文档内容
第 05 讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质
1. 了解直线与圆的三种位置关系；
2. 了解圆的切线的概念；
3. 掌握直线与圆位置关系的性质。
知识点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
知识点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
O
∴ 是⊙ 的切线
M A N
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推
出最后一个。知识点3 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的
连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线 B
∴ ； 平分
O
P
A
知识点4 三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内
心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2
。
1
r(a+b+c)
（3）S =2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B C
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【典例1】（2023•滨江区二模）已知 O的直径为4，圆心O到直线l的距离为
2，则直线l与 O（ ）
⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙【答案】B
【解答】解：∵ O的直径为4，
∴ O的半径为2，
⊙
∵点O到直线l的距离为2，
⊙
∴d＝r
∴l与 O的位置关系相切．
故选：B．
⊙
【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知 O半径为4cm，若直线上一点
P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】D
【解答】解： O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么
直线与圆的位置关系是无法确定，
⊙
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm，如果圆心与直线
上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：∵圆的半径为6.5cm，圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
∴圆的半径≥圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切或相交，
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知 O的半径等于5，圆心O到直
线l的距离为4，那么直线l与 O的公共点的个数是（ ）
⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
⊙
【答案】C
【解答】解：∵ O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，
即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，
⊙
∴直线l和 O相交，
∴直线l与 O有2个公共点．
⊙
⊙故选：C．
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在 O
上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的半径为2，则BD
⊙
的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是 O的切线，
∴∠OBD＝90°，
⊙
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝ ＝2 ，
故选：D．
【变式 2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形 OABC的顶点 A，B，C在
O上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的半径为2，则
⊙ ⊙ ⊙BD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵BD是 O的切线，
∴∠OBD＝90°，
⊙
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝ ＝2 ，
故选：D．
【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是 O的直径，AC是 O的切
线，连接OC交 O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（
⊙ ⊙
）
⊙A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】B
【解答】解：∵AC是 O的切线，
∴OA⊥AC，
⊙
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝60°，
连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵OA＝2，
∴AB＝4，
∴BD＝AB•sin60°＝4× ＝2 ，
故选：B．
【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O
是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆， O恰好与AC相切于
⊙点D，连接BD．若BD平分∠ABC， ，则线段AB的长是（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解答】解：连接OD，
∵OD是 O的半径，AC是 O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC，
⊙ ⊙
∵OD＝OB，
∴OBD＝ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO＝∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AO＝2OD，
设OD＝OB＝x，则AO＝2x，AB＝3x，
∴AD＝ x，AC＝ x，
∴CD＝AC﹣AD＝ x﹣ x＝ ，
∴x＝2，
∴AB＝3x＝6．
故选：D．【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以
AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的
度数为（ ）
A．42° B．45° C．46° D．48°
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵CB与 O相切于B，
∴半径OB⊥BC，
⊙
∴∠OBC＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝69°，
∵∠ODB＝∠C+∠CBD，
∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．
故选：D．
【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为 O的直径，直线CD与 O相切于点
C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与 O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
⊙
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．
【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与 O相切于点A，B为 O上一点
BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．40° C．25° D．50°
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∵AC与 O相切于点A，
∴AC⊥OA，
⊙
∴∠OAC＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是 O的直径，C、D是 O上的点，
∠E＝40°，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠CDB 等于（
⊙ ⊙
）
⊙
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：连接OC，
∵CE是 O的切线，
∴∠OCE＝90°，
⊙
∵∠E＝40°，
∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠CDB＝ ∠COE＝25°．
故选：A．
【题型3切线的判定】
【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的 O
交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是 O的切线．
⊙
⊙【答案】见解析．
【解答】证明：连接BC，
∵∠AOB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∵OC＝CA，∠OCB＝∠CAB+∠CBA＝60°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴∠OBA＝∠OBC+∠CBA＝90°，
∵OB是 O的半径，
∴AB是 O的切线．
⊙
【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的
⊙
O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．
求证：DE是 O的切线．
⊙
⊙
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：如图，连接OE、OD，
在△OED和△OAD中，
，
∴△OED≌△OAD（SAS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴OE⊥DE，∵OE是 O的半径，
∴DE是 O的切线．
⊙
⊙
【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是 O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD
＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是 O的切线．
⊙
⊙
【答案】见解答．
【解答】证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴AB为 O的直径，
∵BD＝2AD＝8，
⊙
∴AD＝4，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，
在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，
∵BC2＝（2+8）2＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AB为直径，
∴AC是 O的切线．
【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是 O的直径，点F在 O上，∠BAF
⊙
的平分线AE交 O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点 D，延
⊙ ⊙
⊙长DE、AB相交于点C．
求证：CD是 O的切线．
⊙
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∵OE是 O的半径，
∴CD是 O的切线．
⊙
⊙
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形 ABCD内接于 O，BD是
O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
⊙
（1）求证：AE是 O的切线；
⊙
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求 O的半径．
⊙
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在 O上，
∴AE是 O的切线；
⊙
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
⊙
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF＝AE＝4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF＝ CD＝3cm，
在Rt△ODF中，OD＝ ＝5cm，
即 O的半径为5cm．
⊙【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与 O相切于点A，延长
AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
（2）若 O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
⊙
⊙
【答案】（1）证明见解答；
（2）PA的长是12．
【解答】（1）证明：∵PA与 O相切于点A，且OA是 O的半径，
∴PA⊥OA，
⊙ ⊙
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，
∴OB＝OA，
∴点B在 O上，
∵OB是 O的半径，且PB⊥OB，
⊙
∴PB是 O的切线．
⊙
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，
⊙
∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝3，
∵∠A＝90°，
∴ ＝ ＝tan∠ACP＝ ，
∴PA＝ AC＝ ×9＝12，
∴PA的长是12．
【变式 5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB 是 O 的直径，CD＝CB，
AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连
⊙
接AD．
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
⊙
【答案】（1）证明见解析；（2）2.8．
【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，
∵CD＝CB，
∴ ＝ ，
∴∠COD＝∠COB，
∵OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM，
∵CF∥BD，
∴半径OC⊥CF，
∴CF是 O的切线；
（2）解：设OM＝x，
⊙∵OC＝ AB＝5，
∴MC＝5﹣x，
∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝1.4，
∵AO＝OB，DM＝BM，
∴OM是△BAD的中位线，
∴AD＝2OM＝2x＝2.8．
【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边
AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且
BC＝BE．
（1）求证：AB是 O的切线．
（2）若AE＝24，BE＝15，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】（1）见解答；（2）10．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，连接BO，在△OBC和△OBE中，
，
∴△BOE≌△BOC（SSS），
∴∠BEO＝∠BCO，
∵∠BCO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∵OE是半径，
∴AB是 O的切线；
（2）解：如图2，连接OE，
⊙
∵BE＝15，AE＝24，
∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，
∴AC＝ ＝ ＝36，
设 O的半径为r，则OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，
∵OA2＝OE2+AE2，
⊙
∴（36﹣r）2＝r2+242，
解得：r＝10，
∴ O的半径为10．
【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
⊙
【典例6】（2022秋•金东区期末）如图， O是△ABC的内切圆，点D、E分
别为边AB、AC上的点，且DE为 O的切线，若△ABC的周长为25，BC的
⊙
长是9，则△ADE的周长是（ ）
⊙A．7 B．8 C．9 D．16
【答案】A
【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和 O相切，
∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．
⊙
∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，
∴C ＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C
△ADE △ABC
﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．
故选：A．
【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角
形的纸片，BC＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在 O的右侧沿
着与 O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（
⊙ ⊙
）
⊙
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B【解答】解：设E、F分别是 O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm， O是它的内切圆，点
⊙
D是其中的一个切点，BC＝5cm，
⊙
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，PA，PB分别切 O于点A，B，CD
切 O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为
⊙
（ ）
⊙
A．5 B．7 C．12 D．10
【答案】C
【解答】解：∵PA，PB分别切 O于点A，B，CD切 O于点E，PA＝6，
∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，
⊙ ⊙
∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，
故选：C．
【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于
点 A、B，CD 切 O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA＝8，则
⊙ ⊙
△PCD的周长为（ ）
⊙A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解答】解：∵PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
⊙ ⊙
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【题型6 三角形的内切圆与内心】
【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A
＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．140° B．135° C．125° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，
∴点O为三角形的内心，即点O为△ABC三个内角平分线的交点，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
∴∠OBC＝ ABC，∠OCB＝ ．
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．故选：C．
【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数
学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几
何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角
边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”
此问题中，该内切圆的直径长是（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【答案】C
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝ ＝17，
∴S ＝ AC•BC＝ ×8×15＝60，
△ABC
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
∴S ＝S +S +S ＝ ×r（AB+BC+AC）＝20r，
△ABC △AOB △BOC △AOC
∴20r＝60，解得r＝3，
∴内切圆的直径为6步，
故选：C．
【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分
别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（ ）A．36° B．53° C．74° D．128°
【答案】C
【解答】解：连接OD、OF，
∵ O分别与AB、AC相切于点D、点F，
∴AB⊥OD，AC⊥OF，
⊙
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∵∠DEF＝53°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，
∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，
故选：C．
【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C
＝90°， O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则 O的面
积为（ ）（结果保留 ）
⊙ ⊙
π
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
π π π π
【解答】解：连接OE、OF，∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝5，
∵ O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴FB＝DB，CE＝CF，AD＝AF，OE⊥BC，OF⊥AC，
⊙
又∵∠C＝90°，OF＝OE，
∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE＝OF＝CF＝CE＝x，
∴BE＝4﹣x，FA＝3﹣x；
∴DB＝4﹣x，AD＝3﹣x，
∴3﹣x+4﹣x＝5，
解得：x＝1，
则 O的面积为： ．
故选：A．
⊙ π
【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图， O是△ABC的内切圆，切点
分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则 O的半径是（ ）
⊙
⊙
A．1 B． C．2 D．2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，
∴AB＝ ＝6，∵ O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，
⊙
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝8﹣x，BD＝BE＝6﹣x，
∵BE+CE＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，
∴x＝2，
则圆O的半径为2．
故选：C．
1．（2023•眉山）如图，AB切 O于点B，连结OA交 O于点C，BD∥OA交
O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．25° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解答】解：连接OB，
∵AB切 O于B，
∴半径OB⊥AB，
⊙∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
2．（2023•重庆）如图，AB为 O的直径，直线CD与 O相切于点C，连接
AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与 O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
⊙
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．3．（2022•河池）如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝
25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．25° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是 O的切线，
∴PA⊥AB，
⊙
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
4．（2023•滨州）如图，PA，PB 分别与 O 相切于 A，B 两点，且∠APB＝
56°，若点C是 O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 62 ° 或 118 °
⊙
．
⊙
【答案】62°或118°．
【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切 O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
⊙
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB＝ ∠AOB＝62°．当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，
故答案为：62°或118°．
5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点
C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值
为 ．
【答案】 ．
【解答】解：设 C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是 C的半径，AB与 C相切于点D，
⊙
∴AB⊥CD，
⊙ ⊙
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵ AB•CD＝ AC•BC＝S ，
△AOB
∴ ×10CD＝ ×8×6，
解得CD＝ ，
∴r＝CD＝ ，
故答案为： ．6．（2023•浙江）如图，点A是 O外一点，AB，AC分别与 O相切于点B，
⊙ ⊙
C，点D在 上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 65 ° ．
【答案】65°．
【解答】解：连接OC，OB，
∵AB，AC分别与 O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
⊙
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D＝ ，
故答案为：65°．
7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内， A与x轴相切于点B，与y轴相
交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
⊙
（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知 A的半径为4，OB＝ ，求弦CD的长．
⊙
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵ A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴
⊙
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB是矩形；
（2）解：连接AD，
∵四边形AHOB是矩形，
∴AH＝OB＝ ，
∵AD＝AB＝4，
∴DH＝ ＝ ＝3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．
8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分
∠CAB交 O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点
⊙
⊙F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）BF＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是 O的切线．
⊙
（2）证明：∵线段AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的 O与线段BC
交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于
⊙
点P．
（1）求证：直线PE是 O的切线；
（2）若 O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即PE⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴PE是 O的切线；
⊙
（2）解：连接AD，连接OD，如图：
⊙
∵DE⊥AC，
∴∠AEP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠PAE＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵ O的半径为6，
⊙∴BC＝AB＝12，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴BD＝CD＝ BC＝6，
在Rt△CDE中，
CE＝CD•cosC＝6×cos60°＝3，
答：CE的长是3．
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1．（2022秋•江夏区校级期末）已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离
为4，那么直线l与 O的公共点的个数是（ ）
⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
⊙
【答案】C
【解答】解：∵ O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，
即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，
⊙
∴直线l和 O相交，
∴直线l与 O有2个公共点．
⊙
故选：C．
⊙
2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以
A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在 A内 B．直线BC与 A相离
C．点C在 A上 D．直线BC与 A相切
⊙ ⊙
【答案】D
⊙ ⊙
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝ BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝ ＝ ＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在 A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
⊙
∴C点在 A外，所以C选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
⊙
∴直线BC与 A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D．
⊙
3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆
放，一个顶点O与 O的圆心重合，一条直角边AB与 O相切，切点为B．
将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在 O上，
⊙ ⊙
边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（ ）
⊙
A．60° B．65° C．85° D．90°
【答案】D
【解答】解：∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，
∴BO′＝BO＝OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠A′OC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OCB＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
故选：D．
4．（2023•船营区一模）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，过点C的
切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．15° B．20° C．30° D．45°
【答案】C
【解答】解：如图，连结OC，
∵PC是 O的切线，
∴∠PCO＝90°，
⊙
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA，
∵AC＝PC，
∴∠P＝∠A，
设∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，
在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，
∴x+x+90+x＝180，
∴x＝30，
∴∠P＝30°．故选：C．
5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝
8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：如图， O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
⊙
∴四边形CEOF为正方形，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设 O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，
⊙
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
故选：A．
6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC
＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在 O的右侧沿着与 O相切的
任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【解答】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，
∴BD+CP＝BG+CG＝5，
∴AD+AP＝18﹣10＝8，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，
故选：B．8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形 ABCD是 O的外切四边形，且
AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 4 6 ．
⊙
【答案】46．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的外切四边形，如下图，
⊙
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝23，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46，
故答案为：46．
9．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，若
∠APB＝60°，PO＝2，则 O的半径等于 1 ．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵PA、PB是 O的两条切线，
⊙
∴∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，∠PAO＝90°∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵PO＝2，
∴AO＝1．
故答案为：1．
10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的
O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．求证：
⊙DE是 O的切线．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC，
∵∠CDE＝ ∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
又∵OD是 O的半径，
⊙∴DE是 O的切线．
⊙
11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径
作半圆 O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延
长线于点F．求证：EF是 O的切线．
⊙
⊙
【答案】答案见解析．
【解答】证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODBC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴EF是 O的切线．
⊙
⊙12．（2022•东明县一模）已知，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径
的 O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是 O的切线．
⊙
（2）当BC＝10，AD＝4时，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是 O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
⊙
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝ BC＝5，由勾股定理得，AO＝ ＝3，
则 O的半径为3．
⊙
13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE
平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D， O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）若AD＝2，AE＝4，求 O的半径长．
⊙
⊙
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE．
又OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠CBE＝∠OEB，∴BC∥OE，
∴∠OEA＝∠C＝90°．
又点E在 O上，
∴AC是 O的切线．
⊙
（2）设 O的半径为r，
⊙
∵∠OEA＝90°，
⊙
∴AO2＝AE2+OE2，
即（r+2）2＝42+r2，
解得r＝3，
∴ O的半径为3．
14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为 O的直径，CB是 O的切线，CB＞
⊙
⊙ ⊙
AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝ BC．
（1）求证：DE为 O的切线；
（2）若CE＝2，EB＝8，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥DE于M，作EH⊥OD于H，
∵O是AC中点，D是AB中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝ BC，
∵DE＝ BC，
∴OD＝DE，
∵∠OMD＝∠EHD＝90°，∠ODM＝∠EDH，
∴△ODM≌△EDH（AAS），∴OM＝HE，
∵BC切圆于C，
∴半径OC⊥CE，
∵OH∥CE，EH⊥OD，
∴四边形OCEH是矩形，
∴HE＝OC，OH＝CE＝2，
∴OM＝OC，
∴DE为 O的切线；
（2）解：∵CE＝2，BE＝8，
⊙
∴BC＝CE+BE＝10，
由（1）知OD＝ BC＝5，
∴DH＝OD﹣OH＝5﹣2＝3，
∵DE＝ BC＝5，
∴HE＝ ＝4，
∴OC＝HE＝4，
∴ O的半径是4．
⊙
