文档内容
专题 01 数列求通项（ 法、 法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一： 法：角度1：用 ，得到 ....................................................2
题型二： 法：角度2：将题意中的 用 替换....................................4
题型三： 法：角度3：已知等式中左侧含有： ....................................5
题型四： 法：角度1：已知 和 的关系......................................................7
题型五： 法：角度2：已知 和 的关系.....................................................8
三、数列求通项（ 法、 法）专项训练.............................................................9
一、必备秘籍
1对于数列 ，前 项和记为 ；
① ；②
①-②：
法归类
角度1：已知 与 的关
用 ，得到 例子：已知 ，求
系；或 与 的关系
角度 2：已知 与 替换题目中 例子：已知 ；
的 关 系 ； 或 与 的 已知
的关系
角度3：已知等式中左侧含 作 差 法 （ 类 似
例子：已知 求
）有：
2对于数列 ，前 项积记为 ；
① ；②
① ②：
法归类
角度 1：已知 和
例子： 的前 项之积 .
角度1：用 ，得到
的关系
角度 2：已知 和
角度 1：用 替换题目中 例子：已知数列 的前n项积为 ，且
的关系
.
二、典型题型
题型一： 法：角度1：用 ，得到
例题1．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记 是数列 的前 项和，已知 ，且
.
(1)记 ，求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，①所以 ，②
②-①得， ，因为 ，所以 ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，令 代入 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ，
所以数列 是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为
例题2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1） ①，
当 时， ②，
两式①-②得： ，
当 时， ，不符合上式，
所以 ；
例题3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，所以 时， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
又因为 为等比数列，所以 ，所以 ，
则等比数列 首项为2，公比为3，
所以
例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，
， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，
两式相减，得到 ，
整理得 ，
又因为 ，所以 ，
所以数列 是公差为 的等差数列．
当 时， ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
由（1）可知 ，即公差 ，
所以 ；
题型二： 法：角度2：将题意中的 用 替换
例题1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 的前 项和为
.
(1)求 ；
【答案】(1)
【详解】（1） ，可得 ，
可得 ，即数列 为首项为2，公差为2的等差数列，
可得 ，由 ，可得 ；
例题2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列 中， ， ，前 项和为 ，若
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）若 ，
由 ，可得 ，
则数列 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 ，即 ，
当 时， ，则
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其
前n项和为 ，且 （ ）．
(1)求 ；
【答案】(1)
【详解】（1） ，
又 ，
又 ， 数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
，故
例题4．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为 的数列 的前 项和为 ，且当 时，
(1)证明：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，即 ，
则 ，可得 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
题型三： 法：角度3：已知等式中左侧含有：
例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{ }满足：．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，①
所以 时， ，②
① ②得：
，所以 ，
又 ，不符合上式，故
例题2．（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由 ，
得当 时 ， 即 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
当 时，也满足上式，
综上所述， ；
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列 中，
.
(1)求数列 的通项 ；
【答案】(1) ；
【详解】（1）由 ， ，得当 时，，
两式相减得： ，即 ，而 ，
因此 构成以 为首项，3为公比的等比数列，
则当 时， ，即 ，显然 不满足上式，
所以数列 的通项 .
例题4．（2023春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列 为正项等比数列，数列 满足
， ， ．
(1)求 ；
【答案】(1)
【详解】（1）令 ，
当 时， ，由 ，则 ；
当 时， ，由 ，则 .
由数列 为正项等比数列，设其公比为 ，则 ，所以 .
题型四： 法：角度1：已知 和 的关系
例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列 的前 项的积
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1） ，
当 时， .
当 时， ，满足上式，.
例题2．（2022秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列 的前 项积 .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：（1） .
当 时， ；
当 时， ，也符合 .
故 的通项公式为 .
例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知 为数列 的前n项的积，且 ， 为数
列 的前n项的和，若 （ ， ）.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】解：（1）证明： ， .
，
是等差数列.
（2）由（1）可得 ， .
时， ；时， .
而 ， ， ， 均不满足上式.
（ ）.
题型五： 法：角度2：已知 和 的关系
例题1．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足
(1)证明：数列 为等差数列;
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
例题2．（2020春·浙江温州·高一校联考期中）设数列 的前n项积 （ ）．
（1）求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【详解】（1）当 时， ，∴ ，
又
∴ ，∴ ，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，∴
∴ .
例题3．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列 的前n项之积为 ，且满足 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由题意知： ，
∴ ，∴ ，
∴数列 是公差为3的等差数列；
三、数列求通项（ 法、 法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江西·高三统考开学考试）设 为数列 的前 项积，若 ，且
，当 取得最小值时， （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】解：由题意得 ，又 ， ，
所以 ，
所以 是公比为 的等比数列.
因为 ，所以 ，
解得 ，
所以 ，则 ， ， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 最小.
故选：A.
2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知 为数列 的前 项积，若 ，则数列
的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 为数列 的前 项积，所以可得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又 ，得 ，所以 ，
故 是以3为首项，2为公差的等差数列；
，
故选：A
3．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列 的前 项积为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等比数列 的公比为 ，
当 ，则 ，所以 ， ， ，
若 ，则 ， ， ，不符合题意；
若 ，则 单调（或为常数 ），此时不满足 ，故不符合题意，所以 ；
当 ， ，此时 奇数项为负，偶数项为正，则 ， ， ，不符合题意，
当 ， ，此时 奇数项为正，偶数项为负，则 ， ， ，不符合题意，
所以 ，故A错误，又 ，
，
又 ，所以 ，所以 ，
故对任意的 ， ，则对任意的 ， ，故B错误；
又 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
，
所以 ，故D正确，C错误．
故选：D．
4．（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）若数列 的前 项积 ，则 的最大值与最小值的
和为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】∵数列 的前 项积 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
时也适合上式，
∴ ，
∴当 时，数列 单调递减，且 ，
当 时，数列 单调递减，且 ，
故 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ 的最大值与最小值之和为2.
故选：C.二、填空题
5．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知 为数列 的前n项积，且 ，则
．
【答案】
【详解】当 时，则 ；
当 时，则 ；
注意到 也符合上式，所以 .
故答案为： .
三、解答题
6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）设数列 的前 项和为 ， ，且
.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，
故 时， ，
两式相减得 ，
又 ， ，所以 ，故 ，满足上式，
故 ，且 ，
所以 为等比数列，且首项为2，公比为3，从而 .
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式．
【答案】(1)【详解】（1）∵ ，
所以 或 ，∵ ，∴ ，
……①． ……②．
① - ②得 是首项为3，公差为2得等差数列， ；
8．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，又 ，
所以 ，即 .
又数列 是等比数列，所以 ，
当 时， ，解得 ，
所以 ；
9．（2023春·江西九江·高二校考期末）记数列 的前n项和为 ，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 .
10．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列 的前n项和为 ，满足：
.(1)计算 并求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由 ①，
当 时， ，解得 （ 舍去），
当 时， ②，
由① ②得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ；
11．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列
满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
【答案】(1) ， ， ，
【详解】（1）设等差数列 公差为 ，则 ，整理得 ，解得 ，
∴ ， ，
对于数列 ：当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得 ，当 时， 也满足上式，
∴ ， ．
12．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知 是数列 的前 项和，满足 ，
且 .
(1)求 ；
【答案】(1)【详解】（1）因为 ，显然 ，
所以 ，即 ，
所以
，
所以 ，又当 时， 也满足，所以 .
13．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列 的前n项和为 ，且 ，当
时， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，所以 ，
所以，当 时， ，
当 时， 也满足上式，
所以数列 的通项公式为 ．
14．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知数列 满足 ，等差
数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）当 时， ，
，当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，显然 满足上式，因此 ，设 公差为 ，则 ，即 ，解得 ，
因此 ，
所以数列 和 的通项公式分别为 ， .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ， ，即 ，
， ， ，
是首项为2，公差为1的等差数列，
， ，
，
综上，
16．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知正项数列 满足 ，前 项和 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由 可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
，
所以 ，
又因为 ，所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ；
17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【详解】（1） ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
得 ，即 ，
满足上式，
数列 的通项公式为 ；
18．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）∵ ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，即 （ ），
又∵ 也适合，
∴ ；
（2）由（1）知 ，
，
∴ .
19．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为 ，
所以 时， ，
两式作差得， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，符合上式，
所以 的通项公式为 ．
20．（2021秋·江西九江·高二校考期中） 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知
.
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .【详解】（1）当 时， ，即 ，解得 .
当 时， ，所以 ，所以 ，
即 是以 ，公差为2的等差数列.
（2）因为 的通项公式为 ，
所以当 时，
当 时，
又因为 ，
所以数列 的通项公式为： .
