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第 05 讲 最短路径
课程标准 学习目标
1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，
①最短路径的基本原理 点到直线的距离最短。
②最短路径的基本模型 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对
称，垂直平分线的性质解决相应题目。
知识点01 最短路径的基本原理
1. 最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 。如图， 号线最短
②点到直线的距离 。如图， 最短。③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。
知识点02 最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短
1. 如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：
方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线
的交点即为要找的点M。
解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最
小。
证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的
∴MP MP’
∴MP＋MQ＝ ＋MQ＝ 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度
题型考点：①基本作图。②求值计算。
【即学即练1】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【即学即练2】2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运
动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
知识点03 最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短
1. 如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小：
方法点拨：分别作点 P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’
P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。
解：如图，分别作点 P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’
P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长
最小。
证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。
∴AP AP’，BP BP’’
∴ ＝ ＋AB＋ ＝
∴△PAB的周长最小。
题型考点：①基本作图。②求值计算。
【即学即练1】
3．如图，已知∠O，点 P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点 A、B，使△PAB 周长最小的是
（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
4．如图，已知∠AOB的大小为 ，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的
α动点，若△PEF周长的最小值等于5，则 ＝（ ）
α
A．30° B．45° C．60° D．90°
知识点04 最短路径基本类型——角内两点与角两边构成的四边形周长最短
1. 如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最
小：
方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边
OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。
解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接
DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边
形PQMN的周长最下。
证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 ，OB是PC的 。
∴MD MQ，NP NC。
＝PQ＋ ＋MN＋
＝PQ＋ 。
∴四边形PQMN的周长最小。
题型考点：①基本作图。
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作
图，不需写作法，保留作图痕迹）
知识点05 最短路径基本类型——造桥选址问题
1. 如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄 P到村庄Q的路程
最短：方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直
线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。如下图：
题型考点：①基本作图。
【即学即练1】
6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假
定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A． B．
C． D．
题型01 最短路径的作图
【典例1】
小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区 A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最
小，则送奶站C的位置应该在（ ）A． B．
C． D．
【典例2】
如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总
长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】
如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使
1 2 1 2
得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【典例4】
将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M
出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队（即选择点 P和Q），可
以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【典例5】
如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l 放羊，然后赶羊到小河l 饮水，之后再回到B处的家，假设
1 2
山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
【典例6】
如图：要求在l 、l 上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写
1 2
画法，保留作图痕迹）题型02 最短路径的计算
【典例1】
如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上
有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【典例2】
如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则
AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【典例3】
如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最
小时，则∠MAN的度数为（ ）
A． a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【典例4】
如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长
的最小值为（ ）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【典例5】
如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则
△APC周长的最小值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．13.5
【典例6】
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于
E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【典例7】
如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等
边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+ b D． a
【典例8】
如图，在四边形ABCD中，∠C＝ °，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最
小时，∠EAF的度数为（ ）
αA． B．2 C．180﹣ D．180﹣2
α α α α
