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第 05 讲 根与系数的关系
课程标准 学习目标
1. 掌握根与系数的关系的基本式并能够熟练的进行求值。
①根与系数的关系 2. 掌握根与系数的拓展式，能够熟练对拓展式变形再利用基本式对其
求值。
知识点01 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别
是
与 。
①求 。
②求 。2. 根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
⑥ 。
【即学即练1】
1．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x +x ﹣x x 的值是 8 ．
1 2 1 2 1 2
【分析】由根与系数的关系可得：x +x ＝3，x x ＝﹣1，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算
1 2 1 2
即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根分别是x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x x ＝﹣6，
1 2 1 2
∴x +x ﹣x x
1 2 1 2
＝2﹣（﹣6）
＝8，
故答案为：8．
【即学即练2】
2．已知x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则 的值为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x 和x x ，再利用整体思想即可解决问题．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，
1 2
∴ ， ，
∴ ＝ ＝ ＝
＝ ．
故选：B．
【即学即练3】
3．若a，b是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
【分析】利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，据此可解决问题．【解答】解：由题知，
因为a，b是方程 的两个根，
所以a+b＝ ，ab＝ ，
所以 ＝ ＝ ．
故选：C．
题型01 根与系数的关系求基本式子
【典例1】若x ，x 是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x •x ＝（ ）
1 2 1 2
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【分析】根据根与系数的关系解决问题．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣5x+4＝0的两根，
1 2
∴x •x ＝4，
1 2
故选：A．
【变式1】已知x ，x 是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x +x x +x 的值是（ ）
1 2 1 1 2 2
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系可求得x +x 和x x 的值代入即可求得答案．
1 2 1 2
【解答】解：把方程化为一般形式可得x2﹣3x﹣1＝0，
∵x ，x 是方程的两个根，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴x +x x +x ＝3+（﹣1）＝2，
1 1 2 2
故选：D．
【变式2】若x ，x 是方程x2﹣8x+7＝0的两个根，则 ＝（ ）
1 2
A． B． C． D．
【分析】利用根与系数关系求解．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣8x+7＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝8，x x ＝7，
1 2 1 2∴ ＝ ．
故选：A．
【变式3】若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x ﹣x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．2025 B．2023 C． D．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x ＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算即可．
1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣1，
1 2
∴2024﹣x ﹣x
1 2
＝2024﹣（x +x ）
1 2
＝2024﹣（﹣1）
＝2024+1
＝2025，
故选：A．
【变式4】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣
2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
【分析】根据关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方
程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的根符合（y ﹣2）+（y ﹣2）＝p，（y ﹣2）（y ﹣2）＝q，然后整理
1 2 1 2
化简，即可解答本题．
【解答】解：设关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根分别为y ，y ，
1 2
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，
∴x +x ＝p，x x ＝q，
1 2 1 2
∴（y ﹣2）+（y ﹣2）＝p，（y ﹣2）（y ﹣2）＝q，
1 2 1 2
化简，得：y +y ＝p+4，y y ﹣2（y +y ）+4＝q，
1 2 1 2 1 2
整理可得，y y ＝2p+q+4，
1 2
故选：A．
题型02 利用基本式子求拓展式子的值
【典例1】设x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则 ＝（ ）
1 2
A．﹣11 B．4 C．16 D．38
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，
1 2∴x +x ＝4，x •x ＝﹣11，
1 2 1 2
∴ ；
故选：D．
【变式1】一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x ，x ，则 的值为（ ）
1 2
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进
行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴ ＝xx （x +x ）＝﹣1×（﹣2）＝2．
2 1 2
故选：A．
【变式2】已知 和 是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，则 ＝（ ）
α β
A．﹣6 B． C．6 D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：a＝1，b＝﹣6，c＝5，
∵ 和 是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，
+ ＝6， ＝5，
α β
α β αβ
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
【变式3】已知 ， 是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则 的值等于（ ）
α β
A． B． C． D．
【分析】先利用根与系数的关系得 + ＝﹣2， ＝﹣9，再利用通分和完全平方公式变形得到
α β αβ
＝ ＝ ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得 + ＝﹣2， ＝﹣9，
α β αβ
所以 ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ．
故选：A．
【变式4】若x ，x 是方程2x+4＝x2的两个根，则（x +1）（x +1）的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】利用根与系数的关系即可得到 x +x ＝2，x x ＝﹣4，代入（x +1）（x +1）＝x x +（x +x ）+1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
求解即可．
【解答】解：原方程整理得x2﹣2x﹣4＝0，
∵x ，x 是方程2x+4＝x2的两个根，
1 2
∴x +x ＝2，x x ＝﹣4，
1 2 1 2
∴（x +1）（x +1）
1 2
＝x x +（x +x ）+1
1 2 1 2
＝﹣4+2+1
＝﹣1．
故选：A．
【变式5】设x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则 + ＝（ ）
1 2
A． B． C．3 D．5
【分析】先求出（ + ）2，再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝3，x •x ＝1，
1 2 1 2
而（ + ）2＝x +x +2 ＝3+2＝5，
1 2
且 ≥0， ≥0故 + ≥0，
∴ + ＝ ，
故选：B．
【变式6】若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，则 的值为（ ）
α β
A． B．2024 C． D．±2024
【分析】判断出 + ＝2024， ＝1，再利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，
α β αβ
∴ + ＝2024， ＝1，
α β
α β αβ
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
题型03 利用根与系数的关系求代数式的值
【典例1】已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2﹣n的值等于（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2＝6﹣m，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用
整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣6＝0，
∴m2＝6﹣m，
∴m2﹣n
＝6﹣m﹣n
＝6﹣（m+n）
＝6+1
＝7．
故选：D．
【变式1】设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+2021，利用降次的方法得到a2+2a+b＝a+b+2021，
再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴a2+a﹣2021＝0，
∴a2＝﹣a+2021，
∴a2+2a+b＝﹣a+2021+2a+b＝a+b+2021，
∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2021＝2020．
故选：B．
【变式2】若m，n为方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2＝2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用
途系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：m为方程x2+2x﹣2016＝0的实数根，
∴m2+2m﹣2016＝0，
即m2＝2016﹣2m，
∴m2+3m+n＝2016﹣2m+3m+n＝2016+m+n，
∵m，n为方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+3m+n＝2016﹣2＝2014．故选：A．
【变式3】如果m，n是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，那么代数式 2n2﹣
mn+2m+2021的值为（ ）
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
【分析】先由根与系数的关系得：m+n＝1，mn＝﹣3，因为n是方程x2﹣x﹣3＝0的根，所以n2﹣n﹣3
＝0，则n2＝n+3，最后整体代入可得结论．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，n2﹣n﹣3＝0，
∴n2＝n+3，
∴2n2﹣mn+2m+2021
＝2n+6+3+2m+2021
＝2（m+n）+9+2021
＝2+9+2021
＝2032．
故选：B．
【变式4】m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的
值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，再由根与系数
的关系得到mn＝2024，进而得到m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，据此代值计算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，
∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024，
∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，
∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）
＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024）
＝mn
＝2024，
故选：C．
题型04 利用根与系数满足的关系式求未知字母
【典例1】已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x ，x ，若x x +3x +3x ＝1，则实数k的值为（
1 2 1 2 1 2
）
A． B．﹣8 C．﹣10 D．10
【分析】根据根与系数的关系，得到x +x ＝3，x x ＝k，整体代入等式中，求出实数k的值即可．
1 2 1 2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝k，
1 2 1 2
∵x x +3x +3x ＝1，
1 2 1 2
∴x x +3（x +x ）＝k+3×3＝1，
1 2 1 2
∴k＝﹣8，
故选：B．
【变式1】设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x +1）（x +1）
1 2 1 2
＝8，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x +x 与x •x 的值，再代入代数式进行计算即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2（m+1），x •x ＝m2+2，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝8，
1 2
∴x •x +x +x +1＝8，即x •x +（x +x ）﹣7＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴m2+2+2（m+1）﹣7＝0，
∴（m﹣1）（m+3）＝0，
解得m ＝1，m ＝﹣3．
1 2
检验：当m＝1时，原方程可化为x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣4×1×3＝16﹣12＝4＞0，
∴方程有实数根，符合题意；
当m＝﹣3时，原方程可化为x2+4x+11＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×11＝16﹣44＝﹣28＜0，
∴方程无实数根，不符合题意．
故选：A．
【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x 、x ，且 + ＝3，则p的值为（ ）
1 2
A． B． C．﹣6 D．6
【分析】由根与系数的关系可得：x +x ＝﹣2，x x ＝p，再结合所给的条件从而要求解．
1 2 1 2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x x ＝p，
1 2 1 2
∵ + ＝3，
∴ ，即 ，
解得：p＝﹣ ．
故选：A．
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x 、x ，且 + ＝4，则k
1 2
的值是（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
【分析】由一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x 、x ，可得x +x ＝2k，x •x ＝k2+k，
1 2 1 2 1 2
即可得（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，解得k＝2或k＝﹣1，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝2k，x •x ＝k2+k，
1 2 1 2
∵ + ＝4，
∴（x +x ）2﹣2x x ＝4，
1 2 1 2
∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，
解得k＝2或k＝﹣1，
当k＝2时，一元二次方程为x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情
况不存在，舍去；
当k＝﹣1时，一元二次方程为x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意；
∴k的值是﹣1；
故选：D．
【变式4】已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，若6x +x ＝0，则k的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再由6x +x ＝0可求出x ，进而得出x ，最后用k表示出
1 2 1 2
两根之积即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，
1 2
所以 ， ；
又因为6x +x ＝0，
1 2
所以 ，
解得 ，
所以 ，所以 ，
解得k＝﹣2．
故选：A．
【变式5】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x 和x ，且|x |＝|x |，m的
1 2 1 2
值为（ ）
A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1
【分析】由|x |＝|x |知x ＝x 或x +x ＝0，当x ＝x 时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当x +x ＝0时，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2﹣2m＝0，解方程可得答案．
【解答】解：∵|x |＝|x |，
1 2
∴x ＝x 或x +x ＝0，
1 2 1 2
当x ＝x 时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，
1 2
解得m＝1；
当x +x ＝0时，2﹣2m＝0，
1 2
解得m＝1，
综上所述，m的值为1；
故选：D．
题型05 根与系数的关系求方程的另一个根
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
【分析】设方程的一个根x ＝1，另一个根为x ，再根据根与系数的关系进行解答即可．
1 2
【解答】解：设方程的一个根x ＝1，另一个根为x ，根据题意得：
1 2
x ×x ＝3，
1 2
将x ＝1代入，得x ＝3．
1 2
故选：C．
【变式1】已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 ．
【分析】设关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的两根分别为1和a，然后根据根与系数的关系列关于a
的方程求解即可．
【解答】解：设关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的两根分别为1和a，
则有： ，即： ．
故答案为： ．
【变式2】若关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，则另一个根和m的值分别为（ ）A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0，求得m
的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x＝p．
∵关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，
∴x＝﹣2满足关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0，
∴4+2m﹣6＝0，
解得m＝1，
又由根与系数的关系知：﹣2p＝﹣6，
解得p＝3，
故另一个根和m的值分别为3，1．
故选：D．
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根．
【分析】（1）根据根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相
等的实数根；
（2）把x＝5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8
无论k取何值，k2≥0，
则k2+8＞0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝5代入方程可得25﹣5（k+2）+k﹣1＝0，
解得k＝ ，
当k＝ 时，原方程为x2﹣ x+ ＝0，
解得x ＝ ，x ＝5，
1 2
即方程的另一根为 ．
题型06 根与系数与根的判别式
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根；（2）设该方程的两根分别为x ，x ，且满足x +x ＝3x x ，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后将其代入x +x ＝3x x 列出关于m的方
1 2 1 2
程，并解方程即可．
【解答】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2．
∵无论m为任何实数，（m﹣1）2≥0，
∴4（m﹣1）2≥0．
∴无论m为任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2m，x •x ＝2m﹣1．
1 2 1 2
∵x +x ＝3x x ，
1 2 1 2
∴2m＝3（2m﹣1）．
解得m＝ ．
即m的值为 ．
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x ，x 是原方程的两根，且 ，求m的值．
1 2
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；
（2）先由根与系数的关系得到x +x ＝﹣m﹣3，x x ＝m+1，进而由完全平方公式的变形得到（﹣m﹣
1 2 1 2
3）2﹣4（m+1）﹣20＝0，解方程即可得到答案．
【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1•（m+1）
＝m2+2m+5
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x ，x 是原方程的两根，
1 2
∴x +x ＝﹣m﹣3，x x ＝m+1，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）﹣20＝0，
∴m2+2m﹣15＝0，
解得：m＝3或m＝﹣5．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）用m表示出根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：由题知，
Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
所以无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：因为方程的两个实数根为a，b，
所以a+b＝ ，ab＝ ，
所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1．
【变式3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x ，x ，且|x ﹣x |＝2，那么称这
1 2 1 2
样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程 x2+2x＝0的两个根是x ＝0，x ＝﹣2，|0﹣（﹣2）|＝
1 2
2，方程x2+2x＝0是“伴根方程”．
（1）判断方程x2+8x+15＝0是否为“伴根方程”；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“伴根方程”，求m的值．
【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x ＝m，x ＝﹣1，再根据“伴根方程”的定义得到|m+1|＝
1 2
2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）解方程x2+8x+15＝0得x ＝﹣3，x ＝﹣5，
1 2
∵|﹣3﹣（﹣5）|＝2，
∴方程是“伴根方程”；
（2）∵x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
∴（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x﹣m＝0或x+1＝0，
∴x ＝m，x ＝﹣1，
1 2
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“伴根方程”，
∴|m+1|＝2，
∴m＝1或m＝﹣3．
1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原
来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的
关系式即可解决问题．
【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
由题知，
， ，
所以b＝﹣7a，c＝10a，
所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0，
则x2﹣7x+10＝0．
故选：B．
2．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（ ）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代
入原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝3，
∴m2+5m+n+2024
＝m2+4m+m+n+2024
＝3﹣4+2024
＝2023．
故选：A．
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的两个根为x ，x ，且x ＝2x ，则m﹣x +x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系：若方程两根为x ，x ，则x +x ＝﹣ 求出
1 2 1 2
两根及m值，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣m＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣ ＝﹣3．x •x ＝﹣m，
1 2 1 2
∵x ＝2x ，
1 2
∴x ＝﹣1，x ＝﹣2，
2 1∴x •x ＝2＝﹣m，
1 2
∴m＝﹣2．
∴m﹣x +x ＝﹣2﹣（﹣2）+（﹣1）＝﹣1．
1 2
故选：B．
4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为
20，则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再求出
方程的解即可．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，
∴ ab＝20即ab＝40，
∴m＝40，
∴原方程可化为x2﹣14x+40＝0，
（x﹣4）（x﹣10）＝0，
解得x ＝4，x ＝10，
1 2
∴该菱形两对角线长分别为4和10．
故选：B．
5．已知m，n是一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】先解方程可得x ＝﹣1，x ＝﹣2，再由 ，从而可得答案．
1 2
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，
∴（x+1）（x+2）＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝﹣2，
1 2
∴m＜0，n＜0，
∴ ，
故选：D．
6． ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程x2﹣5x+6＝0两根之和与两根之积，则对角线AC长的
取值范围是（ ）
▱
A．AC＞1 B．1＜AC＜6
C．AC＞5或AC＜11 D．1＜AC＜11
【分析】先根据根与系数的关系得到AB＝5，BC＝6，然后利用三角形三边关系求解．【解答】解：∵AB，BC的长分别等于一元二次方程x2﹣5x+6＝0两根之和与两根之积，
∴AB＝5，BC＝6，
∴对角线AC长的取值范围是1＜AC＜11．
故选：D．
7．平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 的两个实数根．若AB的长为
2，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】将x＝2代入原方程，可求出m的值，进而可得出原方程为x2﹣ x+1＝0，利用根与系数的关
系，可求出AB+AD的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出 ABCD的周长．
▱
【解答】解：把x＝2代入原方程得，4﹣2m+ ﹣ ＝0，
解得：m＝ ，
∴原方程为x2﹣ x+1＝0，
∴AB+AD＝ ，
∴ ABCD的周长是2（AB+AD）＝2× ＝5．
故选：C．
▱
8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣1）2+b
（y﹣1）+c＝0的两根之积是（ ）
A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
【分析】把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y﹣1的一元二次方程，则利用关于 x的方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x 得到y ＝x +1，y ＝x +1，然后利用根与系数的关系得到结论．
1 2 1 1 2 2
【解答】解：把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x ，
1 2
则方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根为y ＝x +1，y ＝x +1，
1 1 2 2
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，
∴x +x ＝p，x x ＝q，
1 2 1 2
∴y y ＝（x +1）（x +1）＝x x +（x +x ）+1＝p+q+1．
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：A．
9．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+k2x+1＝0有两个实数根x ，x ，且满足（x +1）（x +1）＝2，
1 2 1 2
则k的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝﹣2 D．k＝1或k＝﹣2【分析】先根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，再利用（x +1）（x +1）＝2得到﹣
1 2 1 2 1 2
+ +1＝2，然后解分式方程、检验得到k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝2，
1 2
∴（x +x ）+x x +1＝2，
1 2 1 2
即﹣ + +1＝2，
化为整数方程为k2+k﹣2＝0，
解得k ＝﹣2，k ＝1，
1 2
经检验，k ＝﹣2是方程的解，
1
∴k＝﹣2．
故选：C．
10．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（其中 a≠0）的解是 x ＝4，x ＝﹣6，且 m 满足
1 2
，则 的值是（ ）
A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣8
【分析】根据一元二次方程解的定义，求出m的值即可．
【解答】解：由题意 +1＝4或 +1＝﹣6，
解得m＝9，
∴ ﹣1＝3﹣1＝2．
故选：C．
11．已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 3 ．
【分析】设另一个根为x＝m，则根据根与系数的关系得﹣2m＝﹣6，求出即可．
【解答】解：设另一个根为x＝m，则﹣2m＝﹣6，
解得：m＝3，
所以，另一个根为3．
故答案为：3．
12．关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣4，两根之积为3，则m+n的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系x +x ＝﹣ ，x •x ＝ 得出﹣m＝﹣4，﹣2n＝3，求出m与n的值，然后
1 2 1 2
计算即可得出答案．【解答】解：∵方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣4，两根之积为3，
∴﹣m＝﹣4，﹣2n＝3，
∴m＝4，n＝﹣ ，
∴m+n＝4﹣ ＝ ，
故答案为： ．
13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且 + ＝ ，则m＝ ﹣
1 2
．
【分析】根据根与系数的关系得到 x +x ＝﹣2m，x •x ＝ ，再由 + ＝ 变形得到（x +x ）2﹣
1 2 1 2 1 2
2x x ＝ ，即可得到（8m﹣3）（8m+1）＝0，然后解此方程代入根的判别式后取舍即可．
1 2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣2m，x •x ＝ ，
1 2 1 2
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（4m）2﹣4×2m，
＝16m2﹣8m，
∵ + ＝ ，
∴（x +x ）2﹣2x x ＝ ，
1 2 1 2
∴4m2﹣2× ＝ ，
（8m﹣3）（8m+1）＝0，
解得：m ＝ ，m ＝﹣ ，
1 2
当m ＝ 时，Δ＝16× ﹣8× ＝ ﹣3＜0，不符合题意，舍去；
1
当m ＝﹣ 时，Δ＝16× ﹣8×（﹣ ）＝ ＞0，符合题意；
2
综上，m＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．14．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 202 2 ．
【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出 a2+a＝2023、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝
a2+a+（a+b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，
∴a2+a＝2023，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，
n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合
分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴ + ＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．已知关于x的一元二次方程x2+9x+20﹣2k2＝0．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）将x＝1代入原方程可求出k的值，利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝92﹣4（20﹣2k2）＝8k2+1≥1＞0，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程得，
1+9+20﹣2k2＝0，
解得k＝ ．
令方程的另一个根为m，
则m+1＝﹣9，
解得m＝﹣10，
所以方程的另一个根为﹣10．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若一元二次方程的两根为x ，x ，且满足 + ﹣x x ＝19，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2﹣4ac≥0；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把 + ﹣x x ＝19，转换为
1 2
（x +x ）2﹣3x x ＝19，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
1 2 1 2
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+3）]2﹣12m
＝m2+6m+9﹣12m
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2；
又∵（m﹣3）2≥0，
∴b2﹣4ac≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵x +x ＝m+3，x •x ＝3m， + ﹣x x ＝19，
1 2 1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣3x x ＝19，
1 2 1 2
∴（m+3）2﹣3×3m＝19，
整理得m2﹣3m﹣10＝0，
解得m＝5或m＝﹣2，
故m的值为5或﹣2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，
求m的值．
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，再结合三角形的三边关系进行求解即可．
【解答】证明：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（2m﹣10）
＝﹣m﹣14m+4y
＝（m﹣7）2，
∵无论m为何实数，（m﹣7）≥0，即△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，
设a＞b，则： ，
据题意得：a﹣b＞3，则有：|m﹣7|＞3，
解得：6＜m＜10，∵△ABC的周长：a+b+c＝m﹣3+3＝m，
∵周长m为偶数，
∴m＝8．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x 和x ．
1 2
（1）填空：x +x ＝ p ，x x ＝ 1 ；
1 2 1 2
（2）求 + ，x + ；
1
（3）已知 + ＝2p+1，求p的值．
【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案；
（2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可；
（3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x +x ＝p，x x ＝1，
1 2 1 2
故答案为：p，1；
（2）∵x +x ＝p，x x ＝1，
1 2 1 2
∴ + ＝ ＝ ＝p；
∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x 和x ，
1 2
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）由根与系数的关系得：x +x ＝p，x x ＝1，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ，
∴p2﹣2＝2p+1，
解得：p ＝3，p ＝﹣1，
1 2
当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；
∴p＝3．
20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： （ a + b ） 2 ＝ a 2 + 2 a b + b 2 ；图2： （ a + b ）（ a ﹣ b ）＝ a 2 ﹣ b 2 ．
【例题解析】：如图3，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9；
又∵ab＝1，∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，∴S大正方形 ＝9，又∵ab＝1，∴S
2
＝S
3
＝ab＝1，
∴S 1 +S 4 ＝S大 正方形 ﹣S 2 ﹣S 3 ＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解
决很多数学问题．
【类比迁移】：
（2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝ 1 0 ．
（3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积
和S +S ＝29，求图中阴影部分面积．
1 2
【分析】（1）用两种方法分别表示图形中阴影部分的面积，可得答案；
（2）设3﹣x＝m，x+1＝n，则m+n＝4，mn＝（3﹣x）▪（x+1）＝3，根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn求出
m2+n2即可；
（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝10，p2+q2＝S +S ＝72，根据（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，
1 2
求出pq即可．
【解答】解：（1）图1是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，图1也可以看作是四个部分
的面积和，即a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），如图阴影部分的面积是两
个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）设3﹣x＝m，x+1＝n，则m+n＝4，mn＝（3﹣x）▪（x+1）＝3，
所以（3﹣x）2+（x+1）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn＝16﹣6
＝10；
故答案为：10；
（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝7，p2+q2＝S +S ＝29，
1 2
∵（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，即49﹣2pq＝29，
∴2pq＝49﹣29＝20，
∴ pq＝5，
即阴影部分的面积为5．
