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专题 19 三角形的概念和性质【十六大题型】
【题型1 画三角形的高、中线、角平分线】.........................................................................................................2
【题型2 等面积法求三角形的高】..........................................................................................................................6
【题型3 利用网格求三角形的面积】......................................................................................................................9
【题型4 根据三角形的中线求解】........................................................................................................................13
【题型5 与垂心性质有关的计算】........................................................................................................................16
【题型6 利用三角形的三边关系求解】................................................................................................................21
【题型7 利用三角形内角和定理求解】................................................................................................................24
【题型8 三角形内角和与平行线的综合应用】...................................................................................................27
【题型9 三角形内角和与角平分线的综合应用】...............................................................................................30
【题型10 利用三角形内角和定理解决三角板问题】...........................................................................................34
【题型11 利用三角形内角和定理探究角的数量关系】.......................................................................................41
【题型13 利用三角形外角的性质求角度】.........................................................................................................52
【题型14 三角形的外角性质与平行线的综合】...................................................................................................55
【题型15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】...............................................................................................60
【题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合】...............................................................................................67
【知识点 三角形】
1.三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
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(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
(4)三角形的高.中线.角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形
的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形
的高）。
(5)三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应
用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角。
三角形的外角和等于360°。
(7)三角形的面积
1
2
三角形的面积= ×底×高
【题型1 画三角形的高、中线、角平分线】
【例1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，
折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段AD是△ABC的高线，
图②中，线段AD是△ABC的角平分线，
图③中，线段AD是△ABC的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
【变式1-1】（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找出对角线为AC的矩形，连接另一条对称线，两条对角线的交点就是D，连接BD即可；
（2）找出与线段AC相等的线段BT，AC与BT交于点E，连接BE即可；
（3）延长BC到H，使CH的长为小方格的正方形的边长，则AB=BH=5，连接AH交外围大正方形的边
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
于点W，则W是线段AH的中点，连接BW即可．
【详解】（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，线段BF即为所求．
【点睛】本题考查了用网格作图，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和
性质，正方形的性质，熟练运用这些知识是解题的关键．
【变式1-2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他
打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
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C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【答案】C
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当AC与BC重合时，折痕是∠C的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是AB的中垂线，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式1-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点
均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出△ABC中BC边上的高AD，垂足为D；
(2)在图2中画出△ABC中AB边上的中线CE；
(3)直接写出图2中三角形ACE的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)4
【分析】（1）根据高线的定义，画出AD即可；
（2）取AB的中点E，连接CE即可；
（3）利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，AD即为所求；
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）如图所示，CE即为所求；
1
（3）三角形ACE的面积为 ×2×4=4．
2
【点睛】本题考查画高线，中线，求三角形的面积．熟练掌握高线和中线的定义，是解题的关键．
【题型2 等面积法求三角形的高】
【例2】（2023·陕西西安·校考三模）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均
为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高的长度是（ ）
7√5 7√17 14√17
A． B．7√13 C． D．
10 17 17
【答案】D
【分析】由勾股定理求得BC=√17，由割补法求得S =7，设△ABC中BC边上的高的长度是h，利用
△ABC
三角形面积公式列方程求解即可．
1 1 1
【详解】解：由题意可知，BC=√12+42=√17，S =4×4− ×2×3− ×2×4− ×1×4=7，
△ABC 2 2 2
设△ABC中BC边上的高的长度是h，
1
∴S = h⋅BC=7，
△ABC 2
14 14√17
∴h= = ，
√17 17
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，割补法求面积，一元一次方程的应用你，分母有理化，利用属数形结合的
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
思想解决问题是解题关键．
【变式2-1】（2023·江苏苏州·统考三模）数学活动课上，小敏、小颖分别画了 ABC和 DEF，数据如图，
如果把小敏画的三角形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作S DEF，那△么你认为△( )
△ △
A．S ABC >S DEF B．S ABC 12，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三
个数．
【变式6-2】（2023·贵州·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成
凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在△ABC
和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得41)称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,则它的优美比k为
（ ）
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3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【答案】B
【分析】由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用
是解题关键 ．
【变式12-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这
个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=√3，则AB的长为
．
【答案】1或√3或3
【分析】分∠A=2∠B；∠A=2∠C；∠C=2∠B；∠B=2∠C四种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分∠A=2∠B；∠A=2∠C；∠C=2∠B；∠B=2∠C四种情况求解：
①当∠A=2∠B=90°时，则∠C=∠B=45°，
∴AB=AC，
∴AB=AC=√3；
②当∠A=2∠C=90°时，同①可得AB=√3；
③当∠C=2∠B时，
∵∠C+∠B=90°，
∴∠C=60°，∠B=30°，
AC AC
∴AB= = =3，
tan∠B tan30°
∴AB=3；
④当∠B=2∠C时，
∵∠C+∠B=90°，
∴∠B=60°，∠C=30°，
AC AC
∴AB= = =1，
tan∠B tan60°
∴AB=1；
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综上所述，AB的长为1或√3或3；
故答案为1或√3或3．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，正切等知识，解题的关键在于正确理解“倍角三角形”的概念，并
分类讨论．
【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考一模）【阅读理解】
如果三角形的两个内角α与β满足2a+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
【基础巩固】
（1）若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°，则∠B=_______°；
【尝试应用】
7
（2）如图①，在△ABC中，∠ACB>90°，AC=5，BC= ，且BC边上的高AD=4．求证：△ABC是
3
“奇妙互余三角形”；
【灵活运用】
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE是
“奇妙互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
7
【答案】（1）20°；（2）证明见解析；【灵活运用】：存在；BE的长为 或5．
2
【分析】（1）由“奇妙互余三角形”的定义得∠A＋2∠B＝90°，即可求解；
（2）由锐角三角函数定义证出∠ABD＝∠CAD，再由直角三角形的性质得∠ABD＋∠CAD＋∠BAC＝
2∠ABD＋∠BAC＝90°，即可得出结论；
（灵活运用）分两种情况讨论①当∠CAE＝∠ABE，可得△ABE是“奇妙互余三角形”，由锐角三角函数
9
定义求出CE＝ ，故可得到BE的长②当AE是∠CAB的平分线时，过点E作EF⊥AB于F，则CE＝FE，
2
由HL证得Rt△ACE≌Rt△AFE，得出AC＝AF＝6，由勾股定理求出AB＝10，则BF＝4，在Rt△BEF中，由
勾股定理得42＋（8−BE）2＝BE2，解得BE＝5，即可得出结果．
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【详解】（1）解：∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，
∴∠A＋2∠B＝90°，
1
∴∠B＝ （90°−50°）＝20°，
2
故答案为：20；
（2）证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝√AC2+AD2=3，
7 16
∴BD＝BC＋CD＝ ＋3＝ ，
3 3
AD 4 3
= = CD 3
∵tan∠ABD＝BD 16 4，tan∠CAD＝ = ，
AD 4
3
∴∠ABD＝∠CAD，
∵∠ABD＋∠BAD＝90°，
∴∠ABD＋∠CAD＋∠BAC＝2∠ABD＋∠BAC＝90°，
∴△ABC是“奇妙互余三角形”；
（灵活运用）解：存在点E，使得△ABE是“奇妙互余三角形”，
①当∠CAE＝∠ABE时，2∠ABE +∠EAB=∠CAE+∠ABE +∠EAB=∠CAB+∠ABE=90°
∴△ABE是“奇妙互余三角形”
如图2所示：
AC 6 3
则tan∠CAE＝tan∠ABE＝ = = ，
BC 8 4
CE CE 3
∴tan∠CAE＝ = = ，
AC 6 4
9
解得：CE＝ ，
2
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9 7
∴BE＝BC−CE＝8− ＝ ，
2 2
②当AE是∠CAB的平分线时，△ABE是“奇妙互余三角形”，如图3所示：
过点E作EF⊥AB于F，
则CE＝FE，
∴FE＝BC−BE＝8−BE，
在Rt△ACE和Rt△AFE中，
¿，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC＝AF＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝√AC2+BC2=10，
∴BF＝AB−AF＝10−6＝4，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2＋FE2＝BE2，
即：42＋（8−BE）2＝BE2，
解得：BE＝5，
7
综上所述，存在点E，使得△ABE是“奇妙互余三角形”，BE的长为 或5．
2
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“奇妙互余三角形”、全等三角形的判定与性质、角平分
线的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义“奇妙互余三角形”的
判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
【题型13 利用三角形外角的性质求角度】
【例13】（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与
AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
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【答案】35°/35度
【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理
求出∠AOB=125°，再由切线长定理得到BD=BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF=90°，
则∠AFD=∠AOH−∠OHF=35°．
【详解】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
1 1
∴∠OAB= ∠CAB，∠OBA= ∠CBA，
2 2
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=110°，
1 1
∴∠OAB+∠OBA= ∠CBA+ ∠CAB=55°，
2 2
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=125°，
∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，
∴BD=BE，
又∵OD=OE，
∴OB是DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，
∴∠AFD=∠AOH−∠OHF=35°，
故答案为：35°．
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【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角
形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式13-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时
针方向旋转90°得到△CBF．若∠ABE=55°，则∠EGC= 度．
【答案】80
【分析】先求得∠BEF和∠CBE的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABE=55°，
∴∠CBE=90°−55°=35°，
∵△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF
∴∠EBF=90°，BE=BF，
∴∠BEF=45°，
∴∠EGC= ∠CBE+∠BEF=35°+45°=80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转
图形的性质求解是解题的关键．
【变式13-2】（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P．若∠A=48°，
∠APD=80°，则∠B= °．
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】32
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠D=48°，
再根据三角形外角的性质得出∠B=∠APD−∠D，即可求解．
【详解】解：∵ ∠A和∠C同为B´C所对的圆周角，
∴ ∠A=∠D=48°，
∵ ∠APD=∠D+∠B，
∴ ∠B=∠APD−∠D=80°−48°=32°，
故答案为：32．
【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长
度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F，若∠CFB=α，则
∠ABE等于（ ）
A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由图可知：GD=EH=1,CG=BH=4，∠CGD=∠BHE=90°，
∴△CGD≌△BHE(SAS)，
∴∠GCD=∠HBE，
∵CG∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∵∠CFB=∠CAB+∠GCD=α，
∴α=∠ABD+∠HBE，
∴∠ABE=∠ABD+∠DBH+∠HBE=90°+α；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型14 三角形的外角性质与平行线的综合】
【例14】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画
出了直线a，b，c．如果∠1=70°，则∠2的度数为（ ）．
A．110° B．70° C．40° D．30°
【答案】C
【分析】可求∠3=∠4+∠5=70°，由∠2=∠5，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：∠4=30°，a∥b，
∴∠3=∠1=70°，
【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠3=∠4+∠5=70°，
∴∠5=40°，
∴∠2=∠5=40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式14-1】（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠≝=120°，DE与地面
平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：DE∥AB，
∴∠ABD=∠EDC=50°，
∵∠≝=∠EDC+∠DCE=120°，
∴∠DCE=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【变式14-2】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
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【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到∠4=60°,∠2+∠5=120°，平行线的
性质，得到∠3=∠1=44°，三角形的外角的性质，得到∠5=∠3+∠4=104°，进而求出∠2的度数．
【详解】解：如图：
360°
∵正六边形的一个外角的度数为： =60°，
6
∴正六边形的一个内角的度数为：180°−60°=120°，
即：∠4=60°,∠2+∠5=120°，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=44°，
∴∠3=∠1=44°，
∴∠5=∠3+∠4=104°，
∴∠2=120°−∠5=16°；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是
360°，是解题的关键．
【变式14-3】（2023·浙江·校联考三模）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的
动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD
交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠B=60°，∠ACB=40°，则∠EGC=__________°；
②若∠A=90°，求∠EGC的度数；
(2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．
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【答案】(1)①50°；②45°
1
(2)若点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC= ∠A或
2
1
∠EGC=90°+ ∠A
2
【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出
1 1
∠EGC= ∠B+ ∠ACB，代入进行计算即可；
2 2
1 1 1
②由①的方法得出∠EGC= ∠B+ ∠ACB，进而满出∠EGC= (180°−∠A)，代入计算即可；
2 2 2
（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段
1 1
AD上时，有∠EGC=90°− ∠A成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有∠EGC= ∠A或
2 2
1
∠EGC=90°− ∠A成立．
2
【详解】（1）如图1，
①∵EF//BC，
∴∠B=∠FEB，∠EFD=∠BCD，
∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，
1 1 1
∴∠FEG=∠DEG= ∠FED= ∠B，∠BCD=∠ACD= ∠ACB=∠EFD，
2 2 2
又∵∠EGC=∠FEG+∠EFG，
1 1
∴∠EGC= ∠B+ ∠ACB
2 2
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1 1
= ×60°+ ×40°
2 2
=50°，
故答案为：50°；
②由①得，
1 1
∠EGC= ∠B+ ∠ACB
2 2
1
= (∠B+∠ACB)
2
1
= (180°−∠A)
2
1
=90°− ∠A
2
1
=90°− ×90°
2
=45°；
（2）当点E在线段DB上时，如图（2），
∵EF//BC，
1
∴∠AEF=∠B，∠EFG=∠BCD= ∠ACB，
2
∵GH平分∠BEF，
∴∠BEH=∠HEF，
∴∠EGC=∠HEF−∠EFG
180°−∠AEF 1
= − ∠ACB
2 2
1 1
=90°− ∠AEF− ∠ACB
2 2
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1
=90°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=90°− (180°−∠A)
2
1
= ∠A；
2
1
当点E在射线DB上时，如图（3）由（1）得，∠EGD=90°− ∠A，
2
∴∠EGC=180°−∠EGD
1
=180°−90°+ ∠A
2
1
=90°+ ∠A；
2
1 1
综上所述，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC= ∠A或∠EGC=90°+ ∠A．
2 2
1
答：若点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC= ∠A或
2
1
∠EGC=90°+ ∠A．
2
【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三
角形内角和定理是解题关键．
【题型15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】
【例15】（2023·辽宁丹东·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=114°，D，F为BC边上的
点，将△ABD沿AD折叠到△ADE，连结EF.若∠DAF=57°，那么当∠BAD= 时，△≝¿为
直角三角形.
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【答案】12°或45°或102°
【分析】分∠BAD<57°和∠BAD>57°两种情况讨论，其中∠BAD<57°时，又分∠≝=90°，
∠FDE=90°和∠DFE=90°三种情况讨论，画出每种情况的大致图，结合图形求出每种情况∠BAD的
度数.
【详解】解：∵∠BAC=114°,AB=AC，
∴∠B=∠C=33°，
∵将△ABD沿AD折叠到△ADE，
∴AB=AE,∠BAD=∠DAE, ∠ADB=∠ADE，
∴AE=AC，
第一种情况，当∠BAD<57°时，
①当∠≝=90°时，
∵∠DAF=57°，
∴∠BAD+∠CAF=∠BAC-∠DAF=57°，∠DAE+∠EAF=57°，
∴∠EAF=∠CAF，
∵¿
∴△AEF≌△ACF，
∴∠AEF=∠C=33°，
∴∠≝=66°，∠≝¿不可能是直角，
②当∠FDE=90°时，
设∠BAD=x，
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∴∠ADF=33°+x，
∴∠ADE=123°+x，
∵∠ADB=∠ADE，
∴123°+x=180°−33°−x，
∴x=12°，
③当∠DFE=90°时，
设∠BAD=x，
∵∠DAF=57°，
∴∠CAF=∠EAF=57°−x，
在△AEF和△ACF中
¿
∴△AEF≌△ACF，
∴∠C=∠AEF=33°，
∴∠EDF=90°−∠AED−∠AEF=24°，
∵∠ADB=∠ADE，
∴180°−33°−x=33°+x+24°，
∴x=45°，
第二种情况 当∠BAD>57°时，
如图，F在D的左侧，当∠FDE=90°时，
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∵∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE=45°，
∵∠B=33°，
∴∠BAD=180°−33°−45°=102°，
综上所述∠BAD等于12°或45°或102°，
故填：12°或45°或102°.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题.熟练掌握
这些定理，能分类讨论是解决此题的关键.此题的难点是需能画出每一种情况对应的大致图形.
【变式15-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ΔABC
处的A'处，折痕为DE.如果∠A=α，∠CEA'=β，∠BD A'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180∘−α−β
【答案】A
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
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【详解】
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
【变式15-2】（2023·河北·中考真题）如图，将 ▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若
∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
【答案】C
1
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再根据三角形内角和定理可得.
2
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
1
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1=22°，
2
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∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌
握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
【变式15-3】（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿
MN与PQ是否平行，把纸片沿着AC折叠（如图1），并用量角器测出∠1、∠2的度数．
(1)若∠1=∠2，则MN∥PQ．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在PQ边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接AD并折叠纸片使得射
线AB与射线AD重合，折痕交PQ于点E，过E作EF⊥AC于点F，设∠AEF=α，∠ADP=β．
①当点D在点C、B之间时，若β=120°，求α的度数；
②当点D在PQ上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)正确，见解析
1
(2)①60°，②a= β，见解析
2
【分析】（1）由翻折的性质可得∠MAC=∠1，则∠MAC=∠2，进而可得MN∥PQ；
1
（2）①由折叠的性质可得∠ACB=∠CAB，∠BAE=∠DAE= ∠DAB，推出
2
2(∠CAB−∠BAE)+β=180°①，∠CAB−∠BAE+α=90°②，然后②×2−①即可求出α的值；
②分D在B左侧时，当D在B右侧两种情况求解即可．
【详解】（1）正确，理由如下：
由翻折的性质可得∠MAC=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠MAC=∠2，
∴MN∥PQ；
1
（2）①：由折叠的性质可得 ，∠ACB=∠CAB，∠BAE=∠DAE= ∠DAB．
2
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∵∠CAD=∠CAB−∠DAB， ∠DAB=2∠BAE，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=∠CAB−2∠BAE
∵∠ACB+∠CAD+β=180°，
∴∠CAB+∠CAB−2∠BAE+β=180°，
即2(∠CAB−∠BAE)+β=180°①，
∵∠CAB−∠BAE+α=90°②，
②×2−①得2α−β=0，
∵β=120°，
∴α=60°；
1
②：猜想a= β；
2
证明：由题意知，分两种情况讨论，
1
（Ⅰ）D在B左侧时，a= β，证明过程同（1）；
2
（Ⅱ）当D在B右侧，如下图，
1
由折叠的性质可得 ，∠ACB=∠CAB，∠BAE=∠DAE= ∠DAB．
2
∵∠CAD=∠CAB+∠DAB， ∠DAB=2∠BAE，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=∠CAB+2∠BAE
∵∠ACB+∠CAD+β=180°，
∴∠CAB+∠CAB+2∠BAE+β=180°，
即2(∠CAB+∠BAE)+β=180°①，
∵∠CAB+∠BAE+α=90°②，
②×2−①得2α−β=0，
1
∴a= β．
2
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识．解题的
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关键在于明确角度之间的数量关系．
【题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合】
【例16】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，AD,BD,CD分别平分
∠EAC,∠ABC,∠ACF，以下结论不一定成立的是（ ）
1
A．AD=CD B．AD∥BC C．∠BDC= ∠BAC D．∠ADC=90°−∠ABD
2
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质、角平分线定义、三角形内角和定理判断求解即可．
【详解】解：∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACF，
1 1
∴∠DAC= ∠EAC，∠ACD= ∠ACF，
2 2
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ACF=∠BAC+∠ABC，
∴∠EAC≠∠ACF，
∴∠DAC≠∠ACD，
∴AD≠CD，故A符合题意；
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故B正确，不符合题意；
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，
∴2∠BDC=∠BAC，
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1
∴∠BDC= ∠BAC，故C正确，不符合题意；
2
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，
∵∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
∴∠ADC=90°−∠ABD，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记三角形外角性质是解
题的关键．
【变式16-1】（2023·浙江温州·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BE平分
∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D．
(1)求∠AEB的度数；
(2)求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】(1)108°
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠ABC=∠ACB=72°，再由角平分线的
定义可得∠EBC=36°，最后根据三角形外角的性质求解即可；
1
（2）由（1）可得，∠ACB=72°，∠ABE= ∠ABC=36°，根据平行线的性质可得
2
∠DAE=∠ACB=72°，再根据三角形外角的性质求得∠AED=72°，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵AB=AC,∠BAC=36°，
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1
∴∠ABC=∠ACB= (180°−36°)=72°，
2
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠EBC= ∠ABC=36°，
2
∴∠AEB=∠EBC+∠ACB=36°+72°=108°；
1
（2）解：由（1）可得，∠ACB=72°，∠ABE= ∠ABC=36°，
2
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACB=72°，
∵∠AED=∠ABE+∠BAC=36°+36°=72°，
∴∠DAE=∠AED，
∴△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线
的定义，熟练掌握三角形内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键．
【变式16-2】（2023·广东江门·统考一模）已知锐角∠AOB=30°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取
一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，
交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）．
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】C
【分析】根据作图步骤得到OC=OD，DO=DE，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出
∠OCD=75°，∠DEO=∠DOE=30°，然后利用三角形外角性质可计算出∠CDE的度数．
【详解】解：由作法得OC=OD，DO=DE，
∵ OD=OC，
1 1
∴ ∠OCD=∠ODC= (180°−∠AOB)= ×(180°−30°)=75°，
2 2
∵ DO=DE，
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∴ ∠DEO=∠DOE=30°，
∵ ∠OCD=∠CDE+∠DEC，
∴ ∠CDE=∠OCD−∠DEC=75°−30°=45°．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．
【变式16-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，
∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠C= 度．
【答案】40或80
1 1
【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到∠ABE= ∠ABC= (180°−∠A)，当
2 4
1
∠BEC=60°时，根据三角形外角的性质得到 (180°−∠A)+∠A=60°，即可求得∠A=20°，代入
4
1
∠C= (180°−∠A)即可得到答案；当∠AEB=60°时，根据三角形内角和定理得到
2
1 1
(180°−∠A)+∠A+60°=180°，即可求得∠A=100°，代入∠C= (180°−∠A)即可得到答案．
4 2
【详解】解：设∠B的角平分线交AC于点E，
①当∠BEC=60°时，如图1所示：
∵AB=AC，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)，
2
1 1
∴∠ABE= ∠ABC= (180°−∠A)，
2 4
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
【70淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴ (180°−∠A)+∠A=60°，
4
∴∠A=20°，
1 1
∴∠C= (180°−∠A)= ×(180°−20°)=80°；
2 2
②当∠AEB=60°时，如图2所示：
∵AB=AC，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)，
2
1 1
∴∠ABE= ∠ABC= (180°−∠A)，
2 4
∵∠ABE+∠A+∠BEC=180°，
1
∴ (180°−∠A)+∠A+60°=180°，
4
∴∠A=100°，
1 1
∴∠C= (180°−∠A)= ×(180°−100°)=40°；
2 2
综上所述，∠C的度数为40°或80°，
故答案为：40或80．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是
解题的关键．
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