2025 年中考第三次模拟考试（苏州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题
卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的
答案一律无效，不得用其他笔答题；
4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列计算结果相等的为（ ）
A．23和32 B．﹣23和|﹣2|3
C．﹣32和（﹣3）2 D．（﹣1）2和（﹣1）4
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方、绝对值解决此题．
【详解】解：A．根据有理数的乘方，得23＝8，32＝9，那么23≠32，故A不符合题意．
B．根据有理数的乘方以及绝对值，得﹣23＝﹣8，|﹣2|3＝23＝8，那么﹣23≠|﹣2|3，故B不符合题意．
C．根据有理数的乘方，得﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，那么﹣32≠（﹣3）2，故C不符合题意．
D．根据有理数的乘方，得（﹣1）2＝1，（﹣1）4＝1，那么（﹣1）2＝（﹣1）4，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方、绝对值，熟练掌握有理数的乘方、绝对值是解决本题的关键．
2．已知一种计算机每秒可做4×108次运算，则它工作3×103秒可运算的次数为（ ）
A．12×1024 B．1.2×1012 C．12×1012 D．【答案】B
【分析】根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：由题意可知：它工作3×103时的运算次数为：4×108×3×103=12×1011=1.2×1012，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则时解决本题的关键．
3．如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图，解题的关键是掌握从上面看到的图形是俯视图．
【详解】解：根据题意可得：
这个几何体可能是
“ ”，
故选：A．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A．a3 ⋅a4=a12 B．a5÷a=a5 C． D．(a3) 2 =a6
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类
项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项计算后利用
排除法求解．
【详解】解：A、应为a3 ⋅a4=a7，故本选项错误；B、应为a5÷a=a4，故本选项错误；
C、 不是同类项不能合并，故本选项错误；
D、(a3) 2 =a6，故本选项正确．
故选D．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，熟练掌握运算
性质是解题的关键．
5．已知关于x的方程 ＝3的解是正数，则m的取值范围为 ( )
A．m ＞−6 B． m <−6 C．m＞−6且m≠−4 D．m < −6且 m≠ −4
【答案】C
【分析】先求出方程的解，再根据解为正数列出不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解： ＝3
去分母得，2x+m=3x−6，
移项合并得，x=m+6，
∵x＞0，
∴m+6＞0，
m＞−6，
∴x−2≠0，
∵x≠2，
∴∴m+6≠2，
m≠−4，
∴m的取值范围为m＞−6且m≠−4，
∴故选C．
【点睛】考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤（去分母、去括号、称项、合并同类项、化系
数为1和验根）是解题的关键．
6．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC=110°，则∠A的度数为
（ ）．A．35° B．40° C．50° D．70°
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定
理是解题的关键．由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，利用三角形内角和即可求
得∠A．
【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−2(∠OBC+∠OCB)
=180°−2×(180°−∠BOC)
=180°−2×(180°−110°)
=40°
故选：C．
7．某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.
这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．45，40 B．38，39 C．38，38 D．45，38
【答案】B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】解：这组数据从小到大排列此数据为：37、38、38、40、41、45，数据38出现了两次最多为
众数，38和40处在第三位和第四位，他们的平均数为39，所以39为中位数．
所以这组数据的众数是38，中位数是39．
故选：B．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，
然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数
个则找中间两位数的平均数，注意众数可以不止一个．
8．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，AC=2√2，AD=1，F是 的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段 长度的取值范围是（ ）
4−√2 4+√2
A． ≤AF≤ B．2≤AF≤3
2 2
4−√2 2−√2 2+√2
C． ≤AF≤3 D． ≤AF≤
2 2 2
【答案】A
【详解】过点A以AE长为半径作圆，可知当AF最大与最小时，E点与AB共线，由此可得出AF的范
围
本题解析：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图:
结合图形可知：
①当E落在E′位置时，AF最大，
ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ACB= ADE=90∘,AC=2√2，AD=1，
∵△ ∠ ∠
AB=√AB2+BC2=4, AE=AE＇=√AD2+DE2=√2, BE＇=AB−AE′=4−√2，
∴
F是BE′的中点，
∵ 1 4−√2 4−√2 4+√2
BF= BE′= , AF=AB−BF=4− = ；
2 2 2 2
∴
②当E落在E″位置时，AF最小，
BE″=AB+AE″=4+√2，且F是BE″的中点，
∵1 4+√2
BF= BE″= ，
2 2
∴
4+√2 4−√2
AF=AB−BF=4− = .
2 2
4−√2 4+√2
综合①②可知： AF
2 2
⩽ ⩽
故选A.
考点：旋转的性质
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：√5+1 4（填“＞”、“＜”或“=”）
【答案】＜
【详解】试题解析：∵2＜√5＜3，
3＜√5+1＜4，
∴故填＜.
1
|x|−
10．如果分式 2 的值为0，则x =
(x+3) 2−(x−2) 2
1
【答案】
2
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，即可求得．
【详解】根据分式的值为零的条件：
{ 1
|x|− =0
则： 2
(x+3) 2−(x−2) 2≠0,
1
解得：x= .
2
1
故答案为 .
2
【点睛】考查分式值为0的条件，熟练掌握分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0是解题
的关键.
11．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色
相同的概率是 ．1
【答案】
3
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再
利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
所有等可能的情况有12种，它们恰好同色的有4种情况，
4 1
所以从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 = ，
12 3
1
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的
结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
12．圆锥形礼帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，则这个圆锥形礼帽的侧面积为 ．
【答案】270πcm2
【详解】圆锥形礼帽的侧面积=π×9×30=270πcm2．
故答案为270πcm2．
13．平面直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴和y轴分别交于B，C两点，点A(3,0)在x轴上，若AB=AC，
则k的值为 ．
1
【答案】− 或2
2
【分析】本题考查了一次函数的性质，两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键．
先求出点C(0,4)，则AC=√(0−3) 2+(4−0) 2=5，又AB=AC，则求出B(8,0)或B(−2,0)，然后分别
代入y=kx+4求出k的值即可．
【详解】解：∵直线y=kx+4与y轴交于C点，
∴当x=0时，y=4，
∴点C(0,4)，
∵A(3,0)，∴AC=√(0−3) 2+(4−0) 2=5，
∵AB=AC，
∴AB=5，
∵点B在x轴上，点A(3,0)，
∴B(8,0)或B(−2,0)，
∵点B在直线y=kx+4图象上，
∴0=8k+4或0=−2k+4，
1
解得：k=− 或k=2，
2
1
故答案为：− 或2．
2
k
14．如图，点A（1，b）在反比例函数y= (0<k<9)的图象上，点B的坐标为（3，3），连结AB．以
x
点B为旋转中心，将线段AB顺时针旋转900，得到线段BA′,延长BA′至C，使得BC=3BA′.以线段AB
所在直线为对称轴，将C对称得到C′，若C′也在该反比例函数图象上，则k= .
9
【答案】
2
【详解】分析：求出点C的坐标和点C'的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
详解：作出如图所示的辅助线，容易证明△ABD∽△BCE, 相似比为：1:3.
AD=b−3,BD=2. 则：CE=6,BE=3(b−3).
求得点C的坐标为：(3b−6,9).
则C'的坐标为：(12−3b,−3).
k
根据点 ，点 (12−3b,−3)都在反比例函数y= (0<k<9)的图象上，则
x
b=−3(12−3b).
9
解得：b=k= .
2
故答案为
点睛：考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强,难度较大.
15．如图，在梯形ABCD中， ．点F为BC中点，连接 ．以CD为直角
边、点D为直角顶点向右构造等腰Rt△CDE，连接 交CD于点 ．若 ，则HE的长
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；连接BD，过D作 交BA的延长线于点K，连接CK，证明 ，进而
可得BE=CK，根据题意可得BE=2AF过D作DT⊥BC于T，过B作 于Y，可得
△BYC∽△BTC,△DHE∽△YHB，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
如图，连接BD，过D作 交BA的延长线于点K，连接CK．
∵AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠ADB=45°
∵
∴∠KDA=45°
又∵∠BAD=90°则
∴△ADK是等腰直角三角形，
∴△BDK是等腰直角三角形，
∴DK=BD=√2AD=3√2
在Rt△KBC中，KC=√BK2+BC2=√42+62=2√13
∵
∴ ，
∴BE=CK=2√13
∵A、F分别为 中点，
为△BKC中位线，
∴BE=2AF
过D作DT⊥BC于T，过B作 于Y，则四边形ABTD是矩形，又∵AD=DB
∴四边形ABTD是正方形，
∴DT=AB=3，BT=AB=3，
在Rt△DTC中，TC=BC−BT=4−3=1，
∴DC=√DT2+TC2=√32+12=√10
∵∠DCT=∠BCY ,∠DTC=∠BYC=90°
∴△BYC∽△DTC．
BY BC YC
∴ = =
BT DC TC
BY 4 YC
即 = = ，
3 √10 1
6 2√10
∴BY = √10，YC=
5 5
3√10
∴DY =DC−YC=
5
∵∠BYH=∠EDH=90°,∠DHE=∠YHB
∴△DHE∽△YHB
BH BY
∴ =
HE DE
6
√10
∴BH 5
=
HE √10
HE 5
∴ = ，
BE 11
又BE=KC=2√13
5 5 10
∴BH= BE= ×2√13= √13
11 11 11根据比例关系列方程可得 ，
故答案为： ．
5
16．在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点E在BC的延长线上，且CE= ，连接DE，动点P从B出发，
3
以每秒1个单位的速度沿折线BC−CD运动，到点D后就停止运动，设点P的运动时间为t秒．当
S =3S 时，则t= ．
△OBP △OCE
31
【答案】5或
2
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，过点O作 于点G，连接OE，
1 5 15
根据矩形的性质求出OG=3，求出S = CE⋅OG= ，则S =3S = ，分点P在BC上
△OCE 2 2 △OBP △OCE 2
和点P在CD上两种情况讨论即可．
【详解】解：过点O作 于点G，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=12，
1
∴∠BCD=∠BGO=90°，BO=DO= BD，CD=AB=6,AD=BC=12，
2
∵∠CBD=∠CBD，
∴△BGO∽△BCD，
BO OG BG 1
∴ = = = ，
BD CD BC 2
，BG=6，
∴CG=6，5
∵CE= ，
3
1 5
S = CE⋅OG= ，
△OCE 2 2
15
则S =3S = 时，
△OBP △OCE 2
当点P在BC上时，BP=t，
1 3 15
∴S = BP⋅OG= t= ，
△OBP 2 2 2
解得：t=5；
当点P在CD上时，如图，
则PC=t−12，DP=6−(t−12)=18−t，
1 1 1 1 1 1 15
∴S =S −S −S = BC⋅CD− BC⋅CP− DP⋅CG= ×12×6− ×12×(t−1，2)− ×6×(18−t)=
△OBP △BCD △BCP △PDO 2 2 2 2 2 2 2
31
解得：t= ；
2
31
综上，当S =3S 时，则t=5或t= ，
△OBP △OCE 2
31
故答案为：5或 ．
2
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应
写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（本题满分5分）计算：|−2√3|+2sin60°+(−1) 2024+√27．
【答案】6√3+1
【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值、特殊角的三角函数值、乘方的定义、立方根的定义分
别运算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
√3
【详解】解：原式=2√3+2× +1+3√3
2
=2√3+√3+1+3√3，=6√3+1．
{3−2(x−1)<3x
18．（本题满分5分）解不等式组 x−1 ，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
1− ≥0
3
【答案】1＜x≤4；数轴表示见解析；整数解有2，3，4
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
{3−2(x−1)<3x①
【详解】解： x−1 ，
1− ≥0②
3
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集为：1＜x≤4.
在数轴上表示为：
．
∴不等式组的整数解有2，3，4.
【点睛】本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键．
19．（本题满分6分）先化简，再求值： ，并从−3，0，1，2四个数中，选一个合
适的数代入求值．
1 1
【答案】 ，−1或−
a−2 5
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．
【详解】解：
a (a2−1 2a−1)
= ÷ −
a+1 a+1 a+1
a a+1
= ×
a+1 a(a−2)
1
=
a−2∵a≠−1且a≠0且a≠2，
∴当a=1时，
1
则原式= =−1．
1−2
当a=-3时，
1 1
则原式= =−
−3−2 5
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意
义的条件．
20．（本题满分6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,2)，B(−3,4)，C(−2,6)，在给出
的平面直角坐标系中：
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB C ；并直接写出B 、C 的坐标；
1 1 1 1
(2)计算点B旋转到点B 位置时，经过的路径弧BB 的长度．
1 1
【答案】(1)图见解析，B (1,4)，C (3,3)，
1 1
(2)
【分析】（1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°所得对应点，再与点A首尾顺次连接即可得；
（2）利用弧长的公式求解可得．
【详解】（1）解：如图所示，△AB C 即为所求，其中B (1,4)，C (3,3)；
1 1 1 1
（2）解：∵AB=√22+22=2√2，∠BAB =90°，
1
90⋅π×2√2
∴弧BB 的长度 =√2π．
1 180【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出
变换后的对应点及扇形的面积公式．
21．（本题满分6分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，AD=DE，点F是DE上一
点，∠AFD=90°．求证：AF=CD．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由矩形的性质可得AD∥BC，∠DCE=90°，由两直线平行内错角相等可得∠ADF=∠DEC，再
结合∠AFD=90°，可得∠AFD=∠DCE，利用AAS可证得△AFD≌△DCE，由全等三角形的性质
即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCE=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
又 ，
∴∠AFD=∠DCE，
在△AFD和△DCE中，
{∠AFD=∠DCE
∠ADF=∠DEC，
AD=DE
∴△AFD≌△DCE(AAS)，∴AF=CD．
22．（本题满分8分）为了解我市“初中男女生最爱看的一类电视节目”，随机调查了各类学枚，总计
450名初中生，其中男生a人，女生b人，并将调查结果绘制成两幅统计图．请根据图中提供的信息，
解答下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)求扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比；
(3)若我市有7.2万名初中生，请你用此样本估计我市最爱看“综艺节目”的初中生共约多少人？
【答案】(1)a=250，b=200；
(2)10%；
(3)我市最爱看“综艺节目”的初中生共约30400人.
【分析】（1）由两个统计图可知，男生喜欢“少儿节目”的有55人，占调查男生人数的22%，可求
出男生人数a的值，进而求出女生人数b的值；
（2）通过条形统计图可知男生喜欢“新闻节目”的人数为25人，即可求解；
（3）先求出男生喜欢“综艺节目”的人数，从而求得喜欢综艺节目所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：由两个统计图可知，男生喜欢“少儿节目”的有55人，占调查男生人数的22%，
则a=55÷22%=250，b=450−250=200
答：a=250，b=200；
（2）25÷250=10%
答：扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比为10%；
（3）男生喜欢“综艺节目”的人数为250−25−53−55−27=90（人）
19
男女生喜欢“综艺节目”的人数为90+100=190（人），占调查总人数的190÷450=
4519
72000× =30400（人）
45
答：我市最爱看“综艺节目”的初中生共约30400人.
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图的意义，理解统计图中各个数据的意义，掌握统计图中
各个数量之间的关系是解题的关键．
23．（本题满分8分）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球
除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这
个过程，获得如下数据：
摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的个
116 192 232 a 590 968 1202
数
摸到白球的频
0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 b
率
(1)表中的a=________，b=________；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.01）；
(3)若袋中有红球30个，请估计袋中白球的个数．
【答案】(1)298；0.601
(2)0.60
(3)估计袋中白球的个数45个
【分析】本题考查了利用频率估计概率：
（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数
除以摸球个数计算即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：a=500×0.596=298，b=1202÷2000=0.601，
故答案为：298；0.601；
（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60；
故答案为：0.60．
（3）解：∵摸到白球的概率的估计值是0.60，
∴摸到红球的概率的估计值是0.40，
∵袋中有红球30个，
∴球的个数共有：30÷0.40=75（个），∴袋中白球的个数为75−30=45（个）．
24．（本题满分8分）如图①是长春新地标一一摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图②
是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶AD距地面BC为34米，摩天轮⊙O与楼顶AD近似相切，
切点为G．测得∠OEF＝∠OFE＝67°，EF＝27.54米，求摩天轮的最高点到地面BC的距离．（结果
精确到0.1米）【参考数据：sin67°＝0.92，cos67°0.39，tan67°＝2.36】
【答案】摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米．
【分析】如图，连结OG．由切线的性质得垂直，再由等腰三角形的三线合一性质，得G为EF中点，
从而在Rt OGF中用三角函数解出OG，再乘2，加上楼顶距地面的距离即可．
【详解】解△：如图，连结OG，
∵∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∵⊙O与AD相切于点G，
∴OG⊥EF，
1 1
OGF=90°，FG=EG= EF= ×27.54=13.77（米），
2 2
∴∠
在Rt OGF中，∠OGF=90°，tan∠OFE= ，
△
∴OG=FG•tan∠OFG=13.77×2.36≈32.50（米），
∴32.50×2+34=99.0（米），
答：摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米．
【点睛】本题属于解直角三角形的应用，同时题目还考查了圆的切线的性质、等腰三角形的三线合一性质等相关知识点．本题难度中等．
25．（本题满分10分）如图，点E是以AB为直径的⊙O外一点，点C是⊙O上一点，EB是⊙O的切线，
EC⊥OC，连接AC并延长交 的延长线于点F．
(1)求证：点E是 的中点；
(2)若EC=OC，⊙O的半径为3，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)3√2
【分析】（1）连接BC，证明 是⊙O的切线．根据EB是⊙O的切线，可得EC=EB，进而证明
EF=EC，等量代换可得EF=EB，即可得证；
（2）根据EC=OC，可得四边形OCEB是正方形，则△ABF是等腰直角三角形．勾股定理，即可求
解．
【详解】（1）证明：连接BC．
为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵EC⊥OC，
∴EC是⊙O的切线．
∵EB是⊙O的切线，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠EBC．
∵∠ECB+∠FCE=90°，∠EBC+∠F=90°，
∴∠FCE=∠F，
∴EF=EC，
∴EF=EB，
∴点E是 的中点．（2）解：若EC=OC，由(1)得，四边形OCEB是正方形，
∴△ABF是等腰直角三角形．
∵⊙O半径为3，
∴AB=6，
∴AF=√2AB=6√2，
∵BC⊥AF
1
∴CF= AF=3√2．
2
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的
性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与
y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD．
(1)求抛物线解析式；
(2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值
及此时P点坐标．
(3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
27 3 15
(2)面积的最大值为 ，P（ ， ）．
10 2 4
(3)N（ ）或N（ ）
【分析】（1）先确定点C的坐标，利用待定系数法可求函数的解析式；
（2）利用转化的思想，将四边形DPAE的面积用三角形APE的面积表示，设出点P的坐标，用m的
代数式表示三角形APE的面积，利用二次函数的性质可得面积的最大值，并得到m的取值，P点坐标
可得；
（3）首先求出平移后的抛物线的解析式，得到抛物线的对称轴为直线x=3；然后分类讨论解答：①当
四边形DPNM为矩形时，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴
于H，则DK，KP可求，利用 DKP≌△MHN求得NH，MH的长；通过求得DM的解析式，得到线段
MG，HG的长度，从而点N的△坐标可求；②当四边形DPNM为矩形时，同①的方法可得N点坐标．
【详解】（1）解：∵点A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝4OB，
∴OC＝3．
∴C（0，6）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：
{
a−b+c=0
5a+3b+c=0
c=3
{a=−1
解得： b=2 ．
c=3
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）．
过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图，∵DE∥PF，
∴S DPF=S EPF．
△ △
∴S DPAF=S APF+S DPF=S APF+S EPF=S APE．
四边形
△ △ △ △ △
设点P（m，-m2+2m+3），
则ON=m，PN=-m2+2m+3．设直线AC的解析式为y=kx+n，
{ n=3
∴ ．
3k+n=0
{k=−1
解得： ．
n=3
∴直线AC的解析式为：y=-x+3．
设直线OD的解析式为：y=dx，
∴d=4．
∴直线OD的解析式为：y=4x．
{ y=4x
∴ ．
y=−x+3
3
{ x=
5
解得： ．
12
y=
5
3 12
E（ ， ）．
5 5
∴
3 12
OM= ，ME= ．
5 5
∴
MN= ，NA=3-m．
∴∵S APE=S EMPN+S ANP-S AME，
四边形
△ △ △
1 1 1
S APE= (PN+EM)×MN+ AN•PN− AM•ME
2 2 2
△
∴
1 12 3 1 1 3 12
= (−m2+2m+3+ )×(m− )+ (3−m)×(−m2+2m+3)− ×(3− )×
2 5 5 2 2 5 5
6 18
=− m2+ m
5 5
= ．
6
∵− <0，
5
3 27
∴当m= 时，S APE有最大值 ．
2 10
△
27
∴四边形DPAF面积的最大值为 ．
10
3 15
此时点P的坐标为：（ ， ）．
2 4
（3）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4，对称轴为x=3．
①当四边形DPNM为矩形时，如图，
过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
15 1 1
则DK=DE-PF=4− = ，KP=OF-OE= = ．
4 4 2
易证 DKP≌△MHN．
△1 1
NH=KP= ，MH=DK= ．
2 4
∴
设DP的解析式为y=ex+f，
{
e+f =4
∴ 3 15．
e+f =
2 4
1
{e=−
2
解得： ．
9
f =
2
1 9
y=− x+ ．
2 2
∴
∴设直线DM的解析式为y=2x+n，
∴4=1×2+n．
∴n=2．
∴直线DM的解析式为y=2x+2．
当x=3时，y=2×3+2=8．
∴MG=8，
31
HG=MG−MH= ．
4
∴
7 31
N（ ， ）．
2 4
∴
②当四边形DPNM为矩形时，如图，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
15 1 3 1
则DK=DE-PF=4− = ，KP=OF-OE= −1= ．
4 4 2 2
易证 DKP≌△MHN．
△ 1 1
NH=KP= ，MH=DK= ．
2 4
∴
1 9
则DP的解析式为y=− x+ ．
2 2
∴设直线PM的解析式为y=2x+h，
∴ ．
3
h= ．
4
∴
3
∴直线PM的解析式为y=2x+ ．
4
3 27
∴当x=3时，y=2×3+ = ．
4 4
27
MG= ．
4
∴
GH=MG+MH=7．
∴ 5
N（ ，7）．
2
∴
7 31 5
综上，N点的坐标为：（ ， ）或（ ，7）．
2 4 2
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数的最大值，待定系数法确
定函数的解析式，三角形的面积，利用点的坐标表示相应线段的长度，综合性较强．过平面内的点作
坐标轴的垂线，便于用坐标表示线段的长度．
27．（本题满分10分）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，
DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求 的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：
1
BE+CF= AB；
2
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相
交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=√3(BE−CF)．
【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°， ，再证明∠BED=90°,∠BDE=30°,
从而可得BE的值；
（2）过点D作DM AB于M，作DN AC于N，如图2，易证△MBD NCD，则有BM=CN，
DM=DN，进而可证⊥到△EMD FND⊥，则有EM=FN，就可得到 ≌△
BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN≌+C△F=BM+CN=2BM，再连接AD, 证明∠BAD=30°,AD⊥BC,即可得
到结论；
（3）过点D作DM AB于M，如图3．同（1）可得：∠B= ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，
DM=DN，EM=FN．⊥由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而∠可得
BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，
BE−CF=BM+EM−CF=BM+NF−CF=BM+NC=2BM, 再结合BM:DM:BD=1:√3:2 可
1 √3 1
得BM= BD,DM= BD,结合BD= AB, 从而可得结论.
2 2 2
【详解】解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．
∵点D是线段BC的中点，
1
BD=DC= BC=2，
2
∴
DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∵∴∠AED=360°-60°-90°-120°=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°−60°=30°,
1
∴BE= BD=1；
2
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∠BAC=60°, MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∴∠∠MDE=∠NDF．
∵在△MBD和△NCD中，
{
&∠BMD=∠CND
&∠B=∠C ，
&BD=CD
△MBD≌△NCD，
∴∴BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，{
&∠EMD=∠FND
&DM=DN ，
&∠MDE=∠NDF
△EMD≌△FND，
∴∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM
连接AD, 由（1）得：BD=2BM,
∵AB=AC,BD=CD,
1
∴∠BAD= ∠BAC=30°,AD⊥BC,
2
∴AB=2BD,
1
∴BE+CF=BD= AB.
2
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3． 同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．
同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵DN=FN，
∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，
BE−CF=BM+EM−CF=BM+NF−CF=BM+NC=2BM,
∵△ABC为等边三角形，BD=CD,
∴AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=30°,
∴∠BDM=30°,
∴BM:DM:BD=1:√3:2
1 √3
∴BM= BD,DM= BD,
2 2
1
同理：BD= AB,
2
∴BE+CF=2DM=√3BD, BE−CF=2BM=BD,∴BE+CF=√3(BE−CF)
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，含30°的正三角
形的性质，勾股定理的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
