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第 05 讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质
1. 了解直线与圆的三种位置关系；
2. 了解圆的切线的概念；
3. 掌握直线与圆位置关系的性质。
知识点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
知识点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
O
∴ 是⊙ 的切线
M A N
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推
出最后一个。知识点3 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的
连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线 B
∴ ； 平分
O
P
A
知识点4 三角形的内切圆和内心
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内
心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2
。
1
r(a+b+c)
（3）S =2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B C
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【典例1】（2023•滨江区二模）已知 O的直径为4，圆心O到直线l的距离为
2，则直线l与 O（ ）
⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知 O半径为4cm，若直线上一点
P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm，如果圆心与直线
上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知 O的半径等于5，圆心O到直
线l的距离为4，那么直线l与 O的公共点的个数是（ ）
⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
⊙
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在 O
上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的半径为2，则BD
⊙
的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．4 C． D．
【变式 2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形 OABC的顶点 A，B，C在
O上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的半径为2，则
BD的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 B．4 C． D．
【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是 O的直径，AC是 O的切
线，连接OC交 O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（
⊙ ⊙
）
⊙A．2 B．2 C．3 D．3
【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O
是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆， O恰好与AC相切于
⊙
点D，连接BD．若BD平分∠ABC， ，则线段AB的长是（ ）
A． B． C．3 D．6
【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以
AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的
度数为（ ）
A．42° B．45° C．46° D．48°
【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为 O的直径，直线CD与 O相切于点
C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
⊙ ⊙A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与 O相切于点A，B为 O上一点
BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．40° C．25° D．50°
【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是 O的直径，C、D是 O上的点，
∠E＝40°，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠CDB 等于（
⊙ ⊙
）
⊙
A．25° B．30° C．35° D．40°
【题型3切线的判定】
【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的 O
交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是 O的切线．
⊙
⊙
【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的
O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．
求证：DE是 O的切线．
⊙
⊙【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是 O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD
＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是 O的切线．
⊙
⊙
【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是 O的直径，点F在 O上，∠BAF
的平分线AE交 O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点 D，延长
⊙ ⊙
DE、AB相交于点C．
⊙
求证：CD是 O的切线．
⊙
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形 ABCD内接于 O，BD是
O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
⊙
（1）求证：AE是 O的切线；
⊙
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求 O的半径．
⊙
⊙【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与 O相切于点A，延长
AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
（2）若 O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
⊙
⊙
【变式 5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB 是 O 的直径，CD＝CB，
AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连
⊙
接AD．
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
⊙
【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边
AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且
BC＝BE．（1）求证：AB是 O的切线．
（2）若AE＝24，BE＝15，求 O的半径．
⊙
⊙
【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
【典例6】（2022秋•金东区期末）如图， O是△ABC的内切圆，点D、E分
别为边AB、AC上的点，且DE为 O的切线，若△ABC的周长为25，BC的
⊙
长是9，则△ADE的周长是（ ）
⊙
A．7 B．8 C．9 D．16
【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角
形的纸片，BC＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在 O的右侧沿
着与 O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（
⊙ ⊙
）
⊙
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，PA，PB分别切 O于点A，B，CD
切 O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为
⊙
（ ）
⊙A．5 B．7 C．12 D．10
【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于
点 A、B，CD 切 O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA＝8，则
⊙ ⊙
△PCD的周长为（ ）
⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
【题型6 三角形的内切圆与内心】
【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A
＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．140° B．135° C．125° D．110°
【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数
学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几
何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角
边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”
此问题中，该内切圆的直径长是（ ）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分
别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（ ）
A．36° B．53° C．74° D．128°
【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C
＝90°， O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则 O的面
积为（ ）（结果保留 ）
⊙ ⊙
π
A． B．2 C．3 D．4
【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图， O是△ABC的内切圆，切点
π π π π
分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则 O的半径是（ ）
⊙
⊙
A．1 B． C．2 D．2
1．（2023•眉山）如图，AB切 O于点B，连结OA交 O于点C，BD∥OA交
O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
⊙ ⊙
⊙A．25° B．35° C．40° D．45°
2．（2023•重庆）如图，AB为 O的直径，直线CD与 O相切于点C，连接
AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2022•河池）如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝
25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．25° B．35° C．40° D．50°
4．（2023•滨州）如图，PA，PB 分别与 O 相切于 A，B 两点，且∠APB＝
56°，若点C是 O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 ．
⊙
⊙
5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点
C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值
为 ．6．（2023•浙江）如图，点A是 O外一点，AB，AC分别与 O相切于点B，
⊙ ⊙
C，点D在 上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 ．
7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内， A与x轴相切于点B，与y轴相
交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
⊙
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知 A的半径为4，OB＝ ，求弦CD的长．
⊙
8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分
∠CAB交 O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点
⊙
F．连接BD并延长交AC于点M．
⊙
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的 O与线段BC
交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于
⊙
点P．
（1）求证：直线PE是 O的切线；
（2）若 O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
⊙
⊙
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1．（2022秋•江夏区校级期末）已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离
为4，那么直线l与 O的公共点的个数是（ ）
⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
⊙
2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在 A内 B．直线BC与 A相离
C．点C在 A上 D．直线BC与 A相切
⊙ ⊙
3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆
⊙ ⊙
放，一个顶点O与 O的圆心重合，一条直角边AB与 O相切，切点为B．
将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在 O上，
⊙ ⊙
边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（ ）
⊙
A．60° B．65° C．85° D．90°
4．（2023•船营区一模）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，过点C的
切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．15° B．20° C．30° D．45°
5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝
8，则△ABC的内切圆的半径r是（ ）A．2 B．3 C．4 D．无法判断
6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，
则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC
＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在 O的右侧沿着与 O相切的
任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形 ABCD是 O的外切四边形，且
AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
⊙
9．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，若
∠APB＝60°，PO＝2，则 O的半径等于 ．
⊙
⊙
10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．求证：
⊙DE是 O的切线．
⊙
11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径
作半圆 O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延
长线于点F．求证：EF是 O的切线．
⊙
⊙
12．（2022•东明县一模）已知，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径
的 O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是 O的切线．
⊙
（2）当BC＝10，AD＝4时，求 O的半径．
⊙
⊙
13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE
平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D， O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）若AD＝2，AE＝4，求 O的半径长．
⊙
⊙14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为 O的直径，CB是 O的切线，CB＞
⊙ ⊙
AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝ BC．
（1）求证：DE为 O的切线；
（2）若CE＝2，EB＝8，求 O的半径．
⊙
⊙
