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第 05 讲 相似三角形的性质
课程标准 学习目标
1. 掌握相似三角形对应线段的性质并能够在解决问题时熟练的
①相似三角形对应线段的性质
应用。
②相似三角形的周长的性质
2. 掌握相似三角形的周长和面积的性质，并能够在解决问题时
③相似三角形的面积的性质
熟练的应用。
知识点01 相似三角形对应线段的性质
1. 相似三角形对应线段的比：
相似三角形对应的高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于 相似比 。一般的，相似三
角形对应线段的比等于 相似比 。
【即学即练1】
1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）A．4.5 B．8 C．12 D．13.5
【分析】由相似三角形的对应边的比相等推出AB：DE＝AC：EC，即可求出DE的长．
【解答】解：∵△ABC∽△EDC，
∴AB：DE＝AC：EC，
∵AC：EC＝3：4，AB＝6，
∴DE＝8．
故选：B．
【即学即练2】
2．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：16 D．16：81
【分析】由相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似之比为4：9，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴这两个三角形对应边上的高之比为4：9，
故选：B．
知识点02 相似三角形的周长的性质
1. 相似三角形的周长的性质：
相似三角形的周长的比等于 相似比 。
2. 推导：
AB AC BC
= = =k
ΔABC∽ΔA'B'C' A'B' A'C' B'C'
若 ，
C
ΔABC
=
AB+BC+AC
=
AB
=k
C A'B' +B'C' +A'C' A'B'
则
ΔA'B'C'
（等比的性质）
【即学即练1】
3．已知△ABC～△A B C ，△ABC 和△A B C 的相似比为 3：1，则△ABC 和△A B C 的周长比为
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（ ）
A．9：1 B．6：1 C．3：2 D．3：1
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC与△A B C 的相似比为3：1，
1 1 1
∴△ABC与△A B C 的周长之比3：1．
1 1 1
故选：D．
【即学即练2】
4．已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝3：6＝1：2，
∵△ABC的周长为20，
∴△DEF的周长为40．
故选：C．
知识点03 相似三角形的面积的性质
1. 相似三角形的面积的性质：
相似三角形的面积比等于 相似比的平方 。
2. 推导：
BC AD
= =k
ΔABC∽ΔA'B'C' B'C' A'D'
，
若
1
BC⋅AD
S 2
ΔABC
=
=k⋅k=k2
S 1
ΔA'B'C' B'C' ⋅A'D'
2
则
【即学即练1】
5．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据“两个三角形相似，那么它们的面积比是相似比的平方”进行求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，
∴它们的面积比是1：16，
故选：D．
【即学即练2】
6．已知△ABC∽△A B C ，且 ＝ ．若△ABC的面积为4，则△A B C 的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B．6 C．9 D．18
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△A B C ， ，
1 1 1
∴ ＝（ ）2＝ ，∵△ABC的面积为4，
∴△A B C 的面积为9，
1 1 1
故选：C．
题型01 利用相似的性质求线段比
【典例1】如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4，
故选：B．
【变式1】若两个相似三角形周长的比为1：3，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于周长比，即可得出答案．
【解答】解：∵相似三角形对应边的比等于周长比，且周长的比为1：3，
∴这两个相似三角形的对应边的比为1：3，
故选：B．
【变式2】若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81
【分析】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴它们对应边上的中线之比为1：3．
故选：C．
题型02 利用相似三角形的性质求线段长度
【典例1】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，若△ABE∽△DEF，AB＝6，DE＝2，
DF＝3，则AE的长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．4
【分析】根据相似三角形的性质求出AE的长即可．
【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，DF＝3，DE＝2，∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AE＝9．
故选：C．
【变式1】如果△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积分别是25和36，其中△ABC的最短边的长度是
5，那么△DEF的最短边的长度是（ ）
A．16 B．25 C．5 D．6
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积分别是25和36，
∴△ABC与△DEF的相似比为：5：6，
∵△ABC的最短边的长度是5，
∴△DEF的最短边的长度是6，
故选：D．
【变式2】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，其中 ，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，
∴S△ABC ：S△ADE ＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，
∵CB＝ ，
∴DE＝ ．
故选：A．
【变式3】如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点 B和8的两条线段（两条线段的另一端在
刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，
则AB的长度是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用数轴知识和三角形相似的性质解答．
【解答】解：∵由题意可知线段平行，
∴可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式，
＝ ，
，
AB＝6．
故选：D．
题型03 利用相似的性质求周长和面积的比
【典例1】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（ ）
A．1：4 B．1： C．2：1 D．1：2
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选：D．
【变式1】两个相似三角形的相似比为4：9，则它们的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的面积比为42：92＝16：81，
故选：C．
【变式2】若△ABC∽△DEF且周长之比1：3，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：3 B． C．1：9 D．3：1
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，求解．
【解答】解：∵相似三角形的周长之比是1：3，
∴相似比是1：3，
∵面积之比是相似比的平方，
∴面积之比是1：9．
故选：C．【变式3】若△ABC∽△DEF，且S△ABC ：S△DEF ＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C． ：2 D．2：
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC ：S△DEF ＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可
求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC ：S△DEF ＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为： ：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为： ：2．
故选：C．
题型04 利用相似的性质求周长和面积
【典例1】已知△ABC∽△DEF，相似比为1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．45
【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∵△ABC的周长为15，
∴△DEF的周长＝15×3＝45，
故选：D．
【变式1】△ABC∽△DEF，且 ，若△ABC面积为4，则△DEF的面积是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．18
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且 ，△ABC面积为4，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∴△DEF的面积是9．
故选：C．
【变式2】△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面
积为（ ）
A．15 B．14.4 C．12 D．10.8
【分析】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，∴ ＝ ，
∵△ABC面积为10，
∴解得：S△A′B′C′ ＝14.4．
故选：B．
【变式 3】小康利用复印机将一张长为 5cm，周长为16cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形长为
10cm，则放大后的矩形周长为（ ）
A．16cm B．21cm C．32cm D．42cm
【分析】根据原矩形的长和周长，即可得到放大后矩形的周长．
【解答】解：∵原矩形长为5cm，放大后的矩形长为10cm，
∴原矩形与放大后的矩形相似比为1：2，
∵原矩形的周长为16cm，
∴放大后的矩形周长为32cm，
故选：C．
1．如图，若△ABC∽△DEF，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据相似三角形的对应角相等，然后由三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E，
∵∠D+∠E+∠F＝180°，∠D＝70°，∠F＝50°，
∴∠E＝60°，
∴∠B＝∠E＝60°，
故选：B．
2．如果两个相似三角形对应面积的比为10：9，则这两个三角形对应周长的比是（ ）
A．10：9 B．5：4.5 C． D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为10：9，
∴相似比是 ：3，又∵相似三角形对应周长的比等于相似比，
∴对应周长的比为 ：3，
故选：D．
3．如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠ADC
B．
C．CA平分∠BCD
D．AC是BC、CD的比例中项
【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠DCA， ＝ ＝ ，
∴CA平分∠BCD，AC是BC、CD的比例中项，
故A、C、D正确，不符合题意；B错误，符合题意；
故选：B．
4．已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
【分析】根据相似三角形的性质求出三角形的相似比，再根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长之比为2：3，
∴三角形的相似比是2：3，
∴它们的面积之比是4：9，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝
∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）#ZZ01AA．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
【分析】在△ABC 中，依据三角形外角及已知可得∠BAD＝∠CDE，结合等腰三角形易证
△ABD∽△DCE；结合AD＝DE，易证△ABD≌△DCE，得到BD＝CE；当DE⊥AC时，结合已知求得
∠EDC＝50°，易证AD⊥BC，依据等腰三角形“三线合一”得BD＝CD．
【解答】解：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
甲同学正确；
∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴BD＝CE，
乙同学正确；
当DE⊥AC时，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
D为BC的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：D．
6．如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．81：16 B．3：2 C．1：1 D．9：4
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案．【解答】解：∵两个相似三角形的相似之比为3：2，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为3：2，
故选：B．
7．已知△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18cm2和8cm2，若AB＝6cm，则DE的长为（ ）
A． B．4cm C．9cm D．
【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18cm2和8cm2，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵AB＝6cm，
∴DE＝ ＝ ＝4（cm），
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，且AB＝3OD，若点A的坐标为（﹣2，0），则点C的
坐标为（ ）
A．（0，1） B． C．（1，0） D．
【分析】根据相似三角形的性质求出AC＝3OC，根据题意求出OA＝2，则AC＝OA+OC＝2+OC，再根
据2+OC＝3OC求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ODC，且AB＝3OD，
∴AC＝3OC，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2+OC，
∴2+OC＝3OC，
∴OC＝1，
点C的坐标为（1，0），
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°， ，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，△ADE与
△ABC相似，则AE的长为（ ）A．1 B．2 C．1或 D．2或
【分析】解直角三角形求出AD＝ AB＝ ，AC＝2BC＝4， ＝ ，根据相似三角形的性质分情况
求解即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝2，
∴tanA＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝ AB＝ ，
∴ ＝ ，
如图1，△ADE∽△ABC，当∠ADE＝∠B＝90°时，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE＝ AC＝2；
如图2，△ADE∽△ACB，当∠AED＝∠B＝90°时，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ，
综上所述，AE的长为2或 ，
故选：D．
10．如图，平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），C为AB的中点，D在x轴上，若以A，C，D组
成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（4，0）或
C．（3，0）或 D．（3，0）或（﹣1，0）
【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，进而可得出 AC 的长，再根据△AOB∽△ADC 与
△AOB∽△ACD两种情况进行讨论．
【解答】解：∵点A（6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝ ＝10，
∵C为AB中点，
∴AC＝BC＝5，
①如图，当△AOB∽△ADC时， ，
即 ，解得：AD＝3，
∴OD＝AO﹣AD＝6﹣3＝3，
∴点D（3，0），
②如图，
当△AOB∽△ACD时， ，
即 ，解得：AD＝ ，
∴OD＝AD﹣AO＝ ，
∴点D（﹣ ，0），
综上可知：D（3，0）或（﹣ ，0）．
故选：C．
11．如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周
长为 4 0 cm．
【分析】根据相似三角形周长比等于面积比的算术平方根列式计算．
【解答】解：设较小的三角形的周长为x cm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴ ＝ ，
解得x＝40，
故答案为：40．
12．如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且 ，若S△ADE ＝1，则
S△ABC ＝ 4 ．
【分析】根据相似三角形性质可得到 ，结合已知即可得出结果．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且 ，
∴△ADE与△ABC相似比为 ，
∴ ，
∵S△ADE ＝1，
∴S△ABC ＝4S△ADE ＝4，
故答案为：4．
13．△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是6、7、8，边AB上有一点M，AM＝2，过点M的直线截
△ABC其它边的交点是点N，如果截得的△AMN相似于△ABC，那么CN的长为 或 ．
【分析】当点N在BC上时，△AMN不可能相似于△ABC，故只需分两种情况：①△AMN∽△ABC，
②△AMN∽△ACB，进行讨论，再利用相似三角形的性质得出答案，主要利用了相似三角形的对应边
成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【解答】解：当点N在BC上时，△AMN不可能相似于△ABC；
当点N在AC上时，分情况讨论如下：
①如图，△AMN∽△ABC，∴ ，
∵AM＝2，AC＝7，AB＝6，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
②如图，△AMN∽△ACB，
∴ ，
∵AM＝2，AC＝7，AB＝6，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴CN为 或 ．
故答案为： 或 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD
的最大值为 ．【分析】由相似三角形的性质得出CD＝ AC2，进而求出CD＝ （9﹣BC2）＝3﹣ BC2，设BC＝x，
则BC+CD＝﹣ + ，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△CAD，
∴ ＝ ，
∵AB＝3，
∴ ＝ ，
∴CD＝ AC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，
∴CD＝ （9﹣BC2）＝3﹣ BC2，
设BC＝x，
∴BC+CD＝x+3﹣ x2
＝﹣ +
∴x＝ 时，BC+CD的最大值为 ．
故答案为： ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝3，CD＝7．E是CD边上的一个动点，
若△ADE与△BCE相似，则DE的最大值为 6 ，最小值为 1 ．
【分析】由于∠ADE＝∠BCE＝90°，故要使△ADE 与△BCE 相似，分两种情况讨论：
①△AED∽△BEC，②△AED∽△EBC，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出DE的长，即可解答．
【解答】解：由题意可知：∠D＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°．
设DE的长为x，
∵CD＝7，
∴CE长为7﹣x．
要使△ADE与△BCE相似，那么分两种情况：
①△AED∽△BEC，则 ，
∵AD＝2，BC＝3，CD＝7，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
②△AED∽△EBC，则 ，
∵AD＝2，BC＝3，CD＝7，
∴ ，
解得x＝1或x＝6，
经检验，x＝1或x＝6是分式方程的解且符合题意，
综上，DE的长为1或6或 ，
∵ ，
∴DE的最大值为6，最小值为1．
故答案为：6，1．
16．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH
和DG的比．
【分析】根据相似三角形的判定和性质度量即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC～△DEF，∴∠B＝∠E，
∵AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，
∴∠AHB＝∠DGE＝90°，
∴△ABH∽△DEG，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
17．如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2．
（1）求EF的长．
（2）求证：∠BEF＝90°．
【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例， ，结合已知条件，从而得到DF的长，
利用直角三角形勾股定理，从而得到结果；
（2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果．
【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF，
∴ ，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴ ，
∴DF＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠EDF＝90°，
∴在Rt△DEF中，
；
（2）证明：∵△ABE∽△DEF，
∴∠ABE＝∠DEF，
∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D．
（1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长；
（2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长．【分析】（1）证明△ADE∽△ACB即可求解；
（2）由△CEB∽△CBA 得到 ，求得 BC＝2，利用勾股定理可得 ，再证明
△AED∽△ABC即可求解；
【解答】解：（1）∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝4；
（2）∵△CEB∽△CBA，
∴ ，
∴BC2＝CE•CA＝1×（1+3）＝4，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中， ，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这
条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角
线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四
边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论．
（2）如图2中，当∠BAD+ ∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明
△ACB∽△DCA，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC＝35°，
∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°，
∴∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）解：如图2中，当∠BAD+ ∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．理由：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD+ ∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于
点F
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AC＝3，AB＝5．
①求CE的长；
②点P是AF延长线上一点，若△CEF与△BPF相似，请直接写出FP的长．
【分析】（1）利用直角三角形性质和角平分线的条件证明∠CFA＝∠CEF，即可得出△CEF是等腰三
角形；
（2）①证明△CAE∽△BAF，利用相似三角形对应边成比例可求得CE的长；
②作CH⊥AF于H，证明△FCH∽△FAC，可求得FH，即可得出EF的长，再分△CFE∽△BFP和
△CFE∽△PFB，分别求解即可得出FP的长．
【解答】解：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠BAF，
∴∠CFA＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形；（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCD＝∠B，
∵∠CAF＝∠BAF，
∴△CAE∽△BAF，
∴ ，
设CE＝CF＝x，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4，
∴ ，解得x＝1.5
∴CE＝1.5；
②如图1，作CH⊥AF于H，
∵∠FHC＝∠ACF＝90°，∠HFC＝∠CFA，
∴△FCH∽△FAC，
∴ ，
∴FH＝ ，
∴EF＝2FH＝ ，
当△CFE∽△BFP时，有 ，
∴FP＝ ；
如图2，当△CFE∽△PFB时，有 ，
即 ，即FP＝ ．
