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2023-2024 学年九年级上册 第二单元二次函数
B 卷•能力提升卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•南湖区校级开学）已知点A（﹣1，t）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则t的值为（
）
A．5 B．2 C．0 D．﹣1
2．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
3．（2023•南湖区校级开学）若点A（﹣3，y ），B（ ，y ），C（2，y ）在二次函数y
1 2 3
＝x2+2x+1的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 1 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1
4．（2023•西山区校级开学）对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是
（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
5．（2023•霍邱县一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为
n，则m+n＝（ ）
A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．2
6．（2023•嘉定区一模）抛物线 一定经过点（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）．
7．（2023•永城市一模）如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置
的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触
弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性
形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度Δl（cm）之间的关系图象如图
2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm
C．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
D．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
8．（2023•天桥区三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函
数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．
例如当a＝2时，区域W内的整点个数为1，若区域W内恰有7个整点，则a的取值范
围是（ ）
A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．2＜a≤3 D．2≤a＜3
9．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5
个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2023•安顺模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|x2﹣4x﹣5|（a≠0且b2﹣4ac＞0）
的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象
（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；
③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。
11．（2023•丰城市校级开学）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴
为直线x＝﹣2，若y＞0，则x的取值范围是 ．
12．（2023•南湖区校级开学）二次函数y＝（x﹣2）2+3，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围
为 ．
13．（2023春•惠民县期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，
拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则
抛物线的关系式是 ．
14．（2023•乡宁县二模）如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预
测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系的部分数据如表：则该运动
员踢出的足球在第 s落地．
t/s 0 1 2 3 …
h/m 0 …
15．（2023•张店区校级二模）若函数y＝（m+1）x2﹣3x+2的图象与x轴只有一个交点，
则m的值为 ．
16．（2022•广陵区二模）如图，分别过点P（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，
i
交 的图象于点A，交直线 于点B．则 ＝ ．
i i
三、解答题（本题共5题，共52分）。
17．（10分）（2023•永城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象经过点
（﹣1，7）和（3，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）当m≤x≤m+2时，y有最小值﹣1，求m的值．18．（10分）（2023•西陵区模拟）阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的
实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线
喷出，并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能
达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影
响水流．
【任务解决】
（1）小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符
合要求．
（2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
19．（10分）（2023•鹿城区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图
分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），
攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足
球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的
水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据
如表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ m；（2）求h关于s的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离
地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中
速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.
8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
20．（10分）（2023•孝南区三模）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完
成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设
新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象
来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天
的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？
21．（12分）（2023•鄄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为
（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直
角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理
由．
