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第 05 讲 点与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1. 掌握点与圆的位置关系，能够熟练判断点与圆的位置的位置关系以
①点与圆的位置关系 及根据关系求值。
②确定圆的条件 2. 掌握确定圆的条件有哪些方法，能够熟练的根据各种条件作图。
③三角形的外接圆与外心 3. 掌握三角形的外接圆与外心的性质，能够熟练的用其进行线段和角
④反证法 度的计算。
4. 掌握反证法，并能够在相关的题目中熟练的应用反证法证明。
知识点01 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：（1）如图1：d＞r 点在 圆外 。
（2）如图2：d ＝ r 点在圆上。
（3）如图3：d＜r 点在 圆内 。
【即学即练1】
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作 C，则点A与 C的位置
关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点A在 C内 B．点A在 C上 C．点A在 C外 D．无法确定
【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝ ＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在 C内，
故选：A．
⊙
【即学即练2】
2．已知点P为平面内一点，若点P到 O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 O的半径为 2 或
3 ．
⊙ ⊙
【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．
【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；
当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．
所以 O的半径为2或3．
故答案为：2或3．
⊙
知识点02 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：
①由不在 同一直线 上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的 垂直平分线
的交点处。
②确定 圆心 与 半径 能确定唯一的圆。
③已知圆的 直径 能确定唯一的圆。
【即学即练1】
3．下列条件中不能确定一个圆的是（ ）A．圆心与半径 B．直径
C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可．
【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D．
【即学即练2】
4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点 D在直线AB外，过这四个点中的任意 3个，能画的圆有
（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆解答．
【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，
∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，
故选：C．
【即学即练3】
5．已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．
【分析】连接AB，作出AB的垂直平分线交直线a于O点，以O为圆心，OA为半径作圆．
【解答】解：作图如右：
知识点03 三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 圆上 ，则此时三角形是圆的 内接三角形 ，圆是三角形的
外接圆 。2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 圆心 即是三角形的外心。是三角形三条边的 垂直平分线 的交点。所以到
三角形三个顶点的距离 相等 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【即学即练1】
6．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°，则∠C的度数等于（ ）
⊙
A．35° B．40° C．55° D．65°
【分析】连接OA，根据OA＝OB可知，∠OAB＝∠ABO，再由三角形内角和定理求出∠AOB的度数，
根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝180°﹣70°＝110°，
∴∠C＝ ∠AOB＝ ×110°＝55°．
故选：C．
【即学即练2】
7．如图，△BCD内接于 O，点B是 的中点，CD是 O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长
为（ ）
⊙ ⊙A．5 B． C． D．
【分析】连接OA，先根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC＝60°，从而可得△AOC是等边三角形，根
据等边三角形的性质可得AC＝OC＝4，从而可得DC＝2OC＝8，然后根据直径所对的圆周角是直角可
得∠CBD＝90°，再根据已知可得 ＝ ，从而可得CB＝BD，最后根据等腰直角三角形的性质进行计
算即可解答．
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OC＝4，
∴DC＝2OC＝8，
∵CD是 O的直径，
∴∠CBD＝90°，
⊙
∵点B是 的中点，
∴ ＝ ，
∴CB＝BD，
∴BC＝ ＝4 ，
故选：B．
知识点04 反证法
1. 反证法的一般步骤：
①先假设命题的结论不成立；
②由假设出发，经过逻辑推理，得出与基本事实、定理，定义或已知条件矛盾的结论；③由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做 反证法 。
【即学即练1】
8．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整．
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B
证明：假设 ∠ ACD ≠∠ A + ∠ B ．
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴ ∠ A + ∠ B ＝180°﹣∠ACB．
∵∠ACD+ ∠ ACB ＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣ ∠ ACB ，
∴∠ACD＝ ∠ A + ∠ B ．
与假设相矛盾，
∴假设 不成立
∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B．
【分析】根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明．
【解答】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B．
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB．
∵∠ACD+∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B．
故答案为：∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B，不成立．
题型01 确定点与圆的位置关系
【典例1】已知 O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
⊙ ⊙ ⊙【解答】解：∵ O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
⊙
∴点P在 O外．
故选：C．
⊙
【变式1】已知 O的半径r＝3，PO＝ ，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．不能确定
⊙ ⊙
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半
⊙ ⊙ ⊙
径）．
【解答】解：∵OP＝ ＞3，
∴点P与 O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
⊙
【变式2】已知 O的半径为4，OP＝3，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．不能确定
⊙ ⊙
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半
⊙ ⊙ ⊙
径）．
【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与 O的位置关系是点P在圆内．
故选：A．
⊙
【变式3】如图， O中，弦AB的长为4 ，点C在 O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°． O所在的平面
内有一点P，若OP＝5，则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙
A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙ ⊙
【分析】先根据垂径定理得出AD＝BD＝ AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝
30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点
与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：设AB与OC交于点D，
∵弦AB的长为4 ，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2 ，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴OA＝2OD，
设OD＝x，则OA＝2x，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2 ）2＝（2x）2，
解得x＝±2（负值舍去），
∴OA＝2x＝4，
∵OP＝5，
∴OP＞OA，
∴点P在圆外．
故选：C．
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若圆C是以点C
为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ）
A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外
B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C．点A，B，D均在圆C外
D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式求出CD的长，根据点与圆的位置关系
即可得出结论．
【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝ ＝2 ，
∴CD＝ ＝．
A、∵ ＜2，
∴点D在圆内，故本选项错误；
B、∵ ＜2＜4，
∴点D在圆C内，点A在圆C外，B在圆上，故本选项错误；C、∵ ＜2，
∴点D在圆内，故本选项错误；
D、∵ ＜2＜4，
∴点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上，故本选项正确．
故选：D．
题型02 根据点与圆的位置关系求值
【典例1】已知 O的半径为5，点P在 O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
⊙ ⊙
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为5，点P在 O外，
∴OP＞5，
⊙
故选：D．
【变式1】已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距
离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【解答】解：∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作 A，
若B、C、D三点中只有一点在 A内，则 A的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4
⊙ ⊙
【分析】由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r
的长度为AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在 A内，据此即可解答
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，
⊙
∴ ，
∵D为AB的中点，
∴ ．由图可知，当 A的半径 时，点D在 A上，
当 A的半径r＝AC＝4时，点C在 A上，点D在圆内，
⊙ ⊙
当 A的半径r＝AB＝5时，点B在 A上，点C、D在圆内，
⊙ ⊙
⊙ ⊙
当 A的半径满足 时，点D在 A内，
当 A的半径满足4＜r≤5时，点C、D在 A内，
⊙ ⊙
当 A的半径满足r＞5时，点B、C、D在 A内，
⊙ ⊙
⊙ ⊙
∴若B、C、D三点中只有一点在 A内，则 A的半径r的取值范围是 ．
故选：A．
⊙ ⊙
【变式3】如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．
如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为
（ ）
A．2 ＜r＜ B． ＜r≤3 C． ＜r＜5 D．5＜r＜
【分析】首先选取离A最近的四个点标记为D、E、B、F，根据勾股定理算出这四个点与A的距离d，
根据点与圆的位置关系：d＝r，则点在圆上，d＞r，则点在圆外，d＜r，则点在圆内，即可得答案．
【解答】解：根据题意画出示意图：
∵由勾股定理可得：
AD＝ ＝2 ，AE＝AF＝ ，AB＝3 ，
∴AB＞AE＞AD，
∵题目要求除A外恰好有3个点在圆内，
∴ ＜r≤3 ．以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有D、E、F3个在圆内．
故选：B．
题型03 确定圆的条件以及作图
【典例1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来
一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆
心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【变式1】已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、
C这三个点 能 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否
在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断．
【解答】解：能．理由如下：
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得
，
解得 ，
所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1，
当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7，
所以点C（4，﹣6）不在直线AB上，
即点A、B、C不共线，
所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．
【变式2】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆
的个数为（ ）A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题．
【解答】解：过以下三点可以画出一个圆：
A、B、P，A、C、P，A、D、P，B、C、P，B、D、P，C、D、P．
∴最多可画出圆的个数为6个．
故选：B．
【变式3】如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一
个圆上．
【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心
的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【变式4】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝ cm，
∴圆片的半径R为 cm．
题型04 利用三角形的外界圆与外心求角度
【典例1】如图，△ABC内接于 O，CD是 O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
⊙ ⊙A．36° B．33° C．30° D．27°
【分析】首先连接BD，由CD是 O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，
继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
⊙
【解答】解：连接BD，
∵CD是 O的直径，
∴∠CBD＝90°，
⊙
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选：A．
【变式1】如图，△ABC内接于 O，AC为直径，半径OD∥BC，连结OB，AD．若∠BAC＝15°，则
∠CAD的度数为（ ）
⊙
A．35° B．37.5° C．70° D．75°
【分析】根据圆周角定理和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝15°，
∴∠C＝90°﹣15°＝75°，
∵OC∥BC，
∴∠COD＝∠C＝75°，
∴∠CAD＝ ∠COD＝37.5°，
故选：B．【变式2】如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA，点E在线段OA上，OE
＝OD，连接DE，若∠ABC＝75°，∠OED＝20°，则∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
【分析】延长DO交圆O于点F，连接AF，利用圆周角定理和垂径定理解答即可．
【解答】解：延长DO交圆O于点F，连接AF，如图，
∵∠ABC＝75°，
∴ ，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE＝20°，
∴∠AOF＝2∠OED＝40°，
∴ 的度数为40°，
∴ ，
∵圆O中OD⊥BC于点D，根据垂径定理可得： ，
∴ 的度数为140°，
∴ 的度数为110°﹣40°＝70°，
∴∠ACB＝35°．
故选：B．
题型05 利用三角形的外界圆与外心求线段
【典例1】如图，△ABC内接于 O，连接AO并延长交BC于点D，交 O于点E，若DE＝1，AD＝5，
∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
⊙ ⊙A．4 B．3 C．4 D．5
【分析】作OF⊥BC于F，得BC＝2FC，由DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°，得OA＝OE＝OC＝3，OD
＝3﹣1＝2，由∠ADC＝30°，得OF＝ OD＝1，故BC＝2FC＝2 ＝4 ．
【解答】解：作OF⊥BC于F，
得BC＝2FC，
由DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°，
得OA＝OE＝OC＝3，OD＝3﹣1＝2，
由∠ADC＝30°，
得OF＝ OD＝1，
故BC＝2FC＝2 ＝4 ．
故选：C．
【变式1】如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD为 O的直径，AD＝8，那么AB的值
为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B． C． D．2
【分析】根据AB＝AC，∠BAC＝120°，得出∠C＝30°，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠D＝30°，
根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD＝90°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴ ，
∵ ，
∴∠D＝30°，
∵AD为 O的直径，
∴∠ABD＝90°，
⊙
在Rt△ABD中，AD＝8，∠D＝30°，
∴ ，故选：A．
【变式2】如图， O是△ABC的外接圆，点D在圆上，若∠ABC＝60°， ，若 O的半径为3，
则弦AD的长为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C．4 D．
【分析】根据圆周角定理得到∠AOC＝120°，由 ，得到∠AOD＝3∠DOC，求得∠AOD＝90°，
根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵ ，
∴∠AOD＝3∠DOC，
∴∠AOD＝90°，
∵ O的半径为3，
∴AO＝OD＝3，
⊙
∴AD＝ ＝3 ，
故选：B．
题型04 反证法的应用
【典例1】用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于等于90°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设底角大于等于90°，
故选：D．
【变式1】用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平
分．【分析】利用反证法证明的第一步假设 BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出
BE∥CD，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．
【解答】证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分．
1．已知 O的半径为5，点P在 O内，则OP的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
⊙ ⊙
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵ O的半径为5，点P在 O内，
∴OP＜5．
⊙ ⊙
故选：D．
2．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能有两个直
角”，应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角是直角
B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角
D．三角形中不能有内角是直角
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，第一步先假设三角形中有两个内角是直角，
故选：B．
3．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；
④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据等圆、等弧的概念、确定圆的条件判断即可．
【解答】解：①半径相等的圆是等圆，说法正确；
②长度相等的弧不一定是等弧，故本小题说法错误；
③以2cm长为半径的圆有无数个，说法正确；
④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故本小题说法错误；
故选：B．
4．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离
为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．a B．b C．a+b D．a﹣b
【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同
一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．
【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
5．如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝30°，在 上取点D（不与点A，B重合），连接
BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
⊙
A．60° B．105° C．75° D．72°
【分析】连接CD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABC＝∠ACB＝75°，
然后根据圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD，∠ABD＝∠ACD，所以∠BAD+∠ABD＝∠ACB．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ ×（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BAD＝∠BCD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠BAD+∠ABD＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝75°．
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标
是（ ）
A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2）
【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外
接圆的圆心坐标．
【解答】解：如图所示：点P即为所求；
所以点P的坐标为（5，2）．
故选：D．
7．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可
能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四
点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆画出图形，即可得
出答案．
【解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时n＝1，
②当三点在一直线上时，如图2，
分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即n＝3，
③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时n＝4，
即n不能是2，
故选：C．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有
2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）
A．0＜r≤1 B．1＜r≤ C．1＜r≤2 D． ＜r≤2
【分析】解直角三角形得到BD＝2AB＝2，AD＝ ，如图，当圆O的半径长r＝1时，A、B、C、D四
个点都在圆O上，当圆O的半径长r＝ 时，A、B在圆内，C在圆上，D点在圆外，观察图形即可得
到结论．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，
∴BD＝2AB＝2，AD＝ ，
∵矩形的对角线相等且平分，
∴当圆O的半径长r＝1时，A、B、C、D四个点都在圆O上，
当圆O的半径长r＝ 时，A、B在圆内，C在圆上，D点在圆外，
∴如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是1＜r≤ ，
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，
则线段CP的长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【分析】首先证明点P在以AB为直径的 O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC
即可解决问题．
⊙
【解答】解：如图所示
∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的 O上，当O、P、C共线时PC最小，
在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，
⊙
∴OB＝ AB＝3，
∴OC＝ ，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：A．
10．如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，D为弧AC的中点，连接OD，BD，E为AC与OD的交
点，给出下列结论：①AE＝CE；②OE＝DE；③OD∥BC；④BD平分∠ABC．其中正确的有（
⊙ ⊙
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据垂径定理及其推论，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理逐个判断即可．
【解答】解：∵D为弧AC的中点，
∴CE＝AE，OD⊥AC， ，
故①正确；
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝∠AEO＝90°，
⊙
∴OD∥BC，
故③正确；
∵ ，
∴∠DBC＝∠DBA，
∴④BD平分∠ABC，
故④正确，
没有条件能说明②OE＝DE正确；
∴正确的有3个；故选：B．
11．如图，△ABC内接于 O，CD是 O的直径，∠ACD＝40°，则∠B ＝ 5 0 °．
⊙ ⊙
【分析】根据CD是 O的直径，则∠DAC＝90°，从而有∠D+∠ACD＝90°，从而求得∠D，再根据圆
周角定理即可求解．
⊙
【解答】解：∵CD是 O的直径，
∴∠DAC＝90°，
⊙
∴∠D+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠D＝50°，
∴∠B＝∠D＝50°．
故答案为：＝50．
12．平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填
“能”或“不能”）．
【分析】根据点A、B、C的坐标得到点A、B、C三点在同一条直线上，再根据确定圆的条件判断即可．
【解答】解：∵点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴点A、B、C三点在同一条直线上，
∴点A、B、C三点不能确定一个圆，
故答案为：不能．
13．如图，A是 O外一点，连接OA交 O于点B，D是OA的中点，C是 O上一点且满足CD＝OD，
分别连接AC，BE，CE，若∠A＝24°，则∠E＝ 3 3 °．
⊙ ⊙ ⊙
【分析】连接OC，根据题意可得△AOC是直角三角形，据此可得∠AOC的度数，再根据圆周角定理可
得答案．
【解答】解：如图，OC，
∵D是OA的中点，CD＝OD，∴CD＝ OA，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°，
∴∠E＝ ∠AOC＝33°．
故答案为：33．
14．将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且
B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 2 ．
【分析】由题意可知，AB＝BC＝2，CF＝CH＝HG＝4，取CH的中点O，连接OA，OF，OG，由勾股
定理可得 ，可知点O为A、F、G三点所作圆的圆心，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝BC＝2，CF＝CH＝HG＝4，
取CH的中点O，则OC＝OH＝2，OB＝4，
连接OA，OF，OG，
由勾股定理可得： ， ，
∴OA＝OF＝OG，
即：点O为A、F、G三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为 ，
故答案为： ．
15．如图，锐角三角形ABC内接于 O，OD⊥BC于点D，连结AO并延长交线段BD于点E（点E不与点
B，D重合），设∠ABC＝m∠DOE，∠ACB＝n∠DOE（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为
⊙
m ＝ n ﹣ 1 ．【分析】设∠DOE＝ ，得到∠ABC＝m ，∠ACB＝n ，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣
m ﹣n ，根据平角的定义即可得到结论．
α α α
【解答】解：设∠DOE＝ ，
α α
∴∠ABC＝m ，∠ACB＝n ，
α
∴∠BAC＝180°﹣m ﹣n ，
α α
∵OD⊥BC，
α α
∴∠COD＝∠BAC＝180°﹣m ﹣n ，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2m ，
α α
∴∠AOC+∠COD+∠DOE＝2m +180°﹣m ﹣n + ＝180°，
α
∴n﹣m＝1，
α α α α
∴m＝n﹣1，
故答案为：m＝n﹣1．
16．如图，△ABC是 O的内接三角形，AB为 O的直径，CD平分∠ACB，交 O于点D，连接AD，点
E在弦CD上，且ED＝AD，连接AE．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠BAE＝∠CAE；
（2）若∠B＝60°，AB＝8，求AE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DEA＝∠DAE，根据圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB，进
而证明结论；
（2）连接BD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵ED＝AD，∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DCA+∠CAE＝∠DAB+∠BAE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA＝∠DCB，
由圆周角定理得：∠DAB＝∠DCB，
∴∠DAB＝∠DCA，
∴∠BAE＝∠CAE；
（2）解：如图，连接BD，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
⊙
∵CD平分∠ACB，
∴ ＝ ，
∴AD＝BD＝ AB＝4 ，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠ABC＝60°，
∵ED＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴AE＝AD＝4 ．
17．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求
A的半径r的取值范围．
⊙
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计
算出AE；
（2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断 A的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
⊙∴AC＝BD＝ ＝5，
∵ AF•BD＝ AB•AD，
∴AF＝ ＝ ，
同理可得DE＝ ，
在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F
在圆内，点D、C在圆外，
∴ A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
⊙
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的 O交AC于另一点D，作直
径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．
⊙
（1）求证：AB＝BF．
（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求 O的直径长．
⊙
【分析】（1）连接AF，根据圆周角定理得到AF⊥EG，根据平行四边形的性质得到BD∥EG，推出BD
垂直平分AF，于是得到AB＝BF；
（2）根据直角三角形的性质得到BF＝ BC，求得AB＝ BC，得到∠C＝30°，求得∠ABC＝60°，AB
＝ AC＝ ，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接AF，
∵AE是 O的直径，
∴AF⊥EG，
⊙
∵四边形BDGE是平行四边形，
∴BD∥EG，∴BD⊥AF，
∵∠BAC＝90°，
∴BD是 O的直径，
∴BD垂直平分AF，
⊙
∴AB＝BF；
（2）∵当F为BC的中点，
∴BF＝ BC，
∵AB＝BF，
∴AB＝ BC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝ AC＝ ，
∵AB＝BF，
∴∠ABD＝30°，
∴BD＝2，
∴ O的直径长为2．
⊙
19．阅读下列材料：
平面上两点P （x ，y ），P （x ，y ）之间的距离表示为|P P |＝ ，称为平
1 1 1 2 2 2 1 2
面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上
任意一点，则点P适合的条件可表示为 ＝r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝
r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．
例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，
结合你所学的知识，完成下列各题．
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为： （ x ﹣ 3 ） 2 + （ y ﹣ 4 ） 2 ＝ 4 ；
（2）若已知 C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与 C的位置关
系．
⊙ ⊙【分析】（1）根据圆的标准方程的定义求解即可．
（2）求出AC的长，可得结论．
【解答】解：（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．
（2）由题意圆心为C（2，0），
∵A（3，﹣1），
∴AC＝ ＝ ＜2，
∴点A在 C内部．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D．连接BD，AE⊥BD于点
⊙
E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BAF＝∠ABF；
（2）当AE＝1，BE＝2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．
【分析】（1）先证得∠BAE+∠ABE＝90°，∠BCA+∠ACD＝90°，由圆周角定理的推论得出∠ABE＝
∠ACD，于是推出∠BAE＝∠BCA，根据等边对等角得出∠BCA＝∠ABC，问题得证；
（2）过点A作AG⊥BC于G，设EF＝x，在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出EF的长；设BG＝m，
分别在Rt△ABG和Rt△AFG中根据勾股定理表示出AG2，即可求出m的值，再证△BCD≌△BEF，即
可求出BD的长，根据圆周角定理的推论得出BD为直径，从而得出半径长．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，∴∠BCA+∠ACD＝90°，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠BCA，
∵AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠ABC，
即∠BAF＝∠ABF；
（2）解：如图，过点A作AG⊥BC于G，
由（1）知∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF，
设EF＝x，
∵AE＝1，
∴AF＝AE+EF＝x+1，
∴BF＝x+1，
∵AE⊥BD，
∴由勾股定理得BF2＝BE2+EF2，
∴（x+1）2＝22+x2，
∴x＝ ，
即EF＝ ，
∴AF＝BF＝ ，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝CG＝ ，
设BG＝m，
∴FG＝ ，
在Rt△ABE中，由勾股定理得 ，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＝AB2﹣BG2，在Rt△AFG中，由勾股定理得AG2＝AF2﹣FG2，
∴AB2﹣BG2＝AF2﹣FG2，
∴ ，
解得m＝1，
∴BG＝CG＝1，
∴BC＝2，
∴BE＝BC，
∵∠CBD＝∠EBF，∠BCD＝∠BEF＝90°，
∴△BCD≌△BEF（ASA），
∴BD＝BF＝ ，
∵∠BCD＝90°，
∴BD为 O的直径，
⊙
∴△ABC的外接圆的半径长为 BD＝ ．
