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第 05 讲 正方形的性质和判定
【 题
型 1
利用正方形的性质求解】
【题型2添一个条件使四边形是正方形】
【题型3证明四边形是正方形】
【题型4中点四边形】
【题型5正方形的判定与性质综合】
考点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称
轴）
【题型1利用正方形的性质求解】
【典例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，
连接BD，DE，则∠BDE=（ ）
A．37.5° B．35° C．30° D．25°
【变式1-1】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，正方形ABCD的顶点B、C的坐标分别为(0,3)，
(2,0)，则点A的坐标为（ ）A．(2,6) B．(3,5) C．(3,4) D．(3,6)
【变式1-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，菱形ABCD的边长是2cm，DE⊥AB 于点 E．若
∠A=60°，则菱形ABCD的面积为 cm2．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东河源·期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A ，
1
A ，…，A 分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
2 n
A．n−1
cm2
B．n
cm2
C．(1) n
cm2
D．
1cm2
4 4 4
考点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型2添一个条件使四边形是正方形】
【典例2】（24-25九年级上·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原
来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等
【变式2-1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线
EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，为了使四边形BECF是正方形．可以添加一个条件
（ ）
A．CE=CF B．DE=DF C．∠A=45° D．E为AB的中点
【变式2-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A． BD=AC B． DC=AD C．∠AOB=60° D． OD=CD
【变式2-3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 (添
加一个条件即可).
【题型3证明四边形是正方形】
【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形BCED是平行四边形，D为边AB上的中点，
AC=BC，连接AE，CE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若AC⊥BC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AO⊥BD，垂足为O，过
点O分别作OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F，求证：四边形OECF是正方形．【变式3-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，
∠BAC=90°，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接DF．
(1)求证：AB=AF；
(2)请增加一个条件，使得四边形ACDF为正方形．（不需要说明理由）
【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交
于点O，E是AC延长线上一点，若BE=DE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠BDC=∠ACD，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【题型4中点四边形】
【典例4】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中
点，G、H分别是BD、AC的中点．(1)请判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
(2)四边形ABCD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形，请说明理由．
(3)四边形ABCD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．
【变式4-1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，
CD，D的中点，下列说法中不正确的是( )
A．四边形EFGH一定是平行四边形
B．若AC=BD，则四边形EFGH是菱形
C．若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形
D．若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形
【变式4-2】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相垂直，
点E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，依次连接这四个中点得到四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若AC=9,BD=7，求四边形EFGH的周长．【变式4-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形ABCD，
(1)如图（1），若AC=BD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断四边形
EFGH的形状，并说明理由．
(2)如图（2），若AC⊥BD于O，AB=4，CD=6，求BC2+AD2的值．
【题型5正方形的判定与性质综合】
【典例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射
线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF=DE，连接FE．
(1)求证：△AEF是等腰直角三角形；
(2)若四边形AECF的面积为36，DE=6，直接写出AE的长．
【变式5-1】（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一角，利用图①所示的方法折叠，使点B落在AD上的点F处，得到折痕AE，
连接EF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上操作，解答下列各题．
(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)若AB=8，AD=12，求线段BM的长．
【变式5-2】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点
E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)若AD=AE，求证：AB=AG；
(3)在（2）的条件下，已知AB=1，求OF的长．
【变式5-3】（2023八年级下·江苏·专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC、∠BAC的平分线相
交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F．(1)求证：四边形DECF为正方形；
(2)若BC=8，AC=6，求正方形DECF的面积．
一、单选题
1．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定
2．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，直线m、n、l分别经过A、B、
C三点，且m∥n∥l．若m与n之间的距离是2，n与l之间的距离是3，则CD的长是（ ）
A．3 B．4 C．❑√13 D．3❑√2
3．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在正方形ABCD以BC为边作等边三角形△EBC，连接
AE,DE，则∠EAD的度数为（ ）A．10∘ B．15∘ C．20∘ D．25∘
4．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正
方形ABCD的面积为（ ）
A．❑√3 B．3 C．❑√5 D．5
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是边CD、AD的
中点，连接BE、BF，点M，N分别是BE、BF的中点，则MN的长为（ ）
A．5 B．❑√2 C．2❑√2 D．2
二、填空题
6．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应
点为点D′，点C落在点C′处，若AB=5，AD′=2，则折痕MN的长为
.
7．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC的中点，AF，DE相交
于点G，连接GC，若AB=2，则CG的长为 ．8．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）如图，在正方形ABCD中，点A的坐标是(0,2)，点B的坐标是(3,0)，
则点C的坐标是 ．
三、解答题
9．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A
落在P处，折痕为EF．已知BD长为16❑√2．
(1)求线段AB的长；
(2)线段CF的长．10．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形ABCD中，E是边CD上一点，（点E不与点C，
D重合），连接BE．
(1)如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．证明：△ABF≌△BCE．
(2)如图②，取BE的一点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．求证：BE=FG．
