文档内容
难点 02 追及相遇问题
1追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．
(1)无论v 增大、减小或不变，只要v v ，甲、乙的距离不断减小．
甲 甲 乙
3．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判
断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
4．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，
建立物体运动关系的情境图．
能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x，当v ＝v 时，若x >x ＋x，则能追上；若x ＝x ＋x，则恰
0 B A B A 0 B A 0
好追上；若x 0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图
像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
5．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者
情景 图像 说明
①t＝t 以前，后面物体与前面物体间距离增
0
匀加速追匀速 大
②t＝t 时，两物体相距最远，为 x ＋Δx(x 为
0 0 0匀速追匀减速 两物体初始距离)
③t＝t 以后，后面物体与前面物体间距离减
0
小
匀加速追匀减速 ④能追上且只能相遇一次
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
(2)速度大者追速度小者
情景 图像 说明
开始追赶时，两物体间距离为x ，之后两物体间的
0
匀减速追匀速 距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t 时刻：
0
①若Δx＝x ，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
0
这也是避免相撞的临界条件
匀速追匀加速 ②若Δxx ，则相遇两次，设t 时刻Δx＝x ，两物体
0 1 0
匀减速追匀加速 第一次相遇，则t 时刻两物体第二次相遇(t －t ＝t
2 2 0 0
－t)
1
一、追及相遇问题
【例1】（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）城市公共汽车的加速度为1m/s2，汽车刚启动时，
一未赶上车的乘客以6m/s速度追车，当人与车尾的距离不超过5m，且维持4s以上，才能引起司机的注意，
则（ ）
A．乘客开始追赶公共汽车时至少距离公共汽车21m才能引起司机注意
B．公共汽车在6s末距离乘客最远
C．若乘客开始追赶公共汽车时距离公共汽车小于20m，则乘客可以追上公共汽车
D．满足恰好引起司机注意的条件下，乘客可以追上公共汽车
【答案】A
【解析】A．按题意
在乘客恰好引起司机注意的条件下，可得则
x=21m
A正确；
B．由于汽车刚启动时乘客比汽车快，因此共速时乘客距离汽车最近，B错误；
CD．若t=6s时恰好追上为临界状态，此情形
即乘客能追上汽车的最小初始距离为18m，CD错误。
故选A。
【例2】（2022·全国·高三专题练习）2021年7月，云南的亚洲象北上引发人们关注，有关部门已采取措
施引导象群返回了原栖息地。象群经过某一平直路段时，一小象因贪玩落后象群里的象妈妈 处时才察
觉，于是小象立刻由静止开始以大小为 的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为 的速度匀速前
行，小象达到最大速度 后的速度保持不变。下列说法正确的是（ ）
A．从小象开始追赶象妈妈起，经 它们相距最远
B．小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为
C．从小象开始追赶象妈妈起，经 小象追上象妈妈
D．小象追赶象妈妈过程中的位移大小为
【答案】D
【解析】A．从小象开始追赶象妈妈，当速度相等时它们相聚最远，则有
A错误；
B．与象妈妈的最远距离为
B错误；
C．小象在四秒时达到最大速度 ，则小象追上象妈妈满足位移关系
四秒时小象的位移只有8m，故小象追上象妈妈时一定达到了最大速度，故经 小象追上象妈妈，C错误；
D．小象追赶象妈妈过程中的位移大小为
D正确。
故选D。
【例3】（2022·山东日照·二模）甲、乙两个质点沿着同一直线运动，其中质点甲做匀速直线运动，质点乙
做初速度为零的匀加速直线运动，它们的位置 随时间 变化规律如图所示。已知 时刻，甲的位置为 ，
且此时两图线的斜率相同，下列判断正确的是（ ）
A．乙的速度大小为 B． 时刻，两质点之间的距离为
C． 时刻，两质点之间的距离为 D．两质点相遇时，乙的速度大小为
【答案】B
【解析】A．由题意可知，甲的速度大小为
时刻甲、乙图线的斜率相同，即此时乙的速度大小也为 ，根据运动学公式则有可得乙的加速度大小为
故A错误；
B．0～ 的时间内，乙的位移为
故两质点之间的距离为
故B正确；
C． 时，甲的位移为
乙的位移为
两质点之间的距离为
故C错误；
D．设两质点经过时间t相遇，则有
解得
（舍去）
故相遇时，乙的速度大小为故D错误；
故选B。
二、图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，
再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进
行分析．
【例4】（2022·湖南·桑植县第一中学模拟预测）某猎豹在追击猎物时，在25m的距离可以从静止加速到
25m/s，此后猎豹的 图像如图所示，0到200m内为一条与x轴平行的直线，200m到250m内为一条倾
斜的直线，假设猎豹和猎物都沿直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．猎豹加速到25m/s后运动250m所用的时间是13s
B．若猎物的速度为10m/s，猎豹发现猎物时，猎豹立马加速追击猎物，若猎豹达到最大速度时，猎豹与猎
物之间的距离大于120m，则猎豹一定不能追到猎物
C．猎豹从静止加速到25m/s所用的时间为2s
D．猎豹加速到25m/s后先做匀速直线运动后做匀减速直线运动
【答案】A
【解析】A．由运动学公式可知在 图像中，图像与横坐标围成的面积为运动时间，可得猎豹加速到25m/s后运动250m所用的时
间为
故A正确；
B．猎豹减速到与猎物共速时，即
时，猎豹追不上猎物，则一定不能追到猎物。由图像可知从猎豹达到最大速度到猎豹减速到与猎物共速过
程中，猎豹运动的位移为
由图像可知，此过程经历的时间
此过程猎物的位移为
即若猎豹达到最大速度时，猎豹与猎物之间的距离大于
时猎豹一定追不上猎物，而若猎豹达到最大速度时，猎豹与猎物之间的距离大于120m小于127.5m，则猎
豹能追到猎物，故B错误；
C．因为不知道猎豹加速过程是不是匀变速运动，则时间无法计算，故C错误；
D．猎豹加速到25m/s后，在0到200m范围内做匀速直线运动，后面做加速度变化的减速运动，故D错误。
故选A。
【例5】（2021·重庆·高三阶段练习）重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨
在赛前进行了 接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加
速后能保持 的速度跑完全程，小杨也能以 的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，
开始以 的加速度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接
力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区
的前端听到口令且有0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为 ，甲起跑后以
的加速度做匀加速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】(1)由
得，小杨进入接力区的速度
小王离接力区末端的距离为
(2)在接力区内，设小杨经过时间 追上小王，根据题意有速度关系
位移关系
解得
，
由题意可知，在小杨进入接力区前，小王的运动时间
乙发出口令的时间到追上经历
乙在接力区前做减速运动的时间是因此
一、单选题
1.（2022·湖南·长郡中学二模）甲、乙两名运动员同时从泳池的两端出发，在泳池里训练，甲、乙的速度—
时间图像分别如图（a）、（b）所示，不计转向的时间，两人的运动均可视为质点的直线运动。则
（ ）
A．两人第一次相遇时处于泳池的正中间处
B．两人前两次相遇的时间间隔为20s
C．50s内两人共相遇了2次
D．两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为t=75s
【答案】C
【解析】根据 图像可画出 图像，甲、乙的 图像如图所示
A.根据 图像的交点表示相遇可知，第一次相遇的时刻为
所以第一次相遇位置不是在中间，故A错误；
B.第二次相遇的时刻为两人前两次相遇的时间间隔为
所以两人前两次相遇的时间间隔为22.2s，故B错误；
C．根据 图像的交点表示相遇可知，在0~50s内甲、乙相遇2次，故C正确；
D．由图可知两人第一次在泳池的两端处相遇的时刻为 ，故D错误。
故选C。
2.（2022·湖南·长郡中学一模）如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶O、O 两
1 2
位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在5m以内时能够实现通信。t=0时刻，甲、乙两车刚好位于图示位
置，此时甲车的速度为4m/s，乙车的速度为1m/s，O、O 的距离为3m。从该时刻起甲车以1m/s2的加速
1 2
度做匀减速运动直至停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，从t=0时刻起，甲、
乙两车能利用蓝牙通信的时间为（ ）
A．2s B．10s C．16s D．20s
【答案】B
【解析】根据几何知识可知，当甲车在乙车前方且 为5m时，根据勾股定理可知
根据运动学公式有
，
解得
，
因为甲车做匀减速运动而乙车做匀速运动，所以两车之间的距离先增大后减小，当此时有
当
此时有
当
此时甲车的速度为
根据几何关系可知，从4s开始到乙车行驶至甲车前方4m的过程中满足
这段过程经历的时间为
所以甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为
故选B。
3.（2022·重庆一中高三阶段练习）2021年4月配备华为自动驾驶系统的新能源汽车实现了在市区1000公
里无干预自动驾驶，该车型在红绿灯启停、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能实现无干预驾驶。
在某次试乘过程中，甲、乙两车沿同一平直公路同向匀速行驶，乙车在前，甲车在后。 时刻两车同时
发现前方较远处突发交通事故，同时开始刹车且恰好不发生碰撞，其 图像如图所示。下列判断正确的
是（ ）
A．两车刹车加速度大小之比为 B． 时两车恰好不发生碰撞
C．两车间的距离一直在减小 D．开始刹车时两车至少相距
【答案】B【解析】A．由图可得甲车的加速度大小为
乙车的加速度大小为
两车刹车加速度大小之比为
故A错误；
B．恰好不发生碰撞的条件是相遇时速度相等，则有
可得
时两车恰好不发生碰撞，故B正确；
C．因为甲的加速度大，速度减得快，所以相遇后两车之间的距离又变大，故C错误；
D．开始刹车时两车至少相距
故D错误。
故选B。
4.（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）A、B两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们
的速度的平方（v2）随位置（x）的变化图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．汽车A的加速度大小为4m/s2 B．汽车A、B经4s相遇C．汽车A，B在x=6m处相遇 D．汽车A、B在x= m处相遇
【答案】C
【解析】A.根据匀变速直线运动的速度位移关系公式
可得
可知 图像的斜率等于2a，对于汽车A，则有
故A错误；
BCD. 对于汽车A，由图知A的初速度
A汽车停止的时间为
4s时A车的位移为6m。对于汽车B，由图知初速度为0，加速度为
汽车B要是行驶6m的距离所用的时间为
所以汽车A、B经 s相遇时，是汽车A静止后B才追上A的，所以汽车A、B在 处相遇，故C
正确，B、D错误。
故选C。
5.（2022·山东潍坊·高三期末）甲、乙两辆小汽车在平直的路面上同向运动，以两车并排时的位置为位移起
点，其位移x与速度平方 变化的关系如图所示，由图可知（ ）A．乙车的加速度逐渐增大 B．甲车的加速度逐渐增大
C．甲比乙早到达 处 D．两车在 处再次相遇
【答案】C
【解析】AB．根据公式
易知甲图线斜率一直增加，其加速度减小；乙图线斜率为一定值，其加速度保持不变。故AB错误；
CD．由图可知，两车在到达x 之前，在相同的位移时甲的速度都比乙的大，甲车的平均速度大于乙车，
1
由公式
可知甲比乙早到达 处。所以两车不可能在 处再次相遇。故C正确；D错误。
故选C。
6．（2020·福建·泉州市教科所模拟预测）通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和在
之间。若高速公路同一车道上一前一后两辆汽车行驶的速度均为 ，前车发现紧急情况
时采取刹车操作，后车发现前车开始刹车时，也刹车操作。已知刹车时两车的加速度大小均为 ，为
避免两车追尾，行驶过程中两车的间距至少应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在反应时间内汽车做匀速直线运动，由于两车的加速相同，所以两车行驶的安全距离即为汽车在反应时间
内的位移，有
故选C。
二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两小球在两条平行直线上向右运动，用高速摄影机在同一底片上多
次曝光，记录下两小球每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔相等。由图可知（ ）
A．在t 时刻，甲在乙前面
7
B．甲、乙相遇了2次
C．t 到t 之间某时刻甲、乙相遇
4 5
D．t 之前甲的速度小于乙的速度
4
【答案】AB
【解析】A．由图可知，甲球在t 时刻已经超过乙球，A正确；
7
B．由图可以看出，甲球做加速运动，乙球做匀速运动，t 时刻甲球靠前，故刚出发不久乙球追上甲球，由
1
于甲球不断加速，故最终会再次超过乙球，故两球相遇两次，B正确；
C．t 到t 之间乙一直在甲前面，则甲、乙没有相遇，C错误；
4 5
D．在t 到t 之间的时间内甲、乙的位移相等，平均速度相等，但甲做加速运动，则在t 之前某时刻，甲的
3 4 4
速度开始大于乙的速度，D错误。
故选AB。
8．（2022·广东茂名·模拟预测）2021年7月31日，第二十届全国大学生机器人大赛ROBOCON圆满闭幕，
本次大赛的主题项目为“投壶行觞”和“机器马术”。如图甲，在一次比赛中a、b两机器人从同一起跑线
沿同一方向做直线运动，它们的速度—时间图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．20s时，a、b两机器人在运动方向上相距约500m
B．40s时，a、b两机器人速度相等，在运动方向上相距最远，为400m
C．60s时，b机器人在a机器人的前方，在运动方向上相距400mD．a、b加速时，b机器人的加速度大于a机器人的加速度
【答案】AD
【解析】A．根据图像可知，t=20s时b车才出发，20s时两者间距即为a在0~20s内的位移；速度—时间图
像与坐标轴围成的“面积”表示位移，则
故A正确；
B．由图像所围面积可知：0~40s内a比b多运动的位移为
故B错误；
C．a、b图像所围面积可知， 60s时二者的位移之差等于20s时的位移差，由A选项分析可知，此时b机
器人在a机器人的后方，在运动方向上相距500m，故C错误；
D．速度—时间图像图线的斜率表示加速度，由图像可知：a、b加速时，a图线的斜率小于b图线的斜率，
说明b机器人的加速度大于a机器人的加速度，故D正确。
故选AD。
9.如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知( )
A．在时刻t，a车追上b车
1
B．在时刻t，a、b两车运动方向相反
2
C．在t 到t 这段时间内，b车的速率先减小后增大
1 2
D．在t 到t 这段时间内，b车的速率一直比a车大
1 2
【答案】BC
【解析】t 时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前b车在后，此后b车在前a车在后，因此，是b车追
1
上a车．由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此，a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做
减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t 时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反．
2
选项A、D错误，B、C正确．
10.(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙
两条曲线所示．已知两车在t 时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
2A．两车在t 时刻也并排行驶
1
B．在t 时刻甲车在后，乙车在前
1
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】BD
【解析】t ～t 时间内，甲车位移大于乙车位移，且t 时刻两车并排行驶，则t 时刻甲在乙的后面，A项错
1 2 2 1
误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确．
三、解答题
11.（2022·浙江·高三专题练习）新交规规定：“在没有信号灯的路口，一旦行人走上人行道，机动车车头
便不能越过停止线”。如图甲所示，一长度为 的卡车以 的初速度向左行驶，车头距人
行道为 ，人行道宽度为 。同时，一距离路口为 的行人以 的速度匀速走向
长度为 的人行道。图乙为卡车的侧视图，货箱可视为质点，货箱与车之间的动摩擦因数为 ，
货箱距离车头、车尾的间距为 、 。 重力加速度 取 ，求：
（1）当司机发现行人在图中位置时立即加速且以后加速度恒定，要保证卡车整体穿过人行道时，人还没
有走上人行道，卡车的加速度最小为多少；
（2）如果司机以第（1）问的最小加速度加速，且穿过人行道后立即匀速，通过计算说明货箱是否会掉下
来；
（3）当司机发现行人在图示位置时立即减速且以后加速度恒定，要保证不违反交规，且货箱不撞到车头，
求卡车刹车时加速度大小需要满足的条件。
【答案】（1） ；（2）会；（3）
【解析】（1）人走上人行道的时间在 末卡车刚好穿过人行道，加速度最小，设为
解得
（2）卡车穿过人行道时
货箱的加速度
假设箱子没掉下来，货箱加速的时间为
货箱的位移为
汽车的位移为
所以箱子相对汽车向后运动
假设错误，箱子会掉下来；
（3）①人穿过人行道的时间
假设 内汽车的位移小于 ，加速度最小，由
得以此加速度汽车减速为零的时间为
说明此加速度汽车在9s时已经减速为零，9s后不再运动，而此时刹车距离
说明假设错误，所以卡车在 内速度减小为零加速度最小
②箱子刚好不撞车头时，卡车的加速度最大，设为 ，有
解得
刹车时加速度需要满足的条件
12．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀
速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t=0），A、B两车的v-t图
像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x=12m。
1
（1）求B车运动的速度v 和A车的加速度a的大小。
B
（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t=0）两车的距离s 应满足什么条件？
0
【答案】（1）v =12m/s，a=3m/s2；（2）s>36m
B 0
【解析】（1）在t=1s时A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得
1解得B车的速度为
v =12m/s
B
图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为
其中
t=5s
2
解得A车的加速度大小为
a=3m/s2
（2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v-t图像的t=5s时刻，此时两车已发生的相对
2
位移为梯形的面积，则
代入数据解得
s=36m
因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离s 应满足条件为
0
s>36m
0
