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第二十二章 二次函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中， 一定是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，形如 的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可
得到答案．
【详解】解：A，当 时， ，不是二次函数，不合题意；
B， ， 是 的一次函数，不合题意；
C， ， 一定是 的二次函数，符合题意；
D， 中含有分式，不是二次函数，不合题意；
故选C．
2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线 经过原点，那么a的值等于
（ ）
A．0 B．1 C． D．35
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把 代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是
解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 经过原点，
∴ ，解得： ，故选C．
3．（2024·广东揭阳·一模）抛物线 是由抛物线 经过某种平移得到，则这个平移可以
表述为（ ）
A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：抛物线 是由抛物线 向左平移2个单位长度得到的，
故选：B．
4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 的图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在 轴的上方时， ，
即可得到答案．
【详解】由函数图象可知，当 或 时，函数图象在 轴的上方，即 ，
∴ 的解集为： 或 ，
故选：D．
5．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关
键．先根据一次函数的性质确定 与 两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解： A. 函数 图形可得 ，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，
而不是交 轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数 图形可得 ，则 开口方向向下正确，顶点坐标为 ,故选项B正确；
C. 函数 图形可得 ，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不
正确；
D. 函数 图形可得 ，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正
确；
故选B．
6．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现
数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为 轴，以伞骨 ， 的交点 为坐标原点建立平面
直角坐标系．点 为抛物线的顶点，点 ， 在抛物线上， ， 关于 轴对称．抛物线的表达式为
，若点A到 轴的距离是 ，则 ， 两点之间的距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知 ，将其代入函数
关系式求出x的值，进而得出答案．
【详解】根据题意可知 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ （ ）．
故选：A．
7．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点 、 皆在 轴上，且有一水平
线与两图像相交于 、 、 、 四点，各点位置如图所示，若 ， ， ，则 的长
度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
由 ， ， 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道， 和 ， 和 ， 和 横坐标的差，从
而推出 和 的横坐标之差，得到 的长度．
【详解】由 、 、 、 四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同
， ， ，
，又
．
故选：B．
8．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；
当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，
，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得
最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
9．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数 （a，b，c为常数， ）的图像经过
点 ，其中 ，下列结论：① ；② ；③ 时，y随x的增大而减小；④关于x的方
程 一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，将点 坐标代入抛物线解析
式可得 根据 即可判断①；把其中c替换成a，可得 ，即可判断②；抛物线对称
轴 ，所以 时y随x的增大而减小判断③；根据根与系数的关系判断④；
【详解】解：①将点 坐标代入抛物线解析式得： ，
∵ ,
∴ ，故结论①错误；
②∵ ， ，把其中c替换成a， ，即 ，
故②正确
③∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴抛物线开口向上，
∴ 时，y随x的增大而减小，故③正确；
令 ，则 ，两根之和， ，两根之积， ，
∴ 均大于0，
当 时， ， ，抛物线开口向上，
∴抛物线有1个根在0到1之间，即 有1个根在0到1之间，故④正确；
∴正确的结论是②③④，
故选：B
10．（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点 、 ，若二次函数
的图象与线段 只有一个交点，则（ ）A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并
能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键．
先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线 相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交
时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可
得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可．
【详解】由二次函数 的对称轴可知， 是该函数的对称轴，
当函数与直线相交时， 有解，
整理得 ，
根据根的判别式 ，
解得 或 ，
因为 ，
所以 或 ，且 时，二次函数与 有唯一的交点 ．
若函数与B点相交时，将 代入 得 ，
解得 ，则此时如下图：
函数恰好与线段 有两个交点，所以根据图象 ，当时抛物线与线段 只有一个交点，解
得 ；若函数与A点相交时，把 代入 得 ，
解得 ，
则此时如下图：
函数恰好与线段有一个交点，根据图象当 时，抛物线与线段 也只有一个交点，
解得 ．
综上所述 或 或 ，
A． 因为 ，所以a的值不可以是 ，故该选项不符合题意；
B． 因为 ，所以a的值不可以是 ，故该选项不符合题意；
C． 因为 ，所以a的值不可能是 ，正确，故该选项不符合题意；
D． 因为 ，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线 经过点 和 ，则 （填“>”
“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】将 和 代入 中，求出 和 ，再进行比较即可．
本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．【详解】∵抛物线 经过点 和 ，
，
，
．
故答案为：>
12．（2024·宁夏银川·二模）若二次函数 的图象都在x轴下方，则m的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．抛物线的解析式 化为顶点式，由顶点在 轴下
方，可得顶点纵坐标小于0，即可求出答案．
【详解】解：抛物线 ，
∴抛物线的顶点为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，则
直线 的表达式为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出 、 点的坐标，用待定系数法求直线 的解析式即可．
【详解】解： ，
顶点 的坐标为 ，
令 ，则 ，
的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的表达式为 ，
故答案为： ．
14．（2024·江苏扬州·二模）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水
头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心
，水管高度应为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为 ，用待定系数法
求得抛物线的解析式，再令 ，求得 的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为
由题意可知抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的一个交点为 ，，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
水管的高度为 ，
故答案为： ．
15．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线 的对称轴在y轴右侧，当 时，y随x
增大而增大，若抛物线上的点纵坐标 ，则m的取值范围为
【答案】
【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出
，顶点坐标为 ，最小值为 ，确定 ，再由 ，得出 ，
然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：∵
，
∴对称轴为 ，
∵对称轴在y轴右侧，当 时，y随x增大而增大，开口向上，∴ ，顶点坐标为 ，最小值为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从 地出发沿同一直道去 地 设小李出发第 时，
小李、小王离 地的距离分别为 、 ， 与 之间的函数表达式是 ， 与 之
间的函数表达式是 ．
（1）小李出发时，小王离 地的距离为 ．
（2）小李出发至小王到达 地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近 这个最近距离是
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的
关键．
（1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解；
（2）设两人相距 ，根据题意可得 ，结合二次函数最值的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）小李： ，小王： ，
当 时，小李： ，小王： ，
∴ （米）；
（2）设小李和小王相距 米，∴
，
∴当 时，小李与小王相距最近，最近为 米，
∴小李出发 分钟时两人相距最近，最近距离为 米，
故答案为： ， ， ．
17．（2024·上海·模拟预测）若直线 与抛物线 与抛物线 有三
个不同交点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时
利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线
与抛物线 的图象，分情况找到临界位置的 的值，进而确定 的取
值范围．
【详解】对于抛物线 ，当 时， 或 ，
对于抛物线 ，当 时， 或 ，
两条抛物线如下图：
∴ ， ， ，
当直线 经过 时， ，得 ，
此时直线 与抛物线 与抛物线 有两个交点，此时 ，
结合图象可知，当直线 在 下方时，只有两个交点不符合题意；当直线 与抛物线 只有一个交点时，
即：方程 只有一个解，即：方程 只有一个解，
∴ ，解得： ，
此时直线 与抛物线 与抛物线 有两个交点，此时 ，
结合图象可知，当直线 在 上方时，最多只有两个交点不符合题意；
综上，当 时，直线 与抛物线 与抛物线 有三个不
同交点，
故答案为： ．
18．（2024·山东德州·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于
，点 ，点P为x轴上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段 是解题的关键．过点C作 交y轴于点E，过点P作 于点F，过点D
作 于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明 ，然后将 转化
为 ，当D，P，F三点共线时， 取最小值 ，再求出 的长，即得答案．
【详解】解：如图，过点C作 交y轴于点E，过点P作 于点F，过点D作 于点
H，
由题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
解得 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
当D，P，F三点共线时， 取最小值 ，， ，
，
，
，
，
而在 中， ，
，
即 取最小值为 ，
的最小值为 ．
故答案为：4．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线 的图象顶点为 ，且过 ，试求
a、b．c的值．
【答案】 ， ，
【分析】由题意设出抛物线为 ，把 代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由题意设抛物线为 ；
把 代入，得：
解得：∴
∴ ， ，
20．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①
；② ；③ ；④ ．根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴
(2)函数 和 的图象有最低点，函数 和 的图象有最高点，这些最低点和最高
点的坐标都是
【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数的图像；（1）
画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以观察出函数的二次函数的最低
点和最高点．
【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实
数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．
解：列表：
4
描点、连线，函数图象如图所示．这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是 轴；
（2）函数 和 的图象有最低点，函数 和 的图象有最高点，这些最低点和最
高点的坐标都是 ．
21．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离 为
，跨度 ．
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长 ，宽 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高
可堆放多少米？
【答案】(1) ；
(2)这些木板最高可堆放 米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（1）可令O为坐标原点，平行于 的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为 ，由此可求出抛物线的函数关系式．
（2）当 时，求得 的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段 的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐
标系，
设抛物线的函数关系式为 ，
由题意可得B点坐标为 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数关系式为 ；
（2）解：当 时， ，
∵ ，
∴木板最高可堆放 (米)．
22．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 ，点 在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线 ．
(1)若 ，求t的值；
(2)点 在该抛物线上，若对于 都有 ，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数 性质，熟悉相关结论是解题关键．（1）由题意得 ，据此即可求解；
（2）分类讨论①当 时，②当 时，两种情况即可求解；
【详解】（1）解： 点 ，点 在抛物线 上，
且 ，抛物线的对称轴为 ，
，
．
（2）解： 点 ，点 ，点 在抛物线 上，
， ， ．
且 ．
①当 时，有 ，
②当 时，有 ，
．
．
．．
综上： ．
23．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线 经过点 ．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）抛物线 经过点 ，可得 ，求解即可得到答案；
（2）抛物线的对称轴： ，开口向下，可知当 时， 随 的增大而减小，据此即
可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线 经过点 ，可得
．
解得： ．
所以，抛物线的解析式为 ．
（2）抛物线的对称轴： ，开口向下，可知
当 时， 随 的增大而减小．
当 时， ．
当 时， ．所以，当 时， 的取值范围为 ．
24．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”
进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能
小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度 与水平距离 可以用二次函数 刻画，将
“智能小球”从斜坡 点处抛出，斜坡可以用一次函数 刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的
坐标为 ．
(1)请求出 和 的值；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是 ，求点 的坐标；
(3)若“智能小球”在自变量 的值满足 的情况时，与其对应的函数值 的最大值为 ，直接写
出 的值为________．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变
量的取值函数最值的计算方法时解题的关键．
（1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解；
（2）联立方程解二元一次方程组即可求解；
（3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当 时， 取到最大值；当 时， 取
到最大值；由此即可求解．【详解】（1）解：二次函数 的对称轴为 ，
∵小球达到的最高的的坐标为 ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：根据题意联立方程组得，
，
解得， （不符合题意，舍去）或 ，
∴ ；
（3）解：已知二次函数的顶点坐标为 ，
∴当 时， 随 的增大而增大；
∵ 时的最大值为 ，
∴当 时取到最大值，且 ，即 ，
∴ ，
解得， ， （不符合题意，舍去）；
∴ ；
当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时取得最大值 ，且 ， ，
∴ ，解得， （不符合题意，舍去）， ，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
25．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点
和点 ，直线 ： 经过定点 ．
(1)求 和 的值及点 的坐标；
(2)如图 ，当 时，位于直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴交直线 于点 ，求
的最大值；
(3)如图 ，连接并延长 ，将射线 绕点 顺时针旋转 后，与抛物线相交于点 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）由待定系数法求出函数表达式，由 ，即可求解；
（ ）由 ，即可求解；
（ ）证明 ，则 且 ，求取 ，进而求解．【详解】（1）设抛物线的表达式为： ，
则 ，
则 ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ，
∵ ，
则点 ；
（2）当 时，直线 的表达式为： ，如题干图，
设点 ，则点 ，
则 ，
故 的最大值为 ；
（3）过点 作 于点 ，
∵ ，则 为等腰直角三角形，
则 ，
过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，交点 和 轴的平行线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 且 ，
即 且 ，
解得： ，
即点 ，
设直线 的表达式为 ，
由点 的坐标得， ，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
将上式和抛物线的表达式联立得： ，
解得： （舍去）或 ，
则 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次
方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
26．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完
美点”．抛物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．
(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．
（1）把 代入后再将抛物线化成顶点式为 ，即可求顶点坐标；
（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；
（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【详解】（1）解：当 时，抛物线 ．
∴顶点坐标 ．
（2）令 ，则 ，
∴ ，
∵线段 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵ ，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为 ， ， ， ；
当“完美点”个数为5个时，分别为 ， ， ， ， ．
∴ ．
∴a的取值范围是 ．
（3）根据 ，得抛物线的顶点坐标为 ，过点 ， ， ．
∵抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点” ， ， 符合题意．
下面讨论抛物线经过 ， 的两种情况：
①当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．
如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ，共4个．
②当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．
如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ， ， ，共6个．
∴a的取值范围是 ．
