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专题 12 功 功率
1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.
2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.
3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负
功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
【典例1】（2022·新疆·三模）如图甲所示，质量 的足够长的木板静止在光滑水平面上，质量的小物块静止在木板的右端。现对木板施加一水平向右的拉力，小物块与木板运动的速度图像如
图乙所示， 取 。下列说法正确的是（ ）
A．水平拉力为
B．小物块与长木板间的动摩擦因数为
C．在 时间内，水平拉力做的功为
D．在 时间内，木板克服摩擦力所做的功为
【典例2】（天津市红桥区教师发展中心高三期末）起重机以a=2m/s2的加速度，将重G=104N的货物由静
止匀加速向上提升。那么，在1s内起重机对货物做的功是（g=10m/s2）（ ）
A．10000J B．12000J C．15000J D．20000J
考点二 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
FW －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
【典例3】（2021·全国·高三专题练习）水平桌面上，长R=5m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视
图），另一端系一质量m=2.0kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动
到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取
g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【典例4】（2021·全国·高三专题练习）一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，
力F对物体做的功为（ ）
A．3 J B．6 J
C．7 J D．8 J
【典例5】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的
拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F
做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2
A．W>W
1 2
B．W<W
1 2C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可
以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向
上的分速度．
【典例6】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）做俯卧撑时，要求身体俯卧、伸直，两脚用力撑地，使得
上半身在手臂的支持下慢慢抬起，直到两臂伸直，如图所示。某同学身高1.75m，手臂长度为0.7m，体重
750N，他在1分钟内完成了40个俯卧撑。估算该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为（ ）
A．180W B．260W C．360W D．480W
【典例7】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中
可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m
和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则1min内克服重力做的功和相应的功率约为（g取10m/s2）（ ）
A．430J，7W B．4320J，72W C．720J，12W D．7200J，120W
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到P
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
OA 分析 ＝P ＝Fv
额 1
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F 阻⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
AB 分析
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F 阻⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速直
BC段
线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝<v ＝.
m
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F x＝ΔE.此式经常用于求解机车以
阻 k
恒定功率启动过程的位移大小和时间．
【典例8】（2022·全国·高三课时练习）图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重
机某次从 时刻由静止开始提升质量为m的物体，其 图像如图乙所示， 时间内起重机的功率
为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
A．该起重机的额定功率为
B．该起重机的额定功率为
C． 和 时间内牵引力做的功之比为
D． 和 时间内牵引力做的功之比为
【典例9】（2021·广东东莞·高三阶段练习）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直
线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其 图像如图所示。已知汽车的质量为
m=2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则（ ）
A．汽车的额定功率为50kW
B．当汽车速度为15m/s时，加速度大小为1.5m/s2
C．汽车在前5s内的牵引力为6×103N
D．汽车的最大速度为20m/s
一、单选题
1.（2022·江苏省昆山中学模拟预测）如图所示，一个质量为60kg的运动员在做俯卧撑运动。已知运动员
每分钟完成25个俯卧撑，则运动员克服重力做功的平均功率最接近（ ）A．1W B．10W C．100W D．300W
2．（湖北·模拟预测）质量为m的赛车在水平直线赛道上以恒定功率P加速，受到的阻力 不变，其加速
度a与速度的倒数 的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．赛车速度随时间均匀增大
B．赛车加速度随时间均匀增大
C．赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．图中纵轴截距 、横轴截距
3．（2022·上海黄浦·二模）如图所示，汽车以不变的速率通过路面abcd、ab段为平直上坡路，bc段为水
平路，cd段为平直下坡路。设汽车在ab、bc、cd段行驶时发动机的输出功率分别为P、P、P，不计空气
1 2 3
阻力和摩擦阻力的大小变化，则 （ ）
A．P＝P＞P B．P＝P＜P C．P＜P＜P D．P＞P＞P
1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3
4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测）根据机动车的运动情况，绘制如图 图像，已知机动车质
量为 kg，其在水平路面沿直线行驶，规定初速度v 的方向为正方向，运动过程中所受阻力恒定为
0
N。则以下说法合理的是（ ）A．机动车牵引力恒定且大于阻力
B．机动车的初速度为20m/s
C．机动车的加速度为8m/s2
D．2秒末机动车牵引力功率为 W
5.（2021·黑龙江·汤原县高级中学高三期中）用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的
深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，
第二次钉子进入木板的深度为（ ）
A．（ -1）d B．（ -1）d C． D． d
6．（2022·浙江·高三专题练习）放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时
间的关系图象和拉力的功率与时间的关系图象如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的质量为 kg
B．滑动摩擦力的大小为5N
C．0～6s拉力做的功为30J
D．0～2s内拉力做的功为20J
7．（2022·贵州黔南·模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨
杆的平均拉力为 ，半径 为 ，转动一周为 ，则（ ）A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
8．（2022·浙江·模拟预测）小型的射电望远镜相比于大口径的射电望远镜，有能够全方位转动的优点。设
地球上有两台直径分别为 、 的小型射电望远镜A和B，两者能观测到天体需要收集的电磁波总功率的
最小值相同。在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。现仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，
望远镜A能够观测到此类天体数量为N，则望远镜B能够观测到此类天体的数量为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）动车组是由几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢组成的，带动力的
车厢叫动车，不带动力的车厢叫拖车。每节动车与拖车质量都相等，每节动车的额定功率都相等。动车组
运行过程中总阻力来自两部分：一部分是车轮与铁轨之间摩擦产生的机械阻力，阻力大小与动车组的质量
成正比；另一部分来自于空气阻力，阻力大小与动车组速度的平方成正比。一列12节车厢的动车组，有3
节动车时最大速度为160 km/h，此时空气阻力是总阻力的0.5倍。若要使12节车厢的动车组的速度达到
240 km/h，则动车的节数至少为（ ）
A．7节 B．8节
C．9节 D．10节
10.（2022·江西·模拟预测）一辆汽车由静止开始沿平直公路保持恒定的功率P 启动，假设汽车在启动过程
0
中所受的阻力大小不变，在启动过程中利用计算机描绘出了汽车的加速度关于速度倒数的变化规律图像，
如图所示，图线中标出的量均为已知量。则下列说法正确的是（ ）A．阻力大小为 B．该汽车的最大速度为
C．该汽车的质量大小为 D．汽车从启动到速度达到最大所需的时间为
二、多选题
11．（2022·全国·高三课时练习）下列各图是反映汽车（额定功率为 ）从静止开始匀加速启动，最后做
匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是（
）
A． B．
C． D．
12．（2020·湖南·平江县第三中学高三阶段练习）如图所示，倾角为θ的斜劈放在水平面上，斜劈上用固
定的竖直挡板挡住一个光滑的质量为m的小球，当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，以
下说法正确的是（ ）
A．小球的重力做功为零
B．斜劈对小球的弹力做功为C．挡板对小球的弹力做功为零
D．合力对小球做功为零
三、解答题
13．（2022·上海金山·二模）如图，固定斜面的长为2.4m、倾角为37°。质量为1kg的物体受到沿斜面向上、
大小为2N的恒力F作用，从斜面底端以一定初速度沿斜面向上运动。已知物体与斜面间的动摩擦因数为
0.25，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2
（1）求物体沿斜面向上运动的加速度大小；
（2）若物体上升到斜面中点时速度为零，求其在斜面上的运动时间；
（3）若物体沿斜面上升过程中恒力F的平均功率为5W，求物体的初速度大小。
14．（2021·山东·文登新一中高三期中）汽车发动机的额定功率为60kW，若其总质量为5t，在水平路面上
行驶时，所受阻力恒为车重的0.1倍，g取10m/s2。
（1）汽车保持其额定功率不变从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2m/s2时，速度
多大？当汽车的速度为6m/s时，加速度多大？
（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ 5s末和
17s末的瞬时功率。
15．（2022·全国·高三专题练习）电池技术作为电动汽车的核心和瓶颈，是电动汽车研究的重点和热点方
向。国内某公司研发的全气候电池，在低温条件下，能实现充电时间缩短到1h内，自加热速率达到7℃/
min，-10℃环境下电池总能量最多可释放90％。搭载该型号电池的国产电动汽车作为交通服务用车为北京
冬奥会提供了交通保障。已知该型号电动汽车配置的全气候电池总能量是60kW·h，汽车电动机最大功率
是160kW，最大车速是180km/h，在平直公路上行驶过程中受到阻的力f与车速v的关系式可以认为
f=kv2，k为比例系数。求：
（1）电动汽车以最大速度行驶时的牵引力和比例系数k；
（2）电动汽车在电池充满电后，在-10℃的环境下，以54km/h的速度在平直公路匀速行驶时的最大续航里
程（汽车电动机驱动汽车行驶的能量占电池释放能量的80％）。
16．（2022·浙江·丽水第二高级中学高三阶段练习）在我国四川大凉山腹地，有一个悬崖村，它坐落在海
拔1600米的悬崖顶上，交通十分不便，人均收入几乎为零，为了争取早日脱贫攻坚任务，当地政府与京东
展开合作。村民们可以利用无人机（如下图）将山里的特产送下山，也可以利用无人机运输急救药品和生
活必需品。某次无人机在基地进行物流配送与飞行测试。实验中该无人机空载先从地面由静止竖直向上匀
加速起飞，上升到100m高度时无人机速度达到最大速度20m/s，随后以等大加速度减速正好到达目标所在
位置。当无人机满载物品后，先以 加速度匀加速下降。已知无人机在飞行测试阶段受到的空气阻力
为重力的0.1倍，已知该无人机的空载质量为80kg，有效载荷为20kg，求：
（1）无人机从静止到目标所在位置的时间；
（2）在空载上升阶段中，当无人机速度达到最大速度20m/s瞬间，无人机发动机的输出功率；（3）满载后，无人机从目标所在位置回到地面时，当达到最大速度20m/s后匀速飞行5s，最后匀减速直
线运动回到地面速度恰好为零，求减速阶段无人机的升力。
