文档内容
第 02 讲 匀变速直线规律的应用
知识图谱
追击、相遇问题的分析
知识精讲
1．追击和相遇问题
两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
2．几种典型的追击、相遇问题
在讨论A、B两个物体的追击问题时，先定义几个物理量， 表示开始追击时两物体之间的距离， 表示开
始追及以后，后面的物体因速度大而比前面物体多运动的位移； 表示运动方向上前面物体的速度， 表示后面
物体的速度。下面分为几种情况：
（1）特殊情况：同一地点出发，速度小者（初速度为零，匀加速运动）追击速度大者（匀速运动）。
（1）当 ，A、B距离最大。
（2）当两者位移相等时,有 且A追上B。
（3）A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍， 。
（4） 两者运动的速度时间图像（2） 速度小者（ ）追击速度大者（ ）的一般情况
类型 图象 说明
匀加速追匀速 ①t=t 以前，后面物体与
0
前面物体间距离增大
②t=t 时，两物体相距最
0
远为x+Δx
0
③t=t 以后，后面物体与
0
前面物体间距离减小
匀速追匀减速
④当两者的位移相同时，
能追及且只能相遇一次。
匀加速追匀减速
总结：速度较小的物体以匀速，或者匀加速，追击匀速或者匀减速的物体，两者在速度相同时，其距离最远；
之后，两者的距离在减小，并能相遇一次，但需要注意被追物体已经停止的情况。
（2）速度大者（ ）追速度小者（ ）的一般情况
匀减速追匀速 开始追及时，后面物体与
前面物体间的距离在减小，当
两物体速度相等时，即t=t 时
0
刻：
①若Δx=x,则恰能追及，两物
0
匀速追匀加速 体只能相遇一次，这也是避免
相撞的临界条件；
②若Δxx ，则相遇两次，设
0
t 时刻Δx=x ，两物体第一次
1 1 0
相遇，则t 时刻两物体第二次
匀减速追匀加速 2
相遇。总结：速度较大的物体以匀速，或者匀减速，追击匀速或者匀加速的物体，两者在速度相同时，是判断是否
相遇的临界，分为三种情况：（1）两者已经相遇过一次，还会相遇第二；（2）两者恰好相遇；（3）两者没有相
遇，则此时两者的距离最短，之后两种的距离增加。
3．追击、相遇问题的注意事项
（1）一个重要条件：两物体的速度相等时，是能追上，追不上或者两者之间的距离最大，最小的临界条件。
（2）被追的物体做匀减速直线运动时，要判断被追上是该物体是否已经停止运动。
（3）注意题目中的关键隐含信息，如，刚好，恰好，最多，至少等。
三点剖析
课程目标：
1．理解运动学中追击、相遇问题
追击相遇的图像问题
例题1、[多选题] 图示是甲、乙两车在平直公路上同向行驶的v－t图象，已知两车在t＝1s时并排行驶，则下列
判断正确的是（ ）
A.在t＝0时，甲车在乙车前7.5m
B.两车在t＝1s后不可能再并排行驶
C.两车在t＝2s时会再次并排行驶
D.甲、乙两车在再次并排行驶的位置之间距离为40m
例题2、[多选题] a、b两车在平直公路上沿同一方向行驶，运动的v－t图象如图所示，在t＝0时刻，b车在a车
前方s 处，在t＝t 时间内，a车的位移为s，则（ ）
0 1
A.若a、b在t 时刻相遇，则
1
B.若a、b在 时刻相遇，则下次相遇时刻为2t
1
C.若a、b在 时刻相遇，则
D.若a、b在t 时刻相遇，则下次相遇时刻为2t
1 1
随练1、[多选题] 如图，是甲、乙两物体运动的v～t图象，t＝0时刻两物体从同一地点开始运动，根据图象的判
断，下列说法正确的是（ ）A.甲物体在0－2s内做匀加速运动 B.乙物体在0～1秒内加速度、速度均增大
C.甲物体在4秒末位移最大 D.在运动过程中，甲、乙两物体只相遇一次
随练2、 甲、乙两车在同一水平路面上做直线运动，某时刻乙车在前、甲车在后，相距s＝6m，从此刻开始计时，
乙做匀减速运动，两车运动的v﹣t图象如图所示．则在0～12s内关于两车位置关系的判断，下列说法正确的是（
）
A.t＝4s时两车相遇 B.t＝4s时两车间的距离最大
C.0～12s内两车有两次相遇 D.0～12s内两车有三次相遇
追击相遇问题中的极值、临界问题
例题1、 A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v＝8m／s，B车的速度大小
1
为v＝20m／s，如图所示。当A、B两车相距x＝28m时，B车因前方突发情况紧急刹车（已知刹车过程的运动可
2 0
视为匀减速直线运动），加速度大小为a＝2m／s2，从此时开始计时，求：
（1）A车追上B车之前，两者相距的最大距离；
（2）A车追上B车所用的时间；
（3）从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度。
例题2、 羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静
止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持4.0s。设猎豹距离羚羊xm时开始攻击，羚
羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑。假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，
求：
（1）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x应取什么值；
（2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围。
随练1、 甲、乙两车在某高速公路上沿直线同向而行，它们的 v－t图像如图所示，若t ＝ 0时刻两车相距
50m，求：
（1）若t＝0时，甲车在乙车前方，两车相遇的时间；
（2）若t＝0时，乙车在甲车前方，两车相距的最短距离。
随练2、 有甲、乙两汽车沿同－平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为 v ＝l0m／
0
s。当两车快要到十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车（反应时间忽略不计），乙车司
机为避免与甲车相撞同时也紧急刹车，乙车司机反应较慢（反应时间 t ＝0.5s），已知甲、乙两车紧急刹车时的加
0
速度大小分别为a ＝4m／s2，a ＝6m／s2，为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保
1 2
持多大距离？
随练3、 足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行
传中．某足球场长90m、宽60m．攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速
度为12m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2．试求：（1）足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大？
（2）足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球．他的启动过程可以视为初速度为 0，
加速度为2m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8m/s．该前锋队员至少经过多长时间能追上足球？
自由落体运动
知识精讲
一．自由落体的基本规律
自由落体运动源于地心引力，物体在只受重力作用下从相对静止开始下落的运动叫做自由落体运动，其基本
规律如下：
； ；
二．自由落体运动规律的灵活应用
1．屋檐滴水问题：对从同一位置间隔相等的时间，依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，
等效成一个物体在不同时刻的位置。利用自由落体运动的比例法进行分析。
2．一个有长度的物体的自由落体运动
对于不可以看作质点的物体，比如说铁链自由下落。计算经过某点所用时间，由于它有一定的长度，经
过这点时不是一瞬间，而是一段时间。解决这类问题的关键是选准研究过程，找到与这段过程的起点和终点
相对应的位移。一般利用其端点运动转化为质点运动。
三．关于自由落体运动的基本探究实验
1．实验原理及器材重物拖着纸带竖直下落时，如果纸带阻力和空气阻力比重物重力小得多，可近似认为重物仅在重力作用下运
动，根据打出的纸带能分析研究重物的运动规律。
2．判断原理： 相邻时间间隔内的位移差为定值。
由于时间都一样，当相邻的相等时间内位移差 都相等时，则加速度 不变，就可以断定物体在做匀变速直
线运动。
根据方差公式，计算出加速度。
四．测定重力加速度的拓展方法
用滴水法测定重力加速度的值。
方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴落到挡板上，仔细调节水龙头，使得耳朵
刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始下落。首先量出水龙头口离挡板的高度 h，再
用停表计时，计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启停表开始计时，并数“1”，以后每听
到一声水滴声，依次数“2，3”，一直数到“n”，按下停表按钮停止时，读出停表的示数为t。根据以上数据可
求g。
由上可知，相邻两滴水声的间隔就是水滴自由下落的时间，故 。
五．伽利略探究自由落体运动的规律
1．伽利略的基本观点
物体下落速度的变化与物体的质量无关。
2．伽利略猜想的实验验证
（1）困难一 ：瞬时速度无法准确测量
为了解决测量瞬时速度的困难，伽利略寻求间接验证的途径（思维的作用）
，则测下落的高度与时间 成正比 。
（2）困难二：物体下落很快，很难测定不同位移的时间
（思维）为了减缓物体下落速度，伽利略设计了著名的“冲淡重力”。
（3）困难三：伽利略用斜面实验验证了后，怎样说明落体运动也符合这个规律？
（4）合理外推：随着 的增大， 的数值在增大。当 =900时，即物体竖直下落时,这个关系也应该成立,这
时的 数值最大。至此，伽利略得到了落体运动的规律。
三点剖析一．课程目标
1．掌握自由落体运动的基本规律的应用
2．理解利用自由落体运动规律进行实验探究
自由落体运动的相关计算
例题1、 小球从0.8m的高处开始自由下落，某同学用数码相机来拍摄小球运动的录像，已知相机每秒拍摄l5帧，
现将录像中每帧的照片打印出来，他大约可以得到小球在空中运动的照片的帧数是（ ）
A.2帧 B.6帧 C.10帧 D.15帧.
例题2、 一条悬链长5.6m，从悬点处断开，使其自由下落，不计空气阻力。则整条悬链通过悬点正下方 12.8m
处的一点所需的时间是（g取10m／s2）（ ）
A.0.3s B.0.4s C.0.7s D.1.2s
例题3、 用如图所示的方法可以测出一个人的反应时间．甲同学用手握住直尺顶端刻度为零的地方，乙同学在直
尺下端刻度为a的地方做捏住尺子的准备，但手没有碰到尺子．当乙同学看到甲同学放开尺子时，立即捏住尺子，
乙同学发现捏住尺子的位置刻度为b．已知重力加速度为g，a、b的单位为国际单位制中的单位，则乙同学的反应
时间t约等于（ ）
A. B. C. D.
随练1、 最早系统地研究自由落体的物理学家是伽利略，他为了研究自由落体的规律，采用“冲淡”重力的方法，
将落体实验转化为著名的沿斜面运动的实验（如图所示）。实验中，伽利略不断改变铜球滚下的距离，重复了多
次，测量了铜球在较小倾角斜面上运动的位移和时间，发现位移与时间的平方成正比；增大斜面倾角，该规律仍
然成立。于是，他外推到倾角为90°的情况，得出结论。关于该实验，下列说法中正确的是（ ）
A.伽利略能得出的结论可能是“斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端时的速度与倾角无关”
B.伽利略能得出的结论可能是“斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端所用时间与倾角无关”
C.当时利用斜面做实验主要是考虑到实验时便于测量小球运动的时间
D.当时利用斜面做实验主要是考虑到实验时便于测量小球运动的加速度大小
随练2、 一位攀岩者的鞋踩松了一块岩石．她的伙伴在悬崖底部，看到岩石在 3s后落到地上，由此可知当时攀
岩者攀登距悬崖底端的高度大约是（石头下落可看作自由落体运动）（ ）
A.15m B.31m C.44m D.100m
随练3、[多选题] 为了求出楼房高度，让一石子从楼顶自由下落，空气阻力不计，测出下列哪个物理量的值能计
算出楼房高度（ ）
A.石子开始下落1s内的位移 B.石子落地时的速度
C.石子最后1s内的位移 D.石子通过最后1m的时间
自由落体运动的实验
例题1、 如图所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物拖着纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力加速度．
（1）所需器材有打点计时器（带导线）、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需________
（填字母代号）中的器材．
A．直流电源、天平及砝码
B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码
D．交流电源、毫米刻度尺
（2）通过作图的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度．为了求出重力加速度，我们可作 v－t
图象，如图所示，图象刚好经过A（0.04，0.40）和B（0.16，1.58）这两个点，利用你学过知识可求出重力加速度
度g＝________；除作v－t图象外，我们还可作V2－h图象，如图所示图象刚好过C（0.05，0.96）和D（0.20，
3.84）这两个点，则利用你学过知识可求出重力加速度度g＝________；（以上结果均保留两位有效数字）
例题2、 用滴水法可以测定重力加速度的值，装置如图所示：
（1）下列操作步骤的正确顺序为________（只需填写步骤前的序号）
①仔细调节水龙头和挡板的位置，使得耳朵刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始
下落；
②用秒表计时：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启秒表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴
声，依次数“2、3、…”，一直数到“n”时，计时结束，读出秒表的示数为t．
③用刻度尺量出水龙头口距离挡板的高度h；
次数 高度h/cm 空中运动时间t′/s
1 20.10 0.20
2 25.20 0.23
3 32.43 0.26
4 38.45 0.28
5 44.00 0.30
6 50.12 0.32
④在自来水龙头下安置一块挡板A，使水一滴一滴断续地滴落到挡板上．
（2）写出用上述步骤中测量的量计算重力加速度g的表达式：g＝________．
（3）为了减小误差，改变h的数值，测出多组数据，记录在表格中（表中t′是水滴从水龙头口到A板所用的时间，
即水滴在空中运动的时间）．利用这些数据，以________为纵坐标、以________为横坐标作图，求出的图线斜率
的大小即为重力加速度g的值．
例题3、 某研究性学习小组用图1所示装置来测定当地重力加速度，主要操作如下：
①安装实验器材，调节试管夹（小铁球）、光电门和纸杯在同一竖直线上；②打开试管夹，由静止释放小铁球，用光电计时器记录小铁球在两个光电门间的运动时间t，并用刻度尺（图上未
画出）测量出两个光电门之间的高度h，计算出小铁球通过两光电门间的平均速度v；
③保持光电门1的位置不变，改变光电门2的位置，重复②的操作，测出多组（h，t），计算出对应的平均速度；
④画出v－t图象．
请根据实验，回答如下问题：
（1）设小铁球到达光电门l时的速度为v ，当地的重力加速度为g．则小铁球通过两光电门间平均速度v的表达式
0
为________．（用v 、g和t表示）
0
（2）实验测得的数据如表：
实验次数 1 2 3 4 5 6
h（cm） 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00
t（s） 0.069 0.119 0.159 0.195 0.226 0.255
v（m／s） 1.45 1.68 1.89 2.05 2.21 2.35
请在图2坐标纸上画出v－t图象．
（3）根据v－t图象，可以求得当地重力加速度g＝________m／s2，小球通过光电门1时的速度为________m／
s．（以上结果均保留两位有效数字）
随练1、 如图是用频闪周期为 的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片．
（1）在下落过程中的任意时刻，羽毛的运动状态与苹果________（选填“是”或“否”）相同．
（2）关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是________（填选项前的字母）．
A．一定满足关系x︰x︰x＝1︰4︰9
1 2 3
B．一定满足关系x︰x︰x＝1︰3︰5
1 2 3
C．苹果下落的加速度大小为
D．羽毛下落的加速度大小为 ．
随练2、 某同学用如图1所示的装置测量重力加速度g，打下如图2所示的纸带．如果在所选纸带上取某点为0
号计数点，然后每隔4个点取一个计数点，相邻计数点之间的距离记为s 、s 、s 、s 、s 、s ．
1 2 3 4 5 6（1）实验时纸带的________端应和重物相连接．（选填“A”或“B”）
（2）该同学用两种方法处理数据（T为相邻两计数点间的时间间隔）：
方法A：由 ， ，…，
取平均值g＝9.767m/s2；
方法B：由 ， ，
取平均值g＝9.873m/s2．
从数据处理方法看，在s 、s 、s 、s 、s 、s 中，对实验结果起作用的数据，方法A中有________；方法B中有
1 2 3 4 5 6
_________________．因此，选择方法________（填“A”或“B”）更合理．
竖直上抛运动
知识精讲
一．竖直上抛的基本运动规律
以初速度的方向为正方向：
速度公式：
位移公式：
速度—位移关系式：
上升的最大高度：
上升到最大高度用时：
二． 竖直上抛运动的研究方法
1．分段法和全程法
竖直上抛运动的实质是加速度恒为 的匀变速运动，处理时可采用两种方法：
（1）分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
（2）全程法：将全过程视为初速度为v，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯
0
上取v 的方向为正方向，则
0
①v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；
②h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
2．竖直上抛运动的对称性
如图所示，物体以初速度v 竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则：
0（1）时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间t 和下降过程中从C→A所用时间t 相等，同理有t
AC CA AB
＝t 。
BA
（2）速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
（3）能量对称性：物体从A→B和从B→A重力势能变化量的大小相等，均等于mgh 。
AB
三．竖直上抛的相遇问题分析
1．自由落体与竖直上抛的相遇
两者为相向运动，若物体同时开始运动，则上抛的物体相对于自由下落物体做速度为 v 的匀速直线运动，相
0
遇时间为 ，其中，v 是竖直上抛的初速度，h是初始时刻两者的距离。
0
2．两个竖直上抛运动的相遇
在同一地点以相同的初速度竖直上抛的两物体必须在不同的时刻抛出，且只能是处于下落阶段的物体与处于
上升阶段的物体相遇。
举例说明：将小球，每隔0.2s从同一高度抛出，小球做初速度为6m/s的竖直上抛运动，设他们在空中不会相
碰，试问，第一个小球在抛出点以上能遇到的小球的个数？（g=10m/s2）
根据问题情境，需要明确两点：
（1）要明白第一个小球在上升过程中不会与任何小球相遇，相遇只能发生在其下降过程中。
（2）由于抛出去的小球的运动情况都相同，第一个小球运动的时间内，能抛出多少个小球，就可以与多少个
小球相遇。
根据给出的数据，可判断在下降过程中遇到已经抛出的5个小球。
三点剖析
一．课程目标
1．掌握竖直上抛的基本规律，并能解决实际竖直上抛问题。
竖直上抛的多解问题
例题1、[多选题] 在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20m．不计空气阻力，
设塔足够高．则物体位移大小为10m时，物体通过的路程可能是（ ）
A.10 m B.20 m C.30 m D.50 m
例题2、[多选题] 从地面以速度2v 竖直上抛出A球后，经△t后又从地面以速度v 竖直向上抛出B球，要使两球
0 0
能在空中相遇，两球抛出的时间间隔△t可能是（空气阻力不计）（ ）
A. B. C. D.
随练1、 某人将小球以20m/s的速度从20m高处竖直向上抛出，求：
（1）小球在空中运行的时间；
（2）小球距离抛出点15m所用时间；（g取10m/s2）竖直上抛的相遇问题
例题1、 小球a从地面以一定的速度竖直向上抛出，经过一段时间后小球 b从a的上方一定高度处由静止释放，
最终两小球（均视为质点）同时落地。从a抛出的时刻开始计时，两小球在0～0.6s内的v－t图象如图所示。不计
空气阻力，重力加速度g＝10m／s2，下列判断正确的是（ ）
A.小球a抛出时的速率为12m／s B.小球b落地时的速率为7.2m／s
C.小球b释放时的高度为5m D.t＝0.8s时，a、b间距为3.2m
例题2、[多选题] 从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中相遇
时速率为v，则下列说法中正确的是（ ）
A.物体A，B各自在空中运动的总时间相等
B.物体A上抛的初速度和物体B落地时的速度大小相等，都是2v
C.两物体在空中相遇时的位置一定是物体B开始下落时高度的中点
D.物体A能上升的最大高度和物体B开始下落时的高度相同
随练1、 甲物体自高处自由落下，同时乙物体自地面以初速度 竖直上抛，重力加速度为g不计空气阻力。当乙
上升到最高点时，甲、乙恰好相遇，则甲物体原来距地画的高度为（ ）
A. B. C. D.
随练2、[多选题] 自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v 竖直上抛，且A、B两物体在
0
同一直线上运动．重力加速度为g,下面说法正确的是（ ）
A.若 ,两物体相遇时，B正在下降途中
B. ,两物体在地面相遇
C.若 ，两物体相遇时B物正在空中下落
D.若 ，则两物体在地面相遇
竖直上抛的综合应用
例题1、 一杂技演员用一只手抛球、接球，他每隔0.5s抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除了抛、接球的
时刻外，空中总有4个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g＝
10m／s2）（ ）
A.1.25 m B.7.5 m C.3.2 m D.5.0 m
例题2、 在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精
确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光波长
为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真
空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T ，在小球运动过程中经过比O点高H的
2
P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T，测得T、T 和H，可求得g等于（ ）
1 1 2A. B. C. D.
例题3、 为了测量运动员跃起的高度，可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录运动员运动过程中对弹性
网的压力，并由计算机作出压力－时间图象，如图所示．运动员在空中运动时可视为质点，则可求运动员跃起的
最大高度为（g取10m／s2）（ ）
A.7.2m B.5.0m C.1.8m D.1.5m
例题4、 原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地．从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速）加速过程中重
心上升的距离称为“加速距离”．离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现
有下列数据：人原地上跳的“加速距离”d=0.50m，“竖直高度”h=1.0m；跳蚤原地上跳的“加速距
1 1
离”d=0.00080m，“竖直高度”h=0.10m．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为 0.50m，
2 2
则人上跳的“竖直高度”是多少？
随练1、 一个质量为60kg的人，在地球上的重力为588N，在月球上的重力为98N。该人在地球上的弹跳最大高
度为0.5m。那么，他在月球上的弹跳最大高度约为（ ）
A.1m B.5m C.3m D.0.2m
随练2、 竖直上抛一个小球，从抛出到落回抛出点的过程中，它的速度 V、重力势能E、位移X和加速度a随时
间t变化的函数图象（如图所示）中错误的是（不计空气阻力、规定竖直向下为正方向，图中曲线均为抛物线、规
定抛出点所在水平面为零势能参考面）（ ）
A. B. C. D.
打点纸带问题的处理
知识精讲
一．实验要点梳理
1．实验目的
利用纸带求匀变速直线运动的瞬时速度和加速度；
利用纸带探究小车速度随时间变化规律，并得到v-t图像，计算加速度。
掌握判断物体是否做匀变速直线运动的方法。
2．实验器材
电火花打点计时器(或电磁打点计时器)、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、
电源、复写纸片。
注意：有打点计时器，就不需要秒表。3．实验原理
数据采集：在采集数据时，不直接测量两个计数点之间的距离，而是要先量出各个计数点到记时零点的距离
，然后再计算出相邻两个计数点之间的距离。
。
0 1 2 3 4 5
Δx Δx Δx Δx Δx
1 2 3 4 5
x x x x x
x/cm
1 2 3 4 5
瞬时速度的计算：各计数点的瞬时速度用平均速度来代替，即 （ 为相邻两个
计数点之间的时间间隔）。将各计数点对应的时刻即瞬时速度填入所设计好的表格中。
逐差法计算加速度：
根据
得：
此方法一般用于题目所给数据为偶数个数时。且此方法充分利用所有数据，所求出的加速度可信度高。
图像法计算加速度：
利用 求出瞬时速度 以 为纵轴， 为横轴建立直角坐标系。在坐标系中描出对应坐标：
… 所对应的各点在图像中用一条直线连接起来，直线斜率为加速度。
v
O t
二．实验拓展
1．利用斜面、光电门研究匀变速直线运动
（1）小车的拉力由小车自身的重力在斜面上分力提供。（2）利用光电门测量瞬时速度，取代纸带，利用速度-位移关系求解加速度。
2．利用滴水法研究匀变速直线运动：用自制“滴水计时器”计量时间，实验前，将该计时器固定在小车旁，
实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车，在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，桌面上
留下连续的6个水滴的位置（已知滴水计时器每30 s内共滴下46个小水滴）【2017年，全国卷1】。
小车运动时由于摩擦力的作用，速度逐渐减小，滴水计时器滴下水滴的间距逐渐变小，因此小车从右向左运
动。
三点剖析
一．课程目标
1．掌握利用纸带求匀变速直线运动的瞬时速度和加速度；
2．理解其他方法研究匀变速直线运动的实验原理和数据分析。
纸带问题的图像、实验数据处理
例题1、 （1）、在测定匀变速直线运动加速度的实验中，将以下步骤的代号按合理顺序填空写在横线上：
________。
（A）拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处，先接通电源，后放开纸带；
（B）将打点计时器固定在平板上，并接好电路；
（C）把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着重量适当的钩码；
（D）断开电源，取下纸带；
（E）将平板一端抬高，轻推小车，使小车恰能在平板上作匀速运动；
（F）将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔；
（G）换上新的纸带，再重复做两三次。
（2）、某同学利用打点计时器所记录的纸带来研究做匀变速直线运动小车的运动情况，实验中获得一条纸带，如
图三所示，其中两相邻计数点间有四个点未画出。已知所用电源的频率为50Hz，则打A点时小车运动的速度v ＝
A
________m/s，小车运动的加速度a＝________m/s2．（结果要求保留三位有效数字）
例题2、某同学利用图甲所示的实验装置，探究物块在水平桌面上的运动规律．物块在重物的牵引下开始运动，重
物落地后，物块再运动一段距离停在桌面上（尚未到达滑轮处）．从纸带上便于测量的点开始，每5个点取1个计
数点，相邻计数点间的距离如图乙所示．打点计时器电源的频率为50Hz．
①通过分析纸带数据，可判断物块在相邻计数点____和____之间某时刻开始减速．
②计数点5对应的速度大小为____m/s，计数点6对应的速度大小为1.16m/s．（保留三位有效数字）．
③物块减速运动过程中加速度的大小为a=____m/s2，若用 来计算物块与桌面间的动摩擦因数（g为重力加速度），
则计算结果比动摩擦因数的真实值____（填“偏大”或“偏小”）．随练1、 在《利用电火花打点计时器研究匀变速直线运动》的实验中
（1）下述器材中不需要的是________（用代号表示）．
①220V交流电源②电火花打点计时器③秒表④小车
⑤带滑轮长木板⑥纸带⑦天平⑧刻度尺
（2）如图所示是某同学“研究物体做匀变速直线运动规律”时得到的一条纸带（实验中交流电源的频率为
50Hz），依照打点的先后顺序取计数点为1、2、3、4、5、6、7，相邻两计数点间还有4个点未画出，测得：S ＝
1
1.42cm，S ＝1.91cm，S ＝2.40cm，S ＝2.91cm，S ＝3.43cm，S ＝3.92cm．
2 3 4 5 6
a．打第2个计数点时纸带的速度大小v ＝________m／s（保留两位有效数字）；
2
b．物体的加速度大小a＝________m／s2（保留两位有效数字），如果当时电网中交流电的频率是f＝49Hz，而做
实验的同学并不知道，那么由此引起加速度的测量值比实际值偏________（填“大”或“小”）．
随练2、 下图是小车运动过程中打点计时器打下的一条纸带的一部分，打点计时器的打点周期为T＝0.02s，相邻
计数点之间还有4个点没有画出，请根据纸带回答下列问题，计算结果均保留三位有效数字：
（1）请用题目中所给的符号写出计算小车加速度的表达式________；
（2）小车加速度的大小为________m／s2；
（3）b点的速度为________m／s；
（4）下列实验也可以用打点计时器的有________
A．验证力的平行四边形实验
B．验证牛顿第二定律实验
C．探究动能定理实验
D．验证机械能守恒定律实验
纸带问题的拓展实验
例题1、 某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器
固定在小车旁，如图（a）所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等
时间间隔地滴下小水滴，图（b）记录了桌面上连续的6个水滴的位置。（已知滴水计时器每30 s内共滴下46个小
水滴）（1）由图（b）可知，小车在桌面上是____________（填“从右向左”或“从左向右”）运动的。
（2）该小组同学根据图（b）的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图（b）中A点位置时的速度大小
为___________m/s，加速度大小为____________m/s2。（结果均保留2位有效数字）
例题2、 现用频闪照相方法来研究物块的变速运动．在一小物块沿斜面向下运动的过程中，用频闪相机拍摄的不
同时刻物块的位置如图所示．拍摄时频闪频率是10Hz；通过斜面上固定的刻度尺读取的5个连续影像间的距离依
次为x、x、x、x．已知斜面顶端的高度h和斜面的长度s．数据如下表所示．重力加速度大小g=9.80m/s2．
1 2 3 4
单位：cm
x x x x h S
1 2 3 4
10.76 15.05 19.34 23.65 48.00 80.00
根据表中数据，完成下列填空：
（1）物块的加速度a=____m/s2（保留3位有效数字）．
（2）因为____可知斜面是粗糙的．
随练1、 某同学做“测匀变速直线运动的加速度”的实验装置如图1所示．一小车放在水平长木板上，左侧拴有
一细软线，跨过固定在木板边缘的滑轮与一重物相连，小车右侧与穿过电火花计时器的纸带相连，在重物牵引下，
小车在木板上向左运动，下图给出了电火花计吋器在纸带上打出的一些计数点，相邻的两个计数点间还有4个点
没画出，电火花计时器所用的交流电频率为50Hz．
（1）该同学进行了以下实验操作步骤，其中错误的步骤是________
A．将打点计时器固定在长木板有滑轮一端，并接好电路
B．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的钩码
D．拉住纸带，将小车移到靠近打点计时器的一端后，放开纸带，再接通电源
（2）根据图3纸带可以计算打下各点时小车的瞬时速度及小车的加速度，现计算打下第2点时小车的瞬时速度：
v ＝________m／s，小车的加速度为α＝________m／s2．（结果取三位有效数字）
2
（3）另一同学利用如图2所示的装置测定导轨上滑块运动的加速度，滑块上安装了宽度为d的挡光片，滑块在牵
引力作用下先后通过两个光电门A、B，配套的数字毫秒计（图中未画出）记录了挡光片通过光电门A、B的时间分別为△t 、△t ，若两个光电门A、B间距离为L，则滑块通过第一个光电门的速度表达式为v ＝________．滑块加
1 2 A
速度的表达式为α＝________．（用题中字母表示）
随练2、 图a是一种测量重力加速度的仪器结构图，条形重物块（如图b）通过挂孔挂在夹物装置上，释放后穿
过光电门下落到接物斗里，光电门与数字毫秒计相连，可记录光电门被遮光的时间．物块中间有可以遮盖的窗口，
如图b，测出挂孔下边距物块下端的距离为L ，窗口下边距物块下端的距离为L ．实验步骤如下：
1 2
①关闭物块中间的窗口，释放物块，使其自由下落，记录光电门的遮光时间t ；
1
②将物块从接物斗中取出，打开物块中间的窗口，重复①的步骤，记录光电门第一次被遮光的时间t ；
2
③重复上述实验，多次记录t 和t ，测出g的值．
1 2
完成下列填空：
（1）物块在t 时间内的平均速度为________（用所测物理量的符号表示），该速度______（填“大于”、“小
1
于”或“等于”）物块在t 时间内的平均速度．
2
（2）重力加速度g的表达式为g＝_____________．（用所测物理量的符号表示）
（3）写出本实验测量误差产生的一个原因：__________________________________________。
拓展
1、 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3s时并排行驶，则下列说法正确
的是（ ）
A.两车另一次并排行驶的时刻为t＝2s
B.在t＝0时，乙车在甲车前
C.在t＝1s时，甲车在乙车后
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
2、 如图，甲、乙两同学在某游乐场同一平直的滑冰道游戏，开始时乙在前面的小旗处，甲在后面与小旗相距L
＝10m处。甲自静止开始以a ＝5m／s2加速度向乙加速滑来，当他滑到小旗处即改做匀速运动；乙同学看到甲同
1
学运动后，在经历了反应时间t ＝0.5s后，随即开始以a ＝4m／s2的加速度向右做匀加速运动，两人在运动过程中
0 2
可视为质点。不考虑冰道的摩擦，问甲、乙两同学在运动过程中是否相撞若不相撞？求他们在运动过程中距离的
最小值。
3、 某一长直的赛道上，有一辆F1赛车，前方200m处有一安全车正以10m/s的速度匀速前进，这时赛车由静止
出发以2m/s2的加速度追赶安全车．求：
（1）赛车出发3s末的瞬时速度大小；
（2）赛车追上安全车之前与安全车相距的最远距离？
（3）当赛车刚追上安全车时，赛车的速度大小．4、[多选题] 科技馆中有一个展品，如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的龙头，在一种特殊的灯光照射下，
可观察到一个个下落的水滴，缓缓调节水滴下落的时间间隔到适当情况，可看到一种奇特的现象，水滴似乎不再
下落，而是像固定在图中A、B、C、D 四个位置不动．一般要出现这种现象，照明光源应该满足（g＝10m/s2）（
）
A.普通光源即可 B.间歇发光，间歇时间1s
C.间歇发光，间歇时间0.14s D.间歇发光，间歇时间0.2s
5、 水滴从屋檐上自由落下，经过高度为1.8m的窗户，历时0.2s，若不计空气阻力，g取10m/s2，求：
（1）屋檐离窗顶的高度；
（2）水滴落到窗底的速度大小．
6、 某同学学习了《自由落体运动》后，想到既然自由落体也是匀变速直线运动，那就可以设计一自由落体运动
来测量自由落体加速度g．于是和同学合作，按照如图1所示的装置来进行试验．
（1）实验室中电火花计器是________仪器．
（2）该同学实验时让重物从静止下落，并且测量了第1、2点的间距接近________mm，就可以确保重物做的是自
由落体运动．
（3）做完实验，选择了一条纸带，并截取了中间某一段，如图2，已知时间间隔为T．
则测量C点速度v ＝__________，重力加速度g＝________________（写表达式）．
C
（4）另一同学计算了个其中连续5个点的速度，如下表，请在图3中描绘出该运动的v－t图像．
1 2 3 4 5
v/m•s－1 1.095 1.385 1.475 1.665 1.855
t/s 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
通过图像得出重力加速度g＝________m/s2，偏差的原因____________________．
7、 用图1所示的实验装置研究小车速度随时间变化的规律。主要实步骤如下：
a．安装好实验器材，接通电源后，让拖着纸带的小车沿长木板运动，重复几次。
b．选出一条点迹清晰的纸带，接一个合适的点当作计时起点 O（t＝0），然后每隔相同的时间间隔T选取一个计
数点，如图2中A、B、C、D、E、F……所示。
c．通过测量、计算可以得到在打A、B、C、D、E、……点时小车的速度，分别记作v，v，v，v，v……
1 2 3 4 5
d．以速度v为纵轴，时间t为横轴建立直角坐标系，在坐标纸上描点，如图3所示。
结合上述实验步骤，请你完成下列任务：
（1）在下列仪器和器材中，还需要使用的有________和________（填选项前的字母）
A．电压合适的50 Hz交流电源
B．电压可调的直流电源
C．刻度尺
D．秒表
E．天平（含砝码）
（2）在图3中已标出计数点A、B、D、E对应的坐标点，请在该图中标出计数点C对应的坐标点，并画出v－t图
象。
（3）观察v－t图象，可以判断小车做匀变速直线运动，其依据是________________________。v－t图象斜率的物
理意义是________。（4）描绘v－t图象前，还不知道小车是否做匀变速直线运动。用平均速度 表示各计数点的瞬时速度，从理论上
讲，对△t的要求是________（选填“越小越好”或“与大小无关”）；从实验的角度看，选取的△x大小与速度
测量的误差________（选填“有关”或“无关”）。
（5）早在16世纪末，伽利略就猜想落体运动的速度应该是均匀变化的。当时只能靠滴水计时，为此他设计了如
图4所示的“斜面实验”，反复做了上百次，验证了他的猜想。请你结合匀变速直线运动的知识，分析说明如何
利用伽利略“斜面实验”检验小球的速度是随时间均匀变化的。
8、 某人站在20层高的楼上从窗户以20m/s的速度竖直向上将小球抛出，小球的位移大小等于20m的时间有几
个（ ）（g=10m/s2）
A.一个解 B.两个解 C.三个解 D.四个解
9、 从同一高度同时以20m/s 的初速度抛出两个小球，一球竖直上抛，另一个球竖直下抛，则它们落地的时间差
为（ ）
A.3s B.4s C.5s D.6s
10、 如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，管长为l＝24m，M、N为空管的上、下两端面，从某时刻开
始，让空管由静止开始以a＝2m／s2的加速度竖直向下做匀加速运动，同时在M端面处将一个小球沿管的轴线以
初速度v 竖直上抛，不计一切阻力，取重力加速度大小为g＝10m／s2。求：
0
（1）若小球上抛的初速度为v ＝10m／s，经过多长时间从管的N端穿出？
0
（2）若此空管的N端距离地面高度为h＝64m，欲使空管在到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前
提下，求小球的初速度v 大小的范围。
0
11、 我校高一课外活动小组自制一枚水火箭，设水火箭发射后始终在竖直方向上运动．在水火箭向下喷水过程
中，水火箭可认为做匀加速直线运动．水火箭从地面静止出发经过4s到达离地面高40m处时水恰好喷完，接着水
火箭向上做匀减速运动，最后落回到地面．设水火箭喷完水后的加速度大小为g＝10m/s2，求：
（1）水火箭加速时的加速度；
（2）恰好喷完水时水火箭的速度；
（3）水火箭上升离地面的最大高度；
（4）水火箭从发射到残骸落回到地面过程的总时间．
12、 在利用打点计时器研究匀变速直线运动实验中，
（1）电火花打点计时器使用__________________（请选择“低压直流”、“4－6v交流” “220V交流”）电源，
在实验过程中，使用打点计时器时，应________（请选择“先释放纸带，再接通电源”、“先接通电源，再释放
纸带”）
（2）图甲为某同学在实验中打出的一条纸带，图中所示的是每打5个点所取的计数点，
该同学用两种方法处理数据（T为相邻两计数点的时间间隔）：方法A：由 ， ，……， 取平均值；
方法B：由 ， ， ，取平均值。
从数据处理方法看，在S、S、S、S、S、S 中，对实验结果起作用的，方法A中有________________；方法B
1 2 3 4 5 6
中有________。因此，选择方法___________（A或B）更合理，这样可以减少实验的__________（填写系统或偶
然）误差。
（3）图乙为某同学在实验中打出的一条纸带，图中所示的是每打5个点所取的计数点，但由于疏忽第3个计数点
位置被污物遮盖，无法看出。该同学仍可直接利用图中的数据可求得：
①该物体的加速度为________m／s2
②打下第2记数点时的速度约为__________m／s。（以上计算结果均保留两位有效数字）
13、 某学生利用“研究匀变速直线运动”的实验装置来测量一个质量 m＝50g的重锤下落时的加速度值，该学生
将重锤固定在纸带下端，让纸带穿过打点计时器，实验装置如图1所示．
（1）以下是该同学正确的实验操作和计算过程，请填写其中的空白部分：
①实验操作：________，释放纸带，让重锤自由落下，________．
②取下纸带，取其中的一段标出计数点如图2所示，测出相邻计数点间的距离分别为x ＝2.60cm，x ＝4.14cm，x
1 2 3
＝5.69cm，x＝7.22cm，x＝8.75cm，x＝10.29cm，已知打点计时器的打点间隔T＝0.02s，则重锤运动的加速度计
4 5 6
算表达式为a＝________，代入数据，可得加速度a＝________m／s2（计算结果保留三位有效数字）．
（2）结果发现，重锤下落时的加速度比实际的重力加速度小，为了有效地缩小这个实验测得的加速度与实际的重
力加速度之差，请你提出一个有效的改进方法：________．
14、 利用图示的装置来测量滑块A在长木板上运动的加速度．图中d为安装在滑块A上挡光片的宽度，s是1和
2两个光电门之间的距离．实验时，使滑块A从长木板的顶端滑下．
（1）试写出除上述量（d和s）外还需测量的物理量_________________，并根据这些物理量写出滑块A沿斜面下
滑时的加速度的表达式a=___________；
（2）简单叙述一个可以减小本实验误差的方法．_____________________________________．
15、 图中圆盘可绕过中心垂直于盘面的水平轴转动。圆盘加速转动时，角速度的增加量△ω与对应时间△t的比
值定义为角加速度，用β表示， ，我们用测量直线运动加速度的实验装置来完成实验，实验步骤如下。其
中打点计时器所接交流电的频率为50Hz，图中A、B、C、D……为计数点，相邻两计数点间有四个点未画出。①如图甲所示，将打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔，然后固定在圆盘的侧面，
当圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上；
②接通电源，打点计时器开始打点，启动控制装置使圆盘匀加速转动；
③断开电源，经过一段时间，停止转动圆盘和打点，取下纸带，进行测量。
（1）用20分度的游标卡尺测得圆盘的直径如图乙所示，圆盘的半径________；
（2）由图丙可知，打下计数点D时，圆盘转动的角速为________（保留两位有效数字）
（3）圆盘转动的角加速度为________。答案解析
追击、相遇问题的分析
追击相遇的图像问题
例题1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、由图象可知， ； ；0 至 1s，
， ，△x＝x －x ＝12.5－5＝7.5m，即在t＝
乙 甲
0时，甲车在乙车前7.5m，故A正确；
B、由图象可知，1到3s甲乙两车的位移相等，两车在t＝3s时并排行驶，所以两车在t＝1s时也并排行驶，故BC
错误；
D 、 1s 末 甲 车 的 速 度 为 ： v ＝ a t ＝ 10×1 ＝ 10m ／ s ， 1 到 3s ， 甲 车 的 位 移 为 ：
甲
，即甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为 40m，故D
正确。
例题2、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 由图可知，a车的初速度等于2v，在t 时间内，a车的位移为s，则b车的位移为 。若a、b在t 时刻
1 1
相遇，则 ，A项正确；
B、若a、b在 时刻相遇，由图象可知，s 为阴影部分对应的距离，即 ，由图象中的对称关系，
0
下次相遇的时刻为 ，故B错误；
C、由B分析得，C正确；
D、若a、b在t 时刻相遇，之后v ＞v，不能再次相遇，故D错误。
1 b a
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、根据速度时间图线的斜率表示加速度，知甲在 0－2s的加速度是恒定不变的，所以甲物体做是匀加
速运动，故A正确。
B、乙物体在0～1秒内图线切线斜率减小，则加速度减小，速度增大，故B错误。
C、甲物体一直沿正向运动，位移不断增大，图中6s末位移最大，故C错误。
D、乙物体做往复运动，t＝0时刻两物体从同一地点开始运动，根据“面积”表示位移，知两物体只能在 0－4s内
相遇一次，故D正确。
随练2、
【答案】 D【解析】 A、图象与时间轴围成的面积可表示位移，
0﹣4s，甲的位移为48m，乙的位移为40m，甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距S＝6m，
当t＝4s时，甲车在前，乙车在后，相距2m。所以当t＝4s时两车不相遇。故A错误。
B、开始时乙车在前，甲车在后，甲的速度大于乙的速度，所以两车间的距离减小，故B错误。
C、0﹣6s，甲的位移为60m，乙的位移为54m，两车第二次相遇，6s后，由于乙的速度大于甲的速度，乙又跑到
前面，
8s后，由于甲的速度大于乙的速度，两车还会发生第三次相遇，故C错误，D正确。
追击相遇问题中的极值、临界问题
例题1、
【答案】 （1）64m
（2）16s
（3）0.25m／s2
【解析】 （1）当A、B两车速度相等时相距最远，则v＝v－at
1 2 1
代入数据解得t＝6s
1
此时，根据位移公式得x ＝vt＝48m
A 11
Δx ＝x ＋x－x
m B 0 A
代入数据解得Δx ＝64m；
m
（2）B车刹车到停止运动所用时间
对B车：
对A车：
则x ＜x＋x ，可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上，
A 0 B
之后A车运动时间为
故所求时间为t＝t＋t＝16s；
0 2
（3）A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小，则
代入数据解得a ＝0.25m／s2。
A
例题2、
【答案】 （1）x≤55m
（2）x≤32m
50
x
25 ＋ 0
羊
v 2
【解析】 羚羊加速阶段需要时间：t
1
＝
羊
＝ s＝4s
v 25
羊
t 4
羚羊加速度：a 1 ＝ 1 ＝ m/s2
60
x
豹 30 ＋ 0
猎豹加速阶段需要时间：t
2
＝ v 豹＝ 2 s ＝ 4 s
v 30 15
豹
t 4 2
猎豹加速度：a 2 ＝ 2 ＝ m/s2 ＝ m/s2
（1）猎豹从开始攻击到减速运动的距离为：
x ＝60m＋30m/s×4s＝180m
2
而羚羊在这段时间内的运动距离为：x ＝50 m＋25m/s×（4s－1s）＝125 m
1
根据题意有：x ≥x ＋ x
2 1
即：x≤x －x ＝180 m－125 m＝55m
2 1
（2）猎豹在加速阶段运动距离为 x ′＝60 m，而羚羊在这段时间内运动的距离为：
2
1 1 25 225
x ′ ＝2 a （t －1 s）2 ＝2 × 4 ×32m＝ 8 m
1 1 1
根据题意有：x ′≥x ′＋x′
2 1
225 255
8 8
即：x′≤x ′－x ′＝60 m－ m ＝ m ＝ 31.875m≈32m
2 1
随练1、
【答案】 （1）6.9s（2）40m
【解析】 （1）对甲：
对乙：
由题意
解得
（2）分析知，当两车速度相等时距离最短，即
对甲：
对乙：
故
随练2、
【答案】 为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持1.5m距离
【解析】 设甲、乙两车行驶过程中至少应保持距离x，在乙车刹车t 时间两车速度相等，则v －a （t ＋t ）＝v
1 0 1 0 1 0
－a t
2 1
解得t ＝1s
1
甲车停下所需时间：
因t ＋t ＜t
0 1 2
故甲车未停下
所求距离x＝x －x
2 1
解得x＝1.5m
答：为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持1.5m距离。
随练3、
【答案】 （1）36m
（2）6.5s
【解析】 （1）已知足球的初速度为v＝12m/s，加速度大小为：a＝2m/s2
1 1
足球做匀减速运动的时间为： ．
运动位移为： ．
（2）已知前锋队员的加速度为a ＝2m/s2，最大速度为v ＝8m/s，前锋队员做匀加速运动达到最大速度的时间和位
2 2
移分别为：
．
．
之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，其位移为：x＝v（t－t）＝8×2m＝16m．
3 2 1 2
由于x ＋x ＜x ，故足球停止运动时，前锋队员没有追上足球，然后前锋队员继续以最大速度匀速运动追赶足球，
2 3 1
由匀速运动公式得
x－（x＋x）＝vt，
1 2 3 23
代入数据解得：t＝0.5s．
3
前锋队员追上足球的时间t＝t＋t＝6.5s．
1 3
自由落体运动
自由落体运动的相关计算
例题1、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
例题3、
【答案】 C
【解析】 第一位同学松手时木尺做自由落体运动，由题知道木尺下落的高度为h=a﹣b，设下落时间为t，则
由h= gt2得t=
故选C
随练1、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
随练2、
【答案】 C
【解析】 根据 得：
．故C正确，A、B、D错误。
随练3、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 暂无解析
自由落体运动的实验
例题1、
【答案】 （1）D
（2）9.8m／s2；9.6m／s2
【解析】 （1）打点计时器需接交流电源．重力加速度与物体的质量无关，所以不要天平和砝码．计算速度需要
测相邻计数的距离，需要刻度尺．
（2）由公式v＝gt，依据v－t图象，其斜率等于重力加速度；
图象刚好经过A（0.04，0.40）和B（0.16，1.58）这两个点，则有： ；
由公式v2＝2gh，依据v2－h图象，其斜率等于重力加速度的2倍，因图象刚好过C（0.05，0.96）和D（0.20，3.84）这两个点，则有： ．
例题2、
【答案】 （1）④①②③或④①③②
（2）
（3）h；
【解析】 （1）水滴运动时间较短，故调节一滴水落地时，另一滴刚开始下落，可以减小测量误差；
（2）根据位移时间公式，有：
其中：
解得： ；
（3）根据 ，得到：h∝t′．
例题3、
【答案】 （1）
（2）
（3）9.7；1.1
【解析】 （1）根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度得
小铁球通过两光电门间平均速度v的表达式为 ；
（2）根据数据作出v－t图象：
（3）小铁球通过两光电门间平均速度v的表达式为 ；
所以v－t图象的斜率表示 ，所以当地重力加速度g＝2k＝9.7m／s2，
根据v－t图象得出v ＝1.10m／s，即小球通过光电门1时的速度为1.1m／s．
0
随练1、
【答案】 （1）是
（2）C
【解析】 （1）由于没有空气阻力，物体只受重力，故羽毛和苹果具有相同的运动状态；
（2）AB、由于这是局部照片，A点并不一定是起点，故不能根据初速度为零的匀变速直线运动的位移规律求解；
故AB均错误；
CD、由△x＝at2可得： ；故C正确，D错误；
随练2、
【答案】 （1）A
（2）s 、s ；s 、s 、s 、s 、s 、s ；B
1 6 1 2 3 4 5 6
【解析】 （1）重物拖着纸带运动，速度越来越大，在相等时间间隔内的位移越来越大，知实验时纸带的 A端应
和重物相连接．
（2）在方法A中，根据数学知识可知，只有S 、S 起作用，
1 6
方法B中，
，
因此六组数据都起作用，故方法B数据应用充分，更合理一些．
竖直上抛运动
竖直上抛的多解问题
例题1、[多选题]
【答案】 A C D
【解析】 物体做竖直上抛运动，物体上升的最大高度为20m；
物体位移大小为10m时，可能是上升10m，也可能是到最高点后返回10m，还有可能是返回到下方10m位置，故
路程可能是10m，30m，50m；
故选：ACD
例题2、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 A在空中的时间为t= = ；
1
B在空中的时间为t= =
2
∴t-t ＜△t＜t
1 2 1
∴ ＜△t＜
故选：BCD．
随练1、
【答案】 （1）2+2 s；
（2）1s、3s或2+ s．
【解析】 （1）小球从抛出到落地，由运动学公式得：h=vt﹣ gt2
0代入数据：﹣20=20t﹣ ×10×t2
解得：t=2+2 s
（2）小球抛出的最大高度为：h = = =20m
max
当小球距离抛出点上方15m时，由位移公式得：15=20t﹣ ×10×t2
解得：t=1s 或 t=3s
1 2
当小球距离抛出点下方15m时，由位移公式得：﹣15=20t﹣ ×10×t2
解得：t=2+ s
竖直上抛的相遇问题
例题1、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
例题2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、根据竖直上抛运动的对称性可知，B自由落下到地面的速度为2v，在空中运动时间为t = ，
B
A竖直上抛物体在空中运动时间t =2× = ．故A错误．
A
B、设两物体从下落到相遇的时间为t，则对于自由下落物体有：gt=v；竖直上抛物体的初速度为v ，则由题v=v-
0 0
gt 解得v=2v，故B正确．
0
C、D、物体A能上升的最大高度h = = ，B开始下落的高度h = g（ ）2= ，显然两者相等．
A B
B下落的时间为t= ，下落的高度为h= gt2= = h ．则知不是B物体开始下落时高度的中点．故C错误，D
B
正确．
故选：BD
随练1、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
随练2、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 暂无解析
竖直上抛的综合应用
例题1、
【答案】 D
【解析】 根据竖直上抛的对称性可知，空中的四个球，有两个在上升，两个下降，由于每隔 0.5s抛一个，因此
从抛出到最高点时间为t＝1s，
所以上升最大高度： ，故ABC错误，D正确．
例题2、
【答案】 A【解析】 （1）小球从O点上升到最大高度过程中：
h= g（ ）2①
1
小球从P点上升的最大高度：
h= g（ ）2②
2
依据题意：h﹣h=H③
1 2
联立①②③解得：g=
故选：A
例题3、
【答案】 B
【解析】 由图可知运动员在空中的最长时间为：t＝4.3s－2.3s＝2s
运动员做竖直上抛运动，所以跃起最大高度为：
，将t＝2s带入得：h＝5m，故ACD错误，B正确．
例题4、
【答案】 62.5m
【解析】 用a表示跳蚤起跳的加速度，v表示离地时的速度，则对加速过程和离地后上升过程分别有
v2=2ad
2
v2=2gh
2
若假想人具有和跳蚤相同的加速度a，令V′表示在这种假想下人离地时的速度，H 表示与此相应的竖直高度，则对
加速过程和离地后上升过程分别有
V′2=2ad
1
V′2=2gH
由以上各式可得H= ，代入数值，得：H=62.5m
即假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50m，则人上跳的“竖直高度”是62.5m．
随练1、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
随练2、
【答案】 D
【解析】 以抛出点为零势能点，不计空气阻力，以竖直向下为正方向．
A、将一物体竖直向上抛出，不计空气阻力，物体做匀减速直线运动，则有 v＝－v ＋gt，v是t的线性函数，故A
0
正确；
B、以抛出点为零势能，重力势能恒为正， ，E与t成二次函数关系，E－t图象是开口向
下的抛物线，故B正确；
C、位移的大小为： ，所以x随时间成二次函数关系，故C正确．
D、竖直上抛运动的加速度恒为g，向下为正，所以a＝g，故D错误．
打点纸带问题的处理
纸带问题的图像、实验数据处理
例题1、【答案】 （1）BFECADG
（2）0.337，0.393
【解析】 （1）在测定匀变速直线运动加速度的实验中，实验过程步骤如下：
首先将打点计时器固定在平板上，并接好电路；再将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔，然后将
平板一端抬高，轻推小车，使小车恰能在平板上作匀速运动，此步骤是为了平衡摩擦力；把一条细绳拴在小车上，
细绳跨过定滑轮，下面吊着重量适当的钩码； 拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处，先接通电源，后放开纸
带；断开电源，取下纸带；最后换上新的纸带，再重复做两三次。
所以实验步骤正确的是：BFECADG
（2）由于两相邻计数点间有四个点未画出，所以相邻的计数点间的时间间隔 T＝0.1s，根据匀变速直线运动中时
间中点的速度等于该过程中的平均速度，
得：
根据匀变速直线运动的推论公式△x＝aT2可以求出加速度的大小，
得：x－x＝2aT2
3 1 1
x－x＝2aT2
4 2 2
为了更加准确的求解加速度，我们对三个加速度取平均值
得：
即小车运动的加速度计算表达式为：
例题2、
【答案】 ①6；7；②1.00；1.16；③2.00，偏大
【解析】 ①从纸带上的数据分析得知：在点计数点6之前，两点之间的位移逐渐增大，是加速运动，在计数点7
之后，两点之间的位移逐渐减小，是减速运动，所以物块在相邻计数点6和7之间某时刻开始减速；
②v= = =1.00m/s
5
v= = m/s=1.16m/s
6
③由纸带可知，计数点7往后做减速运动，根据作差法得：
a= =-2.00m/s2．
在减速阶段产生的加速度的力是滑动摩擦力和纸带受的阻力，所以计算结果比动摩擦因数的真实值偏大．
故答案为：①6；7；②1.00；1.16；③2.00，偏大
随练1、
【答案】 （1）③⑦
（2）a．0.17
b．0.50；大
【解析】 （1）电火花打点计时器使用220V的交流电源，可以直接记录时间，不需要秒表，在该实验中，不需
要测量质量，所以不需要天平．可知不需要的器材为：③⑦．
（2）a、计数点2的瞬时速度为： ．
b、根据△x＝aT2，运用逐差法得：
如果当时电网中交流电的频率是f＝49Hz，则实际的周期大于0.02s，而测量周期为0.02s，则测量的周期偏小，根
据 知，加速度的测量值偏大．
随练2、
【答案】 （1）（2）1.40m／s2
（3）0.30m／s
（4）B，C，D
【解析】 暂无解析
纸带问题的拓展实验
例题1、
【答案】 （1）从右向左（2）0.19 0.037
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 4.30；物块加速度小于 =5.88m/s2
【解析】 （1）根据逐差法求加速度的原理可知：a= =
m/s2=4.30m/s 2
（2）若斜面光滑则：a= =gsinθ= = m/s2=5.88m/s 2＞4.30m/s2．知斜面是粗糙的．
故答案为：4.30，物块加速度小于 =5.88m/s2．
随练1、
【答案】 （1）AD
（2）0.396；0.380，
（3） ，
【解析】 （1）A、实验时，将打点计时器固定在长木板远离滑轮的一端，故A错误．
B、将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔，故B正确．
C、把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的钩码，故C正确．
D、实验时应先接通电源，再释放纸带，故D错误．
（2）第2点的瞬时速度 ，
根据△x＝aT2，运用逐差法得，
．
（3）根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度知， ， ，根据速度位移公式得，
．
随练2、
【答案】 （1） ；大于（2） （3）长度L 和L 的测量存在偶然误差（或物块释放后未能沿直线下落、
1 2
空气阻力对物块下落的影响等，其他合理答案均给分）
【解析】 暂无解析
拓展
1、【答案】 D
【解析】 AC、根据“面积”大小表示位移，由图象可知，1s到3s甲、乙两车通过的位移相等，两车在t＝3s时
并排行驶，所以两车在t＝1s时也并排行驶，故AC错误；
B、由图象可知，甲的加速度 ；乙的加速度 ；
0至1s，甲的位移 ，乙的位移 ，△x
＝x －x ＝12.5－5＝7.5m，即在t＝0时，甲车在乙车前7.5m，故B错误；
乙 甲
D 、 1s 末 甲 车 的 速 度 为 ： v ＝ a t ＝ 10×1 ＝ 10m ／ s ， 1 到 3s ， 甲 车 的 位 移 为 ：
甲
，即甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为 40m，
故D正确。
2、
【答案】 不相撞；2.5m
【解析】 甲做匀速运动时的速度为：
甲从开始运动到小旗处所用时间为：
设甲经过小旗后再运动时间t ，乙同学的速度与甲相同。此时他们的距离最近，有：v ＝a （t ＋t ﹣t ）
2 1 2 1 2 0
甲、乙两同学的最近距离为：
解得：△x＝2.5m
故不相撞。
答：甲、乙两同学在运动过程中不相撞，他们在运动过程中距离的最小值为2.5m。
3、
【答案】 （1）赛车出发3s末的瞬时速度大小为6m/s；
（2）追上之前与安全车最远相距是225m；
（3）当赛车刚追上安全车时，赛车的速度大小是40m/s．
【解析】 （1）赛车出发3s末的瞬时速度大小 v=at=2×3m/s=6m/s．
1 1
（2）当赛车的速度与安全车的速度相等时，相距最远，经历的时间为 t= s=5s
2
此时赛车的位移 x= m=25m，
1
安全车的位移 x=vt=10×5m=50m，
2 2
则相距的最远距离△x=x+200﹣x =50+200﹣25m=225m．
2 1
（3）设经过t 时间，赛车追上安全车，根据位移关系有： at2=200+vt ，
3 3 3
代入数据解得 t=20s．
3
当赛车刚追上安全车时，赛车的速度大小 v=at=2×20=40m/s．
3 3
4、[多选题]
【答案】 C
【解析】 由题意可知，光源间歇发光，间歇时间等于相邻两滴水的时间间隔的整数倍，根据△y＝gT2，
解得： ，故C正确。
5、
【答案】 （1）3.2m
（2）10m/s
【解析】 设屋檐距窗台高为H，水滴下落至窗台用时为t，则：
水滴到窗台过程中： …①水滴到窗户顶端过程中： …②
①②联立解得：t＝1s，H＝5m；
屋檐到窗顶高度为：h＝H－1.8m＝3.2m；
水滴落到窗底的速度大小为v＝gt＝10m/s。
6、
【答案】 （1）计时
（2）2
（3） ；
（4） ；9.71；受到阻力的作用
【解析】 （1）电火花计时器是计时仪器．
（2）根据 知，测量了第1、2点的间距接近2mm，可以确保重物做的是自由落体
运动．
（3）C点的瞬时速度 ，根据△x＝gT2，运用逐差法得， ；
（4）速度时间图线如图所示．重力加速度 ，偏差的原因是由于受到阻力的作用．
7、
【答案】 （1）A；C（2）
（3）小车的速度随着时间均匀变化，加速度
（4）越小越好，有关
（5）通过不同位移，与其对应的时间平方是否成正比，即可检验小球的速度是随时间均匀变化的
【解析】 （1）在下列仪器和器材中，还需要使用的有电压合适的50 Hz交流电源，供打点计时器使用；
还需要刻度尺，来测量各点的位移大小，从而算出各自速度大小；
（2）根据标出计数点A、B、D、E对应的坐标点位置，及C点对应的时间，从而确定C点的位置，再将各点平滑
连接，
如图所示：
（3）由v－t图象，是过原点的一条直线，可知，速度随着时间是均匀变化的，说明小车是做匀变速直线运动；
图象的斜率，表示小车的加速度；
（4）当不知道小车是否做匀变速直线运动，若用平均速度 表示各计数点的瞬时速度，从理论上讲，对△t的要求
是越小越好，即 ，才使得平均速度接近瞬时速度；
从实验的角度看，对于选取的△x大小与速度测量的误差有关；
（5）“斜面实验”小球做匀加速直线运动，若小球的初速度为零，依据运动学速度公式，则速度与时间成正比，那么位移与时间的平方成正比，
因此只需要测量小球在不同位移内对应的时间，从而可检验小球的速度是否随着时间均匀变化。
8、
【答案】 B
【解析】 取竖直向上方向为正方向，石块向上运动的最高位移：
所以石块运动到抛出点上方离抛出点20m时，位移为x=20m，是最高点，时间t=
20层楼的高度大于20m，所以石块运动到抛出点下方离抛出点20m时，位移为x=﹣20m
根据公式：
解得：t= s
可知由两种可能性
故选：B
9、
【答案】 B
【解析】 设两球距离地面的高度为h，则对竖直上抛的小球，有：
①
对竖直下抛的小球，有：
②
落地的时间差为：△t＝t－t
1 2
①＋②得：
联立并代入数据得： ，选项B正确。
10、
【答案】 （1）4s
（2）
【解析】 暂无解析
11、
【答案】 （1）
（2）20m/s
（3）60m
（4）
【解析】 画出水火箭运动示意图，A点是地面，B点为水火箭恰好喷完水的位置，C为水火箭上升的最大高度．
（1）水火箭喷水过程向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a
代入数据解得：
（2）恰好喷完水时火箭的速度为：
（3）BC阶段水火箭做匀减速直线运动
得：
水火箭上升离地最大高度为：
代入数据解得：（4）从C落到A做自由落体运动
解得
匀减速上升的时间为：
总时间为：
代入数据解得： 。
故：（1）水火箭加速时的加速度为 ；
（2）恰好喷完水时水火箭的速度为20m/s；
（3）水火箭上升离地面的最大高度为60m；
（4）水火箭从发射到残骸落回到地面过程的总时间为 。
12、
【答案】 （1）220V交流；先接通电源，再释放纸带
（2）S、S；S、S、S、S、S、S；B；偶然
1 6 1 2 3 4 5 6
（3）①0.74；②0.40
【解析】 （1）电火花计时器的电源应使用220V交流电压；实验时，应先放开小车，再接通打点计时器电源，
由于小车运动较快，可能会使打出来的点很少，不利于数据的采集和处理；
（2）方法A： ， ， ， ，
故 ，对实验结果起作用的数据只有S、S，不利于减小偶然误差；方案B：
1 6
， ， ，故 ，对实验结果起作用的数据只有S、
1
S、S、S、S、S，可以最大限度地减小偶然误差；故方案B更合理，这样可以减少实验的偶然误差．
2 3 4 5 6
（3）设1、2间的位移为x，2、3间的位移为x，3、4间的位移为x，4、5间的位移为x；因为周期为0.02s，且
1 2 3 4
每打5个点取一个记数点，所以每两个点之间的时间间隔T＝0.1s；由匀变速直线运动的推论
得： ， ，又 ，得： ，根据某段平均速度等于中时刻的
瞬时速度，第2点的速度为
13、
【答案】 （1）①接通电源；关闭电源
② ；9.60
（2）将重锤换成较大质量的重锤或者实验过程中让重锤下落时纸带尽量减小摩擦
【解析】 （1）①实验操作：先接通电源，然后释放纸带，让重锤自由落下，再关闭电源．
②根据匀变速直线运动的推论△x＝aT2，有：
x－x＝3a（2T）2…①
6 3 1
x－x＝3a（2T）2…②
5 2 2
x－x＝3a（2T）2…③
4 1 3…④
联立①②③④解得： ；
代入数据解得：a＝9.60m／s2．
（2）根据实验原理可知，造成该实验误差的主要原因是物体下落过程中存在摩擦阻力，一是小球下落的空气阻力，
二是纸带和限位孔之间的摩擦，故具体采取的具体措施为：将重锤换成较大质量的重锤或者实验过程中让重锤下
落时纸带尽量减小摩擦．
14、
【答案】 （1）光电门记录的挡光时间t、t； （2）多测几次取平均值、增大两个光电门之间的距离
1 2
【解析】 （1）根据极限的思想，在时间很短时，我们可以用这一段的平均速度来代替瞬时速度，
所以物块通过光电门l、2的速度分别是：
，
根据 =2as，
解得：a=
．
（2）两个可以减小本实验误差的方法是多测几次取平均值、增大两个光电门之间的距离．
15、
【答案】 （1）120.00mm
（2）6.5
（3）9.8～10
【解析】 （1）游标卡尺主尺部分读数为120mm，小数部分为零，由于精确度为0.05mm，故需读到0.01mm处，
故读数为120.00mm，半径为6.00cm（60.00mm）。
（2）由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1s，
根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上D点时小车的瞬时速度大小。
，故 ；
（3）根据匀变速直线运动的推论公式△x＝aT2可以求出加速度的大小，得：
，
由于 ， ，故角加速度为 。
