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第 05 讲 根与系数的关系
课程标准 学习目标
1. 掌握根与系数的关系的基本式并能够熟练的进行求值。
①根与系数的关系 2. 掌握根与系数的拓展式，能够熟练对拓展式变形再利用基本式对其
求值。
知识点01 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别
是
与 。
①求 。
②求 。
2. 根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；③ ； ④ ；
⑤ 。
⑥ 。
【即学即练1】
1．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x +x ﹣x x 的值是 ．
1 2 1 2 1 2
【即学即练2】
2．已知x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则 的值为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【即学即练3】
3．若a，b是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
题型01 根与系数的关系求基本式子
【典例1】若x ，x 是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x •x ＝（ ）
1 2 1 2
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【变式1】已知x ，x 是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x +x x +x 的值是（ ）
1 2 1 1 2 2
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【变式2】若x ，x 是方程x2﹣8x+7＝0的两个根，则 ＝（ ）
1 2
A． B． C． D．
【变式3】若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x ﹣x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．2025 B．2023 C． D．
【变式4】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣
2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4题型02 利用基本式子求拓展式子的值
【典例1】设x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则 ＝（ ）
1 2
A．﹣11 B．4 C．16 D．38
【变式1】一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x ，x ，则 的值为（ ）
1 2
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【变式2】已知 和 是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，则 ＝（ ）
α β
A．﹣6 B． C．6 D．
【变式3】已知 ， 是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则 的值等于（ ）
α β
A． B． C． D．
【变式4】若x ，x 是方程2x+4＝x2的两个根，则（x +1）（x +1）的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式5】设x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则 + ＝（ ）
1 2
A． B． C．3 D．5
【变式6】若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，则 的值为（ ）
α β
A． B．2024 C． D．±2024
题型03 利用根与系数的关系求代数式的值
【典例1】已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2﹣n的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【变式2】若m，n为方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【变式3】如果m，n是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，那么代数式 2n2﹣
mn+2m+2021的值为（ ）
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
【变式4】m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
题型04 利用根与系数满足的关系式求未知字母
【典例1】已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x ，x ，若x x +3x +3x ＝1，则实数k的值为（
1 2 1 2 1 2
）
A． B．﹣8 C．﹣10 D．10
【变式1】设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x +1）（x +1）
1 2 1 2
＝8，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3
【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x 、x ，且 + ＝3，则p的值为（ ）
1 2
A． B． C．﹣6 D．6
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x 、x ，且 + ＝4，则k
1 2
的值是（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
【变式4】已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，若6x +x ＝0，则k的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【变式5】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x 和x ，且|x |＝|x |，m的
1 2 1 2
值为（ ）
A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1
题型05 根与系数的关系求方程的另一个根
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
【变式1】已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 ．
【变式2】若关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，则另一个根和m的值分别为（ ）
A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根．
题型06 根与系数与根的判别式
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程的两根分别为x ，x ，且满足x +x ＝3x x ，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x ，x 是原方程的两根，且 ，求m的值．
1 2
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，求（a﹣b）2的值．
【变式3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x ，x ，且|x ﹣x |＝2，那么称这
1 2 1 2
样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程 x2+2x＝0的两个根是x ＝0，x ＝﹣2，|0﹣（﹣2）|＝
1 2
2，方程x2+2x＝0是“伴根方程”．
（1）判断方程x2+8x+15＝0是否为“伴根方程”；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“伴根方程”，求m的值．
1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程
的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
2．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（ ）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的两个根为x ，x ，且x ＝2x ，则m﹣x +x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x的一元二次方程x2﹣14x+m＝0的两个实数根，且其面积为
20，则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8
5．已知m，n是一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
6． ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程x2﹣5x+6＝0两根之和与两根之积，则对角线AC长的
取值范围是（ ）
▱
A．AC＞1 B．1＜AC＜6
C．AC＞5或AC＜11 D．1＜AC＜11
7．平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 的两个实数根．若AB的长为
2，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣1）2+b
（y﹣1）+c＝0的两根之积是（ ）
A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
9．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+k2x+1＝0有两个实数根x ，x ，且满足（x +1）（x +1）＝2，
1 2 1 2
则k的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝﹣2 D．k＝1或k＝﹣2
10．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（其中 a≠0）的解是 x ＝4，x ＝﹣6，且 m 满足
1 2
，则 的值是（ ）
A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣8
11．已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 ．
12．关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣4，两根之积为3，则m+n的值为 ．
13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且 + ＝ ，则m＝ ．
1 2
14．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 ．15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，
n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
16．已知关于x的一元二次方程x2+9x+20﹣2k2＝0．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为x ，x ，且满足 + ﹣x x ＝19，求m的值．
1 2 1 2
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，
求m的值．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x 和x ．
1 2
（1）填空：x +x ＝ ，x x ＝ ；
1 2 1 2
（2）求 + ，x + ；
1
（3）已知 + ＝2p+1，求p的值．
20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ．
【例题解析】：如图3，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9；
又∵ab＝1，∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，∴S大正方形 ＝9，又∵ab＝1，∴S
2
＝S
3
＝ab＝1，
∴S 1 +S 4 ＝S大 正方形 ﹣S 2 ﹣S 3 ＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解
决很多数学问题．
【类比迁移】：
（2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝ ．
（3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积
和S +S ＝29，求图中阴影部分面积．
1 2
