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第 05 讲 点与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1. 掌握点与圆的位置关系，能够熟练判断点与圆的位置的位置关系以
①点与圆的位置关系 及根据关系求值。
②确定圆的条件 2. 掌握确定圆的条件有哪些方法，能够熟练的根据各种条件作图。
③三角形的外接圆与外心 3. 掌握三角形的外接圆与外心的性质，能够熟练的用其进行线段和角
④反证法 度的计算。
4. 掌握反证法，并能够在相关的题目中熟练的应用反证法证明。
知识点01 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：（1）如图1：d＞r 点在 。
（2）如图2：d r 点在圆上。
（3）如图3：d＜r 点在 。
【即学即练1】
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作 C，则点A与 C的位置
关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点A在 C内 B．点A在 C上 C．点A在 C外 D．无法确定
【即学即练2】
⊙ ⊙ ⊙
2．已知点P为平面内一点，若点P到 O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 O的半径为 ．
知识点02 确定圆的条件
⊙ ⊙
1. 确定圆的条件：
①由不在 上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的 的交点
处。
②确定 与 能确定唯一的圆。
③已知圆的 能确定唯一的圆。
【即学即练1】
3．下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
【即学即练2】
4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点 D在直线AB外，过这四个点中的任意 3个，能画的圆有
（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个
【即学即练3】
5．已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．知识点03 三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 ，则此时三角形是圆的 ，圆是三角
形的 。
2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 即是三角形的外心。是三角形三条边的 的交点。所
以到三角形三个顶点的距离 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【即学即练1】
6．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°，则∠C的度数等于（ ）
⊙
A．35° B．40° C．55° D．65°
【即学即练2】
7．如图，△BCD内接于 O，点B是 的中点，CD是 O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长
为（ ）
⊙ ⊙
A．5 B． C． D．
知识点04 反证法
1. 反证法的一般步骤：①先假设命题的结论不成立；
②由假设出发，经过逻辑推理，得出与基本事实、定理，定义或已知条件矛盾的结论；
③由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立。
这种方法叫做 反证法 。
【即学即练1】
8．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整．
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B
证明：假设 ．
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴ ＝180°﹣∠ACB．
∵∠ACD+ ＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣ ，
∴∠ACD＝ ．
与假设相矛盾，
∴假设
∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B．
题型01 确定点与圆的位置关系
【典例1】已知 O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙
【变式1】已知⊙ O的半径r＝3，PO⊙＝ ，则点P与 O⊙的位置关系是（ ）
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．不能确定
⊙ ⊙
【变式2】已知 O的半径为4，OP＝3，则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．不能确定
⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙
【变式3】如图， O中，弦AB的长为4 ，点C在 O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°． O所在的平面
内有一点P，若OP＝5，则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若圆C是以点C
⊙ ⊙ ⊙
为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ）
A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外
B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C．点A，B，D均在圆C外
D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
题型02 根据点与圆的位置关系求值
【典例1】已知 O的半径为5，点P在 O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
⊙ ⊙
【变式1】已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作 A，
若B、C、D三点中只有一点在 A内，则 A的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4
⊙ ⊙
【变式3】如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．
如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为
（ ）
A．2 ＜r＜ B． ＜r≤3 C． ＜r＜5 D．5＜r＜
题型03 确定圆的条件以及作图
【典例1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【变式1】已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、
C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
【变式2】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆
的个数为（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【变式3】如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一
个圆上．
【变式4】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
题型04 利用三角形的外界圆与外心求角度
【典例1】如图，△ABC内接于 O，CD是 O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
⊙ ⊙A．36° B．33° C．30° D．27°
【变式1】如图，△ABC内接于 O，AC为直径，半径OD∥BC，连结OB，AD．若∠BAC＝15°，则
∠CAD的度数为（ ）
⊙
A．35° B．37.5° C．70° D．75°
【变式2】如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA，点E在线段OA上，OE
＝OD，连接DE，若∠ABC＝75°，∠OED＝20°，则∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
题型05 利用三角形的外界圆与外心求线段
【典例1】如图，△ABC内接于 O，连接AO并延长交BC于点D，交 O于点E，若DE＝1，AD＝5，
∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．3 C．4 D．5
【变式1】如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD为 O的直径，AD＝8，那么AB的值
为（ ）
⊙ ⊙A．4 B． C． D．2
【变式2】如图， O是△ABC的外接圆，点D在圆上，若∠ABC＝60°， ，若 O的半径为3，
则弦AD的长为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C．4 D．
题型04 反证法的应用
【典例1】用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于等于90°
【变式1】用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平
分．
1．已知 O的半径为5，点P在 O内，则OP的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
⊙ ⊙2．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能有两个直
角”，应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角是直角
B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角
D．三角形中不能有内角是直角
3．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；
④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
4．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离
为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．a B．b C．a+b D．a﹣b
5．如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝30°，在 上取点D（不与点A，B重合），连接
BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
⊙
A．60° B．105° C．75° D．72°
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标
是（ ）
A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2）
7．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可
能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有
2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）A．0＜r≤1 B．1＜r≤ C．1＜r≤2 D． ＜r≤2
9．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，
则线段CP的长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
10．如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，D为弧AC的中点，连接OD，BD，E为AC与OD的交
点，给出下列结论：①AE＝CE；②OE＝DE；③OD∥BC；④BD平分∠ABC．其中正确的有（
⊙ ⊙
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，△ABC内接于 O，CD是 O的直径，∠ACD＝40°，则∠B °．
⊙ ⊙
12．平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 确定一个圆，（填
“能”或“不能”）．
13．如图，A是 O外一点，连接OA交 O于点B，D是OA的中点，C是 O上一点且满足CD＝OD，
分别连接AC，BE，CE，若∠A＝24°，则∠E＝ °．
⊙ ⊙ ⊙14．将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且
B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
15．如图，锐角三角形ABC内接于 O，OD⊥BC于点D，连结AO并延长交线段BD于点E（点E不与点
B，D重合），设∠ABC＝m∠DOE，∠ACB＝n∠DOE（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为
⊙
．
16．如图，△ABC是 O的内接三角形，AB为 O的直径，CD平分∠ACB，交 O于点D，连接AD，点
E在弦CD上，且ED＝AD，连接AE．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠BAE＝∠CAE；
（2）若∠B＝60°，AB＝8，求AE的长．
17．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求
A的半径r的取值范围．
⊙18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的 O交AC于另一点D，作直
径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．
⊙
（1）求证：AB＝BF．
（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求 O的直径长．
⊙
19．阅读下列材料：
平面上两点P （x ，y ），P （x ，y ）之间的距离表示为|P P |＝ ，称为平
1 1 1 2 2 2 1 2
面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设 P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上
任意一点，则点P适合的条件可表示为 ＝r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝
r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．
例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．
（1）求出圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程。
（2）若已知 C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与 C的位置关
系．
⊙ ⊙
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D．连接BD，AE⊥BD于点
E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BAF＝∠ABF；
（2）当AE＝1，BE＝2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．
