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第 05 讲 直线与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1. 理解直线与圆的几种关系。
①直线与圆的位置关系 2. 会判断一条直线是否是圆的切线以及会过圆上一点
②切线的性质 作圆的切线。
③切线的判定 3. 理解并掌握圆的判定定理与性质定理。
4. 能够熟练的运用性质与判定解决相关题目。
知识点01 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r 直线与圆 ，有 个交点，直线叫圆的 。（2）d r 直线与圆相切，与圆只有 个交点，此时直线叫做圆的 ，交点
叫做直线与圆的 。
（3）d＞r 直线与圆 ，与圆 公共点。
考点题型：①直线与圆的位置关系判断。
②根据直线与圆的位置关系求半径的范围。
【即学即练1】
1．已知 O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与 O的位置关系是（ ）
A．直线l与 O相交 B．直线l与 O相离
⊙ ⊙
C．直线l与 O相切 D．无法确定
⊙ ⊙
【即学即练2】
⊙
2．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【即学即练3】
3．平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝﹣x与 A的
位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上情况都有可能
【即学即练4】
4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那
么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
【即学即练5】
5．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且 B与边CD有唯一公共点，则r
的取值范围是 3 ≤ r ≤ 5 ．
⊙知识点02 切线的判定
1. 切线的判定：
经过半径的 且与这条半径 的直线叫做圆的切线。
2. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
6．如图，点C是 O上一点，点P在直径AB的延长线上， O的半径为3，PB＝2，PC＝4．求证：PC
是 O的切线．
⊙ ⊙
⊙
【即学即练2】
7．如图，线段AB经过圆心O，交 O于点A、C，AD为 O的弦，连接BD，∠BAD＝∠B＝30°，直线
BD是 O的切线吗？如果是，请给出证明．
⊙ ⊙
⊙【即学即练3】
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上， D经过点A和点B且与BC边相交于
点E，求证：AC是 D的切线．
⊙
⊙
【即学即练4】
9．如图，已知AB是 O的直径，BC是 O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．求证：DC是
O的切线；
⊙ ⊙
⊙
【即学即练5】
10．如图， O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延
长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是 O的切线．
⊙ ⊙
⊙【即学即练6】
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，OE⊥AB，垂足为E，以O为圆心，OE为半径作
O．试说明 O与CD相切．
⊙ ⊙
知识点03 切线的性质
1. 切线的性质：
（1）圆的切线 经过 的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 。
【即学即练1】12．如图，AB是 O的直径，点C在 O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点
D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．16° B．18° C．26.5° D．37.5°
【即学即练2】
13．如图，直线AB与 O相切于点A，AC，CD是 O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于
点E，若 O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 ．
⊙ ⊙
⊙
【即学即练3】
14．如图，AB为 O的直径，点C，点D在 O上，且点C是 的中点，DE是 O的切线且DE⊥AC交
AC的延长线于点E，连接OC．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2 ，求AC的长．
【即学即练4】
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与BC相交于点D，过点D作 O的切线交AC于点
E．
⊙ ⊙
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若 O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
⊙题型01 直线与圆的位置关系
【典例1】
已知 O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与 O的位置关系是 ．
【典例2】
⊙ ⊙
已知 O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则直线l与 O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙ ⊙
【典例3】设 O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z与 O相切
时，m的值为 ．
⊙ ⊙
【典例4】
如图，已知 O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且
与OA平行的直线与 O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 ．
⊙
⊙
典例4 典例5
【典例5】
如图， O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交 O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所
在直线平移后与 O相切，则平移的距离是（ ）
⊙ ⊙
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
⊙
题型02 切线的判定与性质
【典例1】
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作 O交BD的延长线于点E，CE＝
BC．
⊙
（1）求证：CE是 O的切线；
（2）若CD＝2，B⊙D＝2 ，求 O的半径．
⊙
【典例2】
如图，AB＝AC，点O在AB上， O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙
（2）若AC与 O相切于点G， O的半径为3，CF＝1，求AC长．
⊙
⊙ ⊙【典例3】
如图， O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E， O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是
O的直径．
⊙ ⊙
（1）求证：AB是 O的切线；
⊙
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
⊙
【典例4】
如图，AB为 O的直径，C，D是 O上的点，P是 O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是 O的切线；
⊙ ⊙ ⊙
（2）若DE＝ ，⊙∠BAC＝60°，求 O的半径．
⊙【典例5】
如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作 O交AB于点F，连接DB交 O于点H，E是BC上的一点，
且BE＝BF，连接DE．
⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）若BF＝2，D⊙H＝ ，求 O的半径．
⊙
1．已知 O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与 O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙ ⊙
2．在直角坐标系中，点P的坐标是 ， P的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A． P与x轴、y轴都有两个公共点
⊙
B． P与x轴、y轴都没有公共点
⊙
C． P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
⊙
D． P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
⊙
3．如图，OA交 O于点B，AC切 O于点C，D点在 O上．若∠D＝25°，则∠A为（ ）
⊙
⊙ ⊙ ⊙A．25° B．40° C．50° D．65°
4．如图，四边形ABCD内接于 O，BC经过圆心O，过点D作 O的切线DE，交BC的延长线于点E，
AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，过点C作 O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若
BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．4 B．2 C．8 D．4
6．如图，直线y＝ x+ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0）， P与y轴相
切于点O．若将 P沿x轴向左移动，当 P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点 P的个数是（
⊙
）
⊙ ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图所示，AB 是 O 的直径， O 交 BC 的中点于 D，DE⊥AC 于 E，连接 AD，则下列结论：
⊙ ⊙
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝ AC；④DE是 O的切线，正确的有（ ）
⊙第7题 第8题 第10题
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，点A是 O上一定点，点B是 O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺
时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（ ）
⊙ ⊙
①点A'在 O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′＝ ∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与
O相切．
⊙
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
⊙
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 ．
10．如图，AB为 O的直径，CB为 O的切线，AC交 O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运
动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 ．
⊙ ⊙ ⊙
10．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的 P的圆心P从点A
（4，m）出发以每秒 个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运 ⊙
动的时间为t秒，则当t＝ 秒时， P与坐标轴相切．
⊙
12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝
30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在
直线 BC 上．设运动时间为 t（s），运动开始时，半圆 O 在△ABC 的左侧，OC＝8cm．当 t＝
时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上， O经过点C且与AB边
⊙
相切于点E， ．
（1）求证：AF是 O的切线；
（2）若BC＝6，AB＝10，求 O的半径长．
⊙
⊙14．如图1，AB为 O直径，CB与 O相切于点B，D为 O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为 O的切线；
⊙ ⊙ ⊙
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF
⊙
的长．15．如图，AB是 O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，
CF与AB的延长线相交于点F．
⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠F；
⊙
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
