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专题 1.2 运动图像问题 追及相遇问题【讲】
【讲核心素养】
1.物理观念：匀速直线运动、匀变速直线运动、非匀变速直线运动模型。追及、相遇。
(1)知道常见直线运动的特点能结合图像语言将其转化为对应的运动模型。
(2)能结合图像、情景建构追及相遇模型树立运动观。
2.科学思维：在特定情境中运用图像解决问题。
(1).能将图像语言转变为匀变速直线运动模型进而运用匀变速直线运动的规律进行求解-----转换思维
(2)能将多物体运动的具体情景转化为情景图、函数图像并利用图像解决问题------分析问题解决问题
3..科学态度与责任：以生产、生活实际为背景的匀变速直线运动规律的应用。
能将以生产、生活，交通运输实际为背景的情景试题运用匀变速直线运动的特点去情境化建立物理模型并
用相关规律求解，以此体会物理学科分析问题的科学方法同时感悟物理知识在生产、生活中的应用。
【讲考点题型】
【知识点一】 运动图象的理解
1.两类图象的比较
x t图象 v t图象
纵轴——位移 纵轴——速度
横轴——时间 横轴——时间
轴
线 运动物体的位移与时间的关系 运动物体的速度与时间的关系
斜率 某点的斜率表示该点的瞬时速度 某点的斜率表示该点的加速度
点 两线交点表示两物体相遇 两线交点表示两物体该时刻速度相同
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位
面积 无意义
移
截距 在纵轴上的截距表示t＝0时的位移 在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
2.三点说明
(1)xt图象与vt图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
3、非常规图象
(1)a－t图象
由v＝v＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
0(2)－t图象
由x＝vt＋at2可得＝v＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．
0 0
(3)v2－x图象
由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，图象斜率为2a.
0 0
(4)x－v图象
x与v的关系式：2ax＝v2－v2，图象表达式：x＝v2－v2.
0 0
【例1】（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以 3m/s的速
度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置 随时间 的变化如图所示。已知
t=3s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是（ ）
A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反
B．t=3s时，乙的位置坐标为C． 时，两车相遇
D．乙经过原点的速度大小为
【答案】 B
【解析】
A．位移时间图像的斜率表示速度，则最初的一段时间内，甲、乙的斜率都为正方向，所以运动方向相同，
故A错误；
B．质点乙作初速度为零的匀变速直线运动，t=3s时，甲、乙图线的斜率相等，所以，t=3s时乙的速度是
3m/s，乙的加速度
0-3s，乙的位移
所以t=3s时，乙的位置坐标为
故B正确。
C． 时甲车的位移x =30m，乙车的位移
甲
因
则两车没相遇，故C错误；
D．根据
v2-0=2ax
乙经过原点时的速度大小为
故D错误。
故选B。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能准确获取xt图像信息并根据图
像信息转化为清晰的运动情景。【变式训练1】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测）甲、乙两个小钢球沿竖直方向做匀变速直线运动，
其x-t图像如图所示，两图线均为抛物线，（1s，7m）和（0，2m）分别为甲、乙两抛物线的顶点。设竖直
向上为正方向，关于两个小球的运动下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的加速度相同
B．甲和乙的初速度相同
C．0~1s内甲、乙的平均速度相同
D．0~2s内甲的速度改变量大小为20m/s
【答案】 AD
【解析】
A．由运动学公式
知甲、乙两个小钢球x-t图像为抛物线，则两球做匀变速直线运动，甲球先向上做匀减速运动到顶点速度
减为零，后匀加速向下运动，在 内有
带入图中数据t=1s，x=5m，得
方向向下，乙球从顶点向下做初速度为零的匀加速运动， 有
带入图中数据t=1s，x=5m，得
方向向下，甲和乙的加速度相同，故A正确；
B．由图像知甲经1s时间上升到顶点，速度减为零，设甲球初速度为v，由
0带入数据
解得
乙的初速度为零，故B错误；
C．由图知0~1s内甲、乙的位移分别为5m，-5m，由平均速度公式
代入数据解得
，
故C错误；
D．2s末时甲向下加速了1s，速度为
0~2s内甲的速度改变量
速度改变量的大小为20m/s，故D正确。
故选AD。
【必备知识】位移图象的基本性质
(1)横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态；
(2)位移图象描述的是物体位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹，斜率等于物体运动的速度，斜率
的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x的变化量Δx.
【例2】（2022·海南海口·模拟预测）2021年7月28日，在东京奥运会男子双人跳板决赛中，中国选手谢
思埸、王宗源获得冠军。如图1所示是他们踏板起跳的精彩瞬间，从离开跳板开始计时，跳水过程中运动
员重心的v-t图像如图2所示，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）A．运动员在入水前做的是自由落体运动
B．运动员在t=2s时已浮出水面
C．运动员在水中的加速度逐渐增大
D．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为 m
【答案】 D
【解析】
A．运动员离开跳板时有向上的初速度，在入水前做的不是自由落体运动，故A错误；
B．运动员在t=2s时速度减为零，此时人处于水下的最深处，没有浮出水面，故B错误；
C． 运动员向下减速，图线的斜率逐渐减小，运动员在水中的加速度逐渐减小，故C错误；
D．在 运动员向上运动，由
可知运动员双脚离开跳板后上升的高度为 m，故D正确。
故选D。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能准确获取vt图像信息并根据图
像信息转化为清晰的运动情景。
【变式训练2】（多选）（2021·广东·高考真题）赛龙舟是端午节的传统活动。下列 和 图像描述了
五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与
其它龙舟在途中出现船头并齐的有（ ）A． B．
C． D．
【答案】 BD
【解析】
A．此图是速度图像，由图可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以中途不可能出现甲乙船头并齐，故 A
错误；
B．此图是速度图像，由图可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，速度图像中图像与横轴围成的面积
表示位移，由图可以判断在中途甲、丙位移会相同，所以在中途甲丙船头会并齐，故B正确；
C．此图是位移图像，由图可知，丁一直运动在甲的前面，所以中途不可能出现甲丁船头并齐，故C错误；
D．此图是位移图像，交点表示相遇，所以甲戊在中途船头会齐，故D正确。
故选BD。
【必备知识】关于运动图象的三点提醒
(1)x t图象、v t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
(2)x t图象、v t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
(3)无论是x t图象还是v t图象，所描述的运动都是直线运动．
【例3】（多选）（2022·四川自贡·三模）甲、乙两车同时从同一位置出发，沿着同一平直路面行驶，它们
的速度v随时间t变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．0~ 时间内，甲车在追乙车B． ~ 时间内，两车间的距离一直减小
C．0~ 时间内，甲车先沿正方向运动，再沿负方向运动
D． ~ 时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
【答案】 AD
【解析】
A．0~ 时间内，乙的位移大于甲的位移，乙在前，甲在后，则甲车在追乙车，选项A正确；
B． ~ 时间内，甲车的速度大于乙车的速度，开始阶段甲车追赶乙车，两车间的距离先减小，然后甲车
超过乙车，两车距离又逐渐变大，选项B错误；
C．0~ 时间内，甲车速度一直为正，一直沿正方向运动，选项C错误；
D．因图像的面积等于位移，则 ~ 时间内，甲车的位移大于乙车的位移，则甲车的平均速度大于乙车的
平均速度，选项D正确。
故选AD。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能正确把握图象代表的物体运动
规律并能准确区分两类运动学图像的交点、斜率的物理意义。
【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）电竞遥控车表演赛中， 时刻，可视为质点的甲、乙两车以等大
反向的速度在O点擦肩而过，甲向右运动，乙向左运动，v-t图像如图所示，且 两车的运动方向都发
生了改变，以向右为正方向，以下说法正确的是（ ）
A． ，甲的位移比乙大 B． ，甲的加速度比乙大C． 时，甲刚好回到O点 D．乙回到O点时，甲在O点的右边
【答案】 C
【解析】
A．v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移大小，根据图像得， ，乙比甲围成图像的面积更大，故甲的
位移比乙小，A错误；
B．v-t图像的斜率表示加速度，甲乙图像的斜率绝对值相等，加速度大小相等，B错误；
C．在 内，甲图像第一象限和第四象限所围成的面积相等，故 甲的位移为0，甲刚好回到O点，
C正确。
D． 时，乙第一象限图像围成的面积小于乙第四象限图像所围成的面积，故乙在 后才回到O点，此
时甲已经向左发生了位移，故乙回到O点时，甲在O点的左边，D错误。
故选C。
【必备知识】直线运动图象问题要根据物理情景中遵循的规律，由图象提取信息和有关数据，根据对应的
规律公式对问题做出正确的解答。具体分析过程如下：
方法总结：
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来
分析图象的意义．
（2）要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
（3）有些图象问题的分析和解决，要充分挖掘图象的隐含信息(比如图象的斜率、截距、包围面积及特殊
点坐标等)才能顺利解题．
【知识点二】 运动图象的应用
1．读图2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
【例4】（2022·湖南·桑植县第一中学模拟预测）某猎豹在追击猎物时，在25m的距离可以从静止加速到
25m/s，此后猎豹的 图像如图所示，0到200m内为一条与x轴平行的直线，200m到250m内为一条倾
斜的直线，假设猎豹和猎物都沿直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．猎豹加速到25m/s后运动250m所用的时间是13s
B．若猎物的速度为10m/s，猎豹发现猎物时，猎豹立马加速追击猎物，若猎豹达到最大速度时，猎豹与猎
物之间的距离大于120m，则猎豹一定不能追到猎物
C．猎豹从静止加速到25m/s所用的时间为2s
D．猎豹加速到25m/s后先做匀速直线运动后做匀减速直线运动
【答案】 A
【解析】
A．由运动学公式
可知在 图像中，图像与横坐标围成的面积为运动时间，可得猎豹加速到25m/s后运动250m所用的时间为
故A正确；
B．猎豹减速到与猎物共速时，即
时，猎豹追不上猎物，则一定不能追到猎物。由图像可知从猎豹达到最大速度到猎豹减速到与猎物共速过
程中，猎豹运动的位移为
由图像可知，此过程经历的时间
此过程猎物的位移为
即若猎豹达到最大速度时，猎豹与猎物之间的距离大于
时猎豹一定追不上猎物，而若猎豹达到最大速度时，猎豹与猎物之间的距离大于 120m小于127.5m，则猎
豹能追到猎物，故B错误；
C．因为不知道猎豹加速过程是不是匀变速运动，则时间无法计算，故C错误；
D．猎豹加速到25m/s后，在0到200m范围内做匀速直线运动，后面做加速度变化的减速运动，故D错误。
故选A。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生对物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，
选出与之对应的数学函数图象来研究和处理问题。
【变式训练4】（2022·湖南怀化·一模）甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的
平方 随x的变化图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8mB．汽车甲的加速度大小为
C．汽车甲、乙在t＝4 s时相遇
D．汽车甲、乙在x＝6m处的速度大小为3 m/s
【答案】 A
【解析】
B．根据 并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为
图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度大小分别为
且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B错误；
A．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时二者速度相同，设共经历时间为t，则
1
解得
此时甲车的位移为
故A正确；
C．甲车总运动时间为
甲停下时位移为9m，而此时乙车的位移为所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为t，则有
解得
故C错误；
D．汽车甲、乙在x＝6m处的速度大小为
故D错误。
故选A。
【必备知识】“三步”巧用图象分析物理问题
(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定横、纵坐标所表示的物理量．
(2)根据题意，结合具体的物理过程，应用相应的物理规律，将题目中的速度、加速度、位移、时间等物理
量的关系通过图象准确直观地反映出来．
(3)题目中一般会直接或间接给出速度、加速度、位移、时间四个量中的三个量的关系，作图时要通过这三
个量准确确定图象，然后利用图象对第四个量作出判断．
【例5】（2021·辽宁·高考真题）某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时
间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A【解析】
图象斜率的物理意义是速度，在 时间内， 图象斜率增大，汽车的速度增大；在 时间内，
图象斜率不变，汽车的速度不变；在 时间内， 图象的斜率减小，汽车做减速运动，综上所
述可知A中 图象可能正确。
故选A。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生能依据物体的状态或物理过程所遵循的物理
规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
【变式训练5】（2022·湖南·长郡中学二模）甲、乙两名运动员同时从泳池的两端出发，在泳池里训练，甲、
乙的速度—时间图像分别如图（a）、（b）所示，不计转向的时间，两人的运动均可视为质点的直线运动。
则（ ）
A．两人第一次相遇时处于泳池的正中间处
B．两人前两次相遇的时间间隔为20s
C．50s内两人共相遇了2次
D．两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为t=75s
【答案】 C
【解析】
根据 图像可画出 图像，甲、乙的 图像如图所示
A.根据 图像的交点表示相遇可知，第一次相遇的时刻为所以第一次相遇位置不是在中间，故A错误；
B.第二次相遇的时刻为
两人前两次相遇的时间间隔为
所以两人前两次相遇的时间间隔为22.2s，故B错误；
C．根据 图像的交点表示相遇可知，在0~50s内甲、乙相遇2次，故C正确；
D．由图可知两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为 ，故D错误。
故选C。
【必备知识】图象转换时要注意的三点
(1)合理划分运动阶段，分阶段进行图象转换；
(2)注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接；
(3)注意图象转换前后核心物理量间的定量关系，这是图象转换的依据．
【知识点三】 追及相遇问题
（一）与运动学图像相结合的追及相遇问题---数形结合思想
1.根据两个物体的v－t图象分析追及相遇问题：
(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.
2.根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出
v－t图象，再通过定量计算分析得出结果.
利用v－t图象分析追及相遇问题更直观、简捷.
【例6】（2022·海南·一模）甲、乙两汽车在平直的公路上同向匀速行驶，乙在前，甲在后，某时刻因紧急
避险，两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，速度相等时，甲车追上乙车且刚好没有发生碰撞。如图所
示为两车刹车后运动的v—t图象，以下说法正确的是（ ）
A．甲刹车的加速度的大小为0.5 B．两车刹车后间距一直在减小C．两车开始刹车时的距离为100m D．两车都停下来后相距15m
【答案】 C
【解析】
A．由图可得
故A错误；
B．由图可知 之前，甲车的速度大，两车间距减小； 之后，乙车的速度大，两车间距增大，
故B错误；
C．由题可知 时，甲车追上乙车，此时两车速度 ，由面积法可得两车开始刹车时的距离为
故C正确；
D．两车都停下来后相距
故D错误。
故选C。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。追及和相遇问题常以vt图象或xt图象的形式考查，用
图象描述两物理量关系时，比较直观、形象且信息量大，体现了数形结合法的应用。
【变式训练6】（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车
在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t=0），A、B两车
的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x=12m。
1
（1）求B车运动的速度v 和A车的加速度a的大小。
B
（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t=0）两车的距离s 应满足什么条件？
0
【答案】 （1）v =12m/s，a=3m/s2；（2）s>36m
B 0【解析】
（1）在t=1s时A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得
1
解得B车的速度为
v =12m/s
B
图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为
其中
t=5s
2
解得A车的加速度大小为
a=3m/s2
（2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v-t图像的t=5s时刻，此时两车已发生的相对
2
位移为梯形的面积，则
代入数据解得
s=36m
因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离s 应满足条件为
0
s>36m
0
（二）以实际相结合的追及相遇模型
1．追及、相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也
是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过题干或画运动示意图得到．
2．追及、相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x，有三种常见情况：
0
(1)A追上B时，必有x －x ＝x，且v ≥v .
A B 0 A B
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有x －x ＝x，v ＝v .
A B 0 A B
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当v ＝v 时，x －x ＜x，且之后v ≤v .
A B A B 0 A B
3．解题思路和方法
⇒⇒⇒【例7】（2022·湖南·长郡中学一模）如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶
O 、O 两位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在 5m以内时能够实现通信。t=0时刻，甲、乙两车刚好
1 2
位于图示位置，此时甲车的速度为 4m/s，乙车的速度为1m/s，O 、O 的距离为3m。从该时刻起甲车以
1 2
1m/s2的加速度做匀减速运动直至停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，从t=0时
刻起，甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为（ ）
A．2s B．10s C．16s D．20s
【答案】 B
【解析】
根据几何知识可知，当甲车在乙车前方且 为5m时，根据勾股定理可知
根据运动学公式有
，
解得
，
因为甲车做匀减速运动而乙车做匀速运动，所以两车之间的距离先增大后减小，当
此时有
当
此时有当
此时甲车的速度为
根据几何关系可知，从4s开始到乙车行驶至甲车前方4m的过程中满足
这段过程经历的时间为
所以甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为
故选B。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学态度和责任及科学思维及物理观念。
【变式训练7】（2022·山东·模拟预测）在2022年北京冬奥会的国家跳台滑雪中心“雪如意”内，如图所
示的九号方糖配送机器人格外引人关注，它们在雪如意场馆内巡逻安防，对场馆内情况进行实时监测和管
理，同时为人们提供物品配送服务，充分利用其智慧移动能力优势，助力、护航冬奥。假设配送机器人从
静止开始启动，沿直线将水平放置的物品平稳送至目标位置。已知该过程中机器人匀速运动时的最高速度
可达 ，加速和减速阶段均做匀变速直线运动，且加速时的加速度与减速时的加速度大小相同，不计空
气阻力，重力加速度 取 。
（1）若机器人以最高速度匀速行进途中前方 的路口处突然出现一位以 的速度同向匀速运动的
运动员。已知机器人的反应时间为 ，为避免相撞，求机器人做匀减速运动时加速度的最小值；
（2）若机器人为某楼层10个房间的运动员配送午餐，各个房门间隔 ，运动员取餐的平均时间为 ，
机器人托盘与餐盒间的动摩擦因数 ，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。从机器人到达第一个房
门开始计时，到最后一位运动员取到餐为止，求机器人为此楼层运动员送餐花费的最短总时间。【答案】 （1） ；（2）
【解析】
（1）为避免相撞，机器人减速后刚追上运动员时速度
对人
对机器人
且有
解得
（2）此时最大加速度为
各房门间匀加速阶段有
解得
对应时间各房门间匀减速阶段有
解得
对应时间为
匀速阶段的位移
对应时间为
则总时间
【必备知识】追及与相遇问题的两种典型情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x，有两种典型情况：
0
(1)初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当v ＝v 时，二者相距最远.
A B
(2)初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当v ＝v 时，
A B
①若已超越，则相遇两次.
②若恰好追上，则相遇一次.
③若没追上，则无法相遇.
方法总结：
1.牢记“一个思维流程”
2．掌握“三种分析方法”
(1)分析法
应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解。(2)极值法
设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解。在这里，
常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。
(3)图像法
在同一坐标系中画出两物体的运动图线。位移图线的交点表示相遇，速度图线抓住速度相等时的“面积”
关系找位移关系。
