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第 05 讲 直线与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1. 理解直线与圆的几种关系。
①直线与圆的位置关系 2. 会判断一条直线是否是圆的切线以及会过圆上一点
②切线的性质 作圆的切线。
③切线的判定 3. 理解并掌握圆的判定定理与性质定理。
4. 能够熟练的运用性质与判定解决相关题目。
知识点01 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r 直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。（2）d ＝ r 直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，交点叫
做直线与圆的 切点 。
（3）d＞r 直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。
考点题型：①直线与圆的位置关系判断。
②根据直线与圆的位置关系求半径的范围。
【即学即练1】
1．已知 O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与 O的位置关系是（ ）
A．直线l与 O相交 B．直线l与 O相离
⊙ ⊙
C．直线l与 O相切 D．无法确定
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
⊙
∴直线l与 O相离．
⊙
故选：B．
⊙
【即学即练2】
2．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【即学即练3】
3．平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝﹣x与 A的
位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上情况都有可能
【解答】解：如图，
∵A（3，4），∴AO＝5，
∵点A到直线y＝﹣x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB＜AO，
∴直线y＝﹣x与 A的位置关系是相交，
故选：C．
⊙【即学即练4】
4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那
么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝ ，
当直线与圆如图所示也可以有交点，∴ ≤r≤4．
故选：C．
【即学即练5】
5．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且 B与边CD有唯一公共点，则r
的取值范围是 3 ≤ r ≤ 5 ．
⊙
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝ ＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆， B与边CD有唯一公共点，
∴ B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
⊙
故答案为：3≤r≤5
⊙
知识点02 切线的判定
1. 切线的判定：
经过半径的 外端点 且与这条半径 垂直 的直线叫做圆的切线。
2. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
6．如图，点C是 O上一点，点P在直径AB的延长线上， O的半径为3，PB＝2，PC＝4．求证：PC
是 O的切线．
⊙ ⊙
⊙
【解答】证明：连接OC，∵ O的半径为3，PB＝2，
∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5，
⊙
∵PC＝4，
∴OC2+PC2＝OP2，
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC，
∵OC是 O的半径，
∴PC是 O的切线．
⊙
【即学即练2】
⊙
7．如图，线段AB经过圆心O，交 O于点A、C，AD为 O的弦，连接BD，∠BAD＝∠B＝30°，直线
BD是 O的切线吗？如果是，请给出证明．
⊙ ⊙
⊙
【解答】解：直线BD是 O的切线．
证明如下：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
⊙
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是 O的切线．
【即学即练3】
⊙
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上， D经过点A和点B且与BC边相交于
点E，求证：AC是 D的切线．
⊙
⊙
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，
在 D中，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
⊙
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD⊥AC，
又∵DA是半径，
∴AC是 D的切线．
【即学即练4】
⊙
9．如图，已知AB是 O的直径，BC是 O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．求证：DC是
O的切线；
⊙ ⊙
⊙
【解答】证明：连接OD，
∵BC是 O的切线，
∴∠B＝90°，
⊙
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3＝∠1＝∠4，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC＝90°，又∵CD过半径OD的外端点D，
∴DC是 O的切线；
【即学即练5】
⊙
10．如图， O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延
长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是 O的切线．
⊙ ⊙
⊙【解答】证明：连接0C，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠OAC，
则∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴DE是 O的切线．
⊙
【即学即练6】
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，OE⊥AB，垂足为E，以O为圆心，OE为半径作
O．试说明 O与CD相切．
⊙ ⊙
【解答】证明：如图，延长EO交CD于点F．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD．
∵在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝CD，
∴S△AOB ＝ OA•OB＝ OC•OD＝S△COD ，即 AB•OE＝ CD•OF，∴OE＝OF．
∵OE为 O的半径，
∴OF是 O的半径，
⊙
∴ O与CD相切．
⊙
⊙
知识点03 切线的性质
1. 切线的性质：
（1）圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。
【即学即练1】
12．如图，AB是 O的直径，点C在 O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点
D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．16° B．18° C．26.5° D．37.5°
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵CD为 O的切线，
∴∠OCD＝90°．
⊙
∵OB＝OC，∠ABC＝53°，
∴∠OCB＝53°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝127°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝37°，
∴∠D＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝16°．
故选：A．【即学即练2】
13．如图，直线AB与 O相切于点A，AC，CD是 O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于
点E，若 O的半径⊙为5，CD＝8，则弦AC的长⊙为 4 ．
⊙
【解答】解：如图：连接OC
∵直线AB与 O相切于点A，
∴OA⊥AB，
⊙
∵CD∥AB，
∴AE⊥CD．
∵CD＝8，
∴ ．
在Rt△OCE中， ，
∴AE＝AO+OE＝8，
则 ．
故答案为：4 ．
【即学即练3】
14．如图，AB为 O的直径，点C，点D在 O上，且点C是 的中点，DE是 O的切线且DE⊥AC交
AC的延长线于点E，连接OC．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2 ，求AC的长．【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是 O的切线，
∴∠ODE＝90°，
⊙
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵点C是 的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F，
则四边形OFED为矩形，
∴OF＝DE＝2 ，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝ ＝4，
∴AC＝4．
【即学即练4】
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与BC相交于点D，过点D作 O的切线交AC于点
E．
⊙ ⊙
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若 O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
⊙【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，
∵ O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
⊙
∴AD＝ ＝6，
∵S△ADC ＝ AC•DE，
∴DE＝ ＝ ＝ ．
题型01 直线与圆的位置关系
【典例1】
已知 O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与 O的位置关系是 相交 ．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于 O的半径为3cm，
⊙ ⊙
∴直线l与 O相交．
⊙
故答案为：相交．
⊙【典例2】
已知 O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则直线l与 O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙ ⊙
【解答】解：∵圆心到直线的距离为3 cm， O的半径为5cm，
5＞3 ， ⊙
∴直线和圆相交．
故选：A．
【典例3】
设 O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z与 O相切
时，m的值为 9 ．
⊙ ⊙
【解答】解：∵d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两个根，且直线Z与 O相切，
∴d＝R，
⊙
∴方程有两个相等的实根，
∴Δ＝36﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【典例4】
如图，已知 O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且
与OA平⊙行的直线与 O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 0 ＜ x ≤ ．
⊙
【解答】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC，
∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝1，
∴OP＝ ，
同理，原点左侧的距离也是 ，且线段的长度是正数，
∴x的取值范围是0＜x≤ ，
故答案为：0＜x≤ ．【典例5】
如图， O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交 O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所
在直线平移后与 O相切，则平移的距离是（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【解答】解：连接OB，
∵AB⊥OC，
∴AH＝BH，
∴BH＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，
∴OH＝ ＝3，
又∵将直线l通过平移使直线l与 O相切，
∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，
⊙
∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5﹣3＝2（cm）；
当向上平移时，直线l平移的距离＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
题型02 切线的判定与性质
【典例1】
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作 O交BD的延长线于点E，CE＝
BC．
⊙
（1）求证：CE是 O的切线；
⊙（2）若CD＝2，BD＝2 ，求 O的半径．
⊙
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠1＝∠2．
∵OE＝OD，
∴∠3＝∠4．
又∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是 O的半径，
∴CE是 O的切线．
⊙
（2）在⊙Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2 ，
BC＝CE＝4．
设 O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
⊙
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴ O的半径为3．
【典例2】
⊙
如图，AB＝AC，点O在AB上， O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙
（2）若AC与 O相切于点G， O的半径为3，CF＝1，求AC长．
⊙
⊙ ⊙【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）解：连接OG，
∵AC与圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，
解得：x＝8，
则AC＝8．
【典例3】
如图， O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E， O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是
O的直径．
⊙ ⊙
（1）求证：AB是 O的切线；
⊙
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
⊙【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是 O的切线；
⊙
（2）解：∵AB是 O的切线，
∴∠BDO＝90°，
⊙
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是 O的切线，
∴AD＝AC，
⊙
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝6，∴AC＝6．
【典例4】
如图，AB为 O的直径，C，D是 O上的点，P是 O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是 O的切线；
⊙ ⊙ ⊙
（2）若DE＝ ，⊙∠BAC＝60°，求 O的半径．
⊙
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP＝90°，
∴∠ODP＝∠AEP＝90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是 O的半径，
∴PD是 O的切线；
⊙
（2）解：连接BD，
⊙
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∵AC⊥PE，DE＝ ，
∴AD＝2DE＝2 ，∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴x2+（2 ）2＝（2x）2，
∴BD＝2，AB＝4，
∴AO＝2，
∴ O的半径为2．
⊙
【典例5】
如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作 O交AB于点F，连接DB交 O于点H，E是BC上的一点，
且BE＝BF，连接DE．
⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）若BF＝2，D⊙H＝ ，求 O的半径．
⊙
【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是 O的直径，
∴∠DFA＝90°，
⊙
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是 O的半径，
∴DE是 O的切线；
⊙
⊙
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是 O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
⊙
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝ ，
∴DB＝2DH＝2 ，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴ ，
∴AD＝5．
∴ O的半径为 ．
⊙1．已知 O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与 O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，
∴直线l与 O相离．
⊙
故选：C．
⊙
2．在直角坐标系中，点P的坐标是 ， P的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A． P与x轴、y轴都有两个公共点
⊙
B． P与x轴、y轴都没有公共点
⊙
C． P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
⊙
D． P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
⊙
【解⊙答】解：∵P（2， ），圆P的半径为2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
3．如图，OA交 O于点B，AC切 O于点C，D点在 O上．若∠D＝25°，则∠A为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．25° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切 O于点C，
∴OC⊥AC
⊙
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于 O，BC经过圆心O，过点D作 O的切线DE，交BC的延长线于点E，
AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．35° C．40° D．50°
【解答】解：连接OA，OD，如图，
∵∠B＝60°，OA＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵DE是 O的切线，
∴∠ODE＝90°，
⊙
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
故选：A．
5．如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，过点C作 O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若
BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．4 B．2 C．8 D．4
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD为 O的切线，
∴OC⊥CD，
⊙
∵BD＝AO＝4，
∴∠D＝30°，CD＝ ＝ ＝4 ，
∴∠COD＝60°，
由圆周角定理得：∠A＝ ∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝4 ，
故选：D．
6．如图，直线y＝ x+ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0）， P与y轴相
切于点O．若将 P沿x轴向左移动，当 P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点 P的个数是（
⊙
）
⊙ ⊙A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：令y＝0，则 ，
解得x＝﹣3，
则A点坐标为（﹣3，0）；
令x＝0，则y＝ ，
则B点坐标为（0， ），
∴tan∠BAO＝ ，
∴∠BAO＝30°，
作 P′与 P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
⊙ ⊙
则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1，
∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．
故选：A．
7．如图所示，AB 是 O 的直径， O 交 BC 的中点于 D，DE⊥AC 于 E，连接 AD，则下列结论：
⊙ ⊙
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝ AC；④DE是 O的切线，正确的有（ ）
⊙A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AB是 O直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝ AB，
∴OA＝ AC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．8．如图，点A是 O上一定点，点B是 O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺
时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（ ）
⊙ ⊙
①点A'在 O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′＝ ∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与
O相切．
⊙
⊙
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°，
∴△AOA′是等边三角形，
同理可得，
△ABB′是等边三角形，
①∵△AOA′是等边三角形，
∴OA′＝OA，
∴点A′在 O上，
故①正确，
⊙
∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°，
∴∠OAB＝∠A′AB′，
∵OA＝AA′，AB＝AB′，
∴△OAB≌△A′AB′，
故②正确，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′＝OB，∵OB＝OA＝AA′，
∴AA′＝A′B′，
∴∠A′AB′＝∠A′B′A，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠BAA′，
∵∠BOA′＝2∠BAA′，
∴∠BB′A′＝ ∠BOA′，
故③正确，
④如图，
过点O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，
∵OA＝OB，B′A＝B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB ＝30°，
∴OB′＝2OC，
∵OB′＝2OA＝2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴BB′是 O的切线，
故④正确，
⊙
综上所述：①②③④均正确，
故选A．
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 r
＝ 4. 8 或 6 ＜ r ≤ 8 ．
【解答】解：当直线AB和圆相切时，圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴ ，
∴ ；
当圆与直线AB相交，此时半径要大于AC且半径不大于BC，
∴6＜r≤8；
故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．
10．如图，AB为 O的直径，CB为 O的切线，AC交 O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运
动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 38 ° ．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：如图，连接BD，∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB为 O的切线，
∴CB⊥AB，
⊙
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案为：38°．
11．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的 P的圆心P从点A
⊙（4，m）出发以每秒 个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝
1 或 3 或 5 秒时， P与坐标轴相切．
⊙
【解答】解：设 P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
⊙
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2 ，AC＝4 ，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当 P与x轴相切时，
⊙
∵点D是切点， P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
⊙
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝ ，
∴AP＝AB﹣PB＝ ，
∵点P的速度为每秒 个单位长度，
∴t＝1；
②如图， P与x轴和y轴都相切时，
⊙∵PB＝ ，
∴AP＝AB+PB＝3 ，
∵ P的速度为每秒 个单位长度，
∴t＝3；
⊙
③当 P只与y轴相切时，
⊙
∵PC＝ ，
∴AP＝AC+PC＝5 ，
∵ P的速度为每秒 个单位长度，
∴t＝5．
⊙
综上所述，则当t＝1或3或5秒时， P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
⊙
12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以
2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t
（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 1 s ， 4 s ， 7 s 时，Rt△ABC的一边所
在直线与半圆O所在的圆相切．
【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
因为圆心O运动到点B时停止，
所以此种情况不符合题意舍去，
故答案为：1s，4s，7s．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上， O经过点C且与AB边
⊙
相切于点E， ．
（1）求证：AF是 O的切线；
（2）若BC＝6，AB＝10，求 O的半径长．
⊙
⊙
【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴ ，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵ ，
∴∠FAC＝∠CAD，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上， O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是 O的半径，
⊙
∴OH＝OE，OH是 O的半径，
⊙
∴AF是 O的切线；
⊙
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
⊙
∴ ，
∵BE，BC是 O的切线，
∴BC＝BE＝6，
⊙
∴AE＝10﹣6＝4
设 O的半径为r，则OC＝OE＝r，
⊙在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
∴16+r2＝（8﹣r）2，
∴r＝3．
∴ O的半径长为3．
14．如图1，AB为 O直径，CB与 O相切于点B，D为 O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
⊙
（1）求证：CD为 O的切线；
⊙ ⊙ ⊙
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF
⊙
的长．
【解答】（1）证明：连接OD,
∵CB与 O相切于点B,
∴OB⊥BC,
⊙
∵AD∥OC,
∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC,
∵OA＝OD,
∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC,
∴△DOC≌△BOC（SAS),
∴∠ODC＝∠OBC＝90°,
∴OD⊥DC,
又OD为 O半径,
⊙∴CD为 O的切线；
（2）解：设CB＝x,
⊙
∵AE⊥EB,
∴AE为 O的切线,
∵CD、CB为 O的切线,
⊙
∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO,
⊙
∴BD⊥OC,
过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4,
∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2,
解得x＝9,
∴CB＝9,
∴OC＝ ＝ ,
∵ ＝ ,
∴BF＝ ．
15．如图，AB是 O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，
CF与AB的延长线相交于点F．
⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠F；
⊙
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
【解答】解：（1）连接OC，∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是 O的切线．
（2）∵⊙点C是 中点，
∴ ，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵ ，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD＝∠F，
∵ ，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠F．
（3）如图：
∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于点H，设OH为x，则CH为（5﹣x），根据勾股定理，
62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得： ，
∴ ，
∵OH是中位线，
∴ ．
