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难点 14 电场性质的综合应用
一、电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始
下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空
气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法
正确的是( )
A．该匀强电场的电场强度为
B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为
C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h)
D．弹簧的弹性势能的增加量为
【答案】D
【解析】物块从静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，解得：E＝，故A错
误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，静电力做功为：W＝－qE(H＋h)＝
－，可知机械能减小量为，故B错误；从A到C过程中，静电力做功为－，则电势能增加量为，故 C错误；
根据动能定理得：mg(H＋h)－＋W ＝0，解得弹力做功为：W ＝－，即弹性势能增加量为，故D正确．
弹 弹
二、电场中的图像问题
（一）电场中的v－t图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大
小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例2】(多选)如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖直平面重合．一光滑
细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为 m＝10 g的带正电的小球，小球所带电荷量q＝5.0×10－4 C．小球从C点由静止释放，其沿细杆由C经B向A运动的v－t图像如图乙所示．小球运动
到B点时，速度图像的切线斜率最大(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是( )
A．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后变大
B．由C到A电势逐渐降低
C．C、B两点间的电势差 U ＝0.9 V
CB
D．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m
【答案】BCD
【解析】从C到A小球的动能一直增大，说明静电力一直做正功，故电势能一直减小，电势一直减小，故
A错误，B正确；根据动能定理知qU ＝mv 2－0，解得U ＝0.9 V，故C正确；根据对称性知O点电场强
CB B CB
度为0，由题图乙可知，小球在B点的加速度最大，故所受的静电力最大，加速度由静电力产生，故B点
的电场强度最大，小球的加速度 a＝＝ m/s2＝0.06 m/s2，根据牛顿第二定律得qE＝ma，联立解得E＝1.2
V/m，故D正确．
（二）φ－x图像(电场方向与x轴平行)
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线
是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以
判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．
【例3】(多选)两电荷量分别为q 和q 的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随
1 2
坐标x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且x 0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒
子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．
【例4】(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x ＝0和x ＝3a的两点上，在它们
1 2
连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是( )
A．点电荷M、N一定为同种电荷
B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1
C．把一个检验电荷由x 位置静止释放，其加速度一直减小
1
D．把一个正检验电荷由x＝a的位置静止释放，其电势能一直减小
3
【答案】AB
【解析】x＝2a处场强为零且左侧场强向右(正值)、右侧场强向左(负值)，结合点电荷的场强特征可知，点
电荷M、N一定为同种电荷，两点电荷在x＝2a处的场强大小满足k＝k，解得＝，A、B正确；由题图可知，
O点右侧场强先减小再增大，故把一个检验电荷(假设带正电)由x 位置静止释放，据牛顿第二定律可得qE
1＝ma，其加速度先减小再增大，C错误；把一个正检验电荷由x ＝a的位置静止释放，向右运动过程静电
3
力先做正功再做负功，其电势能先减小后增大，D错误．
（四）E －x图像、E －x图像
p k
1．E－x图像
p
由静电力做功与电势能变化关系 F x＝E －E ＝－ΔE 知E －x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，
电 p1 p2 p p
斜率正负代表静电力的方向．
2．E－x图像
k
当带电体只有静电力做功，由动能定理F x＝E－E ＝ΔE 知E－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电
电 k k0 k k
力．
【例5】(多选)如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，x 、x 、x 、x 是x轴上的四个点，质量为m、带电
1 2 3 4
荷量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v 从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，其
0
电势能E 沿x轴的变化如图所示，下列说法正确的是( )
p
A．粒子在x 点的速度为v
2 0
B．从O点到x 点的过程中，电场的电势先升高再降低再升高
3
C．若粒子能到达x 处，则v 的大小至少应为
4 0
D．若v＝2，则粒子在运动过程中的最大动能为2E
0 p0
【答案】AC
【解析】粒子从O运动到x 的过程中，电势能变化量为零，静电力做功为零，根据动能定理知，粒子在 x
2 2
点的速度为v，故A正确；从O点到x 点的过程中，电场的电势先降低再升高，故B错误；粒子能运动到
0 3
x 处，就能运动到x 处，若粒子恰好能运动到 x 处，此时初速度v 最小，根据动能定理得－qφ ＝0－
1 4 1 0 0
mv2，解得v ＝＝，所以若粒子能运动到x 处，则初速度v 至少为，故C正确；粒子运动过程中，静电力
0 0 4 0
所做正功的最大值为qφ，若v＝2，由动能定理得W＝qφ＝E －mv2，解得E ＝3E ，故D错误．
0 0 0 km 0 km p0
一、单选题
1．（2019·湖北·武汉市第四十九中学高三阶段练习）如图所示，在粗糙、绝缘且足够大的水平面上固定着
一个带负电荷的点电荷Q．将一个质量为m，带电量为q的小金属块（金属块可以看成质点）放在水平面
上并由静止释放，金属块将在水平面上沿远离Q的方向开始运动．则在金属块运动的整个过程中（ ）
A．电场力对金属块做的功等于金属块增加的机械能B．金属块的电势能先减小后增大
C．金属块的加速度一直减小
D．电场对金属块所做的功一定等于摩擦产生的热
【答案】D
【解析】电场力对金属块做的功的值等于金属块增加的机械能和产生的热量，最终静止时完全转化为热量．
电场力一直做正功，电势能一直减少，金属块的加速度先减小到零，此时速度最大，然后开始减速，加速
度反向增大。
故选D。
2．（2021·河北衡水中学高三阶段练习）如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面
上。平行板电容器两极板间距离为 ，右极板上有一小孔，一长为 的绝缘杆穿过小孔，左端固定在左
极板上，电容器两极板连同底座、绝缘杆总质量为 ，有一质量为 、电荷量为 的带正电圆环套在杆上，
环以某一初速度 从杆右端对准小孔向左运动。已知 ，取水平向左为正方向。假设带电环不影响
电容器极板间电场的分布，两极板间的电场为匀强电场，电容器外部电场和接触面的摩擦均忽略不计。若
带电环进入电容器后距左板的最小距离为 ，则（ ）
A．带电环与左极板间相距最近时的速度为
B．带电环从右极板小孔离开电场时的速度为
C．极板间的电场强度大小为
D．极板间的电场强度大小为【答案】C
【解析】ACD．带电环距左极板最近时，带电环与绝缘杆相对静止，这一过程类似完全非弹性碰撞，由动
量守恒定律得
则
由能量守恒定律得
联立解得
故AD错误C正确；
B．带电环从进入电场到从右极板小孔离开电场，这一过程类似弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定
律，有
联立解得
故B错误。
故选C。
3．（2018·福建厦门·高三阶段练习）如图所示，a、c、b为同一条电场线上的三点，c为ab中点， a、b
电势分别为 ， ，则（ ）
A． c 点的电势一定为4V
B． a 点的场强一定比b点场强大
C．正电荷从c 点运动到b点电势能一定减少
D．正电荷从a 点运动到b点动能一定增加【答案】C
【解析】A．只有在匀强电场中，沿电场线方向电势是均匀降落的，根据题中的信息无法判断该电场线是
不是匀强电场，故A错误；
B．电场线越密，电场强度越大，一条电场线无法判断电场线的疏密程度，所以无法判断ab两点的电场强
度，故B错误；
C．正电荷从c点运动到b点的过程中，电场力做正功，所以电势能减小，故C正确；
D．正电荷从a点运动到b点的过程中如果有其他外力存在，并且在外力和电场力作用下做减速运动，这
样电荷的动能是减小的，故D错误。
故选C。
4．（2022·湖南长沙·高三开学考试）如图所示，水平向右的匀强电场 ，质量分别为 、 的小球
A、 固定在直角形轻质绝缘轻杆两端，顶点 处有固定的光滑转动轴， ， 球带电量为 ，
球不带电，重力加速度为 ，此装置从图示位置静止释放后的转动过程中，下列说法中正确的是
（ ）
A． 球、 球和杆组成的系统机械能守恒 B．小球 的最大速度为
C．转动过程中电场力不可能做正功 D． 球达到 点正下方时机械能最大
【答案】B
【解析】A．转动过程中，由于电场力做功，因此A球、 球和杆组成的系统机械能不守恒，A错误；
C．在B球转回到初始位置的过程中，电场力做正功，C错误；
B．设 转动 角时球 的速度为 ，由系统的动能定理可得
解得
求 球速度最大，需求 最大，解得，
则 球度最大为
B正确；
D． 球在初态时克服电场力做功为零，其他位置都克服电场力做功，因此B球在初始位置时系统机械能
最大，D错误。
故选B。
5．（2021·河南·高三阶段练习）如图所示，匀强电场中有一与电场方向平行的直角三角形 ，
， 边长为 ， 长度为 的一半.从 点以速率 向 所在平面内各方向发射电子，过
点的电子通过 点时的速率为 ，过 点的电子通过 点时的速率为 。已知电子质量为 、电荷
量为 ， 点电势为0，不计电子的重力及电子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A． 点电势为
B．匀强电场的方向由 指向
C．匀强电场的电场强度大小为
D．电子通过 点时的速率为
【答案】D
【解析】A．从 到 ，由动能定理得
其中解得
则有
解得
则A错误；
BC．从 到 ，由动能定理得
其中
解得
同理
解得
在 间找到 的等势点， 为 的 ，连接 为等势线，如图所示
由
可知 ，即电场线为 ，由 指向故BC错误；
D．过 做垂直于 的线段 ，如图所示
由几何关系得
联立以上各式，解得
故D正确。
故选D。
6．（2021·江苏·高三期中）如图所示，水平面上固定一绝缘光滑斜面，斜面顶端有一固定挡板，涂有绝缘
漆的轻弹簧一端与挡板相连，整个装置放在沿斜面向上的匀强电场中。一带电滑块从斜面上某处由静止释
放，运动一段时间后压缩弹簧，设运动过程中滑块的带电量不变，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，
则（ ）
A．滑块带电量越大，滑块的最大加速度越小B．电场强度越大，滑块的最大速度越大
C．滑块释放点越低，滑块最大速度的位置越高
D．弹簧劲度系数越大，弹簧的最大弹性势能越大
【答案】B
【解析】A．滑块的加速度为
弹簧弹力为0时，滑块的加速度最大，则滑块带电量越大，滑块的最大加速度越大，所以A错误；
B．电场强度越大，电场力越大，平均合外力越大，合外力做的功越多，则滑块的最大速度越大，所以B
正确；
C．滑块最大速度的位置为加速度为0的位置，有
解得
所以滑块最大速度的位置与滑块的释放点无关，所以C错误；
D．设弹簧最大压缩为 ，滑块释放点离弹簧自由端的距离为L时，根据动能定理有
由功能关系可知最大弹性势能为
解得
由于弹簧的劲度系数越大，弹簧的最大压缩量越小，则弹簧的最大弹性势能越小，所以D错误；
故选B。
7．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图所示，在 轴坐标原点 左右两侧对称固定安放等量的同
种电荷 ， 时刻在原点 左侧离 较近的A点（ ）静止释放入 点电荷，以下关于点电荷速
度 、加速度 随时间以及合力 电势能 随坐标 变化关系图像可能正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】AB．由题意可知，坐标原点 为等量同种正点电荷连线的中点，两正点电荷在坐标原点 的电场
强度大小相等，方向相反，即坐标原点 的合场强为零，由对称性可知，场强方向都是从两正点电荷指向
原点 ，从点电荷到原点 场强逐渐减小，可知 时刻在原点 左侧离 较近的A点（ ）静止释
放入 点电荷，试探电荷向正 轴方向先做加速度减小的加速运动，经过原点 继续向正 轴方向做加速
度增大的减速运动，到达原点 右侧对称点 （ ）速度减为零，之后试探电荷在 、 之间周期性
地运动，A正确，B错误；
C．假设两点电荷 离坐标原点 的距离都为 ，当试探电荷 与坐标原点 距离 时，该位置的合场
强大小为
可知合场强 与 不是线性关系，故试探电荷 受到的电场力与 不是线性关系，C错误；
D． 图像的切线斜率等于试探电荷 受到的电场力，当试探电荷 与坐标原点 距离 时，该位置
的合场强为可知合场强随 的变化而变化，故试探电荷 受到的电场力随 的变化而变化，D错误；
故选A。
8．（2022·全国·高三专题练习）某静电场在x轴上各点的电势φ随坐标x的分布图像如图所示。x轴上A、
O、B三点的电势分别为φ 、φ 、φ ，电场强度沿x轴方向的分量大小分别为E 、E 、E ，电子在A、
A O B Ax Ox Bx
O、B三点的电势能分别为W、W 、W 。下列判断中正确的是（ ）
A O B
A．φ ＞φ ＞φ
O B A
B．E ＞E ＞E
Ox Bx Ax
C．W ＜W ＜W
O B A
D．W -W＞W -W
O A O B
【答案】D
【解析】A．由图知电势高低关系为 ，A错误；
B．根据图像切线斜率的大小等于电场强度沿 轴方向的分量大小，所以 ，B错误；
C．电子带负电，根据电势能公式：
分析得知 ，C错误；
D．由图知， 间电势差大于 间电势差，即有：
电子带负电，则根据电势能公式：
得： ，D正确。
故选D。
9．（2019·重庆市江津中学校高三阶段练习）两电荷量分别为q 和q 的点电荷放在x轴O、M两点，两电
1 2荷连线上各点电势随x 变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，
不计重力，则( )
A．A、N点的电场强度大小为零
B．NC间场强方向向x轴正方向
C．将一正点电荷静放在x轴负半轴，它将一直做加速运动
D．将一正电荷在C点由静止释放，它将沿x轴正方向运动
【答案】C
【解析】φ-x图象的斜率等于电场强度E，由于A、N点的斜率不为零，所以A、N点的电场强度大小不为
零，故A错误；由图知由N到C电势升高，则由N到C为逆电场线方向，则N、C间场强方向沿x轴负方
向．故B错误；由图知AO之间的距离大于AM之间的距离，又A点的电势为零，则O点的点电荷的电量
比M点的点电荷的电量大，且O点的电荷带正电，M点电荷带负电，结合库仑定律可知，在x轴的负方向
上，电场强度的方向都沿x轴的负方向，所以若将一正点电荷在x轴负半轴上某处由静止释放，它将沿x
轴负方向做加速运动．故C正确；由图可知：N、C间场强方向沿x轴负方向，C、D间电场强度方向沿x
轴正方向，所以一正点电荷在C点由静止释放，可能沿x轴正方向运动，也可能沿x轴负方向运动，故D
错误；故选C.
10．（2021·全国·高三专题练习）x轴上有两点电荷Q 和Q，Q 和Q 之间连线上各点电势高低如图曲线所
1 2 1 2
示（AP＞PB），选无穷远处电势为0，从图中可以看出（ ）
A．Q 电量一定小于Q 电量
1 2
B．Q 和Q 一定是同种电荷
1 2
C．P点电场强度是0
D．Q 和Q 之间连线上各点电场方向都指向Q
1 2 2
【答案】D【解析】AB．由图像可以发现，离 越近电场中的电势越高，由此可以判断 为正电荷，同理，由于离
越近电势越低，所以 为负电荷，在它们的连线上的P点的电势也是零，但P点离 近，所以 的电
荷量要大于 的电荷量，AB错误；
CD．由于 和 为异种电荷，并且 为正电荷， 在x轴正半轴上的电场方向向右， 为负电荷，
在 和 之间的电场方向也向右，所以P点电场强度是 和 在P点产生的电场的和，方向指向 ，C
错误，D正确。
故选D。
11．（2022·上海交大附中高三阶段练习）在x轴上有两个点电荷q、q，其静电场的电势φ在x轴上分布
1 2
如图所示。下列说法正确的有（ ）
A．q 和q 带有同种电荷
1 2
B．x 处的电场强度为零
1
C．负电荷从x 移到x，电势能减小
1 2
D．正电荷从x 移到x，受到的电场力增大
1 2
【答案】C
【解析】A．根据图像，电势有正值也有负值，所以q 和q 带有异种电荷，A错误；
1 2
B．x 处的斜率最大，电场强度最大，电场强度不等于零，B错误；
1
C．从x 移到x，电势升高，所以电场强度向左，负电荷所受电场力向右，负电荷从x 移到x，电场力做
1 2 1 2
正功，电势能减小，C正确；
D．在x 处斜率最大，电场强度最大，正电荷所爱电场力最大，在x 处斜率等于零，电场强度等于零，正
1 2
电荷所受电场力等于零，正电荷从x 移到x，受到的电场力减小，D错误。
1 2
故选C。12．（2022·山西太原·三模）在甲、乙电场中，试探电荷 具有的电势能 沿x方向的变化分别如
图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，试探电荷在O点受到的电场力为零
B．图甲中，电场强度沿x轴正方向
C．图乙中， 处的电场强度小于 处的电场强度
D．图乙中， 处的电势高于 处的电势
【答案】D
【解析】AB．根据 可知 图象斜率的绝对值表示电场力的大小，故图甲中，试探电荷
在O点受到的电场力不为零，沿x轴正方向电势能增大，则电场力做负功，可知电场力有沿x轴负方向的
分量，试探电荷带负电，则电场强度有沿x轴正方向的分量，故AB错误；
C．根据 图象斜率的绝对值表示电场力的大小，结合 可知 处的电场强度大于 处的电场强
度，故C错误；
D． 处的电势能低于 处的电势能，试探电荷带负电，根据 ，可知 处的电势高于 处的电势，
故D正确。
故选D。
二、多选题
13．（2021·湖南省邵东市第三中学高三阶段练习）如图所示，在空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m
电量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为 ，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到
达最低点C。在由A运动到C的过程中（空气阻力不计），则（ ）A．物块机械能减少
B．物块和弹簧组成的系统机械能减少
C．物块在B点的速度最大
D．对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和
【答案】BD
【解析】质量为m电量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为 ，根据牛顿第二定律
A．以C点为重力势能零势能面，则物块在A点机械能
物块在C点机械能为零，则物块由A运动到C的过程中，物块机械能减少
故A错误；
B．根据题意可知，物块由A运动到C的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能减少等于克服电场力做功
故B正确；
C．物块由A运动到C的过程中，下落到B点时，物块受电场力和重力，则加速度仍为 ，方向向下，
物块继续加速，则物块在B点的速度不是最大，故C错误；
D．对于系统，能量守恒，根据能量守恒定律可知，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之
和，故D正确。故选BD。
14．（2022·河北·高三专题练习）如图所示，b、c、d是匀强电场中的三个点，它们恰好位于以O点为圆
心的圆上，cd是该圆的一条直径， ，已知电场方向平行于圆所在的平面（纸面）。将质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子从d点移到c点，电场力做的功为W（W>0）；再将该粒子从b点移到c点，
电场力做的功为 。若将该粒子从d点以一定初速率向纸面内任意方向射出，沿垂直cd向上射出时，粒
子恰好经过c点，不计粒子重力。已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的电场强度大小为
B．该匀强电场的场强方向与cb平行
C．粒子从d点运动到c点所用的时间为
D．粒子经过圆周时，最大动能为
【答案】AD
【解析】AB．由几何关系得
设匀强电场具有竖直向下的分量 和水平向左的分量 ，则有
解得设电场强度与水平方向的夹角为 ，则有
可得
即电场方向沿bO方向，A正确，B错误；
CD．粒子从d点射出至运动到c点，由几何关系和运动学规律有
联立解得
连接bO，延长bO与圆周交于a点，当粒子从a点射出时，电场力做的功最多，射出时的动能最大（点拨：
电场力恒定，在力的方向上的位移越大，做的功越多），有
解得
C错误，D正确。
故选AD。
15．（2021·福建·高三专题练习）如图甲所示，一绝缘的竖直圆环上均匀分布着负电荷，一光滑细杆从圆心垂直圈环平面穿过圆环，杆上套有带电的小球，现使小球从a点以某一初速度向右运动。到达c点速度
为零。取a点为零电势能点，运动过程中小球的电势能E 随其运动位移x的变化规律如图乙所示，下列说
p
法正确的是（ ）
A．小球带负电 B．电势差Uba大于Ucb
C．a点场强大于b点场强 D．小球经过b点时的动能为2J
【答案】BD
【解析】A．小球从a点以某一初速度向右运动，到达c点速度为零，可知小球受电场力向左，小球带正
电，A错误；
B．因ab电势能的变化量大于bc电势能变化量，根据
可知电势差Uba大于Ucb，B正确；
C．根据
故E-x切线的斜率表示电场力大小，由图可知在b点受电场力最大，则场强最大，C错误；
p
D．小球只受电场力作用，则小球的电势能和动能之和守恒，则
即
解得小球经过b点时的动能为
E =2J
kb
D正确。
故选BD。
16．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）空间存在一沿x轴方向的静电场，一正电荷由O点开始仅在电场力的作用下沿x轴的正方向运动，该过程中电荷的电势能关于位移x的变化规律如图所示，电荷运动到
x 处时速度为0。其中图像0~x 为顶点在x的开口向上的抛物线，x 以后的图线为倾斜的直线。则下列说法
3 2 2
正确的是（ ）
A．电荷由x 位置运动到x 的位置做匀加速直线运动
2 3
B．x 处的电势最低、x 处的电势最高
1 3
C．电荷的初动能为E -E
P3 P2
D．该电场沿x轴的正方向
【答案】BC
【解析】A．因E -x图像的斜率等于电场力，因x~ x 段图像的斜率不变，则电荷受的电场力不变，加速
P 2 3
度不变，则该过程电荷做匀变速直线运动，但该电荷在x~ x 段电势能增加，动能减小，即电荷做匀减速
2 3
运动，选项A错误；
B．根据电势能与电势的关系
可知x 处的电势最低、x 处的电势最高，选项B正确；
1 3
C．由于电荷只受电场力，电荷运动过程中动能与电势能之和不变，则
则
则选项C正确；
D．由以上分析可知，x 左侧电荷的电势能减小，电场力做正功，则电场沿x轴的正方向，同理可知x 右
1 1
侧的电场沿x轴的负方向，选项D错误。
故选BC。
三、解答题
17．（2021·甘肃省民乐县第一中学模拟预测）在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L
的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为m的带电小球，它静止时细线与竖直方向成37°角．如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动， ，重力加速度为g。求：
（1）小球受到电场力的大小；
（2）小球恰能做圆周运动的动能最小值；
（3）小球在圆周上运动到何处时，机械能最小。
【答案】（1） ；（2） ；（2）平行于电场最左侧
【解析】（1）小球静止时，受重力、电场力、和绳子的拉力，由平衡条件得
解得
方向水平向右，则小球带正电；
（2）由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力，类比重力场，如图所示
在圆上各点中，小球在平衡位置A时动能最大，在平衡位置A的对称点B时，小球的动能最小，在B点时，
小球受到的重力和电场力，其合力F作为小球做圆周运动的向心力，而绳的拉力恰为零有
而
又联立解得
（2）当小球在圆上最左侧C点时，即平行于电场最左侧，电势能最高，电势能最大，机械能最小。
18．（2021·上海金山·一模）如图，一个质量为m、带电量为﹣q的小球用长为L的绝缘细线静止悬挂在竖
直方向A处。在水平方向突然增加一个匀强电场，小球开始向右摆动，起动瞬间加速度大小为a，在空气
阻力的影响下，小球摆动一段时间后最终静止于B处。摆动过程中小球带电量不变，细线与竖直方向夹角
不超过90°。求：
(1)匀强电场的电场强度；
(2)小球最终静止时细线与竖直方向的夹角；
(3)求小球从A第一次运动到B过程中电势能的改变量，并说明此过程中能量的转化情况。
【答案】(1) ，电场方向水平向左；(2) 细线与竖直方向的夹角θ满足 ；(3) ，电势能转化为
了动能、重力势能和内能
【解析】(1)小球在A位置时水平方向仅受电场力，根据牛顿第二定律
得
小球带负电，电场力方向向右，所以电场方向水平向左；
(2)B位置时小球受力如图根据平衡条件，得
细线与竖直方向的夹角θ满足
(3) 小球从A第一次运动到B过程中电场力做功为
电势能的改变量
此过程中，电势能转化为了动能、重力势能和内能。
19．（2022·全国·高三专题练习）绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电荷量不等的正电
荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知A处电荷的电荷量为＋Q，图乙是A、B连线之间的电势φ与位置
x之间的关系图像，图中x＝L处对应图线的最低点，x＝－2L处的纵坐标φ＝2φ，x＝2L处的纵坐标φ＝
0
φ，若在x＝－2L处的C点由静止释放一个质量为m、电荷量为＋q的带电物块（可视为质点），物块随
0
即向右运动（假设此带电物块不影响原电场分布），求：
（1）固定在B处的电荷的电荷量QB；
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ为多大，才能使小物块恰好到达x＝2L处？
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数 ，小物块运动到何处时速度最大？【答案】（1） ；（2） ；（3）x＝0处
【解析】（1）由题图乙得x＝L处为图线的最低点，切线斜率为零，即合场强为0，则有
代入数据得
（2）从x＝－2L到x＝2L的过程中，物块先做加速运动再做减速运动，由动能定理得
即
解得
（3）小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为LA，则有
解得
即小物块运动到x＝0处时速度最大。
20．（2018·北京房山·一模）粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场
线与x轴平行，且沿x轴方向的电势φ与坐标值x的函数关系满足 （V），据此可作出如图所示
的φ-x 图象．图中虚线AB为图线在x=0.15m处的切线．现有一个带正电荷的滑块P(可视作质点)，其质量为
m=0.10kg，电荷量为q=1.0×10-7 C，其与水平面间的动摩擦因数μ=0.20，g 取10m/s2．求:
（1）沿x轴方向上，x=0.1m和x=0.15m两点间的电势差；
1 2
（2）若将滑块P无初速度地放在x=0.10m处，滑块将由静止开始运动，滑块运动到x=0.15m处时速度的
1 2
大小；
（3）对于变化的电场，在极小的区域内可以看成匀强电场．若将滑块P无初速度地放在x=0.1m处，滑块
1
将由静止开始运动，
a．它位于x=0.15m处时加速度为多大；
2
b．物块最终停在何处？分析说明整个运动过程中加速度和速度如何变化．
【答案】（1） （2） m/s （3）a. 0 b. 停在x=0.225m处．滑块在从0.1-
0.15m时做加速度减小的加速运动，从0.15-0.225m时做加速度增大的减速运动．
【解析】（1） = V
（2）由动能定理
代入数据得v= m/s (近似为0.32 m/s)
（3）a．对于匀强电场 ，在x=0.15点附近场强变化很小，可看成匀强电场
2
则场强 =K，即为x=0.15点的斜率，
2
所以x=0.15m点场强为
2
由牛顿定二定律
解得：a=0b．设滑块停在x处，由动能定理得：
代入数据解得：x=0.1或0.225．舍去0.1，
所以滑块停在x=0.225m处．
滑块在从0.1-0.15m时做加速度减小的加速运动，从0.15-0.225m时做加速度增大的减速运动．
