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专题 6.2 数据的集中趋势与离散程度（知识解读）
【学习目标】
1、了解扇形统计图、折线图与条形图的区别及有关运算；
2、了解极差、方差和标准差的意义及求法，体会它们在刻画数据波动时的不同特征．体会
用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
3、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体
验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯.
【知识点梳理】
考点1 扇形图、折线图与条形图
（1）条形统计图：可以通过直条的长短清楚地看出数量的多少，不利于几种量的比较；
（2）折线统计图：不但可以看出数量的多少，而且可以看出数量的增减变化。但它们都不
能直观地看出各部分占总体的百分比.扇形统计图可以直接看出各部分占总体的百分比,但不
能看出各部分的数量。
（3）“扇形图"的特点：是对数据中的各个分组的大小和结构有明显的比较作用.
考点2 极差、方差和标准差
1.极差
一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.
注意：
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越
小，这组数据就越稳定.
2.方差
s2
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差 的计算公式是：
1
S2 x x 2 (x x)2 ...(x x)2
n 1 2 n ，其中，x是 x 1， x 2，… x n的平均数.
注意：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，
数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
k
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的
k2
倍.
3.标准差
s
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
4.极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一
组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．
所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
【典例分析】
【考点1 扇形图、折线图与条形图】
【典例1-1】（2022•鹿城区校级三模）如图是某校七年级学生参加课外兴趣小组的扇形统
计图（每人只参加一项），若参加书法兴趣小组的人数是30人，则参加绘画兴趣小组
的人数是（ ）
A．36人 B．40人 C．60人 D．200人
【典例1-2】（2021秋•肥西县月考）如图，张琪同学调查全校300名教师性别比例，并绘
制了扇形统计图，则女教师有（ ）A．60名 B．84名 C．240名 D．288名
【变式1-1】（2022•温州校级开学）如图，是小南暑假某天复习各学科投入时间扇形统计
图，若科学复习时间为1.6h，则他数学复习时间为（ ）
A．1.8h B．2.2h C．2.4h D．2.6h
【变式1-2】（2022•保定一模）抗击新冠肺炎疫情期间，保定十七中响应国家“停课不停
学的号召”，动员学生家庭一起亲子阅读，根据《家庭亲子阅读消费调查报告》中的相
关数据我们制成扇形统计图，由图可如，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【变式1-3】（2022春•临汾期末）太原某公司对某款新产品的生产成本进行调查，并绘制
了如下扇形统计图，则材料费所在扇形的圆心角的度数是（ ）
A．126° B．133.2° C．144° D．162°
【典例2】（2022春•绵阳期末）某地在2022年4月空气质量等级统计图如下，则下列说
法不正确的是（ ）A．污染程度轻度及以上的天数占比20%
B．空气质量优良等级的比例达到三分之二
C．污染程度轻微及以上的比例为三分之一
D．污染程度为中度的天数占比10%
【变式2-1】（2022春•魏县期末）某校举行学生“爱校•爱家•爱国”主题演讲比赛，某同
学将选手们的得分进行统计，绘制成如图所示的得分条形图，下列四个判断：
①共有10人得6分；
②得5分和7分的人数一样多；
③8名选手的成绩高于8分；
④共有25名选手参赛．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】（2021秋•银川校级期末）甲、乙、丙三个小组生产帐篷，已知女工人3人每
天共生产4顶帐篷，男工人2人每天共生产3顶帐篷．如图是描述三个小组一天生产帐
篷情况的统计图，从中可以得出人数最多的小组是（ ）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．乙、丙两组
【变式2-3】（2022春•东城区校级期末）2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市
2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收
入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
【典例3】（2022秋•沙坪坝区校级月考）2022年8月，重庆经历了连续14天气温在40℃
以上的极端天气，而此轮极端天气创1961年以来温度最高、持续时间最长记录，炎热
的天气使得用电需求不断攀升，图是小明家8月23日至8月30日用电情况统计图，则
小明家这8天中日用电量超过50千瓦时的有（ ）天．A．3 B．2 C．5 D．4
18．（2022•徐州）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【变式3-1】（2022•鹿城区校级开学）如图是根据打绳巷米面店今年 6月1日至5日每天
的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7【变式3-2】（2022•新野县三模）下列说法不正确的是（ ）
A．为了表明空气中各组成部分所占百分比宜采用扇形统计图
B．了解某班同学的视力情况采用全面调查
C．为了表示中国在历届冬奥会获得的金牌数量的变化趋势采用折线图
D．调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量采用抽样调查
【考点2 方差、标准差与极差】
【典例4-1】（2022秋•金牛区校级月考）某中学八年级（1）班甲、乙两个学生参加同一
学期的五次数学测试，两人的平均分和方差分别为 ＝89， ＝89， ＝95，
＝68，那么成绩较稳定的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．两人一样 D．无法确定
【典例4-2】（2022春•鼓楼区校级期中）若样本x
1
，x
2
，x
3
，⋯，x
n
的平均数为8，方差为
4，则对于样本x ﹣3，x ﹣3，x ﹣3，x ﹣3，下列结论正确的是（ ）
1 2 3 n
A．平均数为8，方差为1 B．平均数为5，方差为1
C．中位数变小，方差不变 D．众数不变，方差为4
【变式4-1】（2022秋•莱州市期中）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同
学的平均分都是90分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是8，下列说法正确的是（
）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【变式4-2】（2022秋•裕华区校级月考）我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目
的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相
比一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【变式4-3】（2022春•鹿城区校级期中）在北京冬季奥运会中，四位短道速滑选手在6次
练习中的平均成绩均为51秒，方差如下表所示，则在这四位选手中，成绩最稳定的是
（ ）
甲 乙 丙 丁
方差（秒2） 4.8 5.6 11 15A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式4-4】（2022•拱墅区校级开学）某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不
相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比一定不发
生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
36．（2021秋•济南期末）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误
的是（ ）
A．平均数和中位数都是3 B．极差为4
C．众数是3 D．标准差是
【典例5】（2022秋•金牛区校级月考）下列各量中不能反应数据集中趋势的量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
【变式5-1】（2022•鼓楼区校级二模）在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成
绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是
（ ）
A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4
【变式5-2】（2022春•湖北期末）李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了
20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表：
阅读时间 2 2.5 3 3.5 4
（小时）
学生人数 1 2 8 6 3
（名）
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．中位数是3 B．平均数是3.3
C．众数是8 D．极差是7
【典例6】（2022秋•太仓市期中）某射箭俱乐部准备从甲，乙两位射箭运动员中选出一人
参加俱乐部联赛．现两人在选拔赛中各射了 10箭，甲，乙两人的比赛成绩如下（单位：
环）：
甲：9，10，10，8，10，7，9，8，9，10；
乙：10，9，9，10，8，8，9，8，10，9．
教练组根据两人的比赛成绩绘制了如下不完整的数据分析表：平均数 众数 中位数 方差
甲 a 10 b I
乙 9 9 9 s乙 2
根据以上数据解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，s乙 2＝ ；
（2）根据本次选拔赛结果，请你从平均数和方差的角度分析，应选择其中哪一位参加
俱乐部联赛更好些？
【变式6-1】（2022秋•沙坪坝区校级期中）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学
素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随
机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为 10分，9分及以上为优
秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
中位数 a 8
众数 9 b
方差 1.48 1.69
优秀率 50% m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，鄢个年级的学
生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进
入复赛的学生人数．【变式6-2】（2022秋•苏州期中）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年
五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在
蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
数量/只 平均每只
蟹的质
量/g
第1次试 4 166
捕
第2次试 4 167
捕
第3次试 6 168
捕
第4次试 6 170
捕
（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 g；
（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 kg；
（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①a＝ ；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
【变式6-3】（2022春•沙坪坝区校级月考）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计
算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述
和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x
＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七 87 a 98 99.6
八 87.2 86 b 88.4
（1）填空：a＝ 8 4 ，b＝ 10 0 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理
由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩
达到90分及以上的学生约有多少人？
专题 6.2 数据的集中趋势与离散程度（知识解读）
【学习目标】
1、了解扇形统计图、折线图与条形图的区别及有关运算；
2、了解极差、方差和标准差的意义及求法，体会它们在刻画数据波动时的不同特征．体会
用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
3、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯.
【知识点梳理】
考点1 扇形图、折线图与条形图
（1）条形统计图：可以通过直条的长短清楚地看出数量的多少，不利于几种量的比较；
（2）折线统计图：不但可以看出数量的多少，而且可以看出数量的增减变化。但它们都不
能直观地看出各部分占总体的百分比.扇形统计图可以直接看出各部分占总体的百分比,但不
能看出各部分的数量。
（3）“扇形图"的特点：是对数据中的各个分组的大小和结构有明显的比较作用.
考点2 极差、方差和标准差
1.极差
一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.
注意：
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越
小，这组数据就越稳定.
2.方差
s2
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差 的计算公式是：
1
S2 x x 2 (x x)2 ...(x x)2
n 1 2 n ，其中，x是 x 1， x 2，… x n的平均数.
注意：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，
数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
k
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的
k2
倍.
3.标准差
s
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.
4.极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一
组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．
所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
【典例分析】
【考点1 扇形图、折线图与条形图】
【典例1-1】（2022•鹿城区校级三模）如图是某校七年级学生参加课外兴趣小组的扇形统
计图（每人只参加一项），若参加书法兴趣小组的人数是30人，则参加绘画兴趣小组
的人数是（ ）
A．36人 B．40人 C．60人 D．200人
【答案】C
【解答】解：∵参加书法兴趣小组的人数是 30人，占参加课外兴趣小组人数的1﹣35%
﹣30%﹣20%＝15%，
∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：30÷15%＝200（人），
∴参加绘画兴趣小组的人数是200×30%＝60（人）．
故选：C．
【典例1-2】（2021秋•肥西县月考）如图，张琪同学调查全校300名教师性别比例，并绘
制了扇形统计图，则女教师有（ ）A．60名 B．84名 C．240名 D．288名
【答案】C
【解答】解：∵男老师人数所占圆心角度数为72°，
∴男老师人数的占比为：72°÷360°＝ ，
∴全校男老师人数为：300× ＝60（名），
∵全校老师总人数为300名，
∴女老师人数为300﹣60＝240（名），
故选：C．
【变式1-1】（2022•温州校级开学）如图，是小南暑假某天复习各学科投入时间扇形统计
图，若科学复习时间为1.6h，则他数学复习时间为（ ）
A．1.8h B．2.2h C．2.4h D．2.6h
【答案】C
【解答】解：由题意得，他数学复习时间为：1.6÷20%×（1﹣20%﹣15%﹣10%﹣25%）
＝2.4（h），
故选：C．
【变式1-2】（2022•保定一模）抗击新冠肺炎疫情期间，保定十七中响应国家“停课不停
学的号召”，动员学生家庭一起亲子阅读，根据《家庭亲子阅读消费调查报告》中的相
关数据我们制成扇形统计图，由图可如，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【答案】C
【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此说法正确，不符
合题意；
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子所占百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此
说法正确，不符合题意；
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%+10%＝30%，原说法错误，符合题意；
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣
20%﹣10%）＝108°，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2022春•临汾期末）太原某公司对某款新产品的生产成本进行调查，并绘制
了如下扇形统计图，则材料费所在扇形的圆心角的度数是（ ）
A．126° B．133.2° C．144° D．162°
【答案】C
【解答】解：由题意可得，材料费所在扇形的圆心角的度数是 360°×（1﹣25%﹣35%）
＝144°．
故选：C．
【典例2】（2022春•绵阳期末）某地在2022年4月空气质量等级统计图如下，则下列说
法不正确的是（ ）
A．污染程度轻度及以上的天数占比20%
B．空气质量优良等级的比例达到三分之二C．污染程度轻微及以上的比例为三分之一
D．污染程度为中度的天数占比10%
【答案】D
【解答】解：A．污染程度轻度及以上的天数占比 ×100%＝20%，此选项正确，不
符合题意；
B．空气质量优良等级的比例达到 ＝ ，此选项正确，不符合题意；
C．污染程度轻微及以上的比例为 ＝ ，此选项正确，不符合题意；
D．污染程度为中度的天数占比 ×100%≈6.67%，此选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式2-1】（2022春•魏县期末）某校举行学生“爱校•爱家•爱国”主题演讲比赛，某同
学将选手们的得分进行统计，绘制成如图所示的得分条形图，下列四个判断：
①共有10人得6分；
②得5分和7分的人数一样多；
③8名选手的成绩高于8分；
④共有25名选手参赛．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：共有3人得6分，所以①错误；
得5分和7分的人数一样多，都是4人，所以②正确；
得9分有3人，得10分有5人，则8名选手的成绩高于8分，所以③正确；
④4+3+4+6+3+5＝25，则有25名选手参赛，所以④正确．故选：C．
【变式2-2】（2021秋•银川校级期末）甲、乙、丙三个小组生产帐篷，已知女工人3人每
天共生产4顶帐篷，男工人2人每天共生产3顶帐篷．如图是描述三个小组一天生产帐
篷情况的统计图，从中可以得出人数最多的小组是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．乙、丙两组
【答案】C
【解答】解：由题意可知：
甲组：男工的人数为27÷ ＝18人，女工的人数＝8 ＝6人；
乙组：男工的人数＝24÷ ＝16人，女工的人数为12 ＝9人；
丙组：男工的人数为12÷ ＝8人，女工人数为24 ＝18人；
则甲组共有18+6＝24人，乙组共有16+9＝25人，丙组共有8+18＝26人．
故选：C．
【变式2-3】（2022春•东城区校级期末）2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市
2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收
入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
【答案】C
【解答】解：A、2020年北京市居民人均可支配收入比 2016年增加了69434﹣52530＝
16904（元），原叙述错误，故本选项不合题意；
B、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入逐年增长，原叙述错误，故本选项不合题
意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率 ×100%≈8.9%，正确，
故本选项符合题意；
D、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2019年，原叙述
错误，故本选项不合题意；
故选：C．
【典例3】（2022秋•沙坪坝区校级月考）2022年8月，重庆经历了连续14天气温在40℃
以上的极端天气，而此轮极端天气创1961年以来温度最高、持续时间最长记录，炎热
的天气使得用电需求不断攀升，图是小明家8月23日至8月30日用电情况统计图，则
小明家这8天中日用电量超过50千瓦时的有（ ）天．
A．3 B．2 C．5 D．4
【答案】A
【解答】解：根据折线图可看出小明家这8天中日用电量超过50千瓦时的有3天．故选：A．
18．（2022•徐州）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【答案】C
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，说法正确，故本选项不合题意；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，说法正确，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，说法错误，五年的人口总数增长速度变缓，故本选项
符合题意；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
【变式3-1】（2022•鹿城区校级开学）如图是根据打绳巷米面店今年 6月1日至5日每天
的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（ ）A．平均数是6 B．中位数是7 C．众数是7 D．方差是7
【答案】B
【解答】解：由题意知，
平均数为： ＝7，
不存在众数；
中位数为：7；
方差为： ＝8；
故选：B．
【变式3-2】（2022•新野县三模）下列说法不正确的是（ ）
A．为了表明空气中各组成部分所占百分比宜采用扇形统计图
B．了解某班同学的视力情况采用全面调查
C．为了表示中国在历届冬奥会获得的金牌数量的变化趋势采用折线图
D．调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量采用抽样调查
【答案】D
【解答】解：A．为了表明空气中各组成部分所占百分比宜采用扇形统计图，说法正确，
故本选项不合题意；
B．了解某班同学的视力情况，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
C．为了表示中国在历届冬奥会获得的金牌数量的变化趋势，适合采用折线图，故本选
项不合题意；
D．调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量，适合采用全面调查，原说法错误，故本
选项符合题意；
故选：D【考点2 方差、标准差与极差】
【典例4-1】（2022秋•金牛区校级月考）某中学八年级（1）班甲、乙两个学生参加同一
学期的五次数学测试，两人的平均分和方差分别为 ＝89， ＝89， ＝95，
＝68，那么成绩较稳定的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．两人一样 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵ ＝95， ＝68，
∴ ＜ ，
∴成绩较稳定的是乙同学，
故选：B．
【典例4-2】（2022春•鼓楼区校级期中）若样本x
1
，x
2
，x
3
，⋯，x
n
的平均数为8，方差为
4，则对于样本x ﹣3，x ﹣3，x ﹣3，x ﹣3，下列结论正确的是（ ）
1 2 3 n
A．平均数为8，方差为1 B．平均数为5，方差为1
C．中位数变小，方差不变 D．众数不变，方差为4
【答案】C
【解答】解：∵样本x ，x ，x ，…，x 的平均数为8，方差为4，
1 2 3 n
∴样本x ﹣3，x ﹣3，x ﹣3，…，x ﹣3的平均数为5，方差为4，众数和中位数变小．
1 2 3 n
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•莱州市期中）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同
学的平均分都是90分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是8，下列说法正确的是（
）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【答案】B
【解答】解：∵甲、乙两位同学的平均分都是90分，乙的成绩方差＜甲成绩的方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故选：B．【变式4-2】（2022秋•裕华区校级月考）我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目
的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相
比一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【解答】解：根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有
效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：B．
【变式4-3】（2022春•鹿城区校级期中）在北京冬季奥运会中，四位短道速滑选手在6次
练习中的平均成绩均为51秒，方差如下表所示，则在这四位选手中，成绩最稳定的是
（ ）
甲 乙 丙 丁
方差（秒2） 4.8 5.6 11 15
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解答】解：∵4.8＜5.6＜11＜15，
∴甲的成绩的方差最小，成绩最稳定，
故选：A．
【变式4-4】（2022•拱墅区校级开学）某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不
相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比一定不发
生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【解答】解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有
效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：B．
36．（2021秋•济南期末）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误
的是（ ）
A．平均数和中位数都是3 B．极差为4
C．众数是3 D．标准差是【答案】D
【解答】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，
排序后处在第3、4位的数都是3，因此中位数是3，
因此选项A说法正确，不符合题意；
极差为5﹣1＝4，B选项说法正确，不符合题意；
这组数据出现次数最多的是3，因此众数是3，C选项说法正确，不符合题意；
方差S2＝ ×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝ ，
标准差S＝ ＝ ，因此D选项说法错误，符合题意，
故选：D．
【典例5】（2022秋•金牛区校级月考）下列各量中不能反应数据集中趋势的量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
【答案】C
【解答】解：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．
故选：C．
【变式5-1】（2022•鼓楼区校级二模）在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成
绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是
（ ）
A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4
【答案】B
【解答】解：A．平均数为 ＝ ，故本选项不合题意；
B．中位数为 ＝8.5，故本选项符合题意；
C．众数是7和9，故本选项不合题意；
D．极差为10﹣7＝3，故本选项不合题意；
故选：B．
【变式5-2】（2022春•湖北期末）李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了
20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表：
阅读时间 2 2.5 3 3.5 4（小时）
学生人数 1 2 8 6 3
（名）
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．中位数是3 B．平均数是3.3
C．众数是8 D．极差是7
【答案】A
【解答】解：A、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小
时数，都是3，故中位数是3，所以此选项符合题意；
B、均数＝ ＝3.2，所以此选项不合题意；
C、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不合题意；
D、极差是4﹣2＝2，所以此选项不合题意；
故选：A．
【典例6】（2022秋•太仓市期中）某射箭俱乐部准备从甲，乙两位射箭运动员中选出一人
参加俱乐部联赛．现两人在选拔赛中各射了 10箭，甲，乙两人的比赛成绩如下（单位：
环）：
甲：9，10，10，8，10，7，9，8，9，10；
乙：10，9，9，10，8，8，9，8，10，9．
教练组根据两人的比赛成绩绘制了如下不完整的数据分析表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 a 10 b I
乙 9 9 9 s乙 2
根据以上数据解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，s乙 2＝ ；
（2）根据本次选拔赛结果，请你从平均数和方差的角度分析，应选择其中哪一位参加
俱乐部联赛更好些？
【解答】解：（1）a＝ ×（9×3+10×4+8×2+7）＝9，
甲的成绩从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，
∴中位数b＝ ＝9，∵s乙 2＝ ×[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.6；
故答案为：9，9，0.6；
（2）因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，
根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以应选择乙参加俱乐部联赛更好些．
【变式6-1】（2022秋•沙坪坝区校级期中）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学
素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随
机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为 10分，9分及以上为优
秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
中位数 a 8
众数 9 b
方差 1.48 1.69
优秀率 50% m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，鄢个年级的学
生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进
入复赛的学生人数．【解答】解：（1）∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，
9，9，9，10，10，10．
∴中位数a＝ ＝8.5．
根据条形统计图可知八年级成绩的众数为b＝7．
八年级的优秀率是 ×100%＝45%，
故答案为：8.5，7，45；
（2）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：50%、45%．
故七年级的的学生初赛成绩更好．
（3）900× ＝225（人），
答：估计八年级进入复赛的学生为225人．
【变式6-2】（2022秋•苏州期中）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年
五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中
旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
数量/只 平均每只
蟹的质
量/g
第1次试 4 166
捕
第2次试 4 167
捕
第3次试 6 168
捕
第4次试 6 170捕
（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 g；
（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 kg；
（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①a＝ ；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 四 次 试 捕 中 平 均 每 只 蟹 的 质 量 为
＝168（g）．
故答案为：168；
（2）∵蟹苗的成活率为75%，
∴成活蟹的只数为1200×75%＝900（只），
∴估计蟹塘中蟹的总质量为168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．
故答案为：151.2；
（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，
∴a＝164．
故答案为：164；
②S2＝ ×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣
168）2+（167﹣168）2]＝7．
即第3次试捕所得蟹的质量数据的方差为7．
【变式6-3】（2022春•沙坪坝区校级月考）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计
算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述
和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x
＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，
86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差七 87 a 98 99.6
八 87.2 86 b 88.4
（1）填空：a＝ 8 4 ，b＝ 10 0 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理
由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩
达到90分及以上的学生约有多少人？
【解答】解：（1）由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，
第8个数落在C组的第二个，
∵初二的测试成绩在C组中的数据为：83，84，89，
∴中位数a＝84，
∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多，
∴众数b＝100；
故答案为：84，100；
（2）根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．
理由：八年级的平均数、中位数、众数均高于七年级，方差比七年级小，说明八年级学
生计算能力较好．
（3）2500× ＝1000（名），
答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1000人．
