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专题 01 集合、逻辑用语与复数
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
2．（新课标全国Ⅰ卷）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
3．（新课标全国Ⅱ卷）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .
故选：C.4．（新课标全国Ⅱ卷）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
5．（全国甲卷数学（文））集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足 ，
则 可能的取值为 ，即 ，
于是 .
故选：A
6．（全国甲卷数学（文））设 ，则 （ ）
A． B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出 ，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得， ，故 .
故选：D
7．（全国甲卷数学（理））设 ，则 （ ）A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由 ，则 .
故选：A
8．（全国甲卷数学（理））集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
9．（新高考北京卷）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得 ，
故选：A.
10．（新高考北京卷）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得 ，故选：C.
11．（新高考天津卷）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B
12．（新高考天津卷）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
13．（新高考天津卷）已知 是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】 .
故答案为： .
14．（新高考上海卷）设全集 ，集合 ，则 ．
【答案】【分析】根据补集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故答案为：
15．（新高考上海卷）已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为 ．
【答案】2
【分析】设 ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设 ， 且 .
则 ，
， ，解得 ，
故答案为：2.
一、单选题
1．（2024·河北衡水·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得 ，可求 .
【详解】 ，
又 ，故 ，故选：B．
2．（2024·北京·三模）已知集合 ，若 ，则 可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出 的取值集合即得.
【详解】由 ，得 ，则 ， 或 ，
由 ，得 ，显然选项ABC不满足，D满足.
故选：D
3．（2024·河北承德·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数型函数的定义域和二次函数值域即可得到 ，再根据交集含义计算即可.
【详解】集合 中 ，所以 或 ，集合 中 ，
所以 ，
故选：A.
4．（2024·重庆·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解
即可.
【详解】 ，则 ，
所以 .
故选：D
5．（2024·湖南长沙·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性解不等式，化简 ，根据交集运算求解即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
6．（2024·福建福州·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合 ，再按照集合的并集运算即可.
【详解】 ，则 ，且 ，解得 ，
则集合 ，
则
故选：B.
7．（2024·重庆·三模）已知集合 ，集合 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2【答案】B
【分析】利用子集的概念求解.
【详解】集合 ，集合 ，
若 ，又 ，所以 ，解得
故选：B
8．（2024·辽宁·三模）若全集 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 中函数的值域，得到集合 ，判断两个集合的包含关系.
【详解】全集 ， ，则 ，
，所以 .
故选：D
9．（2024·河南·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式后根据交集运算求解.
【详解】由
所以
故选：B.
10．（2024·山东聊城·三模）“ ，且 ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若 ，且 ，根据不等式的加法和乘法法则可得 ，且 ，即必要性成立；
当 ，满足 ，且 ，但是 ，故充分性不成立，
所以“ ，且 ”是“ ，且 ”的必要不充分条件.
故选：B
11．（2024·江苏南通·三模）已知 为复数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得 ，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得 或 ，则必要性不成立.
【详解】若 ，则 ，则 ，故充分性成立；
若 ，设 ，则 ， ，
则 ， 或 与 不一定相等，则必要性不成立，
则“ ”是“ ”的充分非必要条件，
故选：A
12．（2024·辽宁大连·二模）设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由复数 为纯虚数求得 的值，再根据充分必要条件关系判断.
【详解】因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 ，
所以 是复数 为纯虚数的充要条件.
故选：A.
13．（2024·山东德州·三模）已知复数 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ，计算即可.【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
故选：B.
14．（2024·重庆·三模）已知 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用复数相等求出 ，再由共轭复数概念即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，故 ，
所以复数 的共轭复数为 ，
故选：A.
15．（2024·河南郑州·三模）复数 （ 且 ），若 为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，根据 为纯虚数即可求解.
【详解】 ，
因为 为纯虚数，所以 ，
所以 .
故选：A.
16．（2024·四川遂宁·三模）若复数 （其中 ，i为虚数单位）为纯虚数，则复数 在复平面
内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B【分析】利用复数的除法求出 ，结合已知求出 值即可得解.
【详解】依题意， ，
由 为纯虚数，得 ，解得 ，复数 ，
所以复数 在复平面内对应的点 位于第二象限．
故选：B
17．（2024·云南·二模）已知 为虚数单位，复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】由模长公式结合题设条件得条件等式 ，结合模长公式将所求转换为求二次函数最值即可.
【详解】设 ，而 ，所以 ，即 ，
所以 ，等号成立当且仅当
，
综上所述， 的最小值为 .
故选：A.
二、多选题
18．（2024·河北衡水·三模）复数 ，其中 ，设 在复平面内的对应点为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，C．对任意 ，点 均在第一象限 D．存在 ，使得点 在第二象限
【答案】AC
【分析】当 时，代入计算可判断A、B；由 判断 的实部和虚部范围可判断C、D.
【详解】当 时， ，故 ，故 选项正确；
，B选项错误；
当 时， ， ，
故对任意 ，点 均在第一象限，故C选项正确；
不存在 ，使得点 在第二象限，D选项错误．
故选：AC．
19．（2024·山东济宁·三模）已知复数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件 D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设 ，则 ，
所以 ，
，则 ，故A正确；
B：设 ，则 ，
所以 ，
，则 ，故B错误；C：由选项A知， ， ，
又 ，所以 ，不一定有 ，即推不出 ；
由 ，得 ，则 ，则 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故C正确；
D：设 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，推不出 ；
若 ，则 ，
又 ，
同理可得 ，所以 ， ；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AC
20．（2024·河南·二模）已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的实部为
B．复数 在复平面中对应的点在第四象限
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先化简得到 ，然后用实部和共轭实数的定义判断A和B选项；由于虚数不能比较大小，故C错误；直接计算即知D正确.
【详解】我们有 ，故 的实部为 ，A正确；
由 知 ，所以 在复平面中对应的点是 ，在第四象限，B正确；
都不是实数，它们不能比较大小，C错误；
，D正确.
故选：ABD.
21．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合 ， ， 均为 的真子集，且 .则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解.
【详解】因为 ，
对于选项A：可知 ，故A错误；
对于选项B：因为 ，所以 为 的真子集，故B错误；
对于选项C：可知 为 的真子集，故C正确；
对于选项D：因为 为 的真子集，且 ，
所以 ，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
22．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合 ，集合 ，若 ，则
．
【答案】0或1
【分析】先求出集合 ，再由 可求出 的值.【详解】由 ，得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 或 ，
故答案为：0或1
23．（2024·上海·三模）已知集合 ， ，则
【答案】
【分析】把集合中的元素代入不等式 检验可求得 .
【详解】当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
24．（2024·天津·三模）己知全集 ，集合 ，集合 ，则
， ．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得 和 ，结合集合运算法则，即可
求解.
【详解】由全集 ，
集合 ，集合 ，可得 ，则 ， .
故答案为： ； .
25．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数 满足 ，若 在复平面内对应的点不在第一象限，
则 ．
【答案】
【分析】设 ，结合复数的运算以及共轭复数求 ，并结合复数的几何意义取舍.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，则 ，
解得 或 ，
又因为 在复平面内对应的点不在第一象限，可知 ，可知 ，
所以 .
故答案为： .
26．（2024·广东汕头·二模）写出一个满足 ，且 的复数 ， .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意，设 ，结合复数的运算可得 或 ，即可得到结果.
【详解】设 ， ，因为 ，
所以 ， ，
由 ，解得 或 ，
则 （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）.
