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专题 20 矩形、菱形、正方形（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 矩形的判定与性质】...............................................................................................................................1
【考点2 菱形的判定与性质】...............................................................................................................................3
【考点3 正方形的判定与性质】...........................................................................................................................4
【考点4 特殊四边形中的折叠变换】...................................................................................................................6
【考点5 特殊四边形中的平移变换】...................................................................................................................8
【考点6 特殊四边形中的旋转变换】...................................................................................................................9
【考点7 特殊四边形中的动点问题】.................................................................................................................10
【考点8 中点四边形的形状探究】.....................................................................................................................12
【考点9 中点四边形的线段长、周长与面积的探究】......................................................................................12
【考点10 特殊四边形与函数的综合探究】.........................................................................................................13
【要点1 矩形的定义】
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【要点2 矩形的性质】
①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对
角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的
直线；对称中心是两条对角线的交点．
【要点3 矩形的判定方法】
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
【考点1 矩形的判定与性质】
【例1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，
AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋√3．则四边形EFGH的周长为
（ ）A．4(2+√6) B．4(√2+√3+1) C．8(√2+√3) D．4(√2+√6+2)
【变式1-1】（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【变式1-2】（2015·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC
中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条
件的点P的坐标为_________．
【变式1-3】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点
（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
(1)直接写出图中与 AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是△平行四边形，求CE的长；(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【要点4 菱形的定义】
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【要点5 菱形的性质】
①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
【要点6 菱形的判定】
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
【考点2 菱形的判定与性质】
【例2】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE
交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16 B．6√7 C．12√7 D．30
【变式2-1】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使
DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最
小值．
【变式2-2】（2022·四川凉山·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的
中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
【变式2-3】（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，
D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G=θ．
(1)求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
(2)当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
【要点7 正方形的定义】
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
【要点8 正方形的性质】
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角
线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形
分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【要点9 正方形的判定】
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【考点3 正方形的判定与性质】
【例3】（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB,BC上的两个
动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，连接DE,DF分别与对角线AC交于点M，N．给出如
下几个结论：①若AE=2,CF=3，则EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，则MN
MN=4；④若 =2,BE=3，则EF=4．其中正确结论的序号为____________．
AM
【变式3-1】（2022·安徽·统考中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上， BEF是以E
为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的△延长线于点
G．连接DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG=________°；
（2）若DE=1，DF=2√2，则MN=________．
【变式3-2】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，
F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．
求证：四边形AECF是正方形．
【变式3-3】（2022·浙江台州·统考中考真题）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？4
如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使AB =BC =CD =DA = AB，依次连
1 1 1 1 1 1 1 1 5
接它们，得到四边形A B C D ；再在四边形A B C D 各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4
A B =B C =C D =D A = A B ，依次连接它们，得到四边形A B C D ；…如此继续下去，得到
1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 1 2 2 2 2
四条螺旋折线．
图1
(1)求证：四边形A B C D 是正方形；
1 1 1 1
A B
(2)求 1 1的值；
AB
(3)请研究螺旋折线BB B B …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
1 2 3
【考点4 特殊四边形中的折叠变换】
【例4】（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM
折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线
段AE的长为（ ）
1 1
A．√5−2 B．√3−1 C． D．
3 2
【变式4-1】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个
相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第
CD DE
四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：① ，② ，③
DE AD
DE AC √5−1
，④ ，比值为 的是（ ）
ND AD 2
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【变式4-2】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方
形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为
___________．
【变式4-3】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为
________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．
【考点5 特殊四边形中的平移变换】
【例5】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形
相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形
A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(√2－1)cm D．(2√2－1)cm
【变式5-1】（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△≝¿，只需添加一个
条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）
【变式5-2】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图， ABC的边BC长为4cm．将 ABC平移2cm得到
A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______cm△2． △
△【变式5-3】（2022·贵州贵阳·统考三模）如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移
2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．18cm2
【考点6 特殊四边形中的旋转变换】
【例6】（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正
方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段
CF长的最小值为 _____．
【变式6-1】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E，F分别为
AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ(0<θ<90°)，使EF⊥AD，连接BE
并延长交DF于点H，则∠BHD的度数为______，DH的长为______．【变式6-2】（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG
与正方形ABCD有公共点A．
2CE
(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 的值为多少；
√2DG
CE
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求： 的值为多少；
DG
√2
(3)AB=8√2，AG= AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当C，G，E三点
2
共线时，请直接写出DG的长度．
【变式6-3】（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M
作MN⊥CD且DM=MN，连接DN,BM,CN，点P，Q分别为BM,CN的中点，连接PQ．(1)证明：CM=2PQ；
(2)将图1中的△DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转α(0°<α<360°)．
①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AB=10,DM=2√5，在△DMN绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段
PQ的长．
【考点7 特殊四边形中的动点问题】
【例7】（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．
若AB=4，则AE+OE的最小值是( )
A．4√2 B．2√5+2 C．2√13 D．2√10
【变式7-1】（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角
线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE
交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE
＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的
最小值为2√5﹣2√3．其中正确的是______．（请填写序号）
AB 2
【变式7-2】（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中 = ．动点M从点A出发，沿边
BC 3
AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点
M运动的速度为v ，点N运动的速度为v ，且v <v ．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在
1 2 1 2
运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形M A′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好在CD的中点重合，则v 的值为______．
1
v
2
【变式7-3】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC
于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P′，点Q是AC上一动点，连接
P′Q，DQ．若AE=14，CE=18，则DQ−P′Q的最大值为_________．
【考点8 中点四边形的形状探究】
【例8】（2022·广西玉林·统考中考真题）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则
四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是( )
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
【变式8-1】（2022·陕西宝鸡·统考一模）顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是
（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【变式8-2】（2022·湖南永州·统考二模）依次连接任意凸四边形各边的中点，得到一个特殊四边形，则这
个图形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【变式8-3】（2022·广东深圳·校考模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若顺次连接一个四边形各边中点得到的是一个正方形，则原四边形一定是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．顺次连接矩形各边中点得到的四边形一定是菱形【考点9 中点四边形的线段长、周长与面积的探究】
【例9】（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，
CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形
B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
1
D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的
4
【变式9-2】（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=60°，点D是斜边BC的中点，分
1
别以点A，B为圆心，以 BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，
2
依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC=2，那么四边形GHIJ的周长为（ ）
A．2+√3 B．2+2√3 C．4+2√3 D．4+4√3
【变式9-3】（2022·山东济南·模拟预测）正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得
到第一个正方形A B C D ，又顺次连接正方形A B C D 四边中点得到第二个正方形A B C D ，…，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
以此类推，则第六个正方形A B C D 的周长为______．第n个正方形A B C D 周长为______．
6 6 6 6 n n n n【考点10 特殊四边形与函数的综合探究】
【例10】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是
对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端
点F的坐标为(2√3,3)，则图象最低点E的坐标为（ ）
A．(2√3 ) B．(2√3 ) C．(4√3 ) D．
,2 ,√3 ,√3 (√3,2)
3 3 3
【变式10-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为
边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从
点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间
为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
【变式10-2】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB
上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长
为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当点E落在BD上时，求x的值；
(3)当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
(4)直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
【变式10-3】（2022·四川广元·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标
C :y=ax2+bx+c
1
轴交于A，B，C三点，其中OA=OC=2OB，D(0,4)是OA的中点．(1)求该二次函数的解析式．
(2)如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取
最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值．
(3)如图2，将抛物线C 向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C ，M为抛物线C 上
1 2 2
一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
