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专题 6.25 反比例函数与图形相似综合（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，矩形 的对角线 、 相交于点E， 轴于点B， 所在直
线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数 的图象上，已知直线 的解析式
为 ，矩形 的面积为120，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边
形ABCD， 点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得 ,BC＝
EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结 ，交于点 ，若D、E在反比例函数
上，S DHG＝4，则k的值为（ ）
△
A．30 B．24 C．20 D．153．如图所示，点A是双曲线 第二象限分支上的一个动点，连接 并延长交另
一分支于点B，以 为底作等腰 ，且 ，点C在第一象限，随着点A的
运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线 上运动，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴
上，顶点B的坐标为(4,8)，OB的垂直平分线分别交BC、OA于点D、E，过点D的反比例
函数 (x＞0)的图象交AB于点F，连接OD，在反比例函数图象上存在点P，使∠ODP
为直角，则点P的坐标为( )
A．(2,6) B． ) C．(3,4) D．(1,12)
5．如图，已知点A是双曲线y＝﹣ 在第二象限的分支上的一个动点，连结AO并延
长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第一象限．随着点A的运动，点C
的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ 上运动，则k的值是（ ）A．16 B．12 C．8 D．4
6．反比例函数 的图像上有一点A（ ， ）， 点O为坐标原点，将直
线OA绕点A逆时针旋转 ，交双曲线于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（ ， ）B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
7．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数 的图象上，点C
在函数 的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点 ， ，若反比
例函数 的图像经过点D，则k的值为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．32
9．如图，平行四边形ABCD的顶点D和C在x轴上，AC和BD相交于点M，线段AB
的中点为E，AC交y轴于点F，连接BF．若反比例函数的图象经过点E和点M，AF：FM＝1：2，且△BFM的面积为 ，则k的值为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
10．如图，直线AC与反比例函数 的图像交于A，C两点（点A在点C的左
边），与x轴交于点B，以点A为顶点向下作矩形ADMN，其对角线相交于点O，且AD平
分∠OAB，AC =CB，连结CD，若△ACD的面积为6，则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
二、填空题
11．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有A(1，6)，B(3，b)两点，直
线 与x轴相交于点C，D是线段 上一点．若 ，连接 ，记 ，
的面积分别为 ， ，则 的值为____________．12．如图，点A、B分别在平面直角坐标系xOy的y轴正半轴、x轴正半轴上，且
OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，若双曲线y= 过点P，则
k=________．
13．如图，在平面直角坐标系 中，点A，B是反比例函数 （ ，k为常
数）的图像上两点（点A在第一象限，点B在第三象限），线段 交x轴于点C，若
， 的面积分别为： 和 ，则 ______________．
14．如图，经过原点O的直线与反比例函数y （a＞0）的图象交于A，D两点（点
A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y （b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x
轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，连接OE，则S ACE＝
△
_____，a﹣b的值为 _____， 的值为 _____．15．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，
点B，D都在函数 的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点
F，当矩形OABC的面积为 时， 的值为___________，点F的坐标为___________．
16．如图，l，l 分别是反比例函数 和 在第二象限内的图象，点A在l 上，
1 2 1
线段OA交l 于点B，作AC⊥x轴于点C，交l 于点D，连接OD并延长交l 于点E，作
2 2 1
EF⊥x轴于点F，若 ，则k的值是________．17．如图，反比例函数 （ ）的图象经过△ 的顶点 ， ，交 于点
， 经过原点，点 在y轴上，若 ，△ABD的面积为30，则k的值为
________．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中， 的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正
半轴上，点C在第一象限，将 沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，
，DE与BC交于点F．若 图象经过点C，且 ，则k的值为
__________．
三、解答题
19．【感知】
如图1，已知反比例函数 上有两点 ， ， 轴交x轴于点E，
轴交y轴于点F，则 ______； _______； 与 的位置关系：
_______．【探究】
数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线 同
一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接
、 ．
①试探究 与 面积的关系并说明理由．
②试探究 与 之间的位置关系并说明理由．
【运用】
如图3，已知点A、B在反比例函数 的图像上，且 ，B是反比例函数
第三象限内图像上的一动点，过点A作 轴，过点B作 轴，垂足分别
分为E，F，若四边形 的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现
的结论，答案见公众号：绿爱生活）【拓展】
如图4，函数 的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限
内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线 分别交于y轴、x轴于点C、E，连接
分别交y轴、x轴于点M、N．若 ，则 ______．20．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点
P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿
BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ；
(2)当 BPQ与 COQ相似时，求t的值；
△ △
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，与 轴正半轴交于点，与反比例函数 交于点 ，且 ， ∥x轴交反比例函数
于点 ．
(1) 求 、 的值；
(2) 如图 ，若点 为线段 上一点，设 的横坐标为 ，过点 作 ∥ ，交反
比例函数 于点 若 ，求 的值．
(3) 如图 ，在 的条件下，连接 并延长，交 轴于点 ，连接 ，在直线
上方是否存在点 ，使得 与 相似 不含全等 ？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
22．如图，过A(2，0)，B(0，2)的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝ （x＞0）交于P( ，
)，Q( ， )两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于
D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
(1) 求AQ的长；(2) 当a为何值时，CE＝AC？
(3) 设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得 OEF为等腰三角形？若存在，
求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A，B，交y轴
于点C，点B的横坐标为1，且 ，连接 ， ．
(1) 求 的面积；
(2) 求反比例函数的表达式；
(3) 根据图象直接写出满足不等式 时，x的取值范围．
24．如图，正方形 的顶点 ， 分别在 ， 轴的正半轴上，对角线 ，的交点 在第一象限，反比例函数 的图象经过 点，已知 轴．
（1）若正方形 面积为4，则 的值为______；
（2）若反比例函数 的图象与 交于点 ，则 ______．
参考答案
1．C【分析】过点 作 于点 ，设 与 轴交于点 ，根据题意，
， ，求得 ，进而可得 ，即
，设 则 ，根据面积为120求得 的值，点A、E同时在反比
例函数 的图象上，表示出 ，则 ，即
，即可求得 的值
解：如图，过点 作 于点 ，设 与 轴交于点 ，
，
，
，
直线 的解析式为 ，
令 ， ，令 ，
，设 则
在 中，
四边形 是矩形
，
矩形 的面积为120，
即
解得
根据题意，点A、E同时在反比例函数 的图象上，
设 ，则 ，即
即可
故选C
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与
坐标轴交点问题，矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键．
2．A
【分析】过点 分别作 的垂线 ，垂足分别为 ，过点 作 的垂线
，垂足为 ，过点 作 轴于点 ，设 ，根据 为 的中点，则
,进而证明 ，求得 的值， 以及S DHG＝4，求得
△
平行四边形 的面积，根据割补法利用
建立一元一次方程求得 的值，即可求得的值．
解：如图，过点 分别作 的垂线 ，垂足分别为 ，过点 作 的垂线
，垂足为 ，过点 作 轴于点 ，
设 ，其中
C（0，4）,BC＝EC，
为 的中点，则
，
即
解得
为平行四边形 对角线的交点
是 的中位线
,平行四边形
又
四边形 是平行四边形
轴
，
设
都在反比例函数 上，
则
解得故选A
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数与几何图形，平行四边形
的性质，掌握以上知识，并添加适当的辅助线是解题的关键．
3．A
【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据题意得
出 AOD∽△OCE，进而得出 ，即可得出 ；
△
解：如图，连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
由题可得AO=BO，AC=BC，且∠ACB=120°，
CO⊥AB，∠CAB=30°，
Rt AOC中，OC:AO= ，
△
∠AOD+∠COE=90°，∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又 ∠ADO=∠CEO=90°，
∴ AOD∽△OCE，
△
，点A是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，
，
，即 ，
，
又 ，
．
故选：A.
【点拨】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，
得出 AOD∽△OCE，运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键．
△4．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD=OD，求得OC=4，BC=8．设
BD=OD=x，则CD=8-x，根据勾股定理列方程求得x=5．得到点D(4,3)．将点D的坐标代入
中，求得k=12，设 ，过P作PQ⊥BC于Q，求得PQ=4-m，DQ= -3，根据
相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵DE垂直平分OB，
∴BD=OD，
∵B(4，8)，
∴OC=4，BC=8．
设BD=OD=x，则CD=8-x，
∵四边形OABC矩形，
∴∠C=90°．
在Rt△OCD中，OD2=CD2+OC2．即 x2=(8-x)2+42．
解得x=5，
∴CD=8-5=3，．
∴点D(4,3)．将点D的坐标代入 中，
解得：k=4×3=12．
∴反比例函数表达式为 ，
∵P点在反比例函数图象上，
∴设 ，
过P作PQ⊥BC于Q，
∴PQ=4-m，DQ= -3，
∵∠ODP=90°，
∴∠PDQ+∠CDO=90°，
∵∠CDO+∠COD=90°，
∴∠PDQ=∠COD，
∴△DQP∽△OCD，
∴ ，
∴ ，
解得： 或m=4(不合题意舍去)，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，相似
三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．B
【分析】由双曲线 关于原点对称，得出点A与点B关于原点对称，连接OC，
根据 是等边三角形，OA＝OB， ，∠BAC＝60°得出 ，
所以 ，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，故
， ，得到
， ，可知 ， ，设点A坐标为（a，
b），根据点A在第二象限，可知 ， ；点A是双曲线
在第二象限的分支上的一个动点，得出ab＝﹣4，可知
，设点C坐标为（x，y），因为点C在第一象限，所以FC
＝y，OF＝x，所以 ，得出xy＝﹣6，点C在双曲线 上，所以k＝xy＝
12．
解：∵双曲线 关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．
连接OC，如图所示．
∵ 是等边三角形，OA＝OB，
∴ ，∠BAC＝60°，
∴ ，
∴ ．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，
∵∴
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第二象限，
∴OE＝﹣a，AE＝b．
∴ ， ．
∵点A是双曲线 在第二象限的分支上的一个动点，
∴ab＝﹣4．
∴ ．
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第一象限，
∴FC＝y，OF＝x．
∴ ．
∴xy＝﹣6．
∵点C在双曲线 上，
∴k＝xy＝12．
故选：B．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形、相似三角形、等边三
角形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解
答综合题的能力．
6．D
【分析】过点A作 轴于点C，过点B作 于点D，可证明
，得到 ，用待定系数法求得反比例函数解析式，设出B（ ，
），分别表示出BD、AD， 代入计算可得答案．
解：如图，过点A作 轴于点C，过点B作 于点D
由题意得
反比例函数 的图像上有一点A（ ， ）
，
设B（ ， ）化简得
解得 （舍去）
（ ， ）
故选：D．
【点拨】本题属于反比例函数与几何的综合题目，考查了待定系数法求函数解析式、
相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等，准确的作出辅助线是解题的关键．
7．D
【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作
AE⊥x轴，垂足为E，证明 AEO∽ ODC，运用反比例函数k的几何意义，相似三角形面
积之比等于相似比的平方，△确定相△似比为2，过点C作CG⊥BF，垂足为G，证明
BCG≌ AOE，得到BF-CD=BG=AE，构造方程解答即可．
△ 解：△如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作
AE⊥x轴，垂足为E，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOE+∠COD=90°，∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠OAE=∠COD
∴ AEO∽ ODC，
△ △∴ ，
设A(m， )，
∴C( ， )，
过点C作CG⊥BF，垂足为G，
∴CG∥OD，
∴∠COD=∠GCO，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC=AO，∠BCO=90°，
∴∠BCG+∠GCO=90°，∠AOE+∠COD=90°，
∴∠BCG=∠AOE，
∴△BCG≌△AOE，
∴AE=BG，
∴BF-CD=BG=AE，
∴3-(-2m)= ，
整理得， ，
解得 ，
所以其纵坐标分别为 ，
其和为2+1=3，
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的几何意义和性质，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质是解题的关
键．
8．B
【分析】分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别分E、F，过点B作BG垂直于y轴
于点G，由题意可得点A的坐标，且可得△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质即可求得
点DF与AF的关系，易证△BGC≌△AFD，从而可求得k的值．
解：分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别分E、F，过点B作BG垂直于y轴于点G
∴∠BEA=∠AFD=∠BGC= 90°
∵ ，
∴BE=4，OE=8
∴由勾股定理得：
∴OA=OE−AE=8−3=5
∴A(-5，0)
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD
∴∠BAE+∠DAF=90°
∵∠BAE+∠ABE=90°
∴∠ABE=∠DAF
∵∠BEA=∠AFD
∴△ABE∽△DAF
∴
∵∠ABC=∠EBG=90°
∴∠CBG=∠ABE
∴∠CBG=∠DAF
∵BC=AD
∴△BGC≌△AFD
∴BG=AF
由辅助线作法及已知得，四边形OGBE是矩形
∴BG=OE=8∴AF=8
∴OF=AF-OA=8-5=3
∵
∴DF=6
∴D(3，6)
∴k=3×6=18
故选：B．
【点拨】本题是反比例函数与四边形的综合，考查了相似三角形的判定与性质，全等
三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．
9．C
【分析】设 与 轴交于点 ，设 ，反比例函数解析式为
，则 ，根据平行四边形的性质以及线段AB的中点为E，可得 ， 的坐标，
根据点 在反比例函数图象上可得 ①，根据AF：FM＝1：2，且△BFM的面积
为 ，可得， ②，证明 ，求得点 的坐标，根据 的中点坐
标公式求得 ③，联立①②③即可求得 的值
解：如图，设 与 轴交于点 ，设 ，反比例函数解析式为 ，则 ，
四边形 是平行四边形
，
又 线段AB的中点为E，
都在反比例函数 ，
，
即 ①
AF：FM＝1：2，且△BFM的面积为 ，
，即
即 ②
，
设直线 的解析式为
则
解得：
直线 的解析式为
令 ，解得
是 的中点
解得 ③
由①③可得即
代入②
解得
将 代入③，得
故选C
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判
定，中点坐标公式，直线解析式，根据 点位于平行四边形的中心和反比例函数图象上求
解是解题的关键．
10．A
【分析】连接OC，分别过点A、C作x轴的垂线交x轴于点E、F，设点A（a，
），首先证明AB∥OD，结合AC =CB可求出S AOB＝2S AOC＝12，然后证明
BCF∽ BAE，求出CF和OF，得到点C的坐△标，然后将△点C的坐标代入反比例函数解析
△式求出k△即可．
解：如图，连接OC，
∵四边形ADMN是矩形，AD平分∠OAB，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，
∴S AOC＝S ADC＝6，
∵A△C =CB，△
∴S AOB＝2S AOC＝12，
△ △
分别过点A、C作x轴的垂线交x轴于点E、F，设点A（a， ），
则S AOB＝ ，即 ，
△
∴ ，∴ ，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴AE∥CF，
∴ BCF∽ BAE，
△ △
∴ ，
∴CF＝ ，EF＝ ，
∴OF＝ ，
∴点C的坐标为（ ， ），
∵点C在反比例函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角
形的判定和性质以及反比例函数图像上点的坐标特征，作出合适的辅助线，证明
BCF∽ BAE是解答此题的关键．
△ 11．△4
【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为 ，从而可求出B(3，2)，进而可求
出直线AB解析式为：y=−2x+8．再由直线AB解析式可求出C点坐标，即由三角形面积公式可求出 的值．又易证 ，从而可证 ，得出 ，即由
三角形面积公式可求出 的值，从而由 求出 ，最后计算
即可．
解：∵A(1，6)在反比例函数图象 上，
∴k=6， 即反比例函数解析式为： ，
∵B(3，b)在反比例函数图象 上，
∴b=2， 即B(3，2)．
设直线AB为： ，
∴ ， 解得： ，
∴直线AB解析式为：y=−2x+8．
∴ 对于y=−2x+8，当y=0时，即−2x+8=0，
解得：x=4，
∴C(4，0)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题为反比例函数综合题．涉及利用待定系数法求反比例函数和一次函数解
析式，三角形相似的判定和性质，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题
关键．
12．
【分析】设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，由垂直定义得
∠AOB=∠ODC=∠C=90°，进而得∠PAC+∠APC=90°，再由折叠的性质得PA=OA=4，
PB=OB=3，∠APB=90°，从而得∠APC+∠BPD=90°，∠BPD=∠PAC，进而证明
△ACP∽△PDB，由相似三角形的性质即可求得点P的横、纵坐标，即可求解．
解：如图，设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，
∵PD⊥x轴，AC⊥PD，x轴⊥y轴，
∴∠AOB=∠ODC=∠C=90°，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∵OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，
∴PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠BPD=∠PAC，
∴△ACP∽△PDB
∴ ，即 ，解得：x= ，y= ，
∵双曲线y= 过点P，
∴k= × = ．
故答案为：
【点拨】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，正方形的性质，相似三角形的判定及
性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
13．12
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据
， ，得出 ，设点A的纵坐标为
，则点B的纵坐标为-2m，根据反比例函数关系式表示出点A的横坐标为 ，
点B的横坐标为 ，设点C的坐标为： ， ，表示出 ，
，证明 ，得出 ，即 ，整理得
出 ，根据 ，列出关于k的方程，解方程即可得出结果．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：
∵ ， ，∴ ，
设点A的纵坐标为 ，则点B的纵坐标为-2m，
∴点A的横坐标为 ，点B的横坐标为： ，
设点C的坐标为： ， ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
则 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，三角形面积
的计算，作出辅助线，得出 ，是解题的关键．
14． 12 24
【分析】连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出
证明四边形ACDE是平行四边形，推出S ADE＝S ADC＝S ABCDE﹣S ABCD＝56
五边形 四边形
△ △
﹣32＝24，推出S AOE＝S DEO＝12，可得 a b＝12，推出a﹣b＝24．再证明
△ △BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
解：如图，连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意得A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y 的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S ADE＝S ADC＝S ABCDE﹣S ABCD＝56﹣32＝24，
五边形 四边形
△ △
∵AE∥CD，
∴S ACE＝S ADE＝12，S AOE＝S DEO＝12，
△ △ △ △
∴ a b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S AOC＝S AOB＝12，
△ △
∴BC∥AD，
∴ ，
∵S ACB＝32﹣24＝8，
△
∴S ADC：S ABC＝24：8＝3：1，
△ △
∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，
∴ 3，
∴ 3，即 ，
故答案为：12；24； ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合， 的几何意义，相似三角形的性质
与判定，设参法是解题的关键．
15． （ ，0）
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b， ），D（a， ），根据矩形的
面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出
a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾
股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
解：如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b， ），D（a， ），
由对称性可得： BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，△BC=OD，∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴ ，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S BOD=S AOB= S AOCB= ，
矩形
△ △
∵S BOE=S DOG= |k|=3 ，S BOGD=S BOD+S DOG=S BEGD+S BOE，
四边形 梯形
△ △ △ △ △
∴S BEGD=S BOD= ，
梯形
△
∴ ( + )•（a-b）= ，
∴2a2-3ab-2b2=0，
∴（a-2b）•（2a+b）=0，
∴a=2b，a=- （舍去），
∴D（2b， ），即：（2b， ），
在Rt BOD中，由勾股定理得，
OD2+△BD2=OB2，
∴[（2b）2+（ ）2]+[（2b-b）2+（ - ）2]=b2+（ ）2，
∴b= ，
∴B（ ，2 ），D（2 ， ），∵直线OB的解析式为：y=2 x，
∴直线DF的解析式为：y=2 x-3 ，
当y=0时，2 x-3 =0，
∴x= ，
∴F（ ，0），
∵OE= ，OF= ，
∴EF=OF-OE= ，
∴ ，
故答案为： ，（ ，0）．
【点拨】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定
理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因
式．
16．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S DOC= S△BOG= ，
△
S AOC= S EOF= ，再利用相似三角形的性质证明 BOD∽△AOE，证明BD∥AE，
△ △ △
根据平行线分线段成比例定理即可求解．
解：作BG⊥x轴于点G，∵点B、D在反比例函数y=- ，
∴S DOC= S△BOG= ，
△
∵点A、E在反比例函数y= ，
∴S AOC= S EOF= ，
△ △
∵BG∥AC，CD∥EF，
∴ BOG∽△AOC， DOC∽△EOF，
△ △
∴ ， ，
∴ ，
∵∠BOD=∠AOE，
∴ BOD∽△AOE，
∴△∠BDO=∠AEO，
∴BD∥AE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴k=- ．
故答案为：- ．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，平行
线分线段成比例定理，证明 BOD∽△AOE是解题的关键．
△
17．
【分析】先设点C的坐标，进而表示点B的坐标，再表示BF，EG，CG，及OD的长
度，然后根据 列出关于k的方程，求出解即可．
解：过点B作BF⊥x轴，于点F，过点C作CE⊥x轴，于点E，交BO于点G．
设点C的坐标为 ，
∴ ．
∵BD=3CD，
∴ ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
∴点A的坐标是 ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，∴ ，
∴ ，
即-4k=30，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】这是一道关于反比例函数的综合问题，表示出△ABD的面积是解题的关键．
18．12
【分析】过点F作 ，根据平行四边形的性质，表示出点 ，在通过
相似表示出 即可求出k；
解：过点F作 ，
，
设 ，
，，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
故答案为：12.
【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形的性质，掌握相关性质并灵活应用是
解题的关键．
19．【感知】1，1， ；【探究】① ，理由见分析；② ；
理由见分析；【运用】 【拓展】
【感知】反比例函数 上有两点 ， ， 轴交x轴于点E，
轴交y轴于点F，分别求出 ， ，再分别过点A、B作EF的延长线的垂线，
即 、 ，垂足为M、N得到 ，利用三角形面积相等得到
，即可得到四边形AMNB为平行四边形，最后利用平行四边形的性质求解；
【探究】①设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，进而得到 ， ，
利用三角形面积求解；②分别过点A、B作EF的垂线，即 、 ，得到
，结合三角形面积相等求得 ，进而得到四边形AMNB为平行四边形，
再根据平行四边形的面积求解；【运用】连接AF、BE，易求出点A的坐标，根据点是反比例函数 的图象上，求出 ，结合面积求解；【拓展】过点A作
轴，利用全等三角形的性质来求解．
解：∵反比例函数 上有两点 ， ， 轴交x轴于点E，
轴交y轴于点F，
∴ ， ，
∴ ．
分别过点A、B作EF的延长线的垂线，即 、 ，垂足为M、N，
则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形AMNB为平行四边形，
∴ ；
故答案为：1，1， ；
【探究】解：① ．
理由如下：
设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，∵点A，B在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ 轴交y轴于点E， 轴交x轴于点F，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
② ．
理由如下：
分别过点A、B作EF的垂线，即 、 ，垂足为M、N，
则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形AMNB为平行四边形，
∴ ；
【运用】解：连接AF、BE．∵点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，
∴ ．
设点 ，
∵点B是反比例函数 的图象上，
∴ ．
∵ 轴， 轴，
∴ ， ．
∵四边形 的面积为20，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【拓展】解：过点A作 轴，如下图．则 ， ， ， ，
， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵反比例函数 的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，
∴点D，B关于点O对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，反比例函数图象
上点的坐标特征，相似三角形的判断和性质．理解相关知识，作出辅助线是解答关键．
．20．(1)3(2)当△BPQ与△COQ相似时，t的值为 或 (3)① ；②当以点M、
N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（ ，0）
【分析】（1）由点 ， 的运动速度，可找出当 时点 ， 的坐标，进而可得出
， 的长，再利用三角形的面积公式可求出此时 的面积；
（2）由 可知分两种情况考虑，①当 时，利用相似三角形
的性质可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出 值；②当 时，利
用相似三角形的性质可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出 值．综上，此问得
解；
（3）①由题意可得出点 ， 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关
于 ， 的方程，解之即可得出结论；
②由①可得出点 ， 的坐标，分 为边及 为对角线两种情况考虑： 当 为
边时，利用平行四边形的性质可求出 值，进而可得出点 的坐标，由点 ， 重合可得
出此种情况不存在； 当 为对角线时，利用对角线互相平分可求出 的值，进而可得
出点 ， 的坐标．综上，此问得解．
解：（1）当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
．
故答案为：3；
（2）当运动时间为 秒时， ， ， ．
与 相似， ，
分两种情况考虑：
①当 时， ，即 ，
解得： ， ，经检验， ， 是原分式方程的解， 符合题意，
；
②当 时， ，即 ，
解得： ， ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
；
综上所述：当 与 相似时， 的值为 或 ．
（3）
①依题意，得：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
反比例函数 的图象经过点 、 两点，
，
，
．
②由①可知：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ．
分两种情况考虑：
当 为边时， ，
，
点 的坐标为 ，此时点 ， 重合，不符合题意，
此种情况不存在；
当 为对角线时， ，
，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．综上所述：当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 ，
．
【点拨】本题考查了三角形的面积、相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标
特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）找出当 时点 ， 的坐标；（2）
利用相似三角形的性质，找出关于 的方程；（3）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，
找出关于 ， 的方程组；②分 为边及 为对角线两种情况，利用相似三角形的性质求
出点 ， 的坐标．
21．(1)3，18(2) (3)存在， 或 或 或
【分析】（1）将点 代入一次函数求出 的值，然后根据 求出点 的坐标，
即可求出反比例函数的解析式；
（2）将 点横坐标代入 ，求出纵坐标，根据 即可知道 的纵坐标，
代入反比例函数的解析式，求出 的横坐标，即可表示出 的长度，同理将 点纵坐标
代入反比例函数求出 点横坐标，从而表示出 的长，根据 列方程即可求解
的值；
（3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当 时，当
时，当 时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．
解：（1）作 轴于 ，如图 ：， ，
∽ ，
直线 经过点 ，
，
解得 ，
直线解析式为： ，
，
，
， ，
点坐标为 ，
将 点坐标代入 ，
得 ．
（2） 轴，
点的纵坐标为 ，代入 ，
得 ，
点坐标为 ，
将 点横坐标代入 ，
得 ，
点纵坐标为 ，代入 ，
得 ，
点坐标为 ，
，
，
解方程得 或 舍 ，
．
（3）存在，理由如下：
如图 ，过点 作 轴于点 ，
由(2)知 ， ，
直线 的解析式为： ， ， ，
，
： ，
．
， ．
Ⅰ、当 时，如图 所示，设 与 交于点 ，
由 知， 轴，
，
，，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得， ，解得 ；
；
，
直线 的解析式为： ；
①若 ∽ ，则 ： ： ，不符合题意，舍去；
②若 ∽ ，
： ： ，即 ： ： ，
解得 ，
设 ，
，
解得 ，负值舍去，
；
Ⅱ、当 时，
①若 ∽ ，如图 ，
， ： ： ，，即点 在 上， ： ： ，
，
，
，直线 的解析式为： ；
②若 ∽ ，
： ： ，即 ： ： ，
解得 ，
设 ，
，
解得 ，负值舍去，
；
Ⅲ、当 时， ，
直线 的解析式为： ；
①若 ∽ ，则 ： ： ，不符合题意，舍去；
②若 ∽ ，如图 ，： ： ，即 ： ： ，
解得 ，
设 ，
，
解得 ，正值舍去，
；
综上，符合题意的点 的坐标为： 或 或 或
【点拨】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形
的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
22．(1) (2)当 时，CE=AC；(3)存在，点C的坐标为 或
或
【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，
可得结论；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，
构建方程求解即可；（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF=OF时，②如图3中，当OE=OF时，③
当OE=EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．
解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．
∵Q（ ），
∴QN= ，
∵∠BOA=90°，OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AQ= QN= ；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．
∵∠OAB=45°，CD⊥AB，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴DG= CA= a，
∵DE⊥OB，
∴四边形OEDG是矩形，
∴OE=DG= a，
∵CE=AC，
∴（2-a）2+（ a）2=a2，
解得， （舍去），或 ，∴当 时，CE=AC；
（3）存在．由（2）可知，C（2-a，0），E（0， ），
∴直线CE的解析式为y= ，
∵Q（ ），
∴直线OQ的解析式为y= ，
由 ，
解得 ，
，
①如图2中，当EF=OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH= OE，
∴ ，
解得，a=0（舍去）或a= ，
∴C（ ，0）．②如图3中，当OE=OF时，则OF= a，
过点F作FH⊥OC于点H．
∵ ，
∴FH= OH，
∴FH= OF= ，
∴
解得，a=0（舍去）或a=
∴C（ ，0）．
③当OE=EF时，过点E作EK⊥OF于点K，
FH= OH，
则OK= OF= FH，EK⊥OF，
，
又 ，
△EOK∽△OFH，
，
OE= OK=5FH，即FH= OE，
∴ ，
解得，a=0（舍去）或a=
∴C（ ，0），
综上所述，满足条件的点C的坐标为点C的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的性质与判定，
等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利
用参数构建方程解决问题．
23．(1) (2) (3) 或
【分析】（1）过点A，B分别作y轴的垂线，交y轴于点F，E，证明 ，
求得 ，由一次函数 的图象与y轴交于点C，求得 ,根据
即可求解；（2）根据反比例函数 的几何意义，由 可得 ，求得 ，即可得
出B的坐标，继而求得解析式；
（3）根据一次函数与反比例函数的交点的横坐标，结合函数图象即可求解．
（1）解：如图，过点A，B分别作y轴的垂线，交y轴于点F，E．
，
∴ ．
∵点B的横坐标为1，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
的横坐标为-2
∵一次函数 的图象与y轴交于点C，
∴ ．
∴
．（2）∵点A，B在反比例函数 的图象上，且 ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ ．
即点B的坐标为 ．
∴ ．
∴反比例函数的解析式为 ．
（3） 的横坐标为-2，点B的坐标为 ．
根据函数图象可知，当 时， 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数结合，相似三角形的性质与判定， 的几
何意义，掌握以上知识是解题的关键．
24．
【分析】（1）首先根据正方形 的面积，计算出 ， ， 及 的长，
再证四边形 是正方形，这样就求出 点的坐标，进而求解；
（2）设 ，则 ， ，求出直线 的解析式，再求出直线
与反比例函数 的交点横坐标，然后再证 ，得到 ，由题
意 ， ，进而求解．
解：（1）在正方形 中，
，
∵ ，∴ ， ，
∵ 轴。
∴ ．
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ， ．
将 代入 中，
得 ，
∴ ．
故答案为2．
（2）设 ，则 ， ，
设直线 的解析式： ，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
由题意：
作 于 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，正方形的性质与判定，三角形相
似的性质与判定，注意数形结合，熟练掌握各种四边形的性质和反比例函数图象的性质是
解本题的关键．
