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专题 6.24 《平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在 中，以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交 于
点E，F，再分别以E，F为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 交
于点G．若 ，则 的长为（ ）
A． B．6 C． D．
2．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且 ，延长
AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：① 是等边三角形：② ；
③ ：④ ；⑤ 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④
3．如图，点P是 ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、
▱
△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论：①
；②如果 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，
则P点一定在对角线BD上．其中正确的有（ ）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
4．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边
形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，折叠 ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的
点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若 ABCD的面积是8，则下列结论中正
确的是（ ）
A．四边形AEHG不是平行四边形
B．AB≠AE
C．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若BC=4，则点E到BG的距离为1
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别
交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）A．6 B．8 C．10 D．13
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线 上一动点，将点A向右
平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴
的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接
OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边
三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S
AEFD＝20．正确的个数是（ ）
四边形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在Rt ABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋
转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接
MP、PN、MN．① PMN为等腰直角三角形；② ；③△PMV面积的最大
值是 ；④ PMN周长的最小值为 ．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在 和 中， ， ，
，点M、N、P分别为 的中点，若 绕点A在平面内自由旋
转，则 面积最大时 的值为（ ）
A． B． C． D．16
12．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A
的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸
片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）A． B． C． D．
13．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把 沿着AD翻折，
得到 ，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点， ， ， 的面
积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
14．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1
＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（
）
A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
15．图1是二环三角形，S＝∠A+∠A+…+∠A=360 ，图2是二环四边形，S＝
1 2 6
∠A+∠A+…+∠A =720 ，图3是二环五边形，S＝∠A+∠A+…+∠A =1080 …聪明的同
1 2 1 2
学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
二、填空题
16．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝4 ，∠CAB＝60°，D为AC的中点，E为AB上
的一动点，以AD、DE为一组邻边构造 ADEP，连接CP，则CP的最小值是_______．
▱
17．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，
AD与y轴平行，已知 ， ， ， ，则D点的坐标为
_______．
18．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是 ABCD内一动点，且
▱ ▱
S PBC＝ S PAD，则PA＋PD的最小值为______．
△ △19．如图，在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻
折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为
______．
20．如图，一副三角板如图1放置， ，顶点 重合，将 绕其顶点
旋转，如图2，在旋转过程中，当 ，连接 ， ，此时四边形 的
面积是________．
21．如图，平行四边形 中， cm， cm，点 在 边上以每秒
1cm的速度从点、A向点 运动，点 在 边上，以每秒4cm的速度从点 出发，在
间往返运动，两个点同时出发，当点 到达点 时停止（同时点 也停止）在运动以后，
当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．22．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边
和等边 ，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段
MN的长是__________．
23．已知△ABC，∠C＝90°，AD＝EC，AC＝BE，BD交AE于点O，则∠BOE＝
_____．
24．如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接
CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为_____．
25．如图 ，在 ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝16，点 O 是 ABC 的重心，将线段
AO 绕点 A 逆时针旋△转至 O′，点 D 为线段 CO′的中点，连接 B△D，则 BD 的最大值为
_____．26．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接DC，
点M，P，F分别为DE，DC，BC的中点，△ADE可以绕点A在平面内自由旋转，若AD＝
4，AB＝10，则△PMF的面积S的变化范围是_____．
27．如图，点D为△ABC的边AC的中点，点E为AB上一点，若∠AED＝150°，
∠ABC＝120°，则 的值为 __．
28．如图，在 ABC中，∠BAC＝120°，点E、F分别是 ABC的边AB、AC的中点，
边BC分别与DE、DF相交于点H、G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下
列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中
正确的结论有__．
29．（1）如图1所示， _________ ；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为 ；图2
称为二环四边形，它的内角和为 ，则二环四边形
的内角和为__________ ；二环五边形的内角和为__________ ；二环n边形的内角和为
_________ ．三、解答题
30．如图，在平行四边形ABCD中， ，EA是∠BEF的角平分线，求证：
(1) ； (2) ．
31．如图，在直角坐标系中， ， ，一次函数 的图象过 ，
与x轴交于A点．
(1)求点A和点C坐标；
(2)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(3)将 绕点O顺时针旋转，旋转得 ，问：能否使以O、 、D、 为顶点
的四边形是平行四边形？若能，直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．32．阅读材料
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线
平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：
AC＝BF．
小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用
如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．
把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．
①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；
②若AB＝4，CF CD请直接写出CF的长．
参考答案
1．A
【分析】
根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证
明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即
可解决问题．
解：过A作AM⊥CD于M，根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∵ , ，
∴CD∥AB，AD=BC=6， ，
∴∠DGA=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=BC=6，
∵ ，
∴∠DGA=30°，∠ADM=60°，
∴在Rt△ADM中， ，
∴ ，
∴在Rt△AGM中， ，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；
根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．
2．C
【分析】
由AB=AE及平行四边形的性质、AE平分∠BAD，可得△ABE是等边三角形，即可判
定①正确；由△ABE是等边三角形及平行四边形的性质可得 ，即可判定②
正确；若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等，即可判定③错误；由
，可对④作出判断；由 及前一步的证明可判定
⑤．
解：∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAE=∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB=∠ABE
∴△ABE是等边三角形
故①正确
∵△ABE是等边三角形
∴∠ABE=∠BAE=60°
∴ ∠ABE=∠DAE=60°
∵AB=AE，BC=AD
∴
故②正确
若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等
故③错误
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
故④错误
∵AD∥BC∴
由④知，
∴
即
故⑤正确
即正确的有①②⑤
故选：C.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，等底等高的两个三角形面积相等，其中平行四边形的性质是解题的关键．
3．D
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的
距离分别为h、h、h、h，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据
1 2 3 4
三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S+S＝S+S＝S ABD＝
1 4 2 3
△
S BDC＝ S ABCD，即可判断④．
平行四边形
△
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h、h、h、h，
1 2 3 4
则S＝ ABh，S＝ BCh ，S＝ CDh ，S＝ ADh，
1 1 2 2 3 3 4 4
∵ ABh+CDh ＝ AB•hAB， BCh + ADh＝ BC•hBC，
1 3 2 4
又∵S ABCD＝AB•hAB＝BC•hBC
平行四边形
∴S+S＝S+S，故①正确；
2 4 1 3
根据S＞S 只能判断h＞h，不能判断h＞h，即不能得出S＞S，故②错误；
4 2 4 2 3 1 3 1
根据S＝2S，能得出h＝2h，不能推出h＝2h，即不能推出S＝2S，故③错误；
3 1 3 1 4 2 4 2
∵S﹣S＝S﹣S，
1 2 3 4∴S+S＝S+S＝ S ABCD，
1 4 2 3 平行四边形
此时S+S＝S+S＝S ABD＝S BDC＝ S ABCD，
1 4 2 3 平行四边形
△ △
即P点一定在对角线BD上，
∴④正确；
故选：D
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点
的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，
也是本题的难点．
4．B
【分析】
过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形
的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC
是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面
积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．
解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，
由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵ ，
∴CN＝ ，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴S ABCD＝AB•DM＝AC•BF，
平行四边形
∴4× ＝2 BF，
∴BF＝ ，
∴CF＝ ＝ ＝ ，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2 ﹣2× ＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质
与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
5．C
【分析】
根据轴对称、平行四边形、等腰三角形的性质，得 ， ，从而证明四
边形AEHG是平行四边形；根据轴对称和平行四边形的性质，得 ；设点E
到BG的距离为 ，结合根据轴对称的性质分析，即可得到答案．
解：∵折叠 ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G
处，点D落在点H处，
∴ ， ， ，四边形 面积=四边形 面
积
∵ ABCD
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即选项B不正确；
∴∴四边形AEHG是平行四边形，即选项A不正确；
∴
∵四边形 面积=四边形 面积
∴ 四边形 面积= +四边形AEHG面积
∵四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x， ABCD的面积是8
∴ ，即
∵点E在AD边上
∴ 四边形BCDE面积 ，即
∴ ，即选项C正确；
设点E到BG的距离为
∵ 四边形 面积
∴ 四边形 面积
∴ ，即
∴
∴ ，即点E到BG的距离为2
∴选项D不正确
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数、平行四边形、等腰三角形、轴对称的知识；解题的关
键是熟练掌握轴对称、平行四边形的性质，从而完成求解．
6．B
【分析】
设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO
（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴ ，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾
股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
7．A
【分析】
设D（﹣1，0），作D点关于直线 的对称点E，连接OE，交直线于
A，连接AD， ，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析
式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得
OE．
解：设D（﹣1，0），作D点关于直线 的对称点E，连接OE，交直线
于A，连接AD， ， 交 于点 ，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD＋OA＝OB＋BC，
∵AE＝AD，
∴AE＋OA＝OB＋BC，
即OE＝OB＋BC，
∴OB＋CB的最小值为OE，
由 ，当 时， ，
解得： ，
，
，
当 时， ，
，
，
，
取 的中点 ，过 作 轴的垂线交 于 ，
，
当 时， ，
，
，
，为 的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝ DF＝ ，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝ DE＝ ，DS＝ DE＝ ，
∴OS＝ ，
∴OE＝ ＝ ，
∴OB＋CB的最小值为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、
勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．
8．B
解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作 且 ，连接O’C交
AB于点D，连接ON，MO，四边形MNOC为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，即 ，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线， 取得最小值，
， ，
∵设 ，则 ，
，
解得： ，
即： ， ，
，
解得： ，
，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∵
，
∴ ，
∴在 中，
，
即： ，
，
∴
故选：B．
【点拨】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，
角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
9．B【分析】
由 ，得出 ，故①正确；再由 证得 ，得
，同理 ，得 ，则四边形 是平行四
边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得 ，则③错误；最后求出
，故④错误；即可得出答案．
解： ， ， ， ，
，
是直角三角形， ，
，故①正确；
， 都是等边三角形，
，
，
和 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
同理可证： ，
，
四边形 是平行四边形，故②正确；
，故③错误；
过 作 于 ，如图所示：
则 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的个数是2个，故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判
定与性质、等边三角形的性质、含 角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边
形的判定与性质，证明 是解题的关键．
10．C
【分析】
连接BD，CE，根据题意可证 ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形
△
中位线定理可证 MPN是等腰直角三角形，则S PMN= PN2= BD2．可得BD最大时，
△ △
PMN的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD=4
△为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求 PMN的面积最大值．再利用等腰直角三角
形的性质求出AM和AN的值，得出MN的最值△，进一步解决问题．
解：连接BD，CE，
∵△ABC， ADE是等腰直角三角形
∴AD=AE，△AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE
∴△ADB≌△AEC
∴DB=EC，∠ABD=∠ACE
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点∴MP∥EC，MP= EC，NP= DB，NP∥BD
∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC
设∠ACE=x°，∠ACD=y°
∴∠ABD=x°，∠DBC=45°-x°=∠PNC，∠DCB=45°-y°
∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=90°-x°-y°
∴∠MPN=90°且PN=PM
∴△PMN是等腰直角三角形．故①正确；
∵AB=AC=10，∠BAC=90°，∠DAE=90°，AD=AE=4，
由勾股定理得，
∵M，N为DE和BC的中点
∴
当A、N、M三点共线时，MN有最大值和最小值
的最小值为 ， 的最大值为 ，
∴ ，故②错误；
∵S PMN= PN2= BD2．
△
∴当BD最大时， PMN的面积最大．
∵D是以A点为圆心△，AD=6为半径的圆上一点
∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大
此时BD=AB+AD=14
∴ PMN的面积最大值为 ，故③错误；
△
当MN最小时，即 时， 也最小，为3
∴ 的周长最小值为 ，故④正确，
∴正确的结论有①④，共2个
故选：C
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．C
【分析】
连接BE、CF，根据三角形中位线定理得出
，继而推出 ，可证
，可推出 为等腰直角三角形，所以，要使 面积最大，即
PN最大，即BE最大，即当点E在BA的延长线上时，满足条件，进而求解即可．
解：
如图，连接BE、CF
点M、N、P分别为 的中点
即
又 ，
为等腰直角三角形
要使 面积最大，即PN最大，即BE最大
即当点E在BA的延长线上时，满足上述条件故选：C．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形
的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．B
【分析】
如图，作GH⊥AD，BR⊥AD， ， ，利用角平分线和中位线的性质求
得 的长度，根据垂线段最短，即可求解．
解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
∵∠BAD=45°，AB=10
∴ 为等腰直角三角形，
由题意可得， 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，当 、 两点重合时，
即 的最小值为
故选：B．
【点拨】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位
线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
13．B
【分析】连接BE，交AD于点O．过点E作 于点H，点F作 于点G，由翻折
的性质可得出AB=AE， ，BD=DE，易证 ，得出结论
BO=EO， ，即证明 ．由题意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得
出 和 等底同高，即可求出 的面积，从而可求出EO的长，进而可求出BE
的长．再在 中，利用勾股定理可求出OD的长，最后在 中，利用等积法，
即可求出 的长，再由点F是DE的中点和所作辅助线，即可求出FG的长，即点F到
BC的距离．
解：如图，连接BE，交AD于点O．过点E作 于点H，点F作 于点
G，
由翻折可知AB=AE， ，BD=DE，
又∵AO=AO，
∴ ，
∴BO=EO， ，
∴ ．
∵点F是DE的中点，EF=2.5，
∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，
∴ 和 等底同高，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得： ．
∴在 中， ，
∵ ．
∴ ．
又∵ ，∴ ，
解得： ．
∵点F是DE的中点， ， ，
∴FG为 中位线，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线
的判定和性质．正确的作出辅助线和利用数形结合的思想是解答本题的关键．
14．B
【分析】
根据三角形的内角和定理，以及四边形的内角和定理即可求出答案．
解：由题意可知：∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∠B+∠C＝180°﹣∠A
∵∠AED+∠ADE+∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴180°﹣∠A+∠1+∠2+180°﹣∠A＝360°
∴360°﹣2∠A+∠1+∠2＝360°，
∴2∠A＝∠1+∠2，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理和四边形内角和，解题的关键是熟练运用三角
形内角和定理，根据四边形内角和建立角之间的联系．
15．C
【分析】
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根
据规律表示出二环十边形的度数．
16．9
【分析】
当CP⊥AB时，垂足为O，此时CP的值最小，过点D作DF⊥AB于F，根据含30°角的
直角三角形的性质求出DF，CO的长，再证明△DAF≌△PEO，根据全等三角形的性质求出
OP的长，即可求解．
解：如图，当CP⊥AB时，垂足为O，此时CP的值最小，过点D作DF⊥AB于F，
∵∠ACB＝90°，AC＝ ，∠CAB＝60°，
∴∠ACO＝∠ADF＝30°，
∴AO＝ （30°所对的直角边等于斜边的一半），
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ ，
∴AF＝ ，DF＝3，OC＝6，
∵CP⊥AB，DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠POE＝90°，∵四边形ADEP是平行四边形，
∴AD＝EP， ，
∴∠DAF＝∠PEO，
△DAF和△PEO中，
，
∴△DAF≌△PEO（AAS），
∴OP＝DF＝3，
∴CP＝CO+OP＝6+3＝9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是利用
全等三角形的性质求出OP的长，也考查了垂线段最短．
17．（-2，8）
【分析】
过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出 BOE≌△CAD，根
据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到△结论．
解：过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在 BOE和 CAD中，
△ △，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S ABD=6，
△
∴ AD•BF=6，
∴ ×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三
角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
18．
【分析】
如图所示，过点P作直线 ，作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l
于E，交BC于F，连接 ，则 ， 垂直于直线l，则
，故当 、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即 ，因此只需要
求出 的长即可利用勾股定理求解．
解：如图所示，过点P作直线 ，作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直
线l于E，交BC于F，连接 ，则 ， 垂直于直线l，
∴ ，
∴当 、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ，AD=BC，
∴ ，
∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=3，
∴ ，
∵S PBC＝ S PAD，
△ △
∴ ，
∴ ，
又∵AE+EF=AF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴PA+PD的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性
质，轴对称最短路径问题，三角形面积，正确作出辅助线确定PA+PD的值最小时的情形是
解题的关键．
19． 2 ##【分析】
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明 ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用
勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．△
解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在 ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，
∴∠▱D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
在 ABG和 EAD中， ，
△ △
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt AFG和 BFG中，
根据勾△股定理，△得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，
解得AF= ，
∴GF2=AG2-AF2=4- = ，∴GF= ，
故答案为2， ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明
ABG≌△EAD是解题的关键．
△
20．
【分析】
延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从
而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出
CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可．
解：如图2，延长CE交AB于点F，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴AB∥CD，
∵ ，
∴四边形是 平行四边形，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证
出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
21．4.8s或8s或9.6s
【分析】
根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
解：设经过 秒，以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况： 点 的运动路线是 ，方程为 ，
此时方程 ，此时不符合题意；
点 的运动路线是 ，方程为 ，
解得： s；
点 的运动路线是 ，方程为 ，
解得： s；
点 的运动路线是 ，方程为 ，
解得： s；
综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以 、 、 、 四点组成的四边形为平行四边
形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定．解题的关键是求出符合条件的所有情况，注
意分类讨论思想的应用．22．
【分析】
如图（见分析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
，再根据平行线的性质可得 ，然后利用直角三角
形的性质、勾股定理可得 ，从而可得 ，最后在 中，利用
勾股定理即可得．
解：如图，连接ME，过点M作 ，交CE延长线于点F，
和 都是等边三角形， ，
，
，
，
，
点M，N分别是AD，CE的中点，
，
，
四边形ABEM是平行四边形，
，
，
在 中， ，
，
，
则在 中， ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角
三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
23．45°．
【分析】
过点B作BF⊥BC，且使得BF=EC，连接AF，FE，利用SAS判定△AEC≌△EFB，再
判定△AEF为等腰直角三角形，则∠EAF=45°；然后利用一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形证明四边形ADBF为平行四边形，从而得出BD∥AF，由平行线的性质可得答案．
解：如图，过点B作BF⊥BC，且使得BF＝EC，连接AF，FE，则∠EBF＝∠C＝
90°，
在△AEC和△EFB中，
，
∴△AEC≌△EFB（SAS），
∴AE＝EF，∠EAC＝∠FEB，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，
∴∠FEB+∠AEC＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，∵BF＝EC，AD＝EC，
∴BF＝AD，
∵∠FBE+∠C＝90°+90°＝180°，
∴BF∥AC，
∴四边形ADBF为平行四边形，
∴BD∥AF，
∴∠BOE＝∠EAF＝45°，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行
四边形的判定与性质及平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的
关键．
24．
【分析】
连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，根据DE∥AC，可证△EDN≌△CFN，可得DE
= CF，求出DN = FN，FC = ED，得出MN是中位线，再证△CAE≌△BCF，得出BF=
CE,即可解题．
解：连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，如图，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，
，
，
，
∵点N为CE的中点，
，
在 和 中，，
，
，
∵点M为BD的中点，
是 的中位线，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位
线，平行线性质和判定的应用，勾股定理．
25． ＋2##2＋
【分析】
延长AO交BC于点E，延长CB到点F，使BF＝BC，则BD是 CF O′ 的中位线，BD
△
＝ F O′，当点F、 、A在同一条直线上时，F 最长，BD＝ F O′最大，再求出F
即可得到BD 的最大值．
解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到点F，使BF＝BC，∵ BF＝BC
∴点B是CF的中点
∵点 D 为线段 CO′的中点，
∴BD是 CF O′ 的中位线
△
∴BD＝ F O′
∵线段 AO 绕点 A 逆时针旋转至O′，
∴点O′ 在以点A为圆心，AO为半径的圆上运动，如图，
∴ 当点F、 、A在同一条直线上时，F 最长，BD＝ F O′最大，
∵ 点O是 ABC的重心
∴AE是 AB△C的中线
△
∴BE＝CE＝ BC＝8
∵AB＝AC
∴ ABC是等腰三角形
∴△AE⊥BC
∴∠AEB＝90°
∵AB＝10
∴AE＝
∵O为 ABC的重心
△
∴AO＝ AE＝4
∵BF＝BC＝16，BE＝8,
∴EF＝BE＋BF＝24
∴AF＝
由旋转的性质知A ＝AO＝4∴F ＝FA＋A ＝ ＋4
∴BD＝ F ＝ （ ＋4）＝ ＋2
即BD 的最大值为 ＋2
故答案为： ＋2
【点拨】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理、旋
转的性质、重心的性质等知识，添加适当的辅助线和辅助圆是解决此题的关键．
26．
【分析】
连接BD、CE，首先根据三角形中位线定理得到PM CE，PF BD，PF∥BD，
PM∥CE，再通过证明△ABD≌△ACE得到BD＝CE， 然后确定DB的最大值和最小值，求
出PMF的面积最大值和最小值，得出取值范围．
解：连接BD，CE，
∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM CE，PM∥CE，
∵点F，M分别是BC，DE的中点，
∴PF BD，PF∥BD，
∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴PM＝PF，
∴△PMF是等腰三角形，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
∵PF∥BD，∴∠PFC＝∠DBC，
∵∠DPF＝∠DCB+∠PFC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPF＝∠DPM+∠DPF＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝
∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPF＝90°，
∴△PMF是等腰直角三角形，
∴PM＝PF BD，
∴MF BD，
∴点D在AB上时，BD最小，
∴BD＝AB﹣AD＝6，MF的最小值3 ，
∴△PMF的面积S ；
点D在BA延长线上时，BD最大，
∴BD＝AB+AD＝14，MF的最大值为7 ，
∴△PMF的面积S ，
∴ S ，
故答案为： S ．
【点拨】本题考查手拉手模型以及三角形中位线定理，利用确定最大值和最小值的方
法得到取值范围是解决本题的关键．27．
【分析】
如图：取AB中点F，连接DF，作FG⊥DE于G．由三角形中位线定理得出DF//BC，
DF＝ BC，根据平行线的性质得出∠EFD＝∠ABC＝120°，再证明∠DEF＝∠EDF＝
30°，那么DF＝EF，根据等腰三角形三线合一的性质得出DG＝ DE．然后解Rt△DGF，
得出DG＝ DF，进而求出 的值．
解：如图，取AB中点F，连接DF，作FG⊥DE于G．
∵点D为△ABC的边AC的中点，F为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC，DF＝ BC，
∴∠EFD＝∠ABC＝120°，
∵∠AED＝150°，
∴∠DEF＝180°﹣∠AED＝30°，
∠EDF＝∠AED﹣EFD＝30°，
∴∠DEF＝∠EDF＝30°，
∴DF＝EF，
∵FG⊥DE，
∴DG＝ DE．
在Rt△DGF中，∠DGF＝90°，∠GDF＝30°，
∴GF＝ DF，DG＝ GF＝ DF，
∴ ＝ ＝ ＝ ．故填 ．
【点拨】本题主要考查了中位线的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质，30度所
对的边为斜边的一半、勾股定理等知识点，作辅助线构造中位线和直角三角形是解答本题
的关键．
28．①②③
【分析】
①根据四边形AEDF的内角和为360°，计算∠EDF便可判断①的结论的正确与否；
②连接BD、CD，根据垂直平分线的性质得HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，进而
由等腰三角形的性质得结论∠DAH＝∠DAG，从而得出②的结论正确与否；
③证明∠BAH＋∠DAF＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∠BAH＝∠ADF，即可判断③的
结论是否正确；
④由∠DHG＝∠BHE＝90°−∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°−∠C，当AB≠AC时，
∠B≠∠C，∠DHG≠∠DGH≠60°，此时GD≠GH，由此判断④的结论正确与否．
解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°−∠AED−∠AFD−∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接BD、CD，如图，
∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，
∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，
∠DCB＝∠DBC，
∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG
∴AD平分∠HAG，
∴②的结论正确；
③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，
∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝∠HAB＋∠GAC＝60°，
∴∠HAG＝60°，
∴③的结论正确；
④∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90°−∠B，
∠DGH＝∠CGF＝90°−∠C，
当AB≠AC时，用∠B≠∠C，
∴∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等边三角形，
∴GD≠GH，
∴④的结论不正确．
故答案为：①②③．
【点拨】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线
的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，
正确地作辅助线是解决本题的关键．
29． 360° 720° 1080°
【分析】
（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得 ，
再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；（2）连接 ， 交 于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得
；结合五边形内角和性质，得
；结合（1）的结论，根据数字规
律的性质分析，即可得到答案．
解：（1）如图所示，连接AD， 交 于点M
∵ ， ，
∴ ；
故答案为：360°
（2）如图，连接 ， 交 于点M
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴二环四边形的内角和为：
∵二环三角形的内角和为：二环四边形的内角和为：
∴二环五边形的内角和为：
∴二环n边形的内角和为：
故答案为： ， ， ．
【点拨】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌
握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．
30．(1)见分析
(2)见分析
【分析】
（1）由角角边即可证得；
（2）由（1）可得AB=AF，由平行四边形性质和等角的补角相等可证明
， ，则可得 ，即可得证．
(1)
证明：∵EA是∠BEF的角平分线，
，
在 和 中，
，
(AAS)
(2)
∵平行四边形ABCD，
∴ ， ， ，
， ，
由（1）得： ，
，
，
又 ， ， ，
，在 和 中，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质，等角的补角相等，
角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
31．(1) ， ； (2)见分析； (3) ， ，
【分析】
（1）将 代入 求得n的值，即可得点C的坐标，再将y=0代入
得x的值，即可得点A的坐标；
（2）求得 、 的长，根据平行四边形的判定可证得结论；
（3）分三种情况，以直角三角形 的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得
点 的坐标
(1)
解：当 时，
点
当 时， ，解得
点 坐标为 ；
当 时， ，解得
点 坐标为
(2)
点 ，点
， 轴∵点 ，点
∴
四边形 为平行四边形；
(3)
能，
由题意可知； ，
① 旋转后，若 轴，成四边形 ，如图1
四边形 构成平行四边形，
此时，设 与 轴交于
则 ，
点 的坐标为 ，
② 旋转后，若 的中点 在 轴上，成四边形 ，如图2四边形 构成平行四边形
又
∴四边形 为矩形
∴
设作 轴交于 ，
则 ，
点 的坐标为 ，
③ 旋转后，若 轴，成四边形 ，如图3，又
四边形 构成平行四边形
此时，设 与 轴交于
则 ，
点 的坐标为 ，
综上所述，满足条件 为 ， ，
【点拨】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直角三角形的勾股定
理知识，求出线段的长是解题的关键．
32．(1)见分析
(2)①线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明见分析；②CF的长为1或2
【分析】
（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．
（2）①运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．
②运用分类讨论思想，分别求出CF为△BDE的中位线和CF不是△BDE的中位线，
两种情况下，CF的长．
(1)
（1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，
∵ ，∴△BDF≌△CDM（SAS），
∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFM，
∴∠M＝∠MAC，
∴AC＝MC，
∴AC＝BF；
(2)
（2）①解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，
证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：
∵点F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，
∵ ，
∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，
∴BM∥DE，
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，
∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
∵ ，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AD＝DM＝2DF；
②解：CF的长为1或2．
当CF为△BDE的中位线时，CF CD DE，
∴C为BD的中点，∴CD＝BC＝4，∴CF CD＝2，
如图，当CF不是△BDE的中位线时，连接CE，取BC的中点N，连接FN，过
点D作DG⊥CE，过点G作GI⊥CD于点I，过点F作FH⊥BC于点H，
∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∴DG CD，CG CE，
∵CF CD，
∴DG＝CF，
∵N为BC的中点，F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，NF CE＝CG，∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴HF NF，GI CG，
∴HF＝GI，NH＝CI，
∵FC＝GD，
∴Rt△FCH≌Rt△GDI（HL），
∴CH＝DI，
∴NH+CH＝CI+DI，即NC＝CD，
∴CD＝2，即CF＝1，
综上所述，CF的长为1或2．
【点拨】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明及中位线的性质，在
倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键．
