文档内容
专题 01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：在型求切线方程.................................3
题型二：过型求切线方程.................................3
题型三：已知切线斜率求参数.............................3
题型四：确定过一点可以做切线条数.......................4
题型五：已知切线条数求参数.............................4
题型六：距离问题转化为相切问题.........................5
题型七：公切线问题.....................................5
三、专项训练...........................................6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点
处的切线的斜率 ，即 .
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：函数f (x)在 x=x 或者(x ,f(x ))处的切线方程.
0 0 0
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 f (x )（方法：把 x=x 代入原函数f (x)中），切点
0 0
(x ,f(x )).
0 0第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点(x ,f(x ))，切线斜率 k=f '(x )。
0 0 0
根据直线的点斜式方程得到切线方程： y−f(x )=f '(x )(x−x ).
0 0 0
（2）过型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方
程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
3、已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
4、已知f (x)和 存在 （ ）条公切线问题
第一步 设f (x)的切点 设 的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得： 整理得：
联立已知条件
消去 得到关于 的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交
点个数；
消去 得到关于 的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 是 的导函数），
则曲线 在 处的切线方程为 ．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）曲线 在 处的切线的斜率为 .
3．（2024·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线方程为 ．
4．（2024·上海闵行·二模）函数 在 处的切线方程为 .
题型二：过型求切线方程
1．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）过点 作曲线 的切线，则切
线的条数为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）曲线 过坐标原点的切线方程为 .
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点 作曲线 的切线，写出一条切线方程：
.
4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与
轴的交点坐标为 .
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最
小值为（ ）A． B．－2 C．－1 D．0
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）直线 与曲线 相切，则实数
（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·湖南娄底·一模）若直线 是指数函数 且 图象的
一条切线，则底数 （ ）
A．2或 B． C． D． 或
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若直线 是曲线 的一条切线，则实数
．（ …为自然对数的底数．）
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线
条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3（多选）（23-24高三上·湖北·期末）设 ，点 是直线 上
的任意一点，过点 作函数 图象的切线，可能作（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
题型五：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则
正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点 可以作三条直线与曲线
相切，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过点 可作曲线 的三条不同的切
线，实数 的取值范围为 .
4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）若曲线 有且仅有两条过点 的切线，
则实数a的值为 .
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点 是曲线 上任意一点，则点 到直线
的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）函数 图象上的点到直线 的距离的
最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）若点P是曲线 上任意一点，则点P
到直线 的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线 和曲线 上的点，则 的
最小值为 ．
题型七：公切线问题
1．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线 是曲线 与
曲线 的公切线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线 与曲线 都相切，则实
数 （ ）A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·二模）已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点
处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
4．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线 既是曲线 的切线，也是
曲线 的切线，则 .
三、专项训练
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 在 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线 在点 处的切线与直线
垂直，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）曲线 ，在点 处的切
线斜率为（ ）
A．0 B． C．1 D．
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数 的图像与 轴相交于点 ，则该曲线在
点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·浙江·期中）函数 在点 处的切线方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知直线 与曲线 相切
于点 ，则 （ ）
A．-3 B．-1 C．5 D．67．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线 上的点到直线 距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－3
9．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）若点 是曲线 上任意一点，
点 是直线 上任意一点，下列选项中， 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖北·模拟预测）写出函数 的一条斜率为正的切线方程：
．
12．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数 ，若第一象限内的点 在
曲线 上，则 到直线 的距离的最小值为 .
13．（23-24高二下·河南三门峡·阶段练习）若直线 是曲线 的切线，
也是曲线 的切线，则 .
14．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
