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专题 20 矩形、菱形、正方形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 矩形的判定与性质】
1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，
过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
1
2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，等腰 ABC的面积为2√3，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=
2
△
BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．
那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A．√3 B．3 C．2√3 D．4
3．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的
中点，连接AF，DG，FG，若AF=3，DG=4，FG=5，矩形ABCD的面积为________．
4．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
EF AN
(2)若 ＝2，求 的值；
BF ND
AN
(3)若MN∥BE，求 的值．
ND
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图， ▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的
中点．
(1)求证：BE=DF；
AC
(2)设 =k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
BD
【考点2 菱形的判定与性质】
6．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB,AD上，AE=AF．
求证CE=CF．
7．（2022·浙江舟山·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BD，OB=OD，求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
8．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在□ ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，
则四边形AEFD是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接
PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，
AP=3，PD=4，DC=10．则AE的长为___________．（直接写出结果）
9．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，
与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MB、DN；
(1)求证：四边形BMDN是菱形；4
(2)若tan∠AMB= ，ON=5，求△BMD的面积．
3
10．（2022·浙江宁波·统考二模）如图1，平行四边形ABCD中，AB=9，BC=12，点P是BC边上的点，
连结AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP．
(1)如图2，当点Q正好落在AD边上时，判断四边形ABPQ的形状并说明理由；
(2)如图1，当点P是线段BC的中点且CQ=4时，求AP的长；
(3)如图3，当点P,Q,D三点共线时，恰有∠PQC=∠PQA，求BP的长．
【考点3 正方形的判定与性质】
11．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟预测）如图①，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别
在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，
(1)求证：EG=FH；
FH
(2)如果把题目中的“正方形”改为“长方形”、若AB=3，BC=4（如图②），求 的值；
EG
(3)如果把题目中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”（如图③），若正方形ABCD的边长为
2，FH的长为√5，求EG的长．
12．（2022·山东济南·统考模拟预测）（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上
的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是______；（2）【类比探究】如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为
边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG:CE=1:2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和
位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为______．
13．（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4√2，点E为对角线AC上一
动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
(1)求证：矩形DEFG为正方形；
(2)求证：CE＋CG＝8
14．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E
不与点B，C重合），且∠EAF=45°．
(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若
DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
15．（2022·四川德阳·模拟预测）已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且
AF=DE．
(1)如图1，AE与BF有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图2，对角线AC与BD交于点O．BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG=OH；
②连接OP，若AP=4，OP=√2，求AB的长．
【考点4 特殊四边形中的折叠变换】
1
16．（2022·吉林长春·统考二模）【感知】如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= AB，易知
2
∠B=30°（不需要证明）．
【探究】如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D
的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AE于点G，求∠ADG的度数和AG的长．
【拓展】若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），若
AB=6，直接写出EF的长．
17．（2022·吉林长春·模拟预测）【推理】
如图1，在边长为10的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，
连结BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M．(1)求证：CE=DG．
【运用】
(2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若CE=6，求线段DH的长．
【拓展】
(3)如图3，在【推理】条件下，连结AM．则线段AM的最小值为 ．
18．（2022·河南信阳·统考模拟预测）学习了菱形的判定后，小张同学与小刘同学讨论探索折纸中的菱形．
小张：如图①，两张相同宽度的矩形纸条重叠部分（阴影部分）是一个菱形．
小刘：如图②，一张矩形纸条沿EG折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后是一个菱形．
(1)小张同学的判断是否正确？
(2)小刘同学的判断是否正确？如果正确，以小刘的方法为例，证明他的判断；如果不正确，请说明理由．
(3)如图③，矩形ABCD的宽AB=4，若AE=2AB，沿BE折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱
形GBFE，求菱形GBFE的面积．
19．（2022·云南昆明·云大附中校考三模）综合与实践
在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动——
折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数
学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的
点N处，并使折痕经过点B，折痕为BM，把纸片展平，连接AN，如图①；(1)折痕BM所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中△ABN是什么特殊三角形？请写出解答过
程．
(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，
求∠GBN的度数．
(3)拓展延伸：
如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点
S，把纸片展平，连接A A′交ST于点O，连接AT；求证：四边形SAT A′是菱形．
20．（2022·湖北武汉·校考三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE
折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G．求证：△BCE≌△CDG；
CE 2 GH
（2）在（1）的条件下，如图2，延长BF交AD边于点H．若 = ，求 的值；
BC 3 DH
（3）如图3，四边形ABCD为矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF分别交AD于G，H两
AB 3 DH 4 DE
点，若 = , = ，则 的值为___________．（直接写出结果）
BC 4 GH 5 EC【考点5 特殊四边形中的平移变换】
21．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）我们把连接菱形对边中点得到的所有菱形称作如图
①所示基本图的特征图形显然这样的基本图共有5个特征图形．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两
个基本图的一个顶点与对称中心重合，这样得到图1、图2、图3…
(1)观察以上图形并完成下表：
图形名称 基本图的个数 特征图形的个数
图1 1 5
图2 2 9
图3 3 13
图4 4 ______
… … …
猜想：在图n中，特征图形的个数为______；（用含n的式子表示）
(2)已知基本图的边长为4，一个内角恰好为60°，求图20中所有特征图形的面积之和．
22．（2022·福建厦门·厦门双十中学校考二模）如图，四边形ABCD是矩形，平移线段AB至EF，其中点A
的对应点为点E，点B的对应点为点F，且点E恰好落在边BC上．
(1)若AF＝DF，求证：点E为BC中点；
(2)若BC＝k AB，√2＜k＜2，是否存在∠BFC＝90°？请说明理由．
23．（2022·云南德宏·统考模拟预测）如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．
(1)求证：四边形CBDE为矩形；
4√3
(2)若S BOC＝ cm2，求∠ACD的度数．
3
△
24．（2022·山东淄博·统考二模）已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H
在CD上．
(1)如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF=AE+AG；
(2)在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接
PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH=45°，若AB=2，BC=4，FG=√5，求线段EH
的长．
25．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知正方形ABCD，在边DC所在的直线上有一动点E，连接AE，一条与
射线AE垂直的直线l沿射线AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F．
(1)如图1所示，当直线l经过正方形ABCD的顶点B时．求证：AF=DE；
(2)如图2所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，CG．求证：¿=GC；(3)直线l继续向上平移，当点P恰好落在对角线BD所在的直线上时，交边CB所在的直线于点H，当
AB=3，DE=1，请直接写出BH的长．
【考点6 特殊四边形中的旋转变换】
26．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，
将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=3√2时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
27.（2022·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足
够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，
探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的
面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在
旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为__________；
1
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，
N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将
∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为
S ，请直接写出S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），
2 2
√6−√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ,cos15°= ,tan15°=2−√3）
4 4
28．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上的点，
且AE=BF=DG，连接EF，GE，GF．
(1)△BEF可以看成是△AGE绕点M逆时针旋转α角所得，请在图中画出点M，并直接写出α角的度数；
(2)当点E位于何处时，△EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；
(3)试判断直线CD与△EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．
29．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4．点E
是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角
为α（0°<α<90°）．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
(2)如图3，延长CE交直线AG于点P．求证：AG⊥CP；30．（2022·山东德州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E.
连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF′G′．
(1)连接CG′，EF′，求证：△BEF′ ∼△BCG′；
(2)当点G′恰好落在直线AE上时，若BF=3，求EG′的值．
【考点7 特殊四边形中的动点问题】
31．（2022·四川绵阳·校考二模）在矩形ABCD中，AB=8,AC=10，点P是对角线AC上一动点（不与点
A,C重合），连接BP，过点P作PE⊥PB交线段DC于点E，设PC=nAC．
(1)如图①，求tan∠PED的值（用含n的代数式表示）．
(2)如图②，连接BE，当PE平分∠BED时，求n的值．
32．（2022·江苏淮安·统考一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】
(1)如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD___________（填“一定”或“不一
定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），若
∠MBN=60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在 ▱ABCD中，AB=√17，BC=6，tanB=4，点E在BC
上，且BE=4，在 ▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四
边形ABEP的面积可能为的值___________．
33．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，
使得∠APE=90°，AP=PE，且点E恰好在射线CD上．
(1)如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是_________；
探索发现：
(2)当点E在正方形ABCD外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；
若不成立，请说明理由；
问题解决：
(3)如图4，在正方形ABCD中，AB=2√2，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE=6√2，求△BPE的面积．
34．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D为直线BC上
一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①AB与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：______；
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，
1
CD= AB，求AG的长．
2
35.（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边
AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．【考点8 中点四边形的形状探究】
36.（2022·湖南张家界·统考二模）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点，
下列说法正确的是（ ）
A．当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形
C．当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形
D．当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形
37．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
38.（2022·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形
ABCD一定是 ( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
39．（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出
如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
40．（2022·江苏淮安·统考一模）如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么
我们把这样的四边形称为等角线四边形．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还
要满足 时，四边形MNPQ是正方形．
(2)如图2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D为平面内一点．
①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，求四边形ABCD的面积；
②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，则四边形ABED的面积
的最大值为 ．
【考点9 中点四边形的线段长、周长与面积的探究】
41.（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，
1
B为圆心，以 BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四
2
边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC=2，那么四边形GHIJ的周长为（ ）
A．2+√3 B．2+2√3 C．4+2√3 D．4+4√3
42．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F，
G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积是______．43.（2022·山东济南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点，且EG、FH交于点O．若AC=4，则EG2+FH2=______．
44．（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）问题背景：
△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分
别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF
猜想证明：
(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．
(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．
拓展延伸：
(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN
和△DEN均为等腰直角三角形．
45．（2022春·山西临汾·八年级统考期中）综合与探究：如图1，四边形ABDC中，E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
(1)猜想四边形EFGH的形状是________（直接回答，不必说明理由）．
(2)如图2，P在四边形ABDC内一点，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，其他条件不变，试探究
四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，PA=6，PB=2√3，∠APC=∠BPD=60°，∠CPD=90°，求四边形EFGH的
面积．
【考点10 特殊四边形与函数的综合探究】
46．（2022·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与
BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连
结PC，设OM长为x，△PMC面积为y．下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
47．（2022·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，
2
OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y= (x>0)的图象与BC交于点D，与对
x
角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①sin∠DOC=cos∠BOC；
②OE=BE；③S =S ；④OD:DF=2:3．其中正确的结论有（ ）
△DOE △BEFA．4个 B．3个 C．2个 D．1个
48．（2022·新疆·统考中考真题）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点
D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．
(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
49．（2022秋·山西·九年级校联考期末）综合与探究
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．点P(m,0)是x轴上的一
个动点，过点P作直线PM⊥x轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若
存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
50.（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，
抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长.
