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专题 6.23 《平行四边形》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若
AB=4，BC=5，OE=2.5，那么四边形EFCD的周长是（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．14
2．如图所示，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，过点 的直线
分别交 于点 ， 于点 ， ， ，则平行四边形 的面积
（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，点E在AB边上，
将 沿着直线DE翻折得 ．连结 ，若点 恰好落在 的平分线上，则
，C两点间的距离为（ ）
A．3或6 B．3或 C． D．6
4．如图，在四边形 中， ．添加下列条件后，仍不能判定此四边形为
平行四边形的是（ ）A． B． C． D．
5．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把 沿x轴向右平移到 ，
若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
6．如图，在 中，要对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，
现有①，②，③三种方案，①只需要满足 ；②只需要满足 ， ；
③只需要满足AE，CF分别平分 ， ，则正确的方案是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
7．在四边形 中， ，点 是对角线 的中点，
则 的长为（ ）
A． B． C．6 D．5
8．在 中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与 的周长相等， 还需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．已知点D、点E分别为 、
的中点，求证：DE BC， ．小丽在思考后尝试作了一种辅助线．如图．在
试图证明 时，小丽想到了两种作法，①通过证明 得到 ；②
通过证明四边形 是平行四边形得到 ，则下列说法正确的是（ ）
小丽的辅助线作法：
延长 到F，使 ，
连接 、 、 ．
A．①、②作法都可以 B．①、②作法都不可以
C．①作法可以、②作法不可以 D．①作法不可以、②作法可以
10．如图，已知△ABC面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接
第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2022个三角形的面积是（
）A． B． C． D．
11．如图， 中， 平分 ， 是 中点， ，则
的值为（ ）
A． B．
C． D．
12．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等
于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
13．如图，平行四边形 的边 在一次函数 的图象上，已知C的坐标
是 ，则过顶点D的正比例函数解析式为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与
CE相交于点Q，若S APD＝10cm2，S BQC＝20cm2，则阴影部分的面积为______cm2．
△ △
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，点E是DC的中点，作BF⊥AD，垂足
F在线段AD上，连结EF，BE，则下列结论正确的是 _____．（将正确的结论的序号填在
横线上）①EF＝BE；②∠CBE＝ ∠ABC；③ ABF的面积等于 BEF的面积的2倍；
△ △
④∠CEF＝3∠DFE．
16．如图，平面直角坐标系中， 的顶点A，B，C在坐标轴上，
，点D在第一象限，则点D的坐标是_____．17．如图，在 中， 的平分线 与 交于点 ， 为 的中点，且
平分 ．若 ， ，则 ______．
18．在三角形纸片 中， ， ， ，将该纸片沿过点 的
直线折叠，使点 落在斜边 上的一点 处，折痕记为 （如图1），剪去 后得
到双层 （如图2），再沿着过 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后
的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为________ ．
19．如图，在 中，过对角线 上一点 作 ， ，且
， ，则 __．20．在平面直角坐标系中， ， ， ，点 在直线 上，
若以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标为________．
21．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在 轴上，连接 ，
，过 轴上一点 作直线 ， 关于直线 的对称线段为 ，
若线段 和过 点且垂直于 轴的直线 有公共点，则 的取值范围是________．
22．如图，在平行四边形ABCD中， ，E、F分别在CD和BC的延长线上，
， ， 则 ______．
23．如图，在 ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD
▱
于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为
________________．
24．如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的
面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为________．
25．如图， 的周长为28，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，
垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若 ，则PQ的长是______．
26．如图，在 中， ，点 ， 分别从点 ， 同时出发，沿 ，
方向以相同的速度运动（分别运动到点 ， 即停止）， 与 相交于点 ， 与
相交于点 ．则在此运动过程中，线段 的长始终等于______ ．
27．如图，点 是 的对角线交点，E为CD中点，AE交BD于点F，若
，则 的值为______．
28．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点
O，再作∠ODC、∠OCD的平分线交于点O，则∠O 的度数为_______________．
1 1 1 2 2三、解答题
29．如图，在 中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于
点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，连接DE，求DE的长．
30．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连接AF，
BF，DE，CE，分别交于H、G．
(1)求证：EF与GH互相平分；
(2)在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有全等的三角形．31．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知两点 ， 且a、b满足
；若四边形ABCD为平行四边形， 且 ，点 在y
轴上．
(1)如图①，动点P从C点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何
值时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；
(2)如图②，当P从O点出发，沿y轴向上运动，连接PD、PA，则 、 、
存在的数量关系是______（排除点P在点O和点C两点的特殊情况）．
32．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个
单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的
中点，连接GH．设点F运动的时间为t．
(1)判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
(2)若CE＝AB．
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；②若 FGH是等腰三角形，求t的值．
△
参考答案
1．D
【分析】
根据平行四边形的性质，得 AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得OF=OE，
CF=AE．再根据平行四边形的对△边相等，得CD=AB，AD=BC，故FC+ED=AE+ED=AD，根
据所推出相等关系，可求四边形EFCD的周长．
解：根据平行四边形的性质，得
AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE=2.5，CF=AE，
根据平行四边形的对边相等，得
CD=AB=4，AD=BC=5，
故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD
=OE+OF+AE+ED+CD
=2.5+2.5+5+4=14．
故选：D．
【点拨】解题的关键是能够根据平行四边形的性质发现全等三角形，再根据全等三角
形的性质求得相关线段间的关系．
2．B
【分析】
证明 AOE≌△COF，可得 COF的面积为3，进而可得 BOC的面积为8，由 BOC的
△ △ △ △
面积= 平行四边形ABCD的面积，进而可得问题答案．
解： 四边形 是平行四边形，
，，
在 与 中， ，
，
≌
的面积 的面积 ，
，
的面积为 ，
的面积 平行四边形 的面积，
∴平行四边形 的面积 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握
平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．A
【分析】
过点A′作A′F⊥CD于D，由平行四边形ABCD，得∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3 ，
A′D=AD=3，根据点 恰好落在 的平分线上，所以∠A′CF=30°，所以CA′=2A′F，设
A′F=x，则CA′=2x， CF= x，所以DF=3 - x, 在Rt D A′F中,由勾股定理，得32=
△
（3 - x）2+x2，求解即可得出x，从而求出CA′的长．
解：：如图，过点A′作A′F⊥CD于D，
∵平行四边形ABCD，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3 ，由翻折可得，A′D=AD=3，
∵点 恰好落在 的平分线上，
∴CA′平分∠BCD，
∴∠A′CF=30°，
∵A′F⊥CD，
∴CA′=2A′F，
设A′F=x，则CA′=2x，
由勾股定理，得CF= x，
∴DF=3 - x,
在Rt△D A′F中,由勾股定理，得
32=（3 - x）2+x2，
解得：x= ，x=3，
1 2
∴CA′=2x=3或6，
故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，翻折性质，勾股定理，含30度直角三角形的性
质，作辅助线A′F⊥CD于D，构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是解题的关键．
4．D
【分析】
根据平行四边形的判定条件可直接进行排除选项．
解：A、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四
边形，故不符合题意；
B、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行
四边形，故不符合题意；
C、∵AB CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°，∴AD BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、AD=BC，AB CD无法得出四边形ABCD是平行四边形，故符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定条件．
5．D
【分析】
根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据
四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
解：∵把 OAB沿x轴向右平移到 ECD，
∴四△边形ABDC是平行四边形△，
∴AC=BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC=9，
∴AC=3，
∴C（4，3），
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得
平移的距离是解题的关键．
6．A
【分析】
连接AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得AO=CO，BO=DO，再
证OE=OF，可得①正确；由四边形ABCD是平行四边形，得AB=CD，∠ABD=∠BDC，再
证∠AEB=∠CFD=90°，可得∠AEB=∠CFD=90°，可得△ABE≌△CDF，可得②正确；由四边
形ABCD是平行四边形，得AB=CD，∠ABD=∠BDC，∠BAD=DCB，再证∠BAE=∠DCF，
可得△ABE≌△CDF，可得③正确．
解：如下图，连接AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，
故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABD=∠BDC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴和①一样了，
故②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=DCB，∠ABD=∠BDC，AB=CD，
∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴和①一样了，
故③正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键是连
接AC，利用对角线相等证平行四边形．
7．B
【分析】
如图，延长 交 于 ，证明 ， ，证明四边形
是平行四边形，进而根据 求出 的值即可．
解：如图，延长 交 于 ，由题意知 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关
键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．
8．B
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE= BC，DE∥BC，证明四边形ABHG为平行四边形，
根据平行四边形的性质、三角形的周长公式计算，得出结论．
解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE= BC，DE∥BC，
∵AG∥HC，AE=EC，
∴
∴AG=HC，
∵AG∥BC，AB∥GH，
∴四边形ABHG为平行四边形，
∴四边形ABHG的周长=2AB+2BH，BH=AG=CH，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+2BH，
∴当AB=AC时，四边形ABHG的周长与△ABC的周长相等，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．A
【分析】
试着按两种方法进行证明即可．
解：①∵点E分别为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ （SAS）
∴ ，故①可以；
②∵点E分别为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故②可以；
综上，①、②作法都可以，故选：A.
【点拨】本题考查了三角形中位线定理的证明，本题介绍的两种思路，作辅助线，证
全等和构建平行四边形解决问题，熟练掌握平行四边形的性质和判定是关键．
10．D
【分析】
根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的 ，
所以新三角形面积是前一个三角形的 ．
解：△ABC面积为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的 ，所以：
第2个三角形对应面积为 =（ ）2；
第3个三角形对应的面积为 × =（ ）4；
第4个三角形对应的面积为 × × ＝（ ）6；
……
以此类推，第n个三角形对应的面积为（ ）2n-2（n≥2），
所以第2022个三角形对应的面积为（ ）2×2022-2=（ ）4042= ．
故选：D．
【点拨】本题考查了中位线定理，解题关键是找出每一个新的三角形面积是上一个三
角形面积的 的规律，进行分析解决题目．
11．C
【分析】
延长BD交AC于F点，先利用ASA证明 ，得出BD=DF和AF的长，则
可求出FC长，然后根据三角形中位线定理求出DE长即可．
解：如图，延长BD交AC于F点，∵AD平分∠BAC，
即 ，
∵AD⊥BC，
即 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是根
据条件作出辅助线．
12．B
【分析】
由四边形的内角和及三角形内角和即可求得．
解：∵ ，且∠C=50゜
∴
同理，在△CDE中，
由折叠性质得： ，
∴
在四边形 中，
∴∴
∴∠2=15゜
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，多边形的内角和定理等知识，掌握多边形内角和定
理及折叠的性质是关键．
13．C
【分析】
根据一次函数和平行四边形的性质，推导得 、 ；再根据直角坐标系和
平行四边形的性质，得 ，设过顶点D的正比例函数解析式为 ，通过列一元一
次方程并求解，即可得到答案．
解：∵平行四边形 的边 在一次函数 的图象上，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点 的纵坐标是1，
∵平行四边形 ，C的坐标是 ，
∴点 的纵坐标是-2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
设过顶点D的正比例函数解析式为 ，∴ ，
∴ ，
∴过顶点D的正比例函数解析式为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数、平行四边形、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练
掌握一次函数、平行四边形的性质，从而完成求解．
14．30
【分析】
连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S EFC=S BCF，S EFD=S ADF，
△ △ △ △
所以S EFG=S BCQ，S EFP=S ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是
△ △ △ △
S APD+S BQC．
△ △
解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S EFC=S BCF，
△ △
∴S EFQ=S BCQ，
△ △
同理：S EFD=S ADF，
△ △
∴S EFP=S ADP，
△ △
∵S APD=10cm2，S BQC=20cm2，
△ △
∴S EPFQ=30cm2，
四边形
故阴影部分的面积为30cm2．
故答案为：30．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三
角形之间的面积关系．
15．①②④【分析】
由垂直的定义得到∠AFB＝90°，根据平行线的性质即可得到∠AFB＝∠CBF＝90°，延
长FE交BC的延长线与M，根据全等三角形的性质得到EF＝EM＝ FM，根据直角三角
形的性质得到BE＝ FM，等量代换的EF＝BE，故①正确；由题意得到EC＝BC，从而得
到∠CEB＝∠CBE，然后根据平行四边形的对边平行得到∠CEB＝∠EBA，从而得到∠CBE
＝∠ABE，故②正确；由于S BEF＝S BME，BM＞AF，所以S ABF＜2S BEF，故③错
误；设∠EFB＝x，则∠FBE＝△x，根据角△的和差得到∠CEF＝90°﹣△x+180°﹣△2x＝270°﹣3x，
∠DFE＝90°﹣x，则∠CEF＝3∠DFE，故④正确．
解：延长FE交BC的延长线与M，
∵AD∥BM，
∴∠DFE＝∠M，
在 DFE与 CME中，
△ △
，
∴△DFE≌△CME（AAS），
∴EF＝EM＝ FM，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝90°，
∵∠FBM＝90°，
∴BE＝ FM，
∴EF＝BE，故①正确；∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在▱ABCD中，AB＝2AD，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠CEB＝∠EBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠CBE＝ ∠ABC，故②正确；
∵EF＝EM，
∴S BEF＝S BME，
∵B△M＞AF，△
∴S ABF＜2S BEF，
故③△错误； △
设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，
∴∠CBE＝∠CEB＝90°﹣x，
∴∠FEB＝180°﹣2x，
∴∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠DFE＝90°﹣x，
∴∠CEF＝3∠DFE，
故④正确，
故答案为：①②④．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得
出 DEF≌△CME是解题关键．
△
16．
【分析】
根据直角三角形的性质求 的长，根据等腰三角形的性质得BC长，再利用平行四边
形的性质得出点的坐标即可．
解： ， ， ，， ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理得出点A坐标，再由平行四边形
性质求得点D坐标．
17．6
【分析】
如图，延长EF，BC，交于点N，证明 再证明 可得
再证明 即可．
解：如图，延长EF，BC，交于点N，
，
的平分线 与 交于点 ，
而
为 的中点，
而
而同理可得：
故答案为：6
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌
握“平行线+角平分线可得等腰三角形”是解本题的关键．
18．20或
【分析】
先由折叠的性质及勾股定理求出DE的长度，再分 和 两种情况分类讨
论即可．
解： ， ，
由勾股定理得
由折叠可得
设 ，则
在 中，
即
解得
如图
当 时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形是一个特殊的
平行四边形-菱形平行四边形的周长为
如图
当 时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形是一个特殊
的平行四边形-菱形
平行四边形的周长为
综上，所得平行四边形的周长为20或 ．
故答案为：20或 ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握知
识点是解题的关键．
19．2
【分析】
由条件可证明四边形 、 为平行四边形，再利用面积的和差可得出四边形
和四边形 的面积相等，由已知条件即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，GH∥AB，
S ABD=S CDB，四边形 、 、 、 为平行四边形，
△ △
∴S PEB=S BGP，S PHD=S DFP，
△ △ △ △
，
即 ．
， ，；
故答案为：2．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是
解题关键．
20． ， ，
【分析】
需要以已知线段AB为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角
线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点D坐标．
解：∵点 在直线 上，
∴设D（n，-1），
∵ ， ， ，
∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形ABCD为平行四边形，
对角线中点坐标为： 或 ，
∴ ，
解得： ，
∴D（- ，-1），
②若四边形ADBC为平行四边形，
对角线中点坐标为： 或 ，
∴ ，解得： ，
∴D（0，-1），
③若四边形ABDC为平行四边形，
对角线中点坐标为： 或 ，，
∴ ，
解得： ，
∴D（2，-1），
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了数形结合的数学思想以及平行四边形的性质应用，以AB为边和
对角线进行分类是本题的关键点所在．
21．
【分析】
根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据题意，利用分类讨论的方法可以计算出m
的两个极值，从而可以得到m的取值范围．
解：如图1中，当点B 与A重合时，
1
∵直线l垂直平分线段AB，
∴PB＝PA，
∵∠ABP＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴PB＝AB，∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB＝3，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝6，
∴PB＝AB＝6，
∴OP＝3，
∴m＝−3，
如图2中，当点O 落在直线a上时，同法可证△OPO 是等边三角形，
1 1
∵AB∥OO ，OB∥AO，
1 1
∴四边形ABOO1是平行四边形，
∴OO ＝AB＝6，
1
∴OP＝OO ＝6，
1
∴m＝−6，
观察图象可知，满足条件的m的值为：−6≤m≤−3．
故答案为：−6≤m≤−3．
【点拨】本题考查坐标与图形的变化−对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适
的辅助线，利用数形结合的思想解答．
22．8
【分析】
证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝ ， ， 过点E作
EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AB=CD，
∵ ，
∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE=CD＝ ， ，
过点E作EH⊥BF于H，
∵ ，
∴∠ECH= ，
∴CH=EH，
∵ ， ，
∴CH=EH=4，
∵∠EHF=90°， ，
∴EF=2EH=8，
故答案为：8．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，
熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
23．
【分析】
利用平行四边形的知识，将 的最小值转化为 的最小值，再利用勾股
定理求出MC的长度，即可求解；
解：过点A作 且 ，连接MP，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
将 的最小值转化为 的最小值，当M、P、C三点共线时，
的最小，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．
24．2或 ##2 或2
【分析】
分两种情况讨论：①若PA′与AO交于点F，连接A′O，易得S DFP= S ODP=
△ △
S ADP，即可得到DF= OD=OF，PF= A′P=A′F．从而可得四边形A′DPO是平行四边形，
′
△
即可得到OP=A′D，从而可求出OP；②若DA′与OC交于点G，连接AA′，交DP与H，如
图，同理可得GP=OG，DG= DA′=1，根据三角形中位线定理可得AP=2，此时点P与点C
重合，从而可求出OP．
解：①若PA′与为OA交于点F，连接A′O，如图．
∵点D是AO的中点，
∴OD=AD=2．由折叠可得A′D=AD=2，
由题可得S DFP= S ODP= S ADP= S ADP，
′
△ △ △ △
∴DF= OD=OF，PF= A′P=A′F．
∴四边形A′DPO是平行四边形，
∴OP=A′D=2；
②若DA′与BO交于点G，连接AA′，交DP与H，如图．
同理可得GP= OP=OG，DG= DA′= ×2=1．
∵OD=AD，
∴DG= AP=1，
∴AP=2，
过点A作AC⊥OB于点C，
∵∠AOB=30°，OA=4，
∴AC=2，
∴点P与点C重合，
∴OP=OC=2 ．
故答案为：2或2 ．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定
理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知
识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
25．4
【分析】
首先利用等腰三角形的判定和性质得到BA=BE，AQ=EQ，CA=CD，AP=DP，求出DE=8，再利用三角形中位线定理得出结果．
解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ=∠EBQ，
又∵BQ⊥AE，
∴∠BAQ+∠ABQ=90°，∠EBQ+∠BEQ=90°，
∴∠BAQ=∠BEQ，
∴BA=BE，
∴AQ=EQ，
同理CA=CD，AP=DP，
∴PQ为 ADE的中位线，
△
∴PQ= ，
又∵AB+AC=28-BC=18，
即BE+CD=18，
∴DE=BE+CD-BC=8,
∴PQ= ，
故答案为4．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，利用三线合一得
到中点是解决问题的关键．
26．
【分析】
由平行四边形的性质得出 ， ，得出四边形 和四边形 都
是平行四边形，则 ， ，由三角形中位线定理可得出答案．
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
点 ， 分别从点A， 同时出发，沿 ， 方向以相同的速度运动，
，
，
四边形 和四边形 都是平行四边形，
， ，，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形
和四边形 是平行四边形是解题的关键．
27．6
【分析】
直接利用平行四边形的性质得出O是AC的中点，即可得出S AOE=S EOC，再利用
三角形中位线定理得出EO∥AD，则S AOE=S DOE，进而求出答△案． △
解：∵点O是▱ABCD的对角线交△点， △
∴O是AC的中点，则S AOE=S EOC，
又∵E为CD中点， △ △
∴EO是 ACD的中位线，
∴EO∥AD△，
∴S AOE=S DOE，
∴S△DOC=3△+3=6，
故S AO△B的值为6．
故答△案为：6．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中线以及三角形中位线的性质，
得出S AOE=S DOE是解题关键．
28△． △
【分析】
先根据 、 的平分线交于点 ，得出
，再根据 、 的平分线交于点 ，得
出 ，
再进行计算即可
解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∴∠ADC+∠DCB=150°，
、 的平分线交于点 ，
，
、 的平分线交于点 ，
=
，
∴∠O=180°-37.5°= ，
2
故答案为：
【点拨】本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题
的关键是找出操作的变化规律，得到∠O 与∠ADC+∠DCB之间的关系．
2
29．(1)见分析 (2)12
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质
可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据
全等三角形的对应边相等可证得AB＝CF，进而得出CF＝CD；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE＝EF，证出DA＝DF，利用等腰三角形的
性质求出即可，然后勾股定理求解即可．
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
则在△BAE和△CFE中，，
∴△BAE≌△CFE（ ），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD；
(2)
由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD，
∵AB＝CD，
∴DF＝2AB，
∵AD＝2AB，
∴AD＝DF，
∵AE＝EF，
∴DE⊥AF
在 中 ， ，
∴
【点拨】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明
线段相等的常用方法是证明三角形全等．
30．(1)见分析
(2)△ADE≌△CFB；△AHD≌△BGC；△ABF≌△CDE；△AEH≌△CFG；△ADF≌△BEC；
△AEF≌△CEF；△DEF≌△BEF；△EGH≌△FGH；△EFH≌△EFG
【分析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，和AE=Cf，可证四边形AECF是平行四边形，四
边形BFDE是平行四边形，从而得到EGFH是平行四边形，根据平行四边形的性质可解；
（2）根据全等三角形的判定和平行四边形的性质可解．
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF∥CE，
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分；
(2)
解：∵
∴△ADE≌△CFB（SAS）
∴∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，DE=BF
由（1）可知四边形AECF是平行四边形，
∴∠BAF=∠FCE，AF=CE
又∠BAD=∠DCB
∴∠DAF=∠BCE
又∵∠ADE=∠CBF，AD=BC
∴△AHD≌△BGC（AAS）
∴∠AHD=∠BGC
∴∠AHE=∠CGF
∵AB=CD，AF=CE，BF=DE
∴△ABF≌△CDE（SSS）
∵AE=CF，∠AHE=∠CGF，∠AED=∠CFB
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∵AD=BC，DF=CD-CF=AB-AE=BE，∠ADF=∠CBA
∴△ADF≌△BEC（SAS）
∵四边形AECF是平行四边形，
∴△AEF≌△CEF
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴△DEF≌△BEF，
∵四边形EGFH是平行四边形
∴△EGH≌△FGH，△EFH≌△EFG因此图中所有的全等的三角形有：△ADE≌△CFB；△AHD≌△BGC；△ABF≌△CDE；
△AEH≌△CFG；△ADF≌△BEC；△AEF≌△CEF；△DEF≌△BEF；△EGH≌△FGH；
△EFH≌△EFG．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟
练掌握平行四边形的判定与性质．
31．(1)t=1或3
(2)当点P在线段OC上时， ；当点P在CD的上面时，
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a= -4，b= 3，得到AB = 7，根据平行四边形的判定定理
得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形和平行四边形的面积公式列方程即可得到答
案；
（2）如图②，当点P在线段OC上时，过P作 ，如图③，当点P在CD的上
面时，过P作 ，根据平行线的性质即可得到结论．
(1)
解： ，
，
，
，
，
，
点 ，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一，
，
解得 或3．
当时间t为1或3时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之
一．
(2)
解：如图②，当点P在线段OC上时， ，理由如下：
过P作 ，
，
，
，
，
，
；
如图③，当点P在CD的上面时， ，理由如下：过P作 ，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、非负数的性质、平面直角坐标系中两
点之间的距离、三角形的面积、平行四边形的面积、平行线的判定和性质，正确的作出辅
助线是解题的关键．
32．(1)GH∥AE，GH=2； (2)①5；②t的值为 秒或4秒或 秒．
【分析】
（1）利用三角形中位线定理即可求解；
（2）①取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，先确定线段GH所扫过区域是
▱AOMN，根据平行四边形的面积公式计算可得结论；
②分FH=FG、GH=FG、GH=HF三种情况讨论，即可求得t的值；
(1)
解：∵AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，
∴AE= 4，∵G，H分别是AF，EF的中点，
∴GH∥AE，GH= AE=2；
(2)
解：①∵CE=AB=5，
∴AC= ，
取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，线段GH所扫过区域是▱AOMN，
EM= CE= ，
∴线段GH所扫过区域的面积=MN•EM=GH•EM=2× =5；
；
②当FH=FG时， FGH是等腰三角形，
此时FE=FA， △
∴∠FEA=∠FAE，
∵∠FEA+∠FEC=90°，∠FAE+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∴FE=FA=FC，
∴AF= AC= ，
∴t的值为 （秒）；
当GH=FG时， FGH是等腰三角形，
此时AE=FA=4，△
∴t的值为4（秒）；
当GH=HF时， FGH是等腰三角形，
△此时AE=EF=4，连接EG，
∵G是AF的中点，
∴EG⊥AC，
∵S AEC= AE•EC= AC•EG，
△
∴EG= ，
∴AG= ，
∴AF= 2AG ，
∴t的值为 （秒）；
综上，t的值为 秒或4秒或 秒．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判
定和性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
