文档内容
专题 01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：在型求切线方程.................................3
题型二：过型求切线方程.................................4
题型三：已知切线斜率求参数.............................7
题型四：确定过一点可以做切线条数.......................8
题型五：已知切线条数求参数............................10
题型六：距离问题转化为相切问题........................13
题型七：公切线问题....................................16
三、专项训练..........................................18
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点
处的切线的斜率 ，即 .
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：函数f (x)在 x=x 或者(x ,f(x ))处的切线方程.
0 0 0
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 f (x )（方法：把 x=x 代入原函数f (x)中），切点
0 0
(x ,f(x )).
0 0
学科网（北京）股份有限公司第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点(x ,f(x ))，切线斜率 k=f '(x )。
0 0 0
根据直线的点斜式方程得到切线方程： y−f(x )=f '(x )(x−x ).
0 0 0
（2）过型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方
程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
3、已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
4、已知f (x)和 存在 （ ）条公切线问题
第一步 设f (x)的切点 设 的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得： 整理得：
联立已知条件
消去 得到关于 的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交
点个数；
消去 得到关于 的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点
学科网（北京）股份有限公司个数；
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 是 的导函数），
则曲线 在 处的切线方程为 ．
【答案】 ．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率 ，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方
程即可.
【详解】由题意设切点 ，因为 ，
令 ，得 ，
由导数几何意义知： ，
又 ，所以 ，
故曲线 在 处的切线方程为： ，
整理得： .
故答案为： .
2．（2024·陕西西安·模拟预测）曲线 在 处的切线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为 ，可得 ，
故答案为： .
3．（2024·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义 ，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，且 ，
时， ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
故答案为：
4．（2024·上海闵行·二模）函数 在 处的切线方程为 .
【答案】
【分析】切线的斜率是在 处的导数，切线过 ，由直线的点斜式方程可以求出
切线方程.
【详解】 ， ，所以 ，
所以在 处的切线方程为 ，即 ，
故答案为： .
题型二：过型求切线方程
1．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）过点 作曲线 的切线，则切
线的条数为 ．
【答案】2
【分析】设切点为 ，再根据切线方程得到 ，化简得
，再构造新函数，利用导数求出其零点个数即可.
【详解】由已知可得， ，定义域为 ，
，所以点 不在曲线上.
当切线斜率不存在时，即直线方程为 ，此时相交，不合题意，舍去，
设切点为 ，
根据导数的几何意义可知，曲线在点 处切线的斜率 .
所以有 ，则 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司则有 ，化简得 ，
即 ，其中 ，令 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
故当 ， 取得最小值， ，
又因为 ，且函数连续不间断，
则存在 满足 ，
又因为 ,且函数连续不间断，
所以存在 满足 ，
综上 ， ，共有两个零点，
即切线的条数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：本题的关键是将切线条数转化为 的零点个
数，再利用导数和零点存在定理求出其零点个数即可.
2．（2024·云南·模拟预测）曲线 过坐标原点的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可求出结果.
【详解】设切点为 ，则 ，
，切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过原点，所以 ，即 ，
解得 ，所以切线方程为 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点 作曲线 的切线，写出一条切线方程：
.
【答案】 或 （写出一条即可）
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将 代入求得切点坐
标，即可得切线方程.
【详解】由 可得 ，
设过点 作曲线 的切线的切点为 ，则 ，
则该切线方程为 ，
将 代入得 ，解得 或 ，
故切点坐标为 或 ，
故切线方程为 或 ，
故答案为： 或
4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与
轴的交点坐标为 .
【答案】
【分析】设切点坐标 ，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出 ，即可
求出直线与 轴的交点坐标.
【详解】设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
则过切点的切线方程为 ，
把点 代入切线方程得， ，即 ，
因为 ，而 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 只有一个解，所以 ，
所以切线方程的斜率为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以切线方程为 ，令 ，解得 .
故过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标为 .
故答案为： .
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最
小值为（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
【详解】根据直线与函数相切，可得 以及 ，即可换
元 构造函数 ，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为 ．由已知，得 ，则 ，
解得 ．
又切点在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 ．
令 ，则 ．
令 ，解得 ．当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减．
所以 ，即 ，所以 ，则 的最小值为－1．
故选：C．
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）直线 与曲线 相切，则实数
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义得出切线斜率，再由切点在直线与曲线上列方程即可得解.
【详解】设切点为 ，
则 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ，
故选：D
3．（2024·湖南娄底·一模）若直线 是指数函数 且 图象的
一条切线，则底数 （ ）
A．2或 B． C． D． 或
【答案】D
【分析】设切点坐标为 ，根据导数的几何意义，列式运算求得 的值.
【详解】设切点坐标为 ，对函数 ，求导得 ，
切线方程 化成斜截式为 ，
由题设知 ，显然 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
即 ，
即 ，化简得 ，
令 ，即 ，利用指数函数与一次函数的性质，可知 或 ，
即 或 ，解得 或 .
故选：D.
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若直线 是曲线 的一条切线，则实数
．（ …为自然对数的底数．）
【答案】
【分析】根据切线的斜率为1，利用导数列方程，求得切点的坐标，代入切线方程，求得
的值.
【详解】设切点为 ，又 ，
切线的斜率 ，解得 ，所以切点为 ，
代入切线方程 ，得 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
【详解】设切点为 ，
由 可得 ，
则过坐标原点的切线的斜率 ，
故 ，即 ，
解得 ，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线
条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出 的导函数，设切点坐标为 ，写出切线方程，把 代入，
得到关于 的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由 ，得 ．设切点坐标为 ，
则切线方程为 ，
把 代入可得 ，即 ，
因为 ，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由 ，得 ，令 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 ，且 ，则点 在曲线 的下方，
学科网（北京）股份有限公司数形结合可知，过点 可作曲线 的2条切线．
故选：B
3（多选）（23-24高三上·湖北·期末）设 ，点 是直线 上
的任意一点，过点 作函数 图象的切线，可能作（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】BC
【分析】设 为直线上任意一点，切点为 求出切线方程，将
代入切线方程，转化为 根的个数求解即可.
【详解】设 为直线上任意一点，
过点 作 的切线，切点为 ，
则函数 图象在点B处的切线方程为 ，
即 ，
整理得， ，
解得 1或
当 时， ，方程 仅有一个实根，切线仅可以作1条；
当 时， ，方程 有两个不同实根，切线可以作2条.
故选： .
学科网（北京）股份有限公司题型五：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则
正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点 ，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得
，结合 计算即可求解.
【详解】设 ，则 ，
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
又该切线过原点，所以 ，
整理得 ①，因为曲线 只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故 ，解得 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的
几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.
2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点 可以作三条直线与曲线
相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点，表示出切线方程，将点 代入，则关于切点横坐标的方程有三个实
根，通过分离参数，将问题转化为两个函数图象有三个不同交点的问题求解即可．
【详解】由 ，得 ，
设切点为 , ，过切点的切线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司代入点 坐标化简为 ，即这个方程有三个不等式实根，
令 ，求导得到 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，或 ，
故函数 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故得 ,结合 ， ，
当 时， ， 时， ，
得 ，
故选：D．
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过点 可作曲线 的三条不同的切
线，实数 的取值范围为 .
【答案】 或 或 .
【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，将 代入切线方程得
即可将问题转化为 有两个不相
等的实数根，且 利用判别式即可求.
【详解】由 .
设切点为 则曲线在点 的切线方程为
.
又因为切线过点 代入切线方程得 即
所以
即方程 有两个不相等的实数根，且
所以 解得 或 或
学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或 或 .
4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）若曲线 有且仅有两条过点 的切线，
则实数a的值为 .
【答案】 /
【分析】
构造新函数 ，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数 的取值.
【详解】设点 为曲线 上一点，则
又 ，则 ，
则曲线 在点 处的切线方程为
，又切线过点 ，
则 ，即
令 ，则 ，
则 时 ， 单调递减；
时 ， 单调递增；
时 ， 单调递减，
则 时 取得极小值 ， 时 取得极大值 ，
又 ，
当 时， 恒成立， 时， ，
又由题意得方程 有2个根，
则 与 图像有2个交点，则 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点 是曲线 上任意一点，则点 到直线
的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】问题转化为过点 的切线与直线 平行时，点P到直线 的距离最
小，利用导数的几何意义求得点 的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】因为点 是曲线 上任意一点，
所以当点 处的切线和直线 平行时，点 到直线 的距离最小．
因为直线 的斜率等于1，曲线 的导数 ，
令 ，可得 或 (舍去)，
所以在曲线 上与直线 平行的切线经过的切点坐标为 ，
所以点P到直线 的最小距离为 .
故选：D.
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）函数 图象上的点到直线 的距离的
最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设与直线 平行且与函数 图象相切的直线方程为： ，利用
导数的几何意义求得切点 ，再求出切点 到直线 的距离，即得答案.
【详解】解：设与直线 平行且与函数 图象相切的直线方程为： ，
学科网（北京）股份有限公司设切点为 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以切点 ，
又因为点 到直线 的距离为 ，
所以函数 图象上的点到直线 的距离的最小值是 .
故选：B.
3．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）若点P是曲线 上任意一点，则点P
到直线 的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出平行于 的直线与曲线 相切的切点坐标，再利用点到直线的距离
公式可得结论．
【详解】设 ，函数 的定义域为 ，求导得 ，
当曲线 在点 处的切线平行于直线 时， ，
则 ，而 ，解得 ，于是 ，
平行于 的直线与曲线 相切的切点坐标为 ，
所以点 到直线 的最小距离即点 到直线 的距离 ．
故选：D
4．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线 和曲线 上的点，则 的
最小值为 ．
【答案】 /
【分析】由题意 的最小值为 到直线 上距离的最小值，再设 ，则当
处的切线与 平行时取得最小值.
【详解】由题意 的最小值为曲线上点 到直线 距离的最小值，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 为增函数，
令 则 ，故当 时 ， 单调递减；当 时 ，
单调递增.
故 ，即 在曲线 下方.
则当 处的切线与 平行时 取得最小值.
设 ，对 求导有 ，由 可得 .
故当 时取最小值 .
故答案为：
题型七：公切线问题
1．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线 是曲线 与
曲线 的公切线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】设 是 图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线 上的
切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知直线 是曲线 与曲线 的公切
线，
设 是 图象上的切点， ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ①
令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司即直线 与曲线 的切点为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时，①为 ，不符合题意，舍去，
所以 ，此时①可化为 ，所以 ，
故选：A
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线 与曲线 都相切，则实
数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.
【详解】由 得 ，由 得 ，
设过原点的直线 分别与曲线 相切于点 ，
则由导数的几何意义得 ，且 ，故 ，所以直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
代入 得 .
故选：D
3．（2024·辽宁·二模）已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点
处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
【答案】
【分析】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到
，从而求出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
【详解】设公共点为 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ， ，所以 ， ，
又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，所以 ，
则 ， ，
则 ，
则 ，所以切线方程为 ，即 .
故答案为： ；
4．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线 既是曲线 的切线，也是
曲线 的切线，则 .
【答案】 /
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设曲线 与 的切点分别为 ，
易知两曲线的导函数分别为 ， ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
三、专项训练
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 在 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.
【详解】由 ，求导得 ，当 时， ，
由曲线 在 处的切线与直线 垂直，得 ，
所以 .
故选：C
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线 在点 处的切线与直线
垂直，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
由 ，则 ，
所以 .
故选：A
3．（23-24高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）曲线 ，在点 处的切
线斜率为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据导数的运算求解导函数 ，再根据导数的几何意义求切线斜率即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则曲线在点 处的切线斜率为 .
故选：A.
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数 的图像与 轴相交于点 ，则该曲线在
点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，即 ，即 ，解得 ，
故 ， ，则 ，
则其切线方程为： ，即 .
故选：C.
5．（23-24高二下·浙江·期中）函数 在点 处的切线方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为 ,所以 ，所以 ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 ，
故选：B.
6．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知直线 与曲线 相切
于点 ，则 （ ）
A．-3 B．-1 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意知 在曲线 上，可求出a，利用导数的几何意义即
可求得切线斜率，结合切点坐标，即可求得答案.
【详解】由题意知 在曲线 上，故 ，
即 ，则 ，则 ，
则切线方程为 ，将 代入，得 ，
故选：B
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线 上的点到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点 ，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司设该曲线在点 处的切线为 ，
需求曲线到直线 的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以 ，解得 ，则切点为 ，
故切线 的方程为 ，即 ，
所以直线 到直线 的距离为 ，
即该曲线上的点到直线 的最小距离为 .
故选：C
8．（2024高三·全国·专题练习）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－3
【答案】B
【分析】对在某点处的切线方程该点为切点，根据导数几何意义该点处的导数为切线的斜
率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程.
【详解】由 ，得 ，
所以曲线在点 处的切线斜率为 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
故选：B.
9．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得 ，借助导数得到函数
的值域即可得解.
【详解】对于 ，有 ，令切点为 ，则切线方程为 ，
即 ，即有 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司又当 趋向于正无穷大时， 趋向于负无穷，
故 ，即 .
故选：A.
10．（多选）（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）若点 是曲线 上任意一点，
点 是直线 上任意一点，下列选项中， 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】借助导数的几何意义计算出与 相切且平行于 的直线方程，
结合两直线间的距离公式即可得曲线 上任意一点与直线 上任意一点
的距离的最小值，即可得解.
【详解】令 ，则 ，
因为 的斜率为 ，
令 ， ，即 ，解得 或 （舍），
因为 ，
则过点 且与直线 平行的切线为 ，即 ，
该直线与直线 的距离为 ，
所以曲线 上任意一点到直线 上任一点的距离最小值为 ，
即 .
故选：ACD
11．（2024·湖北·模拟预测）写出函数 的一条斜率为正的切线方程：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与
切点坐标即可得切线方程.
【详解】 ， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司取切点为 ，则斜率为 ，
又 ，
则切线方程为： ，即 .
故答案为： （答案不唯一）
12．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数 ，若第一象限内的点 在
曲线 上，则 到直线 的距离的最小值为 .
【答案】 /
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求得过点P的直线和 平行
时的切点的坐标，即可求得切线方程，继而求得两平行线间的距离，即可得答案.
【详解】由 ，可得 ，又点 在曲线 上，
设 ，则过点P和 平行的切线的斜率为4，
令 ，则
即得 在P处的切线方程为 ，即 ，
故 和 间的距离为
故 到直线 的距离的最小值为 ，
故答案为：
13．（23-24高二下·河南三门峡·阶段练习）若直线 是曲线 的切线，
也是曲线 的切线，则 .
【答案】 /
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得 .将切点代入两条曲
线，联立方程可分别求得 ,代入其中一条曲线即可求得 的值，由此可求 .
【详解】直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则两个切点都在直线 上，设两个切点分别为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又 ， ，则 ， ，
由导数的几何意义可知 ，则 ，
且切点在各自曲线上,所以
则将 代入 可得
可得 ，
由 可得 ，
代入 中可知 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
【答案】
【分析】设出两曲线的切点 和 ，由导数的意义可
得 ，再由点斜式得出公切线方程 ，把点 代入直线方程可得
，构造函数 ，求导分析单调性得到 ，进
而得出 ，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点
为 .
因为 ，
则公切线的斜率 ，所以 .
因为公切线的方程为 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司将 代入公切线方程得 ，
由 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， 0，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，
故公切线方程为 ，即 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司
