ADE △EDC
∴x+ y=4x−4 y
5
∴x= y
3
∵△ABD与△ADC是等高三角形，
5
3× y+3 y
S BD 3x+3 y 3x+3 y 3 8 y 3
∴ △ABD = = = = = = ，
S DC x+ y+4x−4 y 5x−3 y 5 16 2
△ADC 5× y−3 y y
3 3
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关
键．
【题型5 与垂心性质有关的计算】
【例5】（2023·山东威海·统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）
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交于一点，该点叫三角形的垂心．
【问题解决】如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H为△ABC的垂心，则∠BHC的度数
为（ ）
A．120° B．115° C．102° D．108°
【答案】C
【分析】如图，延长BH,CH, 分别交AC,AB于K,M,证明∠AMC=∠AKB=90°,再利用三角形的内
角和定理求解∠A, 再利用四边形的内角和定理可得答案.
【详解】解：如图，延长BH,CH, 分别交AC,AB于K,M,
∵H为△ABC的垂心，
∴BK⊥AC,CM⊥AB,
∴∠AMC=∠AKB=90°,
∵∠ABC=40°,∠ACB=62°,
∴∠BAC=180°−40°−62°=78°,
∴∠MHK=360°−∠AMC−∠AKB−∠A=102°，
∴∠BHC=102°．
故选：C.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，垂心的定义，正确理解垂心的定义构
建需要的四边形是解题的关键.
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【变式5-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，
∠BAC=45°，若△ABC外接圆的半径为2，则AH=（ ）
A．2√3 B．2√2 C．4 D．√3+1
【答案】B
【分析】连接BO并延长交⊙O于点D，连接HC，CD，DA，由圆周角定理的推论，可得DC⊥BC，
DA⊥AB，由三角形的垂心的定义得AH⊥BC，CH⊥AB，从而得四边形AHCD是平行四边形，结合
∠BAC=45°，△ABC外接圆的半径为2，即可求解．
【详解】连接BO并延长交⊙O于点D，连接HC，CD，DA．
∵点O是△ABC的外心，
∴BD是⊙O的直径，
∴DC⊥BC，DA⊥AB，
又∵点H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，CH⊥AB，
∴AH∥DC，CH∥DA，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴AH=DC，
∵∠BAC=45°，△ABC外接圆的半径为2，
∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，
∴AH=DC=BD÷√2=4÷√2=2√2．
故选B．
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【点睛】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理，
掌握三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键．
【变式5-2】（2023·河北·模拟预测）已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，
则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE．因为锐角
△ABC的垂心在三角形内部，得到平行四边形AHCE，根据已知条件和三角形的中位线定理，得
OB=AH=CE=2OD，根据直角三角形的边角关系求得∠BOD=60°，进一步根据圆周角定理求解．
【详解】解：如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BCE=∠BAE=90°，即AE⊥AB，EC⊥BC，
∵锐角△ABC的垂心在三角形内部，且H为三角形的垂心，
则CE//AH，AE//CH，
∴四边形AHEC为平行四边形，
∴AH=EC，
而A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，
∴OB=AH=CE=2OD，OD//EC，
OD 1
∴sin∠OBD= = ，OD⊥BC，
OB 2
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
连接OC，
∴∠BOC=120°，
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1
∴∠A= ∠BOC=60°．
2
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、圆周角定理以及垂心、外心的概念，
三角形的垂心即为三角形的三条高的交点，三角形的外心即为三角形的垂直平分线的交点．
【变式5-3】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）如图1，设ΔABC是一个锐角三角形，且
AB≠AC，Γ为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，CD为圆Γ直径，M为线段BC上一动点且满足
AH=2OM．
（1）证明：M为BC中点；
（2）过O作BC的平行线交AB于点E，若F为AH的中点，证明： EF⊥FC；
（3）直线AM与圆Γ的另一交点为N（如图2），以AM为直径的圆与圆Γ的另一交点为P．证明：若
AP、BC、OH三线共点，则AH=HN；反之也成立．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接AD，BD，得∠ADB=∠DBC=900，结合H为垂心，AD//BH,BD//AH，得出
四边形ADBH为平行四边形，得到BD=AH，结合平行，O为CD中点，可得M为BC中点；
（2）过E作EG⊥BC，由EGHF， EGFA为平行四边形，证明H为ΔFGC的垂心，从而得到EF⊥FC；
（3）设AM与OF交点为I，得到MH⊥AP，证明H是ΔAMQ的垂心，证明AP、BC、OH三线共点
得O,H,Q三点共线，得到AH=HN．
【详解】解：（1）连接AD,BD，则DA⊥AC，DB⊥BC
又H为ΔABC垂心
∴BH⊥AC，AH⊥BC
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∴AD//BH,BD//AH
∴四边形ADBH为平行四边形
∴DB=AH=2OM，又O为CD中点
∴M为BC中点
（2）过E作EG⊥BC
连接GH，由（1）可知四边形EGHF为平行四边形，四边形EGFA为平行四边形
∵CH⊥AB,AB∥GF
∴CH⊥GF
∴H为ΔFGC垂心
∴GH⊥CF,而GH∥EF
∴EF⊥FC
（3）设AM与OF交点为I
由（1）可知四边形OMFA为平行四边形
∴I为直径AM中点
而圆I与圆Γ相交弦为AP
∴OF⊥AP,而MH∥OF
∴MH⊥AP
设MC,AP交 于Q
则H为ΔAMQ垂心
∴QH⊥AM
AP、BC、OH三线共点⇔ O,H,Q三点共线
⇔ OH⊥AN ⇔ AH=HN
【点睛】本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关
键．
【题型6 利用三角形的三边关系求解】
【例6】（2023·四川·中考真题）若实数x、y满足|x−4|+√y−8=0，则以x、y的值为边长的等腰三角形
的周长为 ．
【答案】20
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解：
【详解】根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8．
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
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∵4+4=8，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20．
所以，三角形的周长为20．
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中
能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】A、5+7=12，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、7+7=14<15，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、6+9=15<16，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、6+8=14>12，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三
个数．
【变式6-2】（2023·贵州·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成
凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在△ABC
和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6，0<b<2，从而可得4<a+b<8，2<a−b<6，再
在△ACE中，根据三角形的三边关系定理可得a−b<d<a+b，从而可得2<d<8，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，
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在△ABC中，5−1<a<1+5，即4<a<6，
在△CDE中，1−1<b<1+1，即0<b<2，
所以4<a+b<8，2<a−b<6，
在△ACE中，a−b<d<a+b，
所以2<d<8，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
【变式6-3】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在 ABC中，BC＝3，将 ABC平移5个单位长度得到
ABC ，点P、Q分别是AB、AC 的中点，PQ的△最小值等于 ． △
1 1 1 1 1
△
7
【答案】
2
【分析】取AC的中点M，A B 的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边
1 1
关系即可得到结论．
【详解】解：取AC的中点M，A B 的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，
1 1
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∵将ΔABC平移5个单位长度得到△A B C ，
1 1 1
∴B C =BC=3，PN=5，
1 1
∵点P、Q分别是AB、A C 的中点，
1 1
1 3
∴NQ= B C = ，
2 1 1 2
3 3
∴5− ⩽PQ⩽5+ ，
2 2
7 13
即 ⩽PQ⩽ ，
2 2
7
∴PQ的最小值等于 ，
2
7
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【题型7 利用三角形内角和定理求解】
【例7】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到
△A'B'C，连接A A'，若∠A A'B'=20°，则∠CB' A'的度数是（ ）．
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
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【分析】由旋转的性质可得AC=A'C，∠AC A'=90°，从而得到△AC A'是等腰直角三角形，则
∠CA A'=∠C A' A=45°，从而得到∠B' A'C=25，最后由∠CB' A'=90°−∠B' A'C进行计算即可得
到答案．
【详解】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接A A'，
∴AC=A'C，∠AC A'=90°，
∴△AC A'是等腰直角三角形，
∴∠CA A'=∠C A' A=45°，
∵∠A A'B'=20°，
∴∠B' A'C=∠C A' A−∠A A'B'=45°−20°=25°，
∵∠CB' A'+∠B' A'C=90°，
∴∠CB' A'=90°−∠B' A'C=90°−25°=65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．
【变式7-1】（2023·青海西宁·统考中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，
连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 ．
【答案】50°或90°
【分析】由题意可求出∠B=∠C=40°，故可分类讨论①当∠BAD=90°时和②当∠ADB=90°时，进
而即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
180°−∠A
∴∠B=∠C= =40°．
2
∵△ABD为直角三角形，
∴可分类讨论：①当∠BAD=90°时，如图1，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠B=50°；
②当∠ADB=90°时，如图2，
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综上可知∠ADB的度数是50°或90°．
故答案为：50°或90°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三
角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
【变式7-2】（2023·湖北·中考模拟）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交
AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（ ）
A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，熟练运用“等边对等角”求角的度数
是解题关键．
根据三角形内角和定理以及“等边对等角”可得∠ABC=∠ACB=75°，再利用三角形的内角和定理可得
∠DBE=45°，最后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BDE的度数即可．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
1
∴∠ABC=∠ACB= (180°−30°)=75°，
2
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°−75°−75°=30°，
∴∠DBE=75°−30°=45°，
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1
∴∠BED=∠BDE= (180°−45°)=67.5°．
2
故选：A．
【变式7-3】（2023·江苏·无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△ACB和△DCE中，AC=BC，
CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．
【答案】AE=BD且AE⊥BD，理由见解析
【分析】根据∠ACB=∠DCE=90°，可得∠DCB=∠ACE，已知AC=BC，CD=CE，可得
△ACE≌△BCD，则AE=BD，∠CEA=∠BDC，由∠CME=∠DMO，理由三角形内角贺可知
∠CEA+∠CME=∠BDC+∠DMO，进而可得∠DOM=∠ECM=90°，AE⊥BD，即AE=BD且
AE⊥BD．
【详解】解：AE=BD且AE⊥BD．理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA，即∠DCB=∠ACE，
∵AC=BC，CD=CE，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，∠CEA=∠BDC，
∵∠CME=∠DMO，∠DCE=90°，
则∠CEA+∠CME=∠BDC+∠DMO=90°
∴∠DOM=∠ECM=90°，
∴AE⊥BD，
∴AE=BD且AE⊥BD．
【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，证明△ACE≌△BCD是解决问题的
关键．
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【题型8 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例8】（2023·四川·中考真题）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到
△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB'的度数是（ ）
A．35° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵CC'∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C'CA=∠CAB=70°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴∠C' AB'=∠CAB=70°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C'CA=70°，
∴∠C' AC=180°−70°−70°=40°，
∵∠BAB'=∠CAB−CAB'，∠CAC'=∠C' AB'−CAB'，
∴∠BAB'=∠C' AC=40°，即旋转角的度数是40°，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内
角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．
【变式8-1】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，
DE∥AC，交BC于点E．若∠A=50°，则∠CDE的度数是（ ）
A．25° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【分析】首先根据平行线的性质得∠BDE=∠A=50°，再根据垂直的定义得∠CDB=90°，进而根据
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∠CDE=∠CDB−∠BDE即可得出答案．
【详解】解：∵DE∥AC，∠A=50°，
∴∠BDE=∠A=50°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB−∠BDE=90°−50°=40°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
【变式8-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD//BC，∠ADC=120°，∠BAD=3∠CAD，E为
AC上一点，且∠ABE=2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP=∠DCA，则∠CBP：∠ABP的
值为 ．
【答案】2或4
【分析】分点P在线段AC上、在CA的延长线上两种情况，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角
和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
【详解】如图，①当∠ABP =∠DCA时，即∠1=∠2时，
1
∵∠D=120°，
∴∠1+∠3=180°−120°=60°，
∵∠BAD=3∠CAD，∠ABE=2∠CBE，AD//BC，
∴3∠3+3∠EBC=180°，
∴∠3+∠EBC=60°，
∴∠EBC=∠1=∠2=∠P BE，
1
∴∠CBP ：∠ABP 的值为2，
1 1
②当∠ABP =∠DCA时，由①则有∠CBP ：∠ABP 的值为4，
2 2 2
故答案为：2或4．
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【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，
利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
【变式8-3】（2023·浙江金华·一模）如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
1
③分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若∠CGE=α，
2
则∠A的度数可以用α表示为（ ）
1
A．90°−α B．90°− α C．180°−4α D．2α
2
【答案】D
【分析】由作图可知：AC=AE，CE⊥CE，所以∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，则∠CGE+∠ECG=90°，所以
∠ECG=90°-α，再根据平行线的性质得∠AEC=∠ECG=90°-α，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：由作图可知：AC=AE，CE⊥CE，
∴∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，
∴∠CGE+∠ECG=90°，
∴∠ECG=90°-α，
∵AB∥CD，
∴∠ACE=∠AEC=∠ECG=90°-α，
∴∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-2∠AEC=180°-2(90°-α)=2α，故D正确．
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故选：D．
【点睛】本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三
角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键．
【题型9 三角形内角和与角平分线的综合应用】
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的
痕迹，∠DEA的度数是（ ）．
A．35° B．60° C．70° D．85°
【答案】D
【分析】由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，根据线段垂直平分线的性
质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解∶由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，
∴AD=BD，∠DAE=∠CAE，
∴∠B=∠BAD=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=180°−60°−50°=70°，
1
∴∠DAE=∠CAE= ∠DAC=35°，
2
∴∠DEA=∠C+∠CAE=85°．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分
线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
【变式9-1】（2023·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=
度．
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【答案】90
【分析】根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题
目中的三个角的和．
【详解】解：∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，
故答案是：90．
【点睛】考查了三角形的内心的性质，解题的关键是正确的理解三角形的内心的定义，是三角形三内角的
平分线的交点．
【变式9-2】（2023·广东佛山·校考一模）如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的
延长线上，且AD=AO，CB=CD，连接BD．
(1)求证：∠OBD=∠ODB；
(2)若∠BAC=80°，求∠ACB的长度．
【答案】(1)见解析
(2)∠BCA=60°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；
（1）由“SAS”可证△COD≌△COB，可得OD=OB，即可得结论；
（2）根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，
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根据AD=AO，可得出∠ODA=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出
∠BCA=60°．
【详解】（1）解：证明：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
¿，
∴△COD≌△COB(SAS)，
∴OD=OB，∠OBC=∠ODC，
∴∠OBD=∠ODB；
（2）解：∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，
∴∠ODA=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°．
【变式9-3】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的角平分线．
以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E,F，连接DE,DF．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BDE=20°
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【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，由作图可得AE=AF，即可证明
△ADE≌△ADF；
（2）根据角平分线的定义得出∠EAD=40°，由作图得出AE=AD，则根据三角形内角和定理以及等腰
三角形的性质得出∠ADE=70°，AD⊥BC，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
由作图可得AE=AF，
在△ADE和△ADF中，
¿，
∴△ADE≌△ADF (SAS)；
（2）∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=40°
由作图可得AE=AD，
∴∠ADE=70°，
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=20°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等
腰三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型10 利用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例10】（2023·青海·统考中考真题）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直
角三角板的斜边上，AC与DM、DN分别交于点E、F，把 MDN绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，
则∠BDN的度数是( ) △
A．105° B．115° C．120° D．135°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DEC,进一步利用三角形外角的性质即可得
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到结果.
【详解】解：∵DE=DF，∠EDF=30°，
1
∴∠DEF= （180°-∠EDF）=75°，
2
∴∠DEC=105°，
∵∠C=45°，
∴∠CDE=180°-45°-105°=30°，
∴∠BDN=120°，
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的
性质是解题的关键.
【变式10-1】（2023·甘肃·中考真题）（1）如图，BD与CD分别平分∠ABC和∠ACB，已知
∠BDC=130°，求∠A的度数．
（2）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，
求∠1的度数
【答案】（1）80°；（2）75°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角板中角度的特点
等等：
（1）先由三角形内角和定理得到∠DBC+∠DCB=50°，再由角平分线的定义得到
∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，进而得到∠ABC+∠ACB=100°，则由三角形内角和定理得
到∠A=180°−∠ABC−∠ACB=80°；
（2）先由三角形内角和定理得到∠AEB=180°−∠B−∠BAE=30°，则由对顶角相等可得
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∠DEC=∠AEB=30°，进而由三角形外角的性质可得∠1=∠C+∠DEC=75°．
【详解】解：（1）∵∠BDC=130°，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC=50°，
∵BD与CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠DBC+2∠DCB=100°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=80°；
（2）如图所示，由三角板中角度的特点可知∠B=60°，∠C=45°，∠BAE=90°，
∴∠AEB=180°−∠B−∠BAE=30°，
∴∠DEC=∠AEB=30°，
∴∠1=∠C+∠DEC=75°．
【变式10-2】（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所
在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为110°，∠ACB=90°，连结DC交AB于点
E，则∠BEC的度数是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】D
【分析】取量角器的圆心O，连接OD、OC，则OD=OC，则可得∠COD、∠ODE的度数，由三角形
内角和定理即可求得结果．
【详解】解：取量角器的圆心O，连接OD、OC，如图，
由题意知，∠AOD=110°，则∠BOD=180°−∠AOB=70°；
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∵O是AB的中点，∠ACB=90°，
∴OA=OC=OD，
∴∠OAC=∠OCA=30°，∠OCD=∠ODE，
∵∠BOC=2∠OAC=60°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=70°+60°=130°，
1
∴∠ODE= (180°−∠COD)=25°，
2
∴∠BEC=∠DEO=180°−∠ODE−∠BOD=85°；
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活
运用这些性质是解题的关键．
【变式10-3】（2023·山西·统考三模）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位
置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图
2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，△AMC是等腰三角形；
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(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请
帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
【答案】(1)60°或15°
(2)见解析
(3)√3
(4)能，∠α=30°或60°
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等
三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM=√3，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式
即可得到结论；
（4）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋
转的性质可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据
对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是
可得到∠α的度数．
【详解】（1）当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°，
当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
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（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
¿ ，
∴△ABM≅△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
在△MPE和△NPC中
¿，
∴△MPE≅△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=2，
∴BM=AB•sin30°=1，AM=AB•cos30°=√3，
1 1 √3
∴S = AM•MB= ×1×√3= ，
△ABM 2 2 2
∵AE=AC=AB•tan60°=2√3，AM=√3，
∴EM=√3，
在△AMB和△EPM中
¿
∴△AMB≅△EPM(ASA)，
由（2）可知△ABM≅△AFN，
√3
∴S =S =S = ，
△AFN △EFM △ABM 2
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1 1
∵S = AF•AE= ×2×2√3=2√3，
△AEF 2 2
√3
∴△ABC与△AFE重叠的面积=S
△AEF
-S
△AFN
-S
△EPM
=2√3−2×
2
=√3；
（4）如答题图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°−60°−90°=30°．
∴∠α=30°．
如答题图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、
等边三角形的性质、三角函数和全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
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【题型11 利用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例11】（2023·山东滨州·统考一模）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A．2∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2∠1+∠2
C．∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2∠1+2∠2
【答案】A
【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到2∠AED+2∠ADE=360°−∠1−∠2，再由三角形内角
和定理得到2∠AED+2∠ADE=360°−2∠A，由此即可得到结论．
【详解】解：由折叠的性质可知2∠AED+∠1=180°，2∠ADE+∠2=180° ，
∴2∠AED+2∠ADE=360°−∠1−∠2，
由三角形内角和定理可知∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴2∠AED+2∠ADE=360°−2∠A，
∴360°−∠1−∠2=360°−2∠A，
∴∠1+∠2=2∠A
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式11-1】（2023·广西百色·校联考一模）如图，有四条互相不平行的直线L 、L 、L 、L 所截出的七
1 2 3 4
个角，关于这七个角的度数关系正确的是（ ）
A．∠2 =∠4 +∠7 B．∠1+∠4+∠6=180°
C．∠3 =∠1 +∠6 D．∠2+∠3+∠5=360°
【答案】B
【详解】分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即
可得出答案．
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详解：如图，
∵四条互相不平行的直线L、L、L、L 所截出的七个角，
1 2 3 4
∵∠1=∠AOB，
∵∠AOB+∠4+∠6=180°，
∴∠1+∠4+∠6=180°．
故选B．
点睛：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题
的关键．
【变式11-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC
绕点B旋转得到△DBE，使点D落在AC边上，DE，BC相交于点E．设∠BAC=α，∠BFD=β．则下
列关系正确的是（ ）
A．α+β=150° B．2α+β=230°
5
C． α+β=270° D．3a+β=300°
2
【答案】C
【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转性质得到AB=BD，
1
∠BDF=∠BAC=α，再根据等腰三角形的性质得到∠BDA=∠BAC=α，∠C=90°− α，然后利用
2
三角形的内角和定理求解即可．理解旋转性质是解答的关键．
【详解】解：由旋转性质，得AB=BD，∠BDF=∠BAC=α，
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BDA=∠BAC=α，则∠CDF=180°−∠BDA−∠BDF=180°−2α，
∵在△ABC中，AB=AC，
1 1
∴∠C= (180°−∠BAC)=90°− α，又∠BFD=β，
2 2
∵∠DFC+∠C+∠CDF=180°，
1
∴180°−β+90°− α+180°−2α=180°，
2
5
∴ α+β=270°，
2
故选：C．
【变式11-3】（2023·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与
B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，
∠BCE=β．
(1)如图①，当点D在线段BC上，如果α=60°，β=120°；
如图②，当点D在线段BC上，如果α=90°，β=90°；
如图③，当点D在线段BC上，如果α，β之间有什么样的关系？请直接写出．
(2)如图④，当点D在射线BC上，（1）中结论是否成立？请说明理由；
(3)如图⑤，当点D在射线CB上，且在线段BC外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为
正确的结论．
【答案】(1)α+β=180°；
(2)（1）中结论是成立；理由见详解；
(3)（1）中结论是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°
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【分析】（1）先判断出△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出△ABE≌△ACD，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）解：α+β=180°．理由如下：
如图③．∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
¿，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：α+β=180°；
（2）（1）中结论是成立，理由如下：
如图④，连接CE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
¿，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
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∴∠ABD=∠ACE．
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：α+β=180°；
（3）（1）中结论是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°．理由如下：
如图⑤，连接BE．∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
¿，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD．
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠ABC+∠ABE=∠BAC+∠CBE=180°，
即：∠BAC+∠CBE=180°．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和公式，解（1）
（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是找出∠BAC+∠CBE=180°，是一道很好的中考常
考题．
【题型12 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例12】（2023上·江苏南京·九年级校联考期中）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延
长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），
以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝
CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是 ．
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【答案】 /②①
【分析】
①
连接 ②AC并延长至点E，根据三角形外角的性质可证明结论①；连接AC，BD，根据“SSS”证明
△ABC≌△ADC，结论②可得；由由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD，可得结
论③；连接BD，假设存在凹四边形ABCD，则可证△ABD≌△CDB，∠A＝∠BCD，从而得出结论④．
【详解】解：①连接AC并延长至点E，如图1所示：
∵∠BCE为△ABC的外角，
∴∠BCE＝∠BAC+∠B，
∵∠DCE为△DAC的外角，
∴∠DCE＝∠CAD+∠D，
∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D，
故①正确；
②连接AC，BD，如图2所示：
在△ABC和△ADC中，
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¿，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AC⊥BD，
故②正确；
③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，
不能得出BC＝CD，
故③不正确；
④连接BD，假设存在凹四边形ABCD，
有AB＝CD，AD＝BC，
则在△ABD和△CDB中，
¿，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D，
故④不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、凹四边形的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质
等知识点，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【变式12-1】（2023·江苏·苏州高新区第二中学校考二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数
的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,则它的优美比k为
（ ）
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3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【答案】B
【分析】由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用
是解题关键 ．
【变式12-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这
个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=√3，则AB的长为
．
【答案】1或√3或3
【分析】分∠A=2∠B；∠A=2∠C；∠C=2∠B；∠B=2∠C四种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分∠A=2∠B；∠A=2∠C；∠C=2∠B；∠B=2∠C四种情况求解：
①当∠A=2∠B=90°时，则∠C=∠B=45°，
∴AB=AC，
∴AB=AC=√3；
②当∠A=2∠C=90°时，同①可得AB=√3；
③当∠C=2∠B时，
∵∠C+∠B=90°，
∴∠C=60°，∠B=30°，
AC AC
∴AB= = =3，
tan∠B tan30°
∴AB=3；
④当∠B=2∠C时，
∵∠C+∠B=90°，
∴∠B=60°，∠C=30°，
AC AC
∴AB= = =1，
tan∠B tan60°
∴AB=1；
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综上所述，AB的长为1或√3或3；
故答案为1或√3或3．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，正切等知识，解题的关键在于正确理解“倍角三角形”的概念，并
分类讨论．
【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考一模）【阅读理解】
如果三角形的两个内角α与β满足2a+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
【基础巩固】
（1）若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°，则∠B=_______°；
【尝试应用】
7
（2）如图①，在△ABC中，∠ACB>90°，AC=5，BC= ，且BC边上的高AD=4．求证：△ABC是
3
“奇妙互余三角形”；
【灵活运用】
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE是
“奇妙互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
7
【答案】（1）20°；（2）证明见解析；【灵活运用】：存在；BE的长为 或5．
2
【分析】（1）由“奇妙互余三角形”的定义得∠A＋2∠B＝90°，即可求解；
（2）由锐角三角函数定义证出∠ABD＝∠CAD，再由直角三角形的性质得∠ABD＋∠CAD＋∠BAC＝
2∠ABD＋∠BAC＝90°，即可得出结论；
（灵活运用）分两种情况讨论①当∠CAE＝∠ABE，可得△ABE是“奇妙互余三角形”，由锐角三角函数
9
定义求出CE＝ ，故可得到BE的长②当AE是∠CAB的平分线时，过点E作EF⊥AB于F，则CE＝FE，
2
由HL证得Rt△ACE≌Rt△AFE，得出AC＝AF＝6，由勾股定理求出AB＝10，则BF＝4，在Rt△BEF中，由
勾股定理得42＋（8−BE）2＝BE2，解得BE＝5，即可得出结果．
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【详解】（1）解：∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，
∴∠A＋2∠B＝90°，
1
∴∠B＝ （90°−50°）＝20°，
2
故答案为：20；
（2）证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝√AC2+AD2=3，
7 16
∴BD＝BC＋CD＝ ＋3＝ ，
3 3
AD 4 3
= = CD 3
∵tan∠ABD＝BD 16 4，tan∠CAD＝ = ，
AD 4
3
∴∠ABD＝∠CAD，
∵∠ABD＋∠BAD＝90°，
∴∠ABD＋∠CAD＋∠BAC＝2∠ABD＋∠BAC＝90°，
∴△ABC是“奇妙互余三角形”；
（灵活运用）解：存在点E，使得△ABE是“奇妙互余三角形”，
①当∠CAE＝∠ABE时，2∠ABE +∠EAB=∠CAE+∠ABE +∠EAB=∠CAB+∠ABE=90°
∴△ABE是“奇妙互余三角形”
如图2所示：
AC 6 3
则tan∠CAE＝tan∠ABE＝ = = ，
BC 8 4
CE CE 3
∴tan∠CAE＝ = = ，
AC 6 4
9
解得：CE＝ ，
2
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9 7
∴BE＝BC−CE＝8− ＝ ，
2 2
②当AE是∠CAB的平分线时，△ABE是“奇妙互余三角形”，如图3所示：
过点E作EF⊥AB于F，
则CE＝FE，
∴FE＝BC−BE＝8−BE，
在Rt△ACE和Rt△AFE中，
¿，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC＝AF＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝√AC2+BC2=10，
∴BF＝AB−AF＝10−6＝4，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2＋FE2＝BE2，
即：42＋（8−BE）2＝BE2，
解得：BE＝5，
7
综上所述，存在点E，使得△ABE是“奇妙互余三角形”，BE的长为 或5．
2
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“奇妙互余三角形”、全等三角形的判定与性质、角平分
线的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义“奇妙互余三角形”的
判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
【题型13 利用三角形外角的性质求角度】
【例13】（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与
AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
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【答案】35°/35度
【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理
求出∠AOB=125°，再由切线长定理得到BD=BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF=90°，
则∠AFD=∠AOH−∠OHF=35°．
【详解】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
1 1
∴∠OAB= ∠CAB，∠OBA= ∠CBA，
2 2
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=110°，
1 1
∴∠OAB+∠OBA= ∠CBA+ ∠CAB=55°，
2 2
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=125°，
∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，
∴BD=BE，
又∵OD=OE，
∴OB是DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，
∴∠AFD=∠AOH−∠OHF=35°，
故答案为：35°．
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角
形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式13-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时
针方向旋转90°得到△CBF．若∠ABE=55°，则∠EGC= 度．
【答案】80
【分析】先求得∠BEF和∠CBE的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABE=55°，
∴∠CBE=90°−55°=35°，
∵△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF
∴∠EBF=90°，BE=BF，
∴∠BEF=45°，
∴∠EGC= ∠CBE+∠BEF=35°+45°=80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转
图形的性质求解是解题的关键．
【变式13-2】（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P．若∠A=48°，
∠APD=80°，则∠B= °．
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】32
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠D=48°，
再根据三角形外角的性质得出∠B=∠APD−∠D，即可求解．
【详解】解：∵ ∠A和∠C同为B´C所对的圆周角，
∴ ∠A=∠D=48°，
∵ ∠APD=∠D+∠B，
∴ ∠B=∠APD−∠D=80°−48°=32°，
故答案为：32．
【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长
度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F，若∠CFB=α，则
∠ABE等于（ ）
A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由图可知：GD=EH=1,CG=BH=4，∠CGD=∠BHE=90°，
∴△CGD≌△BHE(SAS)，
∴∠GCD=∠HBE，
∵CG∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∵∠CFB=∠CAB+∠GCD=α，
∴α=∠ABD+∠HBE，
∴∠ABE=∠ABD+∠DBH+∠HBE=90°+α；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型14 三角形的外角性质与平行线的综合】
【例14】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画
出了直线a，b，c．如果∠1=70°，则∠2的度数为（ ）．
A．110° B．70° C．40° D．30°
【答案】C
【分析】可求∠3=∠4+∠5=70°，由∠2=∠5，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：∠4=30°，a∥b，
∴∠3=∠1=70°，
【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠3=∠4+∠5=70°，
∴∠5=40°，
∴∠2=∠5=40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式14-1】（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠≝=120°，DE与地面
平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：DE∥AB，
∴∠ABD=∠EDC=50°，
∵∠≝=∠EDC+∠DCE=120°，
∴∠DCE=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【变式14-2】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到∠4=60°,∠2+∠5=120°，平行线的
性质，得到∠3=∠1=44°，三角形的外角的性质，得到∠5=∠3+∠4=104°，进而求出∠2的度数．
【详解】解：如图：
360°
∵正六边形的一个外角的度数为： =60°，
6
∴正六边形的一个内角的度数为：180°−60°=120°，
即：∠4=60°,∠2+∠5=120°，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=44°，
∴∠3=∠1=44°，
∴∠5=∠3+∠4=104°，
∴∠2=120°−∠5=16°；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是
360°，是解题的关键．
【变式14-3】（2023·浙江·校联考三模）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的
动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD
交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠B=60°，∠ACB=40°，则∠EGC=__________°；
②若∠A=90°，求∠EGC的度数；
(2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．
【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)①50°；②45°
1
(2)若点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC= ∠A或
2
1
∠EGC=90°+ ∠A
2
【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出
1 1
∠EGC= ∠B+ ∠ACB，代入进行计算即可；
2 2
1 1 1
②由①的方法得出∠EGC= ∠B+ ∠ACB，进而满出∠EGC= (180°−∠A)，代入计算即可；
2 2 2
（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段
1 1
AD上时，有∠EGC=90°− ∠A成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有∠EGC= ∠A或
2 2
1
∠EGC=90°− ∠A成立．
2
【详解】（1）如图1，
①∵EF//BC，
∴∠B=∠FEB，∠EFD=∠BCD，
∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，
1 1 1
∴∠FEG=∠DEG= ∠FED= ∠B，∠BCD=∠ACD= ∠ACB=∠EFD，
2 2 2
又∵∠EGC=∠FEG+∠EFG，
1 1
∴∠EGC= ∠B+ ∠ACB
2 2
【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
= ×60°+ ×40°
2 2
=50°，
故答案为：50°；
②由①得，
1 1
∠EGC= ∠B+ ∠ACB
2 2
1
= (∠B+∠ACB)
2
1
= (180°−∠A)
2
1
=90°− ∠A
2
1
=90°− ×90°
2
=45°；
（2）当点E在线段DB上时，如图（2），
∵EF//BC，
1
∴∠AEF=∠B，∠EFG=∠BCD= ∠ACB，
2
∵GH平分∠BEF，
∴∠BEH=∠HEF，
∴∠EGC=∠HEF−∠EFG
180°−∠AEF 1
= − ∠ACB
2 2
1 1
=90°− ∠AEF− ∠ACB
2 2
【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
=90°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=90°− (180°−∠A)
2
1
= ∠A；
2
1
当点E在射线DB上时，如图（3）由（1）得，∠EGD=90°− ∠A，
2
∴∠EGC=180°−∠EGD
1
=180°−90°+ ∠A
2
1
=90°+ ∠A；
2
1 1
综上所述，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC= ∠A或∠EGC=90°+ ∠A．
2 2
1
答：若点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC= ∠A或
2
1
∠EGC=90°+ ∠A．
2
【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三
角形内角和定理是解题关键．
【题型15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】
【例15】（2023·辽宁丹东·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=114°，D，F为BC边上的
点，将△ABD沿AD折叠到△ADE，连结EF.若∠DAF=57°，那么当∠BAD= 时，△≝¿为
直角三角形.
【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】12°或45°或102°
【分析】分∠BAD<57°和∠BAD>57°两种情况讨论，其中∠BAD<57°时，又分∠≝=90°，
∠FDE=90°和∠DFE=90°三种情况讨论，画出每种情况的大致图，结合图形求出每种情况∠BAD的
度数.
【详解】解：∵∠BAC=114°,AB=AC，
∴∠B=∠C=33°，
∵将△ABD沿AD折叠到△ADE，
∴AB=AE,∠BAD=∠DAE, ∠ADB=∠ADE，
∴AE=AC，
第一种情况，当∠BAD<57°时，
①当∠≝=90°时，
∵∠DAF=57°，
∴∠BAD+∠CAF=∠BAC-∠DAF=57°，∠DAE+∠EAF=57°，
∴∠EAF=∠CAF，
∵¿
∴△AEF≌△ACF，
∴∠AEF=∠C=33°，
∴∠≝=66°，∠≝¿不可能是直角，
②当∠FDE=90°时，
设∠BAD=x，
【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠ADF=33°+x，
∴∠ADE=123°+x，
∵∠ADB=∠ADE，
∴123°+x=180°−33°−x，
∴x=12°，
③当∠DFE=90°时，
设∠BAD=x，
∵∠DAF=57°，
∴∠CAF=∠EAF=57°−x，
在△AEF和△ACF中
¿
∴△AEF≌△ACF，
∴∠C=∠AEF=33°，
∴∠EDF=90°−∠AED−∠AEF=24°，
∵∠ADB=∠ADE，
∴180°−33°−x=33°+x+24°，
∴x=45°，
第二种情况 当∠BAD>57°时，
如图，F在D的左侧，当∠FDE=90°时，
【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE=45°，
∵∠B=33°，
∴∠BAD=180°−33°−45°=102°，
综上所述∠BAD等于12°或45°或102°，
故填：12°或45°或102°.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题.熟练掌握
这些定理，能分类讨论是解决此题的关键.此题的难点是需能画出每一种情况对应的大致图形.
【变式15-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ΔABC
处的A'处，折痕为DE.如果∠A=α，∠CEA'=β，∠BD A'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180∘−α−β
【答案】A
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
【变式15-2】（2023·河北·中考真题）如图，将 ▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若
∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
【答案】C
1
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再根据三角形内角和定理可得.
2
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
1
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1=22°，
2
【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌
握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
【变式15-3】（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿
MN与PQ是否平行，把纸片沿着AC折叠（如图1），并用量角器测出∠1、∠2的度数．
(1)若∠1=∠2，则MN∥PQ．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在PQ边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接AD并折叠纸片使得射
线AB与射线AD重合，折痕交PQ于点E，过E作EF⊥AC于点F，设∠AEF=α，∠ADP=β．
①当点D在点C、B之间时，若β=120°，求α的度数；
②当点D在PQ上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)正确，见解析
1
(2)①60°，②a= β，见解析
2
【分析】（1）由翻折的性质可得∠MAC=∠1，则∠MAC=∠2，进而可得MN∥PQ；
1
（2）①由折叠的性质可得∠ACB=∠CAB，∠BAE=∠DAE= ∠DAB，推出
2
2(∠CAB−∠BAE)+β=180°①，∠CAB−∠BAE+α=90°②，然后②×2−①即可求出α的值；
②分D在B左侧时，当D在B右侧两种情况求解即可．
【详解】（1）正确，理由如下：
由翻折的性质可得∠MAC=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠MAC=∠2，
∴MN∥PQ；
1
（2）①：由折叠的性质可得 ，∠ACB=∠CAB，∠BAE=∠DAE= ∠DAB．
2
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∵∠CAD=∠CAB−∠DAB， ∠DAB=2∠BAE，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=∠CAB−2∠BAE
∵∠ACB+∠CAD+β=180°，
∴∠CAB+∠CAB−2∠BAE+β=180°，
即2(∠CAB−∠BAE)+β=180°①，
∵∠CAB−∠BAE+α=90°②，
②×2−①得2α−β=0，
∵β=120°，
∴α=60°；
1
②：猜想a= β；
2
证明：由题意知，分两种情况讨论，
1
（Ⅰ）D在B左侧时，a= β，证明过程同（1）；
2
（Ⅱ）当D在B右侧，如下图，
1
由折叠的性质可得 ，∠ACB=∠CAB，∠BAE=∠DAE= ∠DAB．
2
∵∠CAD=∠CAB+∠DAB， ∠DAB=2∠BAE，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=∠CAB+2∠BAE
∵∠ACB+∠CAD+β=180°，
∴∠CAB+∠CAB+2∠BAE+β=180°，
即2(∠CAB+∠BAE)+β=180°①，
∵∠CAB+∠BAE+α=90°②，
②×2−①得2α−β=0，
1
∴a= β．
2
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识．解题的
【66淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
关键在于明确角度之间的数量关系．
【题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合】
【例16】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，AD,BD,CD分别平分
∠EAC,∠ABC,∠ACF，以下结论不一定成立的是（ ）
1
A．AD=CD B．AD∥BC C．∠BDC= ∠BAC D．∠ADC=90°−∠ABD
2
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质、角平分线定义、三角形内角和定理判断求解即可．
【详解】解：∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACF，
1 1
∴∠DAC= ∠EAC，∠ACD= ∠ACF，
2 2
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ACF=∠BAC+∠ABC，
∴∠EAC≠∠ACF，
∴∠DAC≠∠ACD，
∴AD≠CD，故A符合题意；
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故B正确，不符合题意；
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，
∴2∠BDC=∠BAC，
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1
∴∠BDC= ∠BAC，故C正确，不符合题意；
2
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，
∵∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
∴∠ADC=90°−∠ABD，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记三角形外角性质是解
题的关键．
【变式16-1】（2023·浙江温州·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BE平分
∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D．
(1)求∠AEB的度数；
(2)求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】(1)108°
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠ABC=∠ACB=72°，再由角平分线的
定义可得∠EBC=36°，最后根据三角形外角的性质求解即可；
1
（2）由（1）可得，∠ACB=72°，∠ABE= ∠ABC=36°，根据平行线的性质可得
2
∠DAE=∠ACB=72°，再根据三角形外角的性质求得∠AED=72°，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵AB=AC,∠BAC=36°，
【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴∠ABC=∠ACB= (180°−36°)=72°，
2
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠EBC= ∠ABC=36°，
2
∴∠AEB=∠EBC+∠ACB=36°+72°=108°；
1
（2）解：由（1）可得，∠ACB=72°，∠ABE= ∠ABC=36°，
2
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACB=72°，
∵∠AED=∠ABE+∠BAC=36°+36°=72°，
∴∠DAE=∠AED，
∴△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线
的定义，熟练掌握三角形内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键．
【变式16-2】（2023·广东江门·统考一模）已知锐角∠AOB=30°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取
一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，
交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）．
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】C
【分析】根据作图步骤得到OC=OD，DO=DE，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出
∠OCD=75°，∠DEO=∠DOE=30°，然后利用三角形外角性质可计算出∠CDE的度数．
【详解】解：由作法得OC=OD，DO=DE，
∵ OD=OC，
1 1
∴ ∠OCD=∠ODC= (180°−∠AOB)= ×(180°−30°)=75°，
2 2
∵ DO=DE，
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∴ ∠DEO=∠DOE=30°，
∵ ∠OCD=∠CDE+∠DEC，
∴ ∠CDE=∠OCD−∠DEC=75°−30°=45°．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．
【变式16-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，
∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠C= 度．
【答案】40或80
1 1
【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到∠ABE= ∠ABC= (180°−∠A)，当
2 4
1
∠BEC=60°时，根据三角形外角的性质得到 (180°−∠A)+∠A=60°，即可求得∠A=20°，代入
4
1
∠C= (180°−∠A)即可得到答案；当∠AEB=60°时，根据三角形内角和定理得到
2
1 1
(180°−∠A)+∠A+60°=180°，即可求得∠A=100°，代入∠C= (180°−∠A)即可得到答案．
4 2
【详解】解：设∠B的角平分线交AC于点E，
①当∠BEC=60°时，如图1所示：
∵AB=AC，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)，
2
1 1
∴∠ABE= ∠ABC= (180°−∠A)，
2 4
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
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1
∴ (180°−∠A)+∠A=60°，
4
∴∠A=20°，
1 1
∴∠C= (180°−∠A)= ×(180°−20°)=80°；
2 2
②当∠AEB=60°时，如图2所示：
∵AB=AC，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)，
2
1 1
∴∠ABE= ∠ABC= (180°−∠A)，
2 4
∵∠ABE+∠A+∠BEC=180°，
1
∴ (180°−∠A)+∠A+60°=180°，
4
∴∠A=100°，
1 1
∴∠C= (180°−∠A)= ×(180°−100°)=40°；
2 2
综上所述，∠C的度数为40°或80°，
故答案为：40或80．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是
解题的关键．
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