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专题 6.20 多边形的内角和与外角和（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边
形中（ ）
A．只有三角形 B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
2．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片
原来的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．下列图形中，周长不是32 m的图形是( )
A． B． C． D．
4．如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
5．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有( ).
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
6．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（ ）根木条.A． B． C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，
则∠BOC=( )
A．105° B．115° C．125° D．135°
8．若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的
边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
10．如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C=35°，过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向
将它剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大的内角的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
11．如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2
的度数为（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
12．如图所示，在正六边形 内，以 为边作正五边形 ，则
（ ）A． B． C． D．
13．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
14．下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形 B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形 D．2个正六边形和2个正三角形
二、填空题
15．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作_________个.
16．将一个正方形截去一个角，则其边数___________．
17．如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，
小林共走了72米回到点P，则α为_____．
18．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则 的
面积与 的面积比为__________．
19．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________．
20．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形
被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为______．
21．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．22．如图所示，过正五边形 的顶点 作一条射线与其内角 的角平分线相交于
点 ，且 ，则 _____度．
23．小明在将一个多边形的内角逐个相加时，把其中一个内角多加了一次，错误地得到内
角和为840°，则这个多边形的边数是___________．
24．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是
__________．
25．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
26．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是__．
27．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六
边形的周长等于_________．
28．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线
段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
29．现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌
地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．
三、解答题
30．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．
31．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的 3 倍，求这个多边形的边数．
（2）如图，点F 是 ABC 的边 BC 延长线上一点．DF⊥AB，∠A=30°，∠F=40°，求
∠ACF 的度数． △
32．我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相
等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条
边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形 的各条边都相等．
①如图1，若 ，求证：五边形 是正五边形；
②如图2，若 ，请判断五边形 是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形 的各条边都相等．
①若 ，则六边形 是正六边形；（ ）
②若 ，则六边形 是正六边形． （ ）
33．如图1，已知∠ACD是 ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两
个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为 ABC的两个外角，则∠DBC＋
∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
(2)初步应用：如图3，在 ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有
何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．
(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用
上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．34．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，
如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠ 的变化情况，解答下列问题．
（1）将如表的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠ 的度数 ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠ ＝20°？若存在，求出n的值；若
不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边
形和五边形.
解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C．
【点拨】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题
的关键．
2．D
【解析】
【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边
形，由此即可解答.
当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选D．
【点拨】剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶
点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．3．B
【解析】
【分析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．
A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.
C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
采用排除法即可选出B
故选B.
【点拨】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.
4．B
【解析】
试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
试题解析：如图：
小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S =EF•FG=5×5=25
□EFGH
S = DE•AE= ×1×2=1，
AED
△
S = •CH•DH= ×2×4=4，
DCH
△
S = BG•GC= ×2×3=3，
BCG
△
S = FB•AF= ×3×3=4．5．
AFB
△
S =S -S -S -S -S =25-1-4-3-4．5=12．5．
四边形ABCD □EFGH AED DCH BCG AFB
△ △ △ △
故选B．
考点：三角形的面积．
5．C【解析】
【分析】根据邻补角的定义可求出每个外角的度数，根据多边形外角和定理即可得出多边
形的边数，根据多边形从一个顶点出发的对角线共有n-3条，即可求得对角线的条数．
∵此多边形的每一个内角都等于150°，
∴此多边形的每一个外角都等于180°-150°=30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：360°÷30°=12，
∴从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条.
故选C.
【点拨】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的
内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有n-3条．
6．C
【解析】
【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n-3）条对角线，把三角形分成（n-2）个
三角形．
解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；
要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n-3）根木条．
故选：C.
【点拨】本题考查了多边形以及三角形的稳定性；掌握从一个顶点把多边形分成三角形的
对角线条数是n-3．
7．B
【解析】
【分析】根据四边形的内角和及角平分线的定义解答即可.
∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=140°，∠D=90°
∴∠ABC+∠BCD=130°
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠BCD）=65°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°
故选B
【点拨】本题考查的是四边形的内角和及角平分线，掌握四边形的内角和是360°及角平分
线的定义是关键.8．B
【解析】
【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°
即可求出答案．
解：因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，
所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，
所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：B．
【点拨】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多
边形的基本知识是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列
出等式，进而即可求解．
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2为正整数，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故选B
【点拨】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
10．D
【解析】
分析：根据三角形的内角和，可得∠A，根据四边形的内角和，可得答案．
详解：由三角形的内角和，得
∠A=180°-35°-35°=110°，
由四边形的内角和，得360°-90°-110°-35°=125°，
故选D．
点睛：本题考查了多边形的内角，利用多边形的内角和是解题关键．
11．D
【解析】
【分析】利用外角和360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度
数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3即可求得
等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是： （5-2）×180°=108°，
则∠1+∠2=360°-60°-90°-108°-∠3=42°．
故选D．
【点拨】本题考查了多边形的外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的
度数是解答此题的关键．
12．B
【解析】
【分析】利用正n边形的外角和定理计算即可
如图，延长BA到点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAO= =60°，
∵五边形ABGHI是正五边形，
∴∠IAO= =72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故选B．【点拨】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关
键．
13．C
【解析】
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多
边形的外角和等于360°，即可求得答案．
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选C．
【点拨】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：
（n-2）•180°，外角和等于360°．
14．D
【解析】
【分析】只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角
之和等于360°即可。
A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故选D.
【点拨】本题考查多边形的内角，熟练掌握多边形的内角的度数是解题关键.
15．无数
【解析】
四边形具有不稳定性，可知四条边组成的四边形有无数种可能.故答案为无数.
16．3或4或5
【解析】
一个多边形截去一个角共有三种情况:
①当截去角的直线不经过多边形的顶点时,截去后多边形多一个角,多一条边;
②当截去角的直线经过多边形的一个顶点时,截去后多边形的边和角的数量都不变;③当截去角的直线经过多边形的两顶点时,截去后多边形少一个角,少一条边.
故将一个正方形截去一个角,则其边数为3或4或5.
点睛：本题考查了实际操作问题与分类讨论的思想.分类讨论是把一个复杂的问题分成若干
个较简单的问题解决,分类时应注意“不重不漏”.
17．40°
【解析】
【分析】根据题意可知,小林每次走的角度为α,即走的是正多边形,可根据已知条件求出边数,
然后再利用外角和等于360°,除以边数即可求出α的值．
解：设边数为n,根据题意,
n=72÷8=9,
则α=360°÷9=40°．
故答案为：40°．
【点拨】本题主要考查了多边形的外角和等于360°,根据题意判断出所走路线是正多边形是
解题的关键．
18．1∶4
【解析】
【分析】分别求出 ABC的面积和 ABD的面积，即可求解．
△ △
解： ，
，
∴ 的面积与 的面积比为1∶4．
故答案为1∶4．
【点拨】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键．
19．6
【解析】
试题分析：凸 边形的内角和公式 ，若凸 边形的内角和为12 60°，则
=12 60°解得n="9;" 从一个顶点出发引的对角线条数是n-3=6
考点：凸 边形
点评：本题考察凸 边形的内角和等知识，熟练掌握凸 边形的内角和是解决本题的关键20．2020
【解析】
【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的
三角形．
解：由题意可知：n-2=2018，
解得n=2020，
则这个多边形的边数为2020，
故答案为：2020．
【点拨】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边
形分为（n-2）个三角形．
21．540°
【解析】
【分析】利用三角形的外角性质得∠6+∠7=∠8,在两个四边形中减掉（∠10+∠9）,即可解题.
如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,
又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）
=540°.
【点拨】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.
22．66
【解析】
【分析】首先根据正五边形的性质得到 度，然后根据角平分线的定义得到
度，再利用三角形内角和定理得到 的度数．
解：∵五边形 为正五边形，
∴ 度，
∵ 是 的角平分线，∴ 度，
∵ ，
∴ ．
故答案为66．
【点拨】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和
定理．
23．6
【解析】
【分析】设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式
（n﹣2）•180°可知，多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解
解：设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝840°﹣x，
n＝6…120°，
∴这个多边形的边数是6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形
的内角和定理是解决本题的关键．
24．180°或360°或540°
【解析】
分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也
可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.
详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为540°或360°或180°.
点睛：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则
所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.
25．360°
【解析】【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，
∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋
∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋
∠DCB＝360°．
解：如图，连接FC，
由三角形外角的性质可得：
∠2＝∠G＋∠H，
∠3＝∠A＋∠B，
∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，
根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°
即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，
故答案为360°．
【点拨】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．
26．12
【解析】
【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多
边形的边数．
∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角．关键是明确多边形的外角和为360°．
27．15
【解析】
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当
的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．
∴GC=BC=3，DP=DE=2．
∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．
故答案为15．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从
而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．
28．360°．
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点拨】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
29．③
【解析】
【分析】根据正多边形的内角度数解答即可.
∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；
∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；
∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，
故答案为：③.【点拨】此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数
与360度的整除关系是解题的关键.
30．∠CAD＝36°．
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式先求出每个内角的度数，再根据已知和三角形内角和等
于180º分别求出∠1、∠2的度数，从而得到∠ACD与∠ADC的度数，最后由三角形内角
和定理求出∠CAD度数．
解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．
故答案为：36°．
【点拨】本题考查多边形的内角和计算公式，等边对等角的性质及三角形内角和定理，有
一定的难度．
31．(1)8；(2)80°．
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为360°，内角和公式为：（n-2）•180°，由题意可知：内角
和=3×外角和，设出未知数，可得到方程，解方程即可．
在直角三角形DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数；再在△ABC中，根据内
角与外角的性质求∠ACF的度数即可．
(1)设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°=360°×3，
解得n=8．
∴这个多边形的边数为8．
(2)在△DFB中，
∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，
∵∠F=40°，∠FDB+∠F+∠B=180°，
∴∠B=50°．
在△ABC中，
∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACF=30°+50°=80°．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角与外角，熟悉
掌握是关键.
32．（1）①证明见解析②若 ，五边形 是正五边形（2）①真命题②
真命题
【解析】
【分析】（1）①用SSS证明 ，得到
，即可得证；
②先证 ，再证明 ，再根据四边形的内角和与平行的性
质证得 即可得证；
（2）①先证 ，再举出等腰直角三角形的反例，得出
，由此即可得出结论；
②连接 、 、 ，先证 ，再证 ，得到 ，
再由（2）①即可得出结论．
（1）①证明：∵凸五边形 的各条边都相等
∴
在 、 、 、 、 中，
∴
∴
∴五边形 是正五边形；
②解：若 ，五边形 是正五边形，理由如下：在 、 和 中，
∴
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵四边形 内角和为
∴
∴
∴ ，
∴
∴
同理：
∴五边形 是正五边形；
（2）解：①若 ，则六边形 是正六边形；假命题，理由如下：
如图3所示，∵凸六边形 的各条边都相等
∴
在 、 和 中，
∴
因此，如果 都为相同的等腰直角三角形，符合题意
但 ，而正六边形的每个内角都为
∴六边形 不是正六边形
故答案为：假；②若 ，则六边形 是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接 、 、
在 和 中，
∴
∴
∵
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
同理：
∴
由（2）①可知：六边形 不是正六边形
故答案为：假．【点拨】本题主要考查正多边形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
33．(1)＝
(2)∠P＝90°－ ∠A
(3)∠P＝180°－ ∠BAD－ ∠CDA，探究见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式
相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP= ∠DBC，∠BCP= ∠ECB，根据三角形内角和可
得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−
∠A；
（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=
∠EBC=90°− ∠1，∠4= ∠FCB=90°− ∠2，相加可得：∠3+∠4=180°− （∠1+∠2），
再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
(1)
∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
故答案为：=；
(2)∠P=90°- ∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP= ∠DBC，∠BCP= ∠ECB，
∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°- （∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∴∠P=180°- （180°+∠A）=90°- ∠A．
故答案为：∠P=90°- ∠A，
(3)
∠P=180°- ∠BAD- ∠CDA，
理由是：如图，
∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3= ∠EBC=90°- ∠1，∠4= ∠FCB=90°- ∠2，
∴∠3+∠4=180°- （∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）= （∠1+∠2），
∴∠P= ×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°- （∠BAD+∠CDA）=180°- ∠BAD- ∠CDA．
【点拨】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角
形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
34．（1） ， ， ， ， ；（2）存在，【解析】
【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α= ；
（2）根据正n边形中的∠α= ，可得答案．
解：（1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表：
正多边形边
3 4 5 6
数
的度数
故答案为： ， ， ， ， ；
（2）存在，理由如下：
设存在正 边形使得 ，
得 ．
解得： ，
存在正 边形使得 ．
【点拨】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角： ，三
角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等．
