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专题 6.22 《平行四边形》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图， 中， 平分 交 于点E．若 ，则
（ ）
A．3 B．5 C．8 D．2
2．如图，点O是 对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列
结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确结论
的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在 中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD BC，添加如下一个条
件，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线），其中错误的是（ ）．
A．AD=BC B．AB=CD C．AO=CO D．AB CD5．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的
是72°，那么光线与纸板左上方所成的 的度数是（ ）
A．l8° B．70° C．72° D．108°
6．如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB=CD，E是AB的中点，那么
△AEC的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成
一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180° B．∠ABC＝∠ADC
C．AB＝CD D．AB＝BC
8．在四边形 中，对角线 与 相交于点 给出下列四组条件：① ，
；② ， ；③ ， ；④ ， ．其
中能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A． 组 B． 组 C． 组 D． 组
9．如图，在 中， ， ，AD是底边上的高， ，E为AC
中点，则DE的长为（ ）A．6.5 B．6 C．5 D．4
10．如图，等腰三角形 中， ，按以下要求作图：①以点A为圆心，
任意长为半径作弧，分别交 于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线 ，交 于点M；④分别以A、B为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线 ，交 于点N，连
接 ．则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．如图，四边形 中，E、F分别是 边的中点，G、H分别是对角线
的中点，若 ，则线段 的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．1212．如图，△HFG的边FH，FG分别经过五边形ABCDE的两个相邻的顶点E，D，点
F在五边形内．已知∠HFG＝80°，∠A+∠B+∠C＝280°，则∠1+∠2＝（ ）
A．180° B．170° C．160° D．150°
二、填空题
13．如图， 的对角线AC，BD相交于点O，若 ， ， ，
则AD的长为______．
14．如图，直线 过 的中心点 ，交 于点 ，交 于点 ，已知
，则S =______．
阴影
15．如图，▱ABCD中，BC＝8，AB＝10，BC⊥AC，则▱ABCD的面积为_____．
16．如图，点 、 在 的对角线 上，连接 、 、 、 ，请添加一个条件使四边形 是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即
可）
17．平行四边形的判定：
（1）用定义判定______________________________________．
（2）两组对边分别____________的四边形是平行四边形．
（3）一组对边_______________ 的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别____________的四边形是平行四边形．
（5）对角线_________________ 的四边形是平行四边形．
18．如图，在 中， 分别是 和 的中点，连接 ，点 是 的中点，
连接 并延长，交 的延长线于点 ．若 ，则 的长为______．
19．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BC＝3 ，CD＝3，点P为线段BC上的动
点，点E、点F分别为线段AD、AP的中点，则EF长度的最大值为 ___．
20．如图所示，在正五边形ABCDE内，以AB为边作正方形ABFG，则___________．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E，点F在直线BD上，且 ，连接
AF，CE，求证 ．
22．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，M为AD上一点．
(1)请你用尺规在BC边上求作一点N，使得线段MN的长度最短．（保留作图痕迹，
不写作法）
(2)连接DN，若AD＝BN，求证：AB＝DN．
23．如图，平面内有三个等边三角形 、 、 ，两两共用一个顶点，求证： 与 互相平分
24．如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°， ，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
25．如图，在四边形 中，E，F，G，H分别是 的中点．四边形
是平行四边形吗？请证明你的结论．26．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在 中，
， ，点 、 分别在边 、 上， ，连接 、 ，点 、
、 分别为 、 、 的中点，且连接 、 ．
观察猜想
（1）线段 与 “等垂线段”（填“是”或“不是”）
猜想论证
（2） 绕点 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接 ， ，试判断
与 是否为“等垂线段”，并说明理由．
拓展延伸
（3）把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 与
的积的最大值．
参考答案
1．D
【分析】根据平行四边形的性质， ， ，进而证明 ，再由角
平分线的性质证明 ，进而推导 ，则有 ，借助
计算即可．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的性质及等腰
三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解并熟练运用平行四边形的性质．
2．A
【分析】
根据平行四边形的性质可以证△AOE≌△COF，得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝
∠AEF，进而得出结论．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
无法证明AE=BF；∠DOC=∠OCD；∠CFE=∠DEF，
∴选项①成立，选项②，③，④不一定成立，即只有1个正确，故A正确．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
3．D
【分析】
根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可．
解：∵在 中，
∴ ， ，
∵AD//BC，
∴ ，
无法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正确，D错误，
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，
对角线互相平分，是解题的关键．
4．B
【分析】
根据平行四边形的判定条件逐一判断即可．
解：A、添加条件AD=BC，再由AD BC，可以证明四边形ABCD是平行四边形，故
A不符合题意；
B、添加条件AB=CD，再由AD BC，不可以证明四边形ABCD是平行四边形，
故B符合题意；
C、∵AD BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
添加条件AO=CO，
∴△AOB≌△COB（AAS），
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、添加条件AB∥CD，再由AD∥BC，可以证明四边形ABCD是平行四边形，故D
不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性
质，熟知平行四边形的判定是解题的关键．5．C
【分析】
首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得．
解： 光线平行，纸板对边平行
，
四边形ABCD是平行四边形
故选：C
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定与
性质是解决本题的关键．
6．C
【分析】
由已知条件可证明四边形ABCD是平行四边形，则△ADC和△ABC的面积是平行四边
形面积的一半，又因为E是AB的中点，所以△AEC的面积是△ABC的一半，问题得解．
解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC为平行四边形对角线，
∴S ADC=S ABC= ×8=4，
△ △
∵E是AB的中点，
∴S AEC= S ABC= ×4=2cm2，
△ △
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定以及性质和三角形的面积公式的运用，解题的
关键是首先证明四边形ABCD是平行四边形．
7．D
【分析】
由题意得 ， ，则四边形 是平行四边形，得 ，
， ，由此即可得出结论．
解： 四边形 是用两张对边平行的纸条交叉叠放在一起而组成的图形，
， ，
四边形 是平行四边形，， ， ，故选项 、 、 不符合
题意；
而平行四边形 中AB和BC不一定相等，故选项 符合题意，
故选： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形 为平行四边形是解
题的关键．
8．C
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
解：①∵在四边形ABCD中， ， ，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
②∵ ， ，
∴四边形ABCD是平行四边形；
③∵ ， ，
∴四边形ABCD是平行四边形；
④∵ ， ，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
9．A
【分析】
根据等腰三角形的性质可知底边的高线也是底边的中线，即D为BC中点，根据E为
AC中点可知DE是三角形的中位线，即2DE=AB，即可求解．
解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴在等腰△ABC中，底边的高线AD也为等腰△ABC底边的中线，即D点为BC中点，即有BD=CD= BC=5，
在Rt△ADB中，AD=12，BD=5，
∴利用勾股定理可得，AB=13，
∵E点为AC的中点，
∴线段DE为△ABC的中位线，即DE= AB，
∴DE= ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识，
掌握等腰三角形底边的高线也是底边的中线是解答本题的关键．
10．B
【分析】
根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合
一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长．
解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN AC＝3．
故选：B．
【点拨】此题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等
腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键．
11．C
【分析】
由中位线性质可证明 ，由此即可解题．
解：E、F分别是 边的中点，G、H分别是对角线 的中点，∴ ， .
又∵ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等
于第三边的一半是解题关键．
12．C
【分析】
根据三角形和五边形的内角和分别求得∠FED+∠FDE＝100°，∠AED+∠CDE＝260°，
由此即可求得答案．
解：∵在△FED中，∠HFG＝80°，
∴∠FED+∠FDE＝180°－∠HFG＝100°，
∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠C＝280°，
∴∠AED+∠CDE＝540°－(∠A+∠B+∠C)＝260°，
∴∠1+∠2＝∠AED+∠CDE－(∠FED+∠FDE)
＝260°－100°
＝160°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形和多边形的内角和定理的应用，熟练掌握多边形的内
角和定理以及整体思想是解决本题的关键．
13．
【分析】
先利用勾股定理的逆定理证明∠BAO=90°，然后利用勾股定理求出BC的长即可得到
答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC
∴ ，
∴△ABO是直角三角形，即∠BAO=90°，∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确推
出∠BAO=90°是解题的关键．
14．1
【分析】
证明△MOD≌△NOB，得到S MOD=S NOB，利用平行四边形的性质得到S = ，
阴影
△ △
由此求出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC，OB=OD，
∴∠MDO=∠NBO，
∵∠MOD=∠NOB，
∴△MOD≌△NOB，
∴S MOD=S NOB，
△ △
∴S = ，
阴影
故答案为：1．
【点拨】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的
判定是解题的关键．
15．48
【分析】
由勾股定理求出AC＝8，再由平行四边形的面积公式即可得出答案．
解：∵BC＝8，AB＝10，BC⊥AC，
∴AC＝ ，
∴ ABCD的面积＝BC×AC＝8×6＝48；
故答案▱为：48．
【点拨】本题考查了勾股定理和平行四边形的面积，熟练掌握这些勾股定理是解题的
关键．
16． （答案不唯一）【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解．
解：添加： ，理由如下：
连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵ ，
∴OE=OF，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为： （答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性
质定理是解题的关键．
17． 两组对边分别平行 平行 平行且相等 相
等 互相平分
【分析】
根据平行四边形的判定定理进行解答．
解：平行四边形的判定方法有：
（1）用定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：（1）两组对边分别平行；（2）平行；（3）平行且相等；（4）相等；
（5）互相平分
【点拨】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理即可填空，
属于基础题，熟记定理即可．18．2
【分析】
由 分别是 和 的中点，可知 是 的中位线，则 ，
，有 ，由点F是CE的中点可知 ，证明
，则 ．
解：∵ 分别是 和 的中点
∴ 是 的中位线
∴ ，
∴
∵点F是CE的中点
∴
∵
∴
∴
故答案为：2．
【点拨】本题考查了中位线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握中
位线的性质．
19．3
【分析】
连接DP，勾股定理求出BD，利用点E、点F分别为线段AD、AP的中点，得到
，当DP最大时，EF长度最大，此时DP=BD=6，由此求出EF．
解：连接DP，
∵∠C＝90°，BC＝3 ，CD＝3，
∴ ，
∵点E、点F分别为线段AD、AP的中点，∴ ，
当DP最大时，EF长度最大，即当点P与点B重合时，DP有最大值，此时
DP=BD=6，
∴EF=3，
故答案为：3．
．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理，正确掌握勾股定理即中位
线的性质定理是解题的关键．
20．18°##18度
【分析】
由正多边形的性质可得正五边形的内角及正方形的内角，进而问题可求解．
解：在正五边形ABCDE中， ，在正方形ABFG中，
，
∴ ；
故答案为18°．
【点拨】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
21．见分析
【分析】
先根据平行四边形性质得出∠ADB＝∠DBC，再利用等角的补角相等得出∠ADF＝
∠CBE，然后利用SAS判定△ADF≌△CBE即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADF＝180°-∠ADB，∠CBE＝180°-∠DBC，
∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、等角的补角性质，全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)见分析 (2)见分析
【分析】
（1）根据过直线外一点作该直线的垂线的方法即可解答；
（2）根据 ，AD＝BN，可知四边形ABND为平行四边形，即有AB＝DN．
(1)
解：如图，N点为所作；
理由如下，根据作图痕迹，取点E、F、G，连接ME、MF、GE、GF，如下图所示，
根据尺规作图可知ME=MF、GE=GF，
结合MG=MG，可知 ，
∴∠EMG=∠FMG，
又∵MN=MN，∴ ，
∴∠MNE=∠MNF=90°，
∴MN⊥BC，
根据点到直线的距离垂线段最短，可知MN即为所求；
(2)
证明：∵ ，AD＝BN，
∴四边形ABND为平行四边形，
∴AB＝DN．
【点拨】本题考查了过直线外一点作该直线的垂线的知识以及平行四边形的判定和性
质的知识，掌握垂线的尺规作图法是解答本题的关键．
23．见分析
【分析】
连接 、 ，证得 ，可得 ，从而得到 ，同理
，进而得到四边形 是平行四边形，即可求解．
解：如图，连接 、 ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，∴四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形
的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判
定和性质是解题的关键．
24．(1)见分析
(2)10
【分析】
（1）利用三角形的中位线定理得出EH＝FG＝ AD，EF＝GH＝ BC，即可得出结
论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得 ，由（1）得出四边形
EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，即可得出结果．
(1)
证明：∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
∴EH＝FG＝ AD， BC，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)
∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴BC＝2CD＝4．
由（1）得：四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝6+4＝10．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，含30度角的直
角三角形的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
25．是，证明见分析
【分析】
根据三角形的中位线定理，可证明EGFH的对边平行，从而可证明四边形EGFH是平
行四边形．
解：四边形EGFH是平行四边形．理由如下：
∵点E、G分别是线段AB、AC的中点，∴EG BC，
同理 HF BC，GF AD，EH AD，
∴GE HF，GF EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理． 三角形的中位线
平行于第三边，并且等于第三边的一半．解题关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及平
行四边形的判定定理．
26．（1）是；（2）是，理由详见分析；（3）49
【分析】
（1）根据题意，利用等腰三角形和三角形中位线定理得出 ，∠MPN=90°判
定即可；
（2）由旋转和三角形中位线的性质得出 ，再由中位线定理进行等角转换，
得出∠MPN=90°，即可判定；
（3）由题意，得出 最大时， 与 的积最大，点 在 的延长线上，再由
（1）（2）结论， 得出 与 的积的最大值.
解：（1）是；
∵ ，
∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB
∴DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB
∵点 、 、 分别为 、 、 的中点
∴PM∥EC，PN∥BD，
∴ ，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC
∵∠DPN=∠PNC+∠DCB
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°
∴线段 与 是“等垂线段”；
（2）由旋转知
∵ ，
∴ ≌ （ ）
∴ ，利用三角形的中位线得 ， ，
∴
由中位线定理可得 ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴ 与 为“等垂线段”；
（3） 与 的积的最大值为49；
由（1）（2）知，
∴ 最大时， 与 的积最大
∴点 在 的延长线上，如图所示：
∴
∴
∴ .
【点拨】此题主要考查等腰三角形以及三角形中位线的性质，熟练掌握，即可解题.
