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专题 6.25 期末复习专题——平行四边形折叠问题
（专项练习）
一、单选题
1．如图1，平行四边形纸片 的面积为 ， ．今沿两对角线将四边形
剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（ 、 重合）形成一个对称图
形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 分别是 的边 上的点， ， ，将四边形
沿 翻折，得到 ， 交 于点 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 中，点 在边 上，以 为折痕，将 向上翻折，点 正好落
在 上的点 处．若 的周长为 ， 的周长为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点 处，若 ，
为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
5．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为
（ ）
A．2 B．2 C．4 D．15
6．如图，在 中，∠ABD＝25°，现将 沿 EF 折叠，使点 B 与点 D 重
合，点 C 落在点 G 处， 若 G 在 AD 延长线上，则∠GDF 的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
7．如图，在平行四边形 中， ，点 、 分别在边 与 上，将四边形
沿 进行折叠，使点 落在 边上的点 处，点 落在点 处，若 ．
则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将平行四边形ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A′处，若
∠A＝60°，BC＝3，则A′B的长为（ ）A．5 B． C．6 D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6 ，E是AD边上的中点，
F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度
的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 ﹣3 D．6
10．如图，平行四边形纸片 和 上下叠放， 且 ， 交
于点 ，已知 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将 沿AE折叠至 处，
与CE交于点F，若 ， ，则 的度数为（ ）A．40° B．36° C．50° D．45°
12．如图，折叠 ，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA的延长线上点
G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若 的面积是8，则下列结论：①四边
形AEHG是平行四边形：② ；③设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面
积为x，则y与x的函数关系式是 ；④若 ，则点E到BG的距离为
1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，将 ABCD绕顶点A顺时针旋转，使点B、C、D分别落在E、F、G处，且B、
E、D、F在一直线上，若E恰好是BD的中点，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
14．如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 是折线
上的一个动点(不与 、 重合)．则 的面积的最大值是( )A． B．1 C． D．
15．如图，已知 ，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为
E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则 =（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在 中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好
落在BC边上的点G处，若 ， ， ，则AF长度为（ ）
A． B．7 C．6 D．20
17．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形
沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
18．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D，折痕为
1
EF，若∠BAE=55°，则∠DAD=__．
1
19．如图，将 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，若
， ， ， ，则 的周长为______．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，沿对角线AC翻折，点B的对应点为 ，
与AD交于点E，此时 CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面
积为________．21．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2 ，E为AB的中点，F分别
为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点 处，且点 在∠BAD外部，
当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．
22．如图，在 ABCD中，∠A＝60°，E是AD上一点，连接BE．将△ABE沿BE对折得到
▱
△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D＝2（图甲），当点A'恰好落在边CD上时，A'D
＝3（图乙），则AB＝___．
23．如图，在△ 中， ， ， ．点 在 边上，连结 ，
将△ 沿直线 翻折得△ ，连结 ．当四边形 为平行四边形时，该四边
形的周长是____．24．如图，在▱ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点
E，连接B′D，若∠B=60°，∠ACB=45°，AC= ，则B′D的长是_____．
25．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝8，E、H分别为边AB、CD上一点，
将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝4，则EF的长
度为 _____．
26．如图，在平行四边形ABCD中， ，E为BC上一点，连接AE，将 沿
AE翻折得到 ， 交AC于点G，若 ， ，则AG的长度为
______．
27．如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E，F、G
处，且点B、E、D、F在一直线上，若CD＝4，BC＝2 ，则平行四边形ABCD的面积为
______．28．如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝
▱
80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则
▱
ABCD的周长为 _____．
29．如图，在平行四边形ABCD中，AB= ，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，
点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．
30．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点 处．若 ，
则 为_________．
31．已知：如图，平行四边形 中， ，点E是 上一个动点，
连结 ，把 沿 折叠到 的位置．（1）当点 落在 上时， ________；
（2）若点 落在 的内部（包括边界），则 的范围是___________．
32．如图，在四边形纸片 中， ， ，将纸片折叠，点 、 分别落
在 、 处， 为折痕， 交 于点 ，若 ，则 _____度．
33．如图， ， 分别是 的边 、 上的点， ， ，将四边
形 沿 翻折，得到 ， 交 于点 ，则 的周长为________．
34．如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上
的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为
．
35．如图，平面直角坐标系中,直线y= x＋8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB
的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP＋PH＋HQ值最小时，点P的坐标为
_____________________
36．如图，将 沿EF对折，使点A落在点C处，若 ，则
AE的长为___.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出
BC边的高即可．
【详解】解：如图，连接AD、EF，
则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，
∴BC=AD=20， EF×AD= ×120，
∴EF=6，
又AD=20，
∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的
关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG＝∠EGF，根据折叠的性
质得到∠GEF＝∠DEF＝60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠EGF，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，
∴∠GEF＝∠DEF＝60°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠EGF＝60°，
∴△EGF是等边三角形，
∴EG＝FG＝EF＝6，
∴△GEF的周长＝6×3＝18，故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练
掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
由题意得AM=MN，BN=AB=CD，根据 的周长为 ， 的周长为 ，可得
DM+MN+DN=7，CN+BC+BN=13，将这两个等式进行加减可得(CD-DN)的值，即NC的长．
【详解】
解：根据折叠的性质知，AM=MN，BN=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，
∵ 的周长为 ， 的周长为 ，
∴DM+MN+DN=7，CN+BC+BN=13，
∴DN+AD=7，AB+BC+CD-DN=13，
∴DN+AD+AB+BC+CD-DN =AD+AB+BC+CD=2(AB+BC)=20，
∴AB+BC=10，
∴CD-DN=3，
∴NC=3．
故选A．
【点睛】
本题考查了折叠问题，平行四边形的性质等知识．熟记各个性质是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再根据三角形内角和定理
可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1=18°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；
熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
先利用平行四边形的性质得到 ，再由折叠的性质得到
， ，由此可得到 ，再利用勾股定理求解即
可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
由折叠的性质可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在直角三角形 中 ，
故选A．【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解．
6．D
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知 ，即可知 ，再根据平行四边形的性质，
可求得 ，答案即可得出．
【详解】
∵ 沿 EF 折叠，点 B 与点 D 重合，
∴
∴ ，∠ABD＝25°
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，G 在 AD 延长线上
∴AG∥BC，
∴
由折叠性质知，∴∠GDB=∠DBC=90°
∴
∴ ，
∴
故本题选D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质及平行四边形的性质，了解对应点连线被对称轴垂直平分是解答本
题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
由∠A=120°，∠APE=36°，可求出∠AEP=24°，根据翻折的性质，可得出
∠DEF=∠PEF=78°，由平行四边形ABCD可知，∠EFC=102°，再由翻折可求出∠BFQ的
度数．
【详解】
∵∠A=120°，∠APE=36°
∴∠AEP=24°
又∵四边形 沿 进行折叠
∴∠DEF=∠PEF=78°
又∵AD∥BC
∴∠EFB=78°，∠EFC=∠EFQ=102°
∴∠BFQ=102°-78°=24°．
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的旋转和平行四边形的性质．熟练掌握旋转的对应边和对应角相等、平行四
边形的性质是解决本题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
由折叠可得． ， ， ，根据 和三角形内角和
定理得 ，根据平行四边形的性质得 ，根据直角三角形的性质即可得．
【详解】
解：由折叠可得， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些
知识点．
9．C
【解析】
【分析】
连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的
长度，即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，
∴DE＝ AD＝ BC＝3，AE＝A'E＝3，
∴Rt△DEM中，EM＝ ，DM＝ ，
∵CD＝6
∴CM＝ ，
∴Rt△CEM中，CE＝ ，∵A'E+A'C≥CE，
∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3 ﹣3，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行四边形的
性质．
10．D
【解析】
【分析】
证△EHO≌△CBO（AAS），得出图中阴影部分面积的是平行四边形EHGF的一半解答即可．
【详解】
解：∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，
∴EH＝BC，EH∥BC，
∴∠EHO＝∠CBO，
在△EHO与△CBO中，
，
∴△EHO≌△CBO（AAS），
∴△EHO面积＝△CBO面积，
∴S ＝S EGH＝ S EFGH＝ n，
阴影
△
▱
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的
性质，证明三角形全等是解题的关键．11．B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出 ，由折叠的性质得 ，
，由三角形的外角性质求出 ，由三角形内角和定理求出
，即可得出 的大小．
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；
熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出 和 是解决问题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
由折叠知 可证 ，再通过证 ，可得四边
形AEHG是平行四边形，通过面积转化可判断③和④的正确性．
【详解】
解：由折叠知
，故②正确；
四边形AEHG是平行四边形，故①正确；
四边形BCDE的面积为x，故③正确；
设点E到BG的距离为h
，故④错误；
故其中正确的结论有3个
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的
性质以及图形面积表示等知识．
13．C
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质与旋转的性质可得 ，再根据等
腰三角形的性质、平行线的性质可得 ，从而可得
，根据等腰三角形的判定可得 ，设 ，则
，过点 作 于点 ，然后根据等腰三角形的三线合一可得
，最后利用勾股定理分别求出 的长，由此即可得．
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
，
由旋转的性质得： ，
，
，
，
设 ，恰好是 的中点，
，
如图，过点 作 于点 ，
（等腰三角形的三线合一），
，
， ，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识
点，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的判定与性质是解题关键．
14．D
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD
上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据
三角形的面积公式可得结论．
【详解】
解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1，AF= ，
∴此时△ABE的最大面积为： ×4× =2 ；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积= S▱ABCD = ×4× =2 ；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2 ，
综上，△ABE的面积的最大值是2 ；
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
15．B
【解析】
【分析】取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作 交CD的延长线于M，构建
计算即可．
【详解】
如图，取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作 交CD的延长线于M，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称图形，等边三角形的判定和性质，解直角三角
形等知识，解题的关键是正确添加辅助线构建三角形解决问题．
16．A
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长
线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC＝90°，MB＝FH，FM＝BH，
∵AB＝6 ，5BE＝AE，
∴AE＝5 ，BE＝ ，
由折叠的性质可知：GE＝AE＝5 ，GF＝AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN＝∠A＝45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN＝BN＝ BE＝1，AM＝BM＝ AB＝6，
∴FH＝BM＝6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得EN2+GN2＝GE2，
∴12+GN2＝（5 ）2，
解得GN＝±7（负值舍去），
∴GN＝7，
设MF＝BH＝x，
则GH＝GN﹣BN﹣BH＝7﹣1﹣x＝6﹣x，GF＝AF＝AM+FM＝6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
GH2+FH2＝GF2，
∴（6﹣x）2+62＝（6+x）2，
解得x＝ ，
∴AF＝AM+FM＝6+ ＝ ．
∴AF长度为 ．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题
的关键是掌握翻折的性质．
17．B
【解析】
【分析】
过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性
质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是
BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积
列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．
【详解】
解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵ ，
∴CN＝ ，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴S ABCD＝AB•DM＝AC•BF，
平行四边形
∴4× ＝2 BF，
∴BF＝ ，
∴CF＝ ＝ ＝ ，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2 ﹣2× ＝ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰
梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．18．55°
【解析】
【详解】
已知四边形ABCD是平行四边形，
由平行四边形的性质可得∠BAD=∠C，
再由折叠的性质得∠DAE=∠C，
1
所以 ，
即可得 ；
故答案为：55°
【点睛】
考点：平行四边形的性质；折叠的性质．
19．4a+2b
【解析】
【分析】
根据题意并利用折叠的性质可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，计算可得到∠ECD=20 ，
∠ACE=∠ACB=40 ，利用三角形的外角性质得到∠CFD=∠D=80 ，再等角对等边即可求
解．
【详解】
解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180 ，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180 ，
∴∠ECD=20 ，∠ACE=∠ACB=40 =∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80 =∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
则▱ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，
故答案为：4a+2b．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．
【解析】
【分析】
由已知先证明△AB'E是等边三角形，则有AE=AB'=4，可得阴影部分的面积和△CDE的面
积相等，求出△CDE的面积即可求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD，AB=4，
∴AB=CD=4，
由翻折可知AB=AB'，
∵△CDE恰为等边三角形，
∴∠D=∠DEC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠B'AE=∠D=60°，
∵∠AEB'=∠CED，
∴△AB'E是等边三角形，
∴AE=AB'=4，
∴阴影部分的面积和△CDE的面积相等，
在△EDC中，过点C作CH⊥ED交点H，
∵∠D=60°，ED=4，
∴DH=2，
∴CH= ，
∴S= ×4× = ，故答案为： ．
【点睛】
本题考查等边三角形、平行四边形、图形的翻折，熟练掌握等边三角形的性质，图形翻折
的性质，此题证明△B'EA是等边三角形是解题的关键．
21．
【解析】
【分析】
过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝ ，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得
＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．
【详解】
解：过E作EH⊥AD于H，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴AE＝EB＝2，
∵∠A＝45°，EH⊥AH，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，
∴AH＝ ，
∵点A′在∠BAD外部，
则由题意知△FQE为等腰三角形，
∴∠FEB＝∠FQE，
设∠AFE＝a，
∵△EFA'为△EFA根据EF对折，
∴∠AFE＝∠A'FE＝a，
∴∠BEF＝ ，
又∵∠BEF为△AEF的外角，∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，
∴ ＝45°+a，
∴a＝30°，
在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝ ，
∴EF＝ ，
∴ ，
又∵BC＝AD＝2 ，
∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问
题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．19
【解析】
【分析】
设 ，进而根据翻折及 可知 是等边三角形，则可表示出 ，
在图乙中，过点B作 于点E，进而分别表示出CE， ，再利用 中勾
股定理建立等量关系求出x的值即可得到AB的值．【详解】
设
当△ABE沿BE对折得到△A'BE ，A'恰好落在边AD上时有
∵
∴
∵A'恰好落在边AD上时
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
如下图乙，过点B作 于点E
∵ ，
∴ ，
∵当点A'恰好落在边CD上时，
∴
∵在 中
∴
解得
∴ ，
故答案为：19．
【点睛】
本题主要考查了图形的翻折、含30°角直角三角形的性质、等边三角形判断与性质、平行
四边形性质、勾股定理等相关内容，熟练掌握相关几何求解方法是解决本题的关键．23．6+
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得A′C=BD，A′D=BC=3，再由翻折的性质得AD=A′D=3，则CD=AC-
AD=3，然后证△BCD是等腰直角三角形，得BD= BC= ，即可求解．
【详解】
解：∵四边形A'DBC为平行四边形，
∴A′C=BD，A′D=BC=3，
由翻折的性质得：AD=A′D=3，
∴CD=AC-AD=6-3=3，
∴CD=BC，
∵∠ACB=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD= BC= ，
∴四边形A'DBC的周长=2（BD+BC）=2×（ +3）=6+ ，
故答案为：6+ ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，证明△BCD为等腰直角三角形是解题的关键．
24．
【解析】
【分析】
由翻折的性质得△ABC≌△AB'C，先证明△EAC为等腰直角三角形，求出AE=EC= ，在
Rt△CDE中，求出ED=1，CD=2，在Rt△AEB'中，求出B'E=1，在Rt△EDB'中，即可求
B'D= ．【详解】
解：∵将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，
∴△ABC≌△AB'C，
∴AB=AB'，∠B=∠AB'C，∠ACB=∠ACB'，
∵∠B=60°，∠ACB=45°，
∴∠ACB'=45°，
∴∠BCB'=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴△EAC为等腰直角三角形，
∵AC= ，
∴AE=EC= ，
∵平行四边形ABCD，
∴∠ADC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，∠ECD=30°，EC= ，
∴CD=2ED，
由勾股定理得： ,
解得：ED=1，CD=2，
∴AB=AB'=2，
在Rt△AEB'中，由勾股定理得：B'E=1，
在Rt△EDB'中，由勾股定理得：B'D= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，直角三角形，确定△EAC为等腰直角三角形
是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键．
25．
【解析】【分析】
延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC长度，GM⊥AB，由折叠性质得GF，
∠EFM，进而得FM，再根据△EFM是等腰直角三角形，便可求得结果．
【详解】
解：延长CF与AB交于点M，
∵FG⊥CD，AB∥CD，
∴CM⊥AB，
∵∠B=45°，BC=AD=8，
∴CM=4 ，
由折叠知GF=AD=8，
∵CG=4，
∴MF=CM-CF=CM-（GF-CG）=4 -4，
∵∠EFC=∠A=180°-∠B=135°，
∴∠MFE=45°，
∴EF= MF= （4 -4）=8-4 ．
故答案为：8-4 ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解直角三角形的应用，关键是作辅助线
构造直角三角形．
26． ##
【解析】【分析】
过点F作 交于点H，由平行四边形ABCD得 ，由 ，可设
，故 ，由 求出
，由折叠的性质可得 ，
，进而求出 ，
得出 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 ，故 ，在 中，
根据勾股定理求出EF，由等面积法即可得出AG的长．
【详解】
如图，过点F作 交于点H，
∵平行四边形ABCD，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 沿AE翻折得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和与外角以及勾股定理，掌握相
关知识点的应用是解题的关键．
27．
【解析】
【分析】
由题意知 ，由旋转的性质可得 ， ，等边对等角得
，由点B、E、D、F在一条直线上，可知 ，故有
， ；如图，过B作BH⊥CD于H，则 ，由勾股定
理得 ，求出 的值，然后由 得 的值，进而由
可得平行四边形的面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
由旋转的性质可知 ，∴
∵点B、E、D、F在一条直线上
∴
∴
∴
如图，过B作BH⊥CD于H
则
由勾股定理得
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．解题
的关键在于求解 的面积．
28． ##2b+4a
【解析】
【分析】
由∠B=80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以
AF=FC=a．设∠ECD=x，则∠ACE=2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，
2x+2x+x+80°=180°，解得x=20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以
DC=FC=a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）=2（a+a+b）=2=4a+2b．
【详解】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明
△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．
29．3．
【解析】
【详解】
点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，
根据翻折的性质， 则AE⊥BC，BE=CE=2，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得 ．
故答案为：3．
30．105°.
【解析】【分析】
【详解】
试题分析：由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的
外角性质求出∠BDG=∠DBG= ∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，∴△ABD中，∠A=105°，∴∠A'=∠A=105°，
故答案为105°．
考点：平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理.
31． 4 -3≤ ≤7
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；
（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=
-3，进而即可得到答案．
【详解】
（1）解：∵把 沿 折叠到 ，
∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形 中，点 落在 上，
∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，
∴∠A′EB=∠A′BE，
∴A′E=A′B，
又∵AE= A′E，AB= A′B，∴AE= AB=6，
又∵ ，
∴AD=10，
∴DE=10-6=4，
故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵ ，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE= AB=3，
∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠NDC=60°，
又∵CD=AB=6，
∴DN= CD=3，CN= ，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCA′，
∵把 沿 折叠到 ，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，
∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠BA′C=∠ADC，∴ ，
∴CE=BC=10，
∴EN= ，
∴ED= -3，
∴ 的范围是： -3≤ ≤7．
故答案是： -3≤ ≤7．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助
线构造直角三角形，是解题的关键．
32．
【解析】
【分析】
由题意可得，四边形 为平行四边形，则 ，所以 ．根据
折叠和平行的性质， ，且 ，即
，故 ，联立 与 ， 与 的关
系，即可解得 与 之和，最后求得 ．
【详解】
由题意得四边形 为平行四边形，
，
，
根据折叠的性质，可得 ，
，
， ，
即 ，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了折叠的性质，平行线的性质定理等知识，仔细观察图形，掌握性质定理，
寻找数量关系是解答关键．
33．12
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性
质得到∠GEF= ,推出△EGF是等边三角形，于是得到结论.
【详解】
∵四辺形ABCD是平行四辺形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠EGF，
∵将四边形 沿 翻折，得到 ，
∴∠GEF= ，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60 ，
∴△EGF是等° 边三角形，
∴EF=4，
∴△GEF的周长=12.
故答案为：12.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质.
34． 或
【解析】
【分析】
设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C= BC=2时；②如图2，当A′B=
BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】
设点A落在BC边上的A′点．
①如图1，当A′C= BC=2时，A′B=4，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2 ．
△
在Rt A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x= ．
△
即AE= ；
②如图2，当A′B= BC=2时，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N= ．
△
在Rt A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x= ．
△
即AE= ；
所以AE的长为5.6或 ．
故答案为5.6或 ．
【点睛】
本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．
35．(-4,4)
【解析】
【详解】
试题解析：连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是 BQM的中位线，
∴QM=2△OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：
，
解得： ，
∴直线CQ的关系式为：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-4，4）．36．
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在
▱
ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于
▱
ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，
在△D′CF与△ECB中， ,∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F=EB，CF=CE，
∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF
设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG= BC=2，由勾股定理可知：
CG=2 ，
∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x
在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2 ）2=x2，
解得：x=AE=
考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质．
