文档内容
难点 11 碰撞模型的拓展
一、“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，
两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)．
【例1】(多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为 m 和m 的两物块A、B相连接并静止在光滑
1 2
的水平地面上．现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度—时间图像如图乙，则有( )
A．在t、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
1 3
B．从t 到t 时刻弹簧由压缩状态恢复原长
3 4
C．两物块的质量之比为m∶m＝1∶2
1 2
D．在t 时刻A与B的动能之比E ∶E ＝1∶8
2 k1 k2
【例2】如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块 B上，另一端与滑块C接触但未连接，该整体静止放在
离地面高为H＝5 m的光滑水平桌面上．现有一滑块A从光滑曲面上离桌面h＝1.8 m高处由静止开始滑下，
与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经过一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水
平桌面上匀速运动一段距离后从桌面边缘飞出．已知m ＝1 kg，m ＝2 kg，m ＝3 kg，取g＝10 m/s2，不计
A B C
空气阻力．求：
(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小；(2)被压缩弹簧的最大弹性势能；
(3)滑块C落地点与桌面边缘的水平距离．
二、“滑块—斜(曲)面”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共 ，此时m的竖直速度v
y
＝0.系统水平方向动量守恒，mv
0
＝(M＋m)v共 ；系统机械能守恒，mv
0
2＝(M＋m)v共 2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧
形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)．
(2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv ＝mv ＋Mv ；系统机械能守恒，mv2＝mv2＋
0 1 2 0 1
Mv2(相当于完成了弹性碰撞)．
2
【例3】(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为 M的
小球以速度v 水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则( )
0
A．小球以后将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为Mv 2
0
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
【例4】如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰
块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面 3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，
在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m ＝30 kg，冰
1
块的质量为m＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.
2
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是m的小车A和B，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v 向右运动，另有一质量为m的粘性物体，从高处自由落下，正好
0
落在A车上，并与之黏合在一起，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为（ ）
A． mv2 B． mv2 C． mv2 D． mv2
0 0 0 0
2．（2020·全国·高三专题练习）质量分别为3m和m的两个物体，用一根细绳相连，中间夹着一根被压缩
的轻弹簧，在光滑的水平面上以速度v 匀速运动．某时刻剪断细绳，质量为m的物体离开弹簧时速度变为
0
v=2v，如图所示．则在这一过程中弹簧做的功和两物体之间转移的动能分别是
0
A． B．
C． D．
3．（2021·广东·高三专题练习）如图，三个质量分别为 的物块 静止在光滑水平直轨
道上。 间用一根细线相连，然后在 间夹一压缩状态的轻质弹簧，此时轻弹簧的弹性势能为 。现
在剪断细线，A和B向两边滑出，当轻质弹簧恢复原长时，B与C发生弹性碰撞，下列说法正确的是（
）
A．弹簧恢复原长时，
B．弹簧恢复原长时，
C．若 ，则B与C弹性碰撞后均以原速度大小的 返回D．若 ，则B与C弹性碰撞后均以原速度大小的一半返回
4．（2021·陕西·韩城市象山中学高三阶段练习）如图所示，一轻质弹簧两端连着物体 和 ，放在光滑的
水平面上。物体 被水平速度为 的子弹射中并嵌在其中。已知物体 的质量为 ，物体 与子弹的质
量均是 ，求弹簧压缩到最短时的弹性势能（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，光滑水平面上有两辆小车，用细线（未画出）相连，中间有一
个被压缩的轻弹簧（与两小车未连接），小车处于静止状态，烧断细线后，由于弹力的作用两小车分别向
左、右运动。已知两小车的质量之比为m∶m＝2∶1，下列说法正确的是（ ）
1 2
A．弹簧弹开后左右两小车的速度大小之比为1∶2
B．弹簧弹开后左右两小车的动量大小之比为1∶2
C．弹簧弹开过程左右两小车受到的冲量大小之比为2∶1
D．弹簧弹开过程弹力对左右两小车做功之比为1∶4
6．（2020·江苏·高三阶段练习）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m、m 的两物块A、B，并静
1 2
止在光滑水平面上。现使A获得水平向右、大小为3m/s的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随
时间变化的规律如图乙所示，从图象提供的信息可得（ ）
A．两物块的质量之比为m：m=2：1
1 2
B．在t 时刻A、B两物块的动能之比为1：4
2C．在t～t 时间内A、B的距离逐渐增大，t 时刻弹簧的弹性势能为零
1 2 2
D．在t 和t 时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态
1 3
7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，光滑的圆弧轨道B静止于光滑的水平面上，其下端与水平面平
滑连接。小球A以一定的初速度向右滑上圆弧轨道，当小球A与圆弧轨道B上与其共速时，小球A与圆弧
轨道B的动能之比为1：3，则此时小球的动能与其重力势能之比为（以水平面为零势能面，不计二者之间
的能量损失。）（ ）
A．1：12 B．1：6 C．1：4 D．1：3
8．（2020·全国·高三专题练习）如图所示，质量为M的足够高光滑斜槽静止在光滑水平面上，质量为m
的小球以一定的水平初速度冲上斜槽且不脱离斜槽，后又返回斜槽底部，则下列说法正确的是（ ）
A．小球获得的最大重力势能等于小球初始动能
B．小球到达斜槽最高点处，小球的速度为零
C．小球回到斜槽底部时，小球速度方向一定向右
D．小球回到斜槽底部时，小球速度方向可能向左
9．（2022·全国·三模）如图所示，质量为m的子弹以v 的水平初速度射向放在光滑水平面上的物块，物块
0
质量为5m。水平面左端与一固定光滑圆弧轨道平滑相接，子弹进入物块后没有射出，物块恰好能到达轨
道的最高点，当地重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块和子弹的最大重力势能为 mv2
0
B．圆弧轨道的半径为
C．子弹进入物块后一起运动过程中，物块和子弹动量守恒D．整个作用过程中，物块和子弹的机械能守恒
10．（2022·云南·宣威市第三中学高三阶段练习）如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m的
光滑弧形槽静止放在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一个质量为m的小物块从槽高h处开始自
由下滑，下列说法错误的是（ ）
A．在下滑过程中，物块和弧形槽组成的系统机械能守恒
B．在下滑过程中，物块和槽的水平方向动量守恒
C．物块被弹簧反弹后，离开弹簧时的速度大小为v=2
D．物块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能E=mgh
p
11．（2022·广东·高三专题练习）如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧
面为圆弧面且水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度 向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后
又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块b沿a上升的最大高度为
B．滑块a运动的最大速度
C．滑块b沿a上升的最大高度为
D．滑块a运动的最大速度
12．（2020·全国·高三专题练习）如图所示，质量为M的小车的上表面由均匀粗糙的水平段ac和光滑的四
分之一圆弧段cd组成，b是ac段的中点，小车静止在光滑的水平面上，一质量为m的小物块（可视为质点）从小车左端点a处以水平初速度v 冲上小车水平段。如果小车固定，小物块恰好能返回a处，如果小
0
车不固定，下列说法正确的是（ ）
A．小物块还是恰好能返回a处
B．小物块一定能通过c处再返回
C．如果M＝m，小物块一定相对小车停在b处
D．如果M＝m，小物块一定相对小车停在c处
二、多选题
13．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习）如图所示，小球A与小球B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上，
一颗质量为 的子弹，以大小为 的水平速度射入小球A，并在极短时间内嵌在其中。已知小
球A的质量为 ，小球B的质量为 ，小球A和小球B始终未发生碰撞，弹簧始终在弹性限度内，
下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入小球A后，小球A（含子弹）和小球B组成的系统动量守恒
B．子弹射入小球A的过程中，小球A和子弹的总动能保持不变
C．弹簧的弹性势能最大值为
D．小球A（含子弹）和小球B相互作用过程中，B所能达到的最大速度为
14．（2022·河南·模拟预测）如图所示，质量分别为 和 的A、B两个小球置于光滑的水平面上，B与
轻质弹簧栓接在一起，A不与弹簧栓接，弹簧处于原长。现给A一个向左的水平初速度 ，A与弹簧发生
相互作用，最终与弹簧分离。下列说法正确的是（ ）
A．A与弹簧分离之前，A与B的加速度之比为1：2B．A、B在运动过程中，弹簧的最大弹性势能为 ，若将小球B固定，弹簧的最大弹性势能为 ，则
C．若在B的左侧某处固定一挡板（位置未知，图中未画出），在A与弹簧分离前，B与挡板发生弹性碰
撞（碰撞时间极短），则碰后弹簧的最大弹性势能不可能大于
D．若在B的左侧某处固定一挡板（位置未知，图中未画出），在A与弹簧分离前，B与挡板发生弹性碰
撞（碰撞时间极短），则碰后弹簧的最大弹性势能不可能小于
15．（2022·山西·运城市景胜中学高三阶段练习）如图所示，c是半径为R的 圆周的圆弧形光滑槽，其质
量为3m，静置于光滑水平面上，A为与c的圆心等高的点，B为c的最低点，与水平面相切。一可视为质
点、质量未知的小球b静止在c右边的水平面上。将另一可视为质点、质量为m的小球a从槽口A点自由
释放，到达水平面上与小球b发生弹性正碰。整个过程中，不计一切阻力，重力加速度为g，下列说法正
确的是（ ）
A．小球a第一次下滑到B点过程中，小球a和光滑槽c组成的系统机械能守恒，动量守恒
B．小球a第一次下滑到B点时，光滑槽c的速率为
C．小球a第一次下滑到B点时所受支持力大小为
D．当小球b的质量为3m时，小球a与小球b碰撞后，小球a沿光滑槽c上升最大高度为
16．（2022·广东·兴宁市齐昌中学高三期末）如图所示，质量为M的滑槽静止在光滑的水平地面上，滑槽
的 部分是粗糙水平面， 部分是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道。现有一质量为m的小滑块从A
点以速度 冲上滑槽，并且刚好能够滑到滑槽轨道的最高点C点，忽略空气阻力。则在整个运动过程中，
下列说法正确的是（ ）A．滑块滑到C点时，速度大小等于
B．滑块滑到C点时速度变为0
C．滑块从A点滑到C点的过程中，滑槽与滑块组成的系统动量和机械能都守恒
D．滑块从B点滑到C点的过程中，滑槽与滑块组成的系统动量不守恒，机械能守恒
三、解答题
17．（2020·湖南·宁乡一中高三阶段练习）如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量均为m的小车A和
B，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v 向右运动，另有一质量为m的黏性物体，从高处自由
0
落下，正好落在A车上，并与之粘合在一起，粘合之后的运动过程中，求：
(1)弹簧获得的最大弹性势能；
(2)B车运动的最小速度。
18．（2020·天津河西·二模）如图所示，在光滑水平桌面AB上静止着两个小滑块1、2，质量分别为
kg、 kg，两滑块之间有一被压缩轻弹簧（滑块与轻弹簧之间不拴接），A的左端固定着与
AB相切的光滑竖直半圆轨道，滑块恰好可以在其内部滑行；B的右端与一水平传送带相连，传送带长
L=0.9m，且顺时针转动。现释放被压缩的弹簧，两滑块在桌面上被弹出，滑块1恰好能过半圆轨道的最高
点F；滑块2从传送带的右端离开后，落在水平地面上的D点，已知滑块2被弹出时的速度 m/s，与
传送带间的动摩擦因数 ，C点距地面高h=0.2m。不计半圆轨道的孔径的大小，取g=10m/s2，求：
(1)被压缩的轻弹簧的弹性势能E ；
P
(2)滑块1经过双半圆环轨道最低点A时对轨道的压力大小；
(3)若传送带的速度取值范围为4m/s
