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第 05 讲 相似三角形的性质
课程标准 学习目标
1. 掌握相似三角形对应线段的性质并能够在解决问题时熟练的
①相似三角形对应线段的性质
应用。
②相似三角形的周长的性质
2. 掌握相似三角形的周长和面积的性质，并能够在解决问题时
③相似三角形的面积的性质
熟练的应用。
知识点01 相似三角形对应线段的性质
1. 相似三角形对应线段的比：
相似三角形对应的高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于 。一般的，相似三
角形对应线段的比等于 。
【即学即练1】
1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）A．4.5 B．8 C．12 D．13.5
【即学即练2】
2．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：16 D．16：81
知识点02 相似三角形的周长的性质
1. 相似三角形的周长的性质：
相似三角形的周长的比等于 。
2. 推导：
AB AC BC
= = =k
ΔABC∽ΔA'B'C' A'B' A'C' B'C'
若 ，
C
ΔABC
=
AB+BC+AC
=
AB
=k
C A'B' +B'C' +A'C' A'B'
则
ΔA'B'C'
（等比的性质）
【即学即练1】
3．已知△ABC～△A B C ，△ABC 和△A B C 的相似比为 3：1，则△ABC 和△A B C 的周长比为
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（ ）
A．9：1 B．6：1 C．3：2 D．3：1
【即学即练2】
4．已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
知识点03 相似三角形的面积的性质
1. 相似三角形的面积的性质：
相似三角形的面积比等于 。
2. 推导：
BC AD
= =k
ΔABC∽ΔA'B'C' B'C' A'D'
，
若
1
BC⋅AD
S 2
ΔABC
=
=k⋅k=k2
S 1
ΔA'B'C' B'C' ⋅A'D'
2
则
【即学即练1】5．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【即学即练2】
6．已知△ABC∽△A B C ，且 ＝ ．若△ABC的面积为4，则△A B C 的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B．6 C．9 D．18
题型01 利用相似的性质求线段比
【典例1】如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【变式1】若两个相似三角形周长的比为1：3，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【变式2】若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81
题型02 利用相似三角形的性质求线段长度
【典例1】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，若△ABE∽△DEF，AB＝6，DE＝2，
DF＝3，则AE的长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．4
【变式1】如果△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积分别是25和36，其中△ABC的最短边的长度是
5，那么△DEF的最短边的长度是（ ）
A．16 B．25 C．5 D．6
【变式2】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，其中 ，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【变式3】如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点 B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，
则AB的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型03 利用相似的性质求周长和面积的比
【典例1】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（ ）
A．1：4 B．1： C．2：1 D．1：2
【变式1】两个相似三角形的相似比为4：9，则它们的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．
【变式2】若△ABC∽△DEF且周长之比1：3，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：3 B． C．1：9 D．3：1
【变式3】若△ABC∽△DEF，且S△ABC ：S△DEF ＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C． ：2 D．2：
题型04 利用相似的性质求周长和面积
【典例1】已知△ABC∽△DEF，相似比为1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．45
【变式1】△ABC∽△DEF，且 ，若△ABC面积为4，则△DEF的面积是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．18
【变式2】△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面
积为（ ）
A．15 B．14.4 C．12 D．10.8
【变式 3】小康利用复印机将一张长为 5cm，周长为16cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形长为
10cm，则放大后的矩形周长为（ ）
A．16cm B．21cm C．32cm D．42cm
1．如图，若△ABC∽△DEF，则∠B的度数是（ ）A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如果两个相似三角形对应面积的比为10：9，则这两个三角形对应周长的比是（ ）
A．10：9 B．5：4.5 C． D．
3．如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠ADC
B．
C．CA平分∠BCD
D．AC是BC、CD的比例中项
4．已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝
∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
6．如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．81：16 B．3：2 C．1：1 D．9：4
7．已知△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18cm2和8cm2，若AB＝6cm，则DE的长为（ ）
A． B．4cm C．9cm D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，且AB＝3OD，若点A的坐标为（﹣2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B． C．（1，0） D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°， ，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，△ADE与
△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．2或
10．如图，平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），C为AB的中点，D在x轴上，若以A，C，D组
成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（4，0）或
C．（3，0）或 D．（3，0）或（﹣1，0）
11．如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周
长为 cm．
12．如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且 ，若S△ADE ＝1，则
S△ABC ＝ ．13．△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是6、7、8，边AB上有一点M，AM＝2，过点M的直线截
△ABC其它边的交点是点N，如果截得的△AMN相似于△ABC，那么CN的长为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD
的最大值为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝3，CD＝7．E是CD边上的一个动点，
若△ADE与△BCE相似，则DE的最大值为 ，最小值为 ．
16．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH
和DG的比．
17．如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2．
（1）求EF的长．
（2）求证：∠BEF＝90°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D．
（1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长；
（2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长．
19．四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这
条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四
边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于
点F
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AC＝3，AB＝5．
①求CE的长；
②点P是AF延长线上一点，若△CEF与△BPF相似，请直接写出FP的长．
