文档内容
专题 01 函数的性质（奇偶性、对称性、周期性）
难点突破
知识讲解
一、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数
f (x)
的定义域内任意一个x,都有
偶函数 关于y轴对称
f (x)
,那么函数 就叫作偶函数
f (x)
如果对于函数 的定义域内任意一个x,都有
奇函数 关于原点对称
f (x)
,那么函数 就叫作奇函数
函数奇偶性的几个重要结论
f (x) f (x) f (x) f (x) y
(1) 为奇函数⇔ 的图象关于原点对称; 为偶函数⇔ 的图象关于 轴对称.
f (x) f (x)=f (/x/)
(2)如果函数 是偶函数,那么 .
f(x)=0，x∈D D
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即 ,其中定义域 是关于原点对称的
非空数集.
(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调
性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原
点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
f(x),g(x) D ,D
(6)设 的定义域分别是 1 2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= ,奇×奇= ,偶
+偶= ,偶×偶= ,奇×偶= .
(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.
提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明
f(−x)
与
f (x)
的关系,只有当各段上的x都满足相同
关系时,才能判断其奇偶性.
二、周期性
1.周期函数:对于函数 y=f (x) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,
那么就称函数 y=f (x) 为周期函数,称T 为这个函数的周期.
f (x) f (x)
2.最小正周期:如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作 的
.
三、对称性
y=f (x) f (a+x)=f (b−x) y=f (x)
1.若函数 满足 ,则函数 的图象关于 对称.特别地,当
a=b=0
时,
f(x)=f(−x)
,则函数
y=f (x)
的图象关于y轴对称,此时函数
y=f (x)
是偶函数.y=f (x) y=f (x) (a,b) a=0,b=0
2.若函数 满足 ,则函数 的图象关于点 对称.特别地,当 时,
f(x)=−f(−x) y=f (x) f (x)
,则函数 的图象关于原点对称,此时函数 是奇函数.
函数图象的对称性
y=f (x+a) y=f (x)
(1)若函数 是偶函数,即 ,则函数 的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于 R 上的任意x都有 ,则函数 y=f (x) 的图象关于直线x=a对称.
y=f (x+b) y=f (x) （b,0）
(3)若函数 是奇函数,即 ,则函数 的图象关于点 中心对称.
题型一、函数奇偶性的判断
1.判断下列函数的奇偶性.
√4−x2
f(x)=
|x+3|−3
(1) ;
{x2 +x,x>0,
f(x)=
x2 −x,x<0.
(2)
1−x
f(x)=
2.（2021年全国乙卷数学试题）设函数
1+x
,则下列函数中为奇函数的是( ).
f(x−1)−1 f(x−1)+1 f(x+1)−1 f (x+1)+1
A. B. C. D.
3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若 是奇函数，则 __ ___，
______．
判断函数奇偶性的方法:(1)根据定义判断,首先看函数的定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对
f(−x) f (x)
称的条件下,再化简解析式,根据 与 的关系作出判断.(2)利用函数图象特征判断.(3)分段函数奇偶
x>0 x<0 f(−x)=f(x) f(−x)=−f(x)
性的判断,要分别从 或 来判断等式 或 是否成立,只有当对称的两
个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.
题型二、根据奇偶性求值2x −1
f (x)=3+x+√1−x2 ⋅
1.（2023 年贵阳模拟数学试题）设函数 2x +1 的最大值为M ,最小值为 N ,则
M+N
的值是（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.6
2.（2023年哈尔滨模拟数学试题）函数f(x)=x(ex+e-x)+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为
M，N
,则
M+N
的值为（ ）.
A.-2 B.0 C.2 D.4
3.（2021年新高考全国Ⅱ卷数学试题）设函数f (x)的定义域为R,且f (x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函
数,则（ ）.
( 1)
f − =0
2 f(−1)=0 f (2)=0 f (4)=0
B. C. D.
A.
4．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数 ， ，则
．
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年湖南省联考数学试题）已知函数 在 上的最大值与
最小值分别为 和 ，则函数 的图象的对称中心是 .
利用函数的奇偶性求函数值,有时需根据函数所给表达式抽离出部分具有奇偶性的解析式来求解,若所
给的函数有位置偏移,则可利用奇偶函数的对称性结合图象来求解函数值.题型三、根据奇偶性求参数
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若函数 为偶
函数，则 ．
k−2x
f (x)=
4．（2023年北京模拟数学试题） 若函数
1+k⋅2x
在定义域上为奇函数,则实数k= .
f(−x)=−f(x) f(−x)=f(x)
已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个:一是利用 (奇函数)或 (偶函
f (0)=0
数)在定义域内恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函数一般利用 求解,偶函数一般利用
f(−1)=f(1)
求解.用两种方法求得参数后,一定要注意验证.
题型四、根据奇偶性求解析式
1．已知函数
f (x)
是定义在R上的奇函数,当
x≥0
时,
f(x)=2x −2x−1
,则当
x<0
时,
f(x)=
.
2．（2019年全国Ⅱ卷数学试题）设
f (x)
为奇函数,且当
x≥0
时,
f(x)=ex −1
,则当
x<0
时,
f(x)=
(
).
A．
e−x −1
B．
e−x +1 C．−e−x −1 D．−e−x +1
3．已知函数 的定义域为R， 为偶函数， 为奇函数，且当 时， ．
若 ，则 ．已知函数的奇偶性求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出解析式,或充
分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.
题型五、根据奇偶性判断图象特征
1．下列四个选项中的函数,其图象可能是右图的是（ ）.
x2 x2 x x
y= y= y= y=
A．
ex +e−x
B．
ex −e−x
C．
ex +e−x
D．
ex −e−x
f(x)=ex +e−x,g(x)=ex −e−x h(x) h(x)
2．已知函数 ,若 的图象如图所示,则 的解析式可能是（ ）.
1 1 g(x) f(x)
h(x)= h(x)= h(x)= h(x)=
f(x) g(x) f(x) g(x)
A． B． C． D．
3．（2022年高考最后一卷（押题卷一）数学试题）已知定义在R上的函数 满足 ，
且 是奇函数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
4．已知函数 ，其中 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C．曲线 是轴对称图形 D．曲线 是中心对称图形
利用函数的奇偶性与其图象的对称性,结合图象直观求解相关问题.题型六、函数的周期性及应用
1．（2023 年山东一模数学试题）已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数,对任意的实数 x,
13
( )
f =
f (x−2)=f (x+2) f (x)=x2 2
,当x∈(0,2)时, ,则 （ ）.
9 1 1 9
− −
4 4 4 4
A． B． C． D．
2．（2023 年黑龙江二模数学试题）设 f (x) 是定义在R上的周期为 2 的函数,当 x∈[−1,1) 时,
f(x)=
{−4x2 +2,−1≤x<0,
f
(3)
=
x,0≤x<1, 2
则 .
3．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））已知 在R上是奇函数，且
，当 时， ，则 （ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
4．（2023年山东模拟数学试题）已知定义在R上的奇函数 f (x) 满足 f (2+x)=f (−x) ,若 f(−1)=2 ,则
f(2021)=
（ ）.
A．-4 B．-2 C．0 D．2
(1)函数周期性常用的结论
f (x)
对函数 的定义域内任一自变量x,
f (x+a)=−f (x) T=2a(a>0)
①若 ,则 ;
1
f (x+a)=
f (x) T=2a(a>0)
②若 ,则 ;
1
f (x+a)=−
f (x) T=2a(a>0)
③若 ,则 ;
f (x+a)+f (x)=c T=2a(a>0，c为常数)
④若 ,则 .
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数
值).
T
kT(k∈Z且k≠0)
(3)在解决具体问题时,要注意结论“若 是函数的周期,则 也是函数的周期”的应用.题型六、函数的对称性
1．已知 f (x) 的定义域为R ,其函数图象关于直线 x=−3 对称,且 f (x+3)=f (x−3) ,若当 x∈[0,3] 时,
f(x)=4x +2x−11
,则下列结论错误的是（ ）.
f (x) f (x) [−6，−3]
A． 为偶函数 B． 在 上单调递减
C．
f (x)
的图象关于直线
x=3
对称 D．
f (100)=9
2．已知函数 f (x) 的定义域为R ,对任意x都有 f (2+x)=f (2−x) ,且 f(−x)=f(x) ,则下列结论正确的
是
（ ）.
A．
f (x)
的图象关于直线
x=1
对称 B．
f (x)
的图象关于点
（2,0）
对称
C． f (x) 的最小正周期为4 D． y=f (x+4) 为偶函数
3．已知函数 f (x) 的定义域为R ,且 f (x) 为奇函数,其图象关于直线x=2对称.当x∈[0,4]时,f(x)=x2-4x,则
f(2022)= .
4．（2023届湖南省一模数学试题）已知函数 的定义域为 ，若函数 为奇函数，且
， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2023届联考全国卷文科数学试题）已知 是定义在R上的函数，且满足 为偶函数，
为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）．
A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 关于点 中心对称 D．
轴对称的常用结论
a+b
x=
f (a+x)=f (b−x)⇒ y=f (x) 2
(1) 函数 的图象关于直线 对称.
f (x+a) y=f (x)
(2)函数 为偶函数 ⇒ 函数 的图象关于直线x=a对称.
命题角度2 函数的点对称
x+1
y=
f(x)（x∈R） f(−x)=2−f(x) x y=f (x)
6 ． 已 知 函 数 满 足 , 若 函 数 与 图 象 的 交 点 为
m
∑(x +y )=
(x ,y ),(x ,y ),…,(x ,y ) i i
1 1 2 2 m m ,则i=1 （ ）.A． 0 B．m C． 2m D． 4m
2x+1
g(x)=
y=f (x)−2 x f (x) g(x)
7．（2023年湖州模拟数学试题）已知函数 为奇函数, ,且 与 图象的
(x ,y ),(x ,y ),…,(x ,y ) y +y +…+y =
交点分别为 1 1 2 2 6 6 ,则 1 2 6 .
点对称的常用结论
(a+b c)
,
f (a+x)+f (b−x)=c⇒ y=f (x) 2 2
(1) 函数 的图象关于点 对称.
f (x+a) y=f (x) （a,0）
(2)函数 为奇函数 ⇒ 函数 的图象关于点 对称.
题型七、具体函数的性质综合应用
1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
y=f (x) y=f (x)
2．函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现
y=f (x) P(a,b) y=f (x+a)−b
可以将其推广为函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为
f (x)=x3 +3x2
奇函数,则函数 图象的对称中心的坐标为（ ）.
A．(-1,2) B．(-1,-2) C．(1,2) D．(1,-2)
3．（2023 年河南模拟数学试题） 已知定义域为 R的函数 f (x) 的图象关于原点对称 ,且
{(3) x
−1,0≤x<2,
2
f(x)=
5 5
− x+ ,2≤x≤4,
f (2−x)+f (x+6)=0 x∈[0,4] 8 2 f(f(2020))+f(2021)=
,当 时, 则 （ ）.
5 3 5 13
−
8 8 8 8
A． B． C． D．
4．关于函数 有下述四个结论：
① 的图象关于直线 对称 ② 在区间 单调递减
③ 的极大值为0 ④ 有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
5．（2023届重庆市质量检测数学试题）已知函数 ，正实数a,b满足
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法
(1)函数的奇偶性、周期性、对称性,一般是知二得一,特别是已知奇偶性和对称性,一般要先确定周期性.
x=0 f (0)=0 f (/x/)=f (x)
(2)若奇函数在 处有意义,则一定有 ,偶函数一定有 ,要注意这两个结论在解
题中的应用.
f (x) (a,0) x=b f (x) T=4/a−b/¿¿
(3)如果 的图象关于点 对称,且关于直线 对称,那么函数 的周期 .(类比
y=sinx
的图象)
f (x) (a,0) (b,0) f (x) T=2/a−b/¿¿
(4)如果 的图象关于点 对称,且关于点 对称,那么函数 的周期 .(类比
y=sinx
的图象)
(5)若函数 f (x) 关于直线x=a与直线 x=b 对称,则函数的周期是 2/a−b/¿¿ .(类比 y=sinx 的图象)
题型八、抽象函数的性质综合应用
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））奇函数 的定义域为 ，若
为偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的定义域为 .当 时， ；当 时， ；当 时，
.则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 f (x) 在R上有意义,记 f' (x)为函数 f (x) 的导函数,又 f(2x−1) 是奇函数,则下列判断错误的
有（ ）.
f(4x−2) f(x−1)+f(3x−1)
A． 是奇函数 B． 是奇函数C．
f(4x2 −2)
是偶函数 D．
f' (−5x−1)是偶函数
5．已知 f (x) 是定义在R上的函数,且满足 f(3x−2) 为偶函数, f(2x−1) 为奇函数,则下列说法错误的是（
）.
f (x)
A．函数 的周期为2
f (x)
B．函数 的周期为4
f (x) （−1,0）
C．函数 的图象关于点 中心对称
f (2023)=0
D．
6．已知
是定义域为R的偶函数，f(5.5)=2,g(x)=(x−1)f(x)若g(x+1)是偶函数，则
＝
（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论
f (x) g(x)=f (x)+c g(−x)+g(x)=2c g(x) （0,c）
(1)若函数 是奇函数,且 ,则必有 , 的图象关于点 对称.
f (x) g(x)=f (x−a)+h (a,h)
(2)若函数 是奇函数,则函数 的图象关于点 对称.
(3)若函数
f (x)
是偶函数,且
g(x)=f(x−a)
,则必有
g(a−x)=g(a+x)
,
g(x)
的图象关于直线x=a对
称.
(4)若函数
y=f (x+a)
为奇函数(或偶函数),则函数
y=f (x)
的图象关于点
（a,0）
对称(或关于直线x=a
对称).
(5)若函数
f (x)
满足
f(x+t)=f(t−x)(或f(x)=f(2t−x)
,则函数
f (x)
的图象关于直线x=t对称;
f (x) f (x+2t)=f (x) f (x) 2t(t≠0)
(6)若函数 满足 ,则函数 以 为周期.
题型九、利用函数的性质解抽象不等式
1．函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且
f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））设 分别是定义在 上的奇函
数和偶函数，当 时， ．且 ，则不等式 的解集是（ ）A． B．
C． D．
4．（2023届湖北省联合调研测试数学试题）已知函数 ，若 成
立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设函数 ,则使
成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知函数 是定义在R上的偶函数,
且在区间 单调递增. 若实数a满足 , 则a的取值范围是（ ）
7．已知定义域为R的函数， 是奇函数.
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
8．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
∀
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.题型十、利用函数的性质解比较大小
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知奇函数 ，且 在
上是增函数.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则
A． B．
C． D．
3．已知定义在R上的函数 为偶函数,记 ,则
,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知定义在 R上的函数 f (x) 满足:① f (x+2)=f (x) ;② f (x−2) 为奇函数;③当 x∈[0,1) 时,
f(x )−f(x ) 15 11
1 2 >0(x ≠x ) f ( − ) ，f (4),f ( )
x −x 1 2 2 2
1 2 恒成立,则 的大小关系是( ).
11 15 11 15
( ) ( ) ( ) ( )
f >f (4)>f − f (4)>f >f −
2 2 2 2
A． B．
15 11 15 11
( ) ( ) ( ) ( )
f − >f (4)>f f − >f >f (4)
2 2 2 2
C． D．
6．若定义在R上的奇函数 f (x) 满足 f(x+2)=−f(x) ,且在[0,1]上是减函数,则有( ).
(3) ( 1) (1) (1) ( 1) (3)
f
