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专题 6.21 《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形
的知识解决四边形的问题；
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算；
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
5.掌握多边形的内角和与外角和定理，并加以运用。
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记
作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相
对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线
有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
特别说明：
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以
证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系
三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都
能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平
行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
特别说明：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数
量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而1
每个小三角形的周长为原三角形周长的 2 ，每个小三角形的面积为原三角
1
形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条
平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的
长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
要点六、多边形的内角和与外角和
（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
(n2) 180°
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
（3）多边形的外角和为360°．
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1．如图，在 ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE、
CF相交于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求ED的长．
【答案】(1)见分析； (2)2
【分析】
(1) 根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性
质可得 ， ，进而可得BE⊥CF；(2)求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出
AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF即可．
(1) 证明：在 ABCD中
∵
∴
∵∠ABC，∠BCD的平分线分别交于点G
∴ ，
∴
∴
∴
(2) 在 ABCD中
∵
∴
∵BE平分∠ABC
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质，关键是证明出
AE=AB是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O， ．
(1)请用尺规完成基本作图：作出 的角平分线交AC于点M，交CD交于点N；
（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接ON，若 ， ，求 的周长．【答案】(1)见分析 (2)10
【分析】
（1）如图，以B为圆心、以任意长为半径画弧分别交OB、BC于E、F点，再分别以
E、F为圆心，以大于 EF为半径画弧，两弧交于点G，然后作射线BG即可；
（2）先根据平行四边形的性质可得OD=OB= BD=4,DC=AD，再结合 可得
DC=AD=4，进一步可得OB=DC，即△OBC是等腰三角形；又BN 的角平分线可得
BN是线段OC的垂直平分线，则CN=ON；最后运用三角形周长公式解答即可．
(1)解：如图即为所求．
(2)解：∵平行四边形ABCD
∴OD=OB= BD=4,DC=AD
∵
∴DC=AD=4
∴OB=DC=4
∵BN是 的角平分线
∴BN是线段OC的垂直平分线
∴ON=CN
∴ 的周长=OD+ON+DN=OD+NC+DN=OD+CD=4+6=10．
【点拨】本题主要考查了角平分线作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用等腰三角形的判定与性质和垂直平分线
的判定与性质是解答本题的关键．
【变式2】 如图，平行四边形ABCD对角线交点为O，对角线BD上有两点为E、F，
且 ．
求证：ED=FB．
【分析】首先根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，再由平行线的性质可
得 ，即可证得 ，据此即可证得结论．
证明： 四边形ABCD是平行四边形
，OB=OD
在 与 中
，即ED=FB
【点拨】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，证得OE=OF是
解决本题的关键．
类型二、平行四边形的判定
2．图，在四边形 中， ， ，垂足分别为 ， ，且
， ．
求证：四边形 为平行四边形．【分析】先证明△ABE≌△CDF，可得AB=CD，∠BAE=∠DCF，从而得到AB∥CD，即
可求证．
证明：∵ ， ，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵ ，
∴AE=CF，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
∴AB∥CD，
∴四边形 为平行四边形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平
行四边形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连
接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．
(1)求证：EF与GH互相平分；
(2)在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有全等的三角形．
【答案】(1)见分析；(2)△ADE≌△CFB；△AHD≌△BGC；△ABF≌△CDE；
△AEH≌△CFG；△ADF≌△BEC；△AEF≌△CEF；△DEF≌△BEF；△EGH≌△FGH；
△EFH≌△EFG
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，和AE=Cf，可证四边形AECF是平行四边形，四
边形BFDE是平行四边形，从而得到EGFH是平行四边形，根据平行四边形的性质可解；
（2）根据全等三角形的判定和平行四边形的性质可解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF∥CE，
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分；
(2) 解：∵
∴△ADE≌△CFB（SAS）
∴∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，DE=BF
由（1）可知四边形AECF是平行四边形，
∴∠BAF=∠FCE，AF=CE
又∠BAD=∠DCB
∴∠DAF=∠BCE
又∵∠ADE=∠CBF，AD=BC
∴△AHD≌△BGC（AAS）
∴∠AHD=∠BGC
∴∠AHE=∠CGF
∵AB=CD，AF=CE，BF=DE
∴△ABF≌△CDE（SSS）
∵AE=CF，∠AHE=∠CGF，∠AED=∠CFB
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∵AD=BC，DF=CD-CF=AB-AE=BE，∠ADF=∠CBA
∴△ADF≌△BEC（SAS）∵四边形AECF是平行四边形，
∴△AEF≌△CEF
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴△DEF≌△BEF，
∵四边形EGFH是平行四边形
∴△EGH≌△FGH，△EFH≌△EFG
因此图中所有的全等的三角形有：△ADE≌△CFB；△AHD≌△BGC；△ABF≌△CDE；
△AEH≌△CFG；△ADF≌△BEC；△AEF≌△CEF；△DEF≌△BEF；△EGH≌△FGH；
△EFH≌△EFG．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟
练掌握平行四边形的判定与性质．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝
OC．
(1)求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，
∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
【答案】(1)①见分析；②见分析；(2)16°
【分析】
（1）①由AD//BC，可得∠OAE＝∠OCF，然后根据ASA即可证明△AOE≌△COF；②
同理可证△AOD≌△COB，由全等三角形的性质可得AD＝CB，又AD//BC，则可证四边形
ABCD为平行四边形；（2）先根据平行线的性质可得∠EBD=∠DBF=32°，∠ABC＝180°−∠BAD=80°，由线
段垂直平分线的性质得BE=DE，则∠EBD=∠EDB=32°，然后根据∠ABE＝
∠ABC−∠EBD−∠DBF即可求得答案.
(1) 证明：①∵AD//BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②∵AD//BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵AD//BC，∠DBF=32°
∴∠EDB＝∠DBF=32°，
由（1）②得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，
∴EF是BD的垂直平分线
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB=32°，
∵AD//BC，∠BAD=100°
∴∠ABC＝180°−∠BAD=180°−100°=80°，
∴∠ABE＝∠ABC−∠EBD−∠DBF＝80°−32°−32°=16°【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直
平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角
形的判定与性质是解题的关键.
类型三、平行四边形与面积的有关计算
3．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点
F．
(1)求证： ≌ ；
(2)当 ， ， 时，求AF的长；
(3)在（2）的条件下，连接BE，求 的面积．
【答案】(1)见分析 (2)4 (3)3
【分析】
(1)首先由E是边CD的中点，可得DE=CE，再根据平行线的性质可得 ，据
此即可证得 ≌ ；
(2)根据平行四边形的性质及全等三角形的性质可得AB=3，BF=5，再利用勾股定理即
可求得AF；
(3)由题意可知BA是 边EF上的高，根据全等三角形的性质可得EF=2，据此即
可解答．
(1) 证明： 是边CD的中点
四边形ABCD是平行四边形
在 与 中（2）解： 四边形ABCD是平行四边形
，AD=BC=2.5
在直角 中，
(3) ：如图：连接BE
是 的边EF上的高
【点拨】本题考查了线段中点的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点E，F是 对角线 上的两点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ．
①线段 长为____________；
②四边形 的面积为_______．【答案】(1)证明见分析 (2)①2；② ．
【分析】
（1）利用平行四边形性质证明 ，进而可得 ， ，
由一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可得出结论．
（2）①由勾股定理可求 ，根据 即可计算出EF长；②
由 ，可得 ，求出 ，由四边形 的面积为 的
两倍即可解题．
(1) 证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ；
②∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质和勾股定理的应用，掌握平行四边
形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】如图，点A的坐标为 ，点B在x轴上，把 沿x轴向右平移3个单
位长度得到 ．
(1)求点C的坐标． (2)求四边形 的面积．
【答案】(1) (2)9
【分析】
（1）根据平移的性质求解即可．
（2）根据平移的性质确定 ，AC=OE=3，根据平行四边形的判定定理确定四边
形AOEC是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
(1) 解：∵点A的坐标为 ，把 沿x轴向右平移3个单位长度得到 ，
∴ ．
(2) 解：∵ 沿x轴向右平移3个单位长度得到 ，
∴ ，AC=OE=3．
∴四边形AOEC是平行四边形．∵点A的坐标为 ，点B在x轴上，
∴ 的边OE上的高是3．
∴ ．
【点拨】本题考查平移的性质，平行四边形的判定定理，平行四边形的面积公式，熟
练掌握这些知识点是解题关键．
类型四、三角形的中位线
4．图，在 ABC中BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交
△
AD于F，点E是AB的中点，求证： ．
【分析】
通过DC=AC，FC平分∠ACB，可证得F点是AD中点，E为AB中点，则EF是△ABD
的中位线，则根据中位线的性质即可得证结论．
解：∵FC平分∠ACB，
又∵DC=AC，
∴F点为AD的中点，
又∵E点为AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
则根据中位线的性质有 ，
结论得证．
【点拨】本题考查了等腰三角形“三线合一”、三角形中位线的判定和性质的知识，
牢记相关概念是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点O，且E、F、G、H
分别是 、 、 、 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见分析 (2)15
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，由中点的性质可得EO＝ AO，
GO＝ CO，FO＝ BO，HO＝ DO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得EO＋FO＝9，由三角形中位线定理可得EF＝6，即可
求解．
(1) 证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ，
，
，
、 分别是 、 的中点，
，且 ，
，
的周长 ，
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问
题的关键．
【变式2】如图，在Rt△ABC中， ，F是CB的中点，E是AB的中点，D为CA延长线上一点，且 ，连接DE，AF，EF．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)若 ， ，求四边形ADEF的面积．
【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）根据三角形的中位线的性质得到 ，根据平行四边形的判定定理于是得
到结论；
（2）根据已知条件得到 ，利用勾股定理求出 ，所以
得出 ，再根据四边形 的面积 即可求解．
(1) 证明： 点 是 的中点，点 是 的中点，
，EF// ，
，
，
∵EF //AD，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ， ， ，
，
，，
四边形 的面积 ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质、勾股定理，解
题的关键是正确的识别图形．
类型五、平行四边形性质与判定综合
5.如图，在平行四边形 中， ， 分别是 和 的角平分线，
交 、 于点 、 ，连接 、 ．求证： 、 互相平分．
【分析】欲证明 、 互相平分，只要证明四边形 是平行四边形即可．
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
即 ，
，
四边形 是平行四边形．
、 互相平分．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质定理．
举一反三：【变式1】如图，平面内有三个等边三角形 、 、 ，两两共用一个
顶点，求证： 与 互相平分
【分析】
连接 、 ，证得 ，可得 ，从而得到 ，同理
，进而得到四边形 是平行四边形，即可求解．
证明：如图，连接 、 ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形
的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判
定和性质是解题的关键．
【变式2】如图，四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足
为 ，且 ．连接 ，交 于点 ．
（1）探究 与 的数量关系，并证明；
（2）探究线段 ， ， 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见分析；（2）AF=EF+CE，理由见分析．
【分析】
（1）设∠CAE= ，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2
，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；
（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证 CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是
平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可． △
解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE= ，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+ ，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+ ，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2 + + =90°；（2）AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判
定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
类型六、多边形的内角和与外角和
6.一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多 ，求这个多边形的边数及内角
和度数．
【答案】这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角
和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得
到方程，从而求出边数．
解：根据题意，得
（n−2）•180°＝360°×4+180°，
解得：n＝11．
360°×4+180°=1620°
则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．
【点拨】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量
关系，构建方程即可求解．
举一反三：
【变式1】一个零件的形状如图所示，按规定 ，
，质检工人测得 ，就断定这个零件不合格，这是为什么？
【分析】在五边形DHGFE中利用内角和定理求得∠GFE的度数即可作出判断．
解：∵四边形ABCD的内角和是：180×（4－2）=360°．
∠H=360°－∠A－∠B－∠C=90°
五边形DHGFE的内角和是180×（5－2）=540°．
则∠GFE =540°－∠FGH －∠EDH－∠H －∠FED =130°．
因为质检工人测得∠GFE=140°，因此这个零件不合格．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，正确进行角度的计算是关键．
【变式2】已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图
形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就
请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【答案】(1) ；理由见分析 (2)
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出 与 ，再根据对顶角相等可得
，然后整理即可得解；
（2）根据“8字形”的结构特点，连接 ，根据四边形的内角和等于 可得
，根据“8字形”的关系可得 ，
然后即可得解．
(1) 解：在 中， ，
在 中， ，
（对顶角相等），
，
；
（2）解：如图3，
连接 ，则 ，
根据“8字形”数量关系， ，
．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，
整体思想的利用是解题的关键．
类型七、平行四边形与折叠、最值问题
7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上
一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．(1)如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝ 度；
(2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
(3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿
PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．
【答案】(1)85 (2)5+5 (3)2 +2
【分析】
（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可；
（2）作BH⊥AD于H．勾股定理解Rt△ABH，由四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，可得∠APA′＝90°，PH＝BH，根据PA＝AH+PH 即可求解；
（3）作BH⊥AD于H，连接BP．勾股定理求得PB，当BA′的长度最小时，△BFA′的
周长最小，由BA′≥PB﹣PA′，求得 ，然后即可求得△BFA′的周长的最小值．
解：(1)如图1中，
∵∠DPA′＝10°，
∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°，
由翻折的性质可知：∠A′PB＝∠APB＝ ×170°＝85°．
故答案为85．
（2）如图2中，作BH⊥AD于H．在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°，
∴AH＝5，BH＝5 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵PA′⊥BC，
∴PA′⊥AD，
∴∠APA′＝90°，
∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，
∴PH＝BH＝5 ，
∴PA＝AH+PH＝5+5 ．
（3）如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP．
∵PA＝8，AH＝5，
∴PH＝8﹣5＝3，
∵BH＝5 ，
∴PB＝ ＝ ＝2 ，
由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，
∴当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，
∵BA′≥PB﹣PA′，
∴BA′≥2 ﹣8，
∴BA′的最小值为2 ﹣8，
∴△BFA′的周长的最小值为10+2 ﹣8＝2 +2．
【点拨】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对
称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图1， 与 都是等边三角形，边长分别为4和 ，连接
为 高，连接 ，N为 的中点．
（1）求证： ；
（2）将 绕点A旋转，当点E在 上时，如图2， 与 交于点G，连接
，求线段 的长；
（3）连接 ，在 绕点A旋转过程中，求 的最大值．
【答案】（1）见分析；（2）NG＝ ；（3）BN的最大值 .
【分析】
（1）根据△ABC与△AEF是等边三角形，得出∠BAE＝∠CAF.即可证出
（SAS）；
（2）根据 AD为等边△ABC的高，利用AD＝ . 根据 AE＝ ,得出 DE＝ .根据勾股定理 EC＝ . 求出∠CGE＝180°
－90°＝90°. 利用直角三角形斜边中线可得NG＝ EC＝ ；
（3）取AC的中点H，连接BH,NH,根据BH为等边 ABC的中线，根据勾股定理BH
△
＝ ，根据N为CE的中点，利用中位线性质NH＝ AE＝ .
利用两点之间线段最短在旋转过程中， BN≤BH+HN= ,可得BN≤ 而且
当点H在线段 BN上时BN可以取到最大值．
解：（1）∵ ABC与 AEF是等边三角形，
∴ ∠△BAC＝∠△EAF=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠EAF，
即 ∠BAE＝∠CAF.
在 ACF和 ABE中，
△ △
，
∴ （SAS）；
（2）解：∵ AD为等边 ABC的高，
△
∴ DC＝ BC＝2,∠DAC＝ ∠BAC＝30°，
∴ AD＝ ，
∵ AE＝ ，∴ DE＝ ，
∴ EC＝ .
∵ ∠AEF＝60°, ∠DAC＝30°，
∴ ∠AGE＝180°－60°－30°＝90°，
∴ ∠CGE＝180°－90°＝90°.
∵ N为CE的中点，
∴ NG＝ EC＝ ；
（3）解：取AC的中点H，连接BH,NH，
∵ BH为等边 ABC的中线，
△
∴ BH⊥AC，AH=CH= AC=2，
∴BH＝ ，
∵ N为CE的中点，
∴ NH是 ACE的中位线，
△
∴ NH＝ AE＝ ，
∵ 在旋转过程中， BN≤BH+HN= ，
∴ BN≤ 而且当点H在线段 BN上时BN可以取到最大值，
∴ BN的最大值 ．
【点拨】本题考查等边三角形性质，三角形全等判定，勾股定理，三角形中位线，最
短路径，掌握等边三角形性质，三角形全等判定方法，勾股定理应用，三角形中位线性质，最短路径解决方法是解题关键．
【变式2】已知：直线y＝ +6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO
上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，
求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、
Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；
（4） 或 或
【分析】
（1）在直线 中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知， ， ， ，在
中， ，利用 ，即可求解；
（3）证明 ，则 ， ，即可求解；
（4）分 是边、 是对角线两种情况，分别求解即可．
解：（1）对于直线 ，令 ，得到 ，
，
令 ，得到 ，
．
． ；（2）由（1）可得： ． ，
， ，
，
，
由翻折不变性可知， ， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
；
（3）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 、 ，
过点 作 轴的平行线交过点 与 轴的平行线于点 ，
交过点 与 轴的平行线于点 ，
为等腰直角三角形，故 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
即 ， ，解得： ， ，
故点 的坐标为 、点 ；
由于 、 的位置可能互换，故点 的坐标为 、点 ；
综上，点 的坐标为 或 ；
（4）点 是 的中点，则点 ，而点 ，
设点 ，点 ，
①当 是边时，
点 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点 ，
同样点 右平移1个单位向下平移3个单位得到点 ，
故 且 或 且 ，
解得： 或 ，
故点 的坐标为 或 ；
②当 是对角线时，
由中点公式得： 且 ，
解得： ，故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性
质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
