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专题 08 抛体运动
1.掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解方法分析平抛运动.
2.会处理平抛运动中的临界、极值问题．
考点一 平抛运动的规律及应用
平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v 方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
0
1．平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 Δt内的速度改
变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．2．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图所示)
推导：
→tan θ＝2tan α
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即x ＝.
B
推导：→x ＝
B
【典例1】（2022·宁夏开元学校高三考试）如图所示，用平抛竖落仪做演示实验，A小球做平抛运动的同
时B小球做自由落体运动，观察到的实验现象是 （ ）
A．两小球同时到达地面
B．A小球先到达地面
C．B小球先到达地面
D．以上说法都不正确
【答案】A
【解析】平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，可知两球同时落体，故A正确，BCD错误。
故选A。
【典例2】（2022·广东·惠来县第一中学高三阶段练习）一个人水平抛出一小球，球离手时的初速度为
v0，落地时的速度是vt，空气阻力忽略不计，下列哪个图像正确表示了速度矢量变化的过程 （
）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】小球水平抛出后，只受到重力作用.所以水平方向上速度不变，将保持匀速直线运动；竖直方向上
在重力作用下速度逐渐增大，做匀加速直线运动。所以任意两个时刻的速度之差：水平分速度之差为零，
竖直分速度之差为
沿着竖直方向向下。
故选B。
考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图
所示，即已知速度的方向垂直于斜面
分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进
已知速度方向
入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度
方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝＝
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所
示，已知位移的方向沿斜面向下
分解位移tan θ＝＝＝
已知位移方向
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小， 分解位移tan θ＝＝＝如图所示，已知位移方向垂直斜面
从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，
如图所示，位移大小等于半径R
利用位移关系
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R
的圆弧上，如图所示，水平位移x与R
的差的平方与竖直位移的平方之和等于
半径的平方
【典例3】2022年北京冬季奥运会比赛项目“跳台滑雪”被称为“勇者的游戏”，其滑道由助滑道、起跳
区、着陆坡、停止区组成。如图所示为某滑雪爱好者从助滑道上滑下，在起跳区末端（ 点正上方高
处），第一次以速度 水平飞出，经过时间 ，落在着陆坡 的中点处。已知 长为 ，若第二次该滑
雪者在起跳区末端以 的速度水平飞出（不计空气阻力），则滑雪者（ ）
A．在空中飞行时间变为 B．着陆点离 点的距离大于C．着陆时的速度方向与第一次相同 D．着陆时重力做功的瞬时功率是第一次的一半
【答案】B
【解析】A．滑雪者在空中做平抛运动，将滑雪者的运动分解为沿斜面和垂直斜面的分运动，如图所示
设着陆坡 的倾角为 ，第一次以速度 水平飞出，滑雪者在垂直斜面方向做初速度大小为 ，加速
度大小为 的匀减速运动，则有
解得
或
（舍去）
第二次以速度 水平飞出，滑雪者在垂直斜面方向有
解得
可得
B．第一次以速度 水平飞出，水平方向有第二次以速度 水平飞出，设着陆点离 点的距离为 ，水平方向有
可得
B正确；
C．设第一次着陆时的速度方向与水平方向的夹角为 ，则有
设第二次着陆时的速度方向与水平方向的夹角为 ，则有
可知两次着陆时的速度方向不相同，C错误；
D．第一次着陆时的重力做功的瞬时功率为
第一次着陆时的重力做功的瞬时功率为
D错误。
故选B。
【典例4】（2022·山东·临沭县教育和体育局高三期中）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、B
与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度 水平抛出，小球落到C点，运动时间
为 ，第二次从A点以速度 水平抛出，小球落到D点，运动时间为 ，不计空气阻力，则（ ）A．
B．
C．小球落到D点时，速度方向可能垂直圆弧
D．小球落到C点时，速度方向与竖直方向夹角为
【答案】A
【解析】AB．连接AC和AD，如图
设AC和AD的在竖直方向上的长度分别为hAC和hAD，根据图像可知
且有
，
可得
设AC和AD的水平方向上的长度分别为xAC和xAD，则有
， ，
可得A正确，B错误；
C．连接OD，如图所示
设
则有
，
可得
若速度方向垂直圆弧，则速度方向与水平方向的夹角也为θ，则有
则有
整理得
即
这说明小球从A点抛出后速度方向没有发生过改变，显然这时不可能的，所以小球落到D点时，速度方向
不可能垂直圆弧，C错误；
D．小球落到C点时，设小球的位移偏转角为α，即AC与水平方向的夹角为α，则有可得
根据平抛运动规律，设小球的速度偏转角为β，即小球落到C点时速度方向与水平方向的夹角为β，满足
说明β一定大于45°，则速度与水平方向的夹角一定小于45°，D错误。
故选A。
考点三 平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)
物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向
恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
【典例5】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4
m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物
件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
【答案】B
【解析】小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度 v最大．此时有：L＝v t, h＝
max1
gt2，
1
代入数据解得：v ＝7 m/s，
max
小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，
则有：L＋d＝v t，H＋h＝gt2，
min2 2
代入数据解得：v ＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误．
min
【典例6】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高
点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，
右端出口距离桌面的高度应设计为( )A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
【答案】C
【解析】小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛
运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞
得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确．
考点四 斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
0
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示
的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v ＝vcos θ，v ＝vsin θ.
0x 0 0y 0
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v t＝(vcos θ)t①
0x 0
v＝v ＝vcos θ②
x 0x 0
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v t－gt2＝(vsin θ)t－gt2③
0y 0
v＝v －gt＝vsin θ－gt④
y 0y 0
(1)斜抛运动中的极值
在最高点，v＝0，由④式得到t＝⑤
y
将⑤式代入③式得物体的射高y ＝⑥
m
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t ＝⑦
总
将⑦式代入①式得物体的射程x ＝
m
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
0
(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根
据对称性求解某些问题．
【典例7】（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，A球质
量大于B球质量，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同，空气阻力不计，下列说法正确
的是（ ）
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度可能等于A在最高点的速度
D．B在落地时速度比A在落地时的大
【答案】D
【解析】A．两球做斜抛运动，加速度均等于重力加速度，故A错误；
B．因为两球运动的最大高度相同，根据 可知两球抛出时的竖直分速度大小相同，再根据 可
知两球的飞行时间相同，故B错误；
C．两球在最高点时的速度等于斜抛运动的水平分速度，而B的水平位移比A的水平位移大，根据
可知B在最高点的速度一定大于A在最高点的速度，故C错误；
D．根据速度的合成可知小球落地时的速度大小为
根据前面分析可知
，所以落地时
故D正确。
故选D。
一、单选题
1.（2022·河南·濮阳一高模拟预测）如图所示，斜面倾角为 ，在斜面上方某点处，先让小球（可视
为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为 ，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在
斜面上，运动的时间为 ，不计空气阻力，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小球抛出的初速度为 ，则打到斜面上时，速度沿竖直方向的分速度
水平位移
抛出点离斜面的高度
又解得
D正确
故选D。
2．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学高三阶段练习）如图所示，用线悬挂的圆环链由直径为5 cm的圆环连接
而成，枪管水平放置，枪管跟环5在同一水平面上，且两者相距100 m，子弹初速度为1000 m/s。若在开
枪的同时烧断悬线，子弹应穿过第几个环（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】A
【解析】子弹射出枪口后做平抛运动，平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，刚开始枪口与第
5个环心处在同一水平线面上，若在开枪的同时烧断悬线，子弹与第五环在竖直方向上的运动情况相同，
所以子弹能穿过第五环。A正确，BCD错误。
故选A。
3．（2021·北京四中高三期中）如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度
va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下
列关系式中正确的是（ ）A．va＞vb B．ta＞tb
C．va＝vb D．ta＜tb
【答案】B
【解析】BD．平抛运动的竖直方向上为自由落体运动
得
a小球下落高度大，所以空中运动时间长
ta>tb
故B正确，D错误；
AC．平抛运动的水平方向为匀速直线运动
两小球运动水平位移x相同，ta>tb，可得
va<vb
故AC错误。
故选B。
4.（2021·广东梅县东山中学高三期中）“套圈圈”是许多人喜爱的一种游戏，如图所示，小孩和大人在同
一竖直线上的不同高度先后水平抛出小圆环，且小圆环都恰好套中同一个物体。若小圆环的运动视为平抛
运动，则（ ）
A．小孩抛出的圆环运动时间较短
B．大人抛出的圆环运动时间较短
C．小孩抛出的圆环初速度较小
D．两人抛出的圆环初速度大小相等
【答案】A【解析】AB．平抛运动的物体飞行时间由高度决定，依题意，有
可知小孩抛出的圆环运动时间较短。故A正确；B错误；
CD．水平位移相等，根据
则大人抛环的速度小。故CD错误。
故选A。
5．（2022·河北·模拟预测）如图甲所示，足够长的斜面AB固定放置，一小球以不同初速度 从斜面A点
水平抛出，落在斜面上的位置离A点距离为s，得到 图线如图乙所示，若图乙的斜率为k，则k等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平抛运动的规律可得
得到
则
故选A。6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测）如图，倾角θ=30°的斜面体ABC固定在水平面上，斜面AC长
为L，在斜面中点D处立有一根竖直的细杆，从斜面顶端A点水平抛出一个小球，小球刚好能越过竖直细
杆并落在斜面的底端C。不计空气阻力，小球可视为质点，则细杆的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设小球的初速度为 ，从抛出到落在斜面的底端C的时间为t，则根据平抛运动规律有
设当小球运动到细杆上方时，花的时间为 ，下降高度为H，则有
联立得到
D点到水平面的高度为
所以细杆的长度 为
故选A。
7.（2023·全国·高三专题练习）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑
下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设斜坡倾角为 ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
可得
运动员在水平 段做匀速直线运动，加速度
运动员从 点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度
设在 点的速度为 ，则从 点飞出后速度大小的表达式为
由分析可知从 点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且
C正确，ABD错误。
故选C。
8．（2022·河南·洛宁县第一高级中学模拟预测）极限运动是结合了一些难度较高，且挑战性较大的组合运
动项目的统称，如图所示的雪板就是极限运动的一种。图中 是助滑区、 是起跳区、 是足够长的
着陆坡（认为是直线斜坡）。极限运动员起跳的时机决定了其离开起跳区时的速度大小和方向。忽略空气阻力，运动员可视为质点。若运动员跳离起跳区时速度大小相等，速度方向与竖直方向的夹角越小，则运
动员（ ）
A．飞行的最大高度越大
B．在空中运动的加速度越大
C．在空中运动的时间越短
D．着陆点距 点的距离一定越远
【答案】A
【解析】A．若运动员跳离起跳区时速度大小相等，速度方向与竖直方向的夹角越小，则竖直分速度越大，
则飞行的最大高度越大，A正确；
B．运动的加速度为重力加速度，是不变的，选项B错误；
CD．竖直分速度越大，运动时间越长，但水平分速度越小，则着陆点距 点的距离不一定越远，CD错误。
故选A。
9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球 以初
速度 水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球 以初速度 竖直向上抛出。在 上升到最高点时恰与
球 相遇，不计空气阻力。则在这个过程中，下列说法错误的是（ ）
A．两球均做匀变速运动
B．两球的速度变化量相等C．相遇点在N点上方 处
D．仅增大 ，两球将提前相遇
【答案】D
【解析】A．两个球的加速度都是重力加速度，加速度恒定，做的都是匀变速运动，故A正确，不符合题
意；
B．由 ，可知它们速度的变化量相同，方向均竖直向下，故B正确，不符合题意；
C．S 球做平抛运动，竖直方向有
1
S 球做竖直上抛运动，则有
2
，
由题意得
解得
，
所以相遇点在N点上方 处，故C正确，不符合题意；
D．由上述分析可知，两球相遇时间由h、v 决定，故两球若相遇水平距离需满足
2
故仅增大 ，两球将不会相遇，故D错误，符合题意。
故选D。
10.（2022·重庆南开中学高三阶段练习）如图所示，半径为a的四分之一圆弧面紧靠竖直墙壁固定在水平
面上，其圆心正上方3a处有一小球以某速度水平抛出，其轨迹恰与圆弧面相切（图中未画出）。则在相切
处，小球速度与水平方向夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意有
如图可知，速度偏转角θ的余弦值等于角α的正弦值，对小球水平与竖直位移分析可知
联立解得
故ACD错误，B正确。
故选B。
二、多选题
11.（2022·山东·高三专题练习）如图所示，某同学将离地 的网球以 的速度斜向上击出，击球点
到竖直墙壁的距离 。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为 的P点。网球与墙壁碰
撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取 ，网
球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设网球飞出时的速度为 ，竖直方向
代入数据得
则
排球水平方向到 点的距离
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量
则反弹后的网球速度大小为网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离
故BD正确，AC错误。
故选BD。
12．（2022·山东·高三专题练习）如图所示，一小球从距平台某一高度处水平抛出后，恰好落在第1级台
阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处。已知小球第一、二次与台阶相碰之间
的时间间隔为0.4s，每级台阶的宽度均为L=24cm、高度均为h=20cm。小球每次与台阶碰撞后速度的水平
分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的 ，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度大小为1.2m/s
B．小球抛出点距平台的竖直高度为4.5cm
C．小球第三次与第5级台阶紧靠右边缘处相碰
D．小球第三次与第6级台阶上的某位置处相碰
【答案】AC
【解析】A．小球从第1级台阶下落至第3级台阶做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，小球的初速度
大小为
故A正确；
B．设小球抛出点距平台的竖直高度为H，则小球下落至第1级台阶竖直方向速度根据题意，由第1级台阶反弹后速度大小为
又
联立以上各式代入数据得
故B错误；
CD．假设小球第三次能与第5级台阶紧靠右边缘处相碰，离开第3级台阶竖直方向速度大小为
第3级台阶与第5级台阶竖直高度
根据
解得
这段时间水平距离
假设成立，所以小球第三次与第5级台阶紧靠右边缘处相碰，故C正确，D错误。
故选AC。
三、解答题
13.（2021·全国·高三专题练习）跑酷（Parkour）是以日常生活的环境（多为城市）为运动场所，依靠自身
的体能，快速、有效、可靠地利用任何已知与未知环境的运动艺术。一跑酷运动员在一次训练中的运动可
简化为以下运动：如图所示，运动员先在距地面高为 的高台上加速跑，到达高台边缘时以
的速度水平跳出高台，然后在空中调整姿势，恰好垂直落在一倾角为 的斜面上，此后运动员迅速调整姿势蹬斜面后沿水平方向离开斜面。若将该运动员视为质点，不计空气阻力，重力加速度的大小
为 。
（1）若运动员落到水平地面上，求运动员在空中运动的总时间t；
（2）若运动员落到斜面上，求运动员离开斜面时的最大速度v的大小。
【答案】（1）1.2s；（2）3m/s
【解析】解：（1）运动员在空中做平抛运动，因运动员垂直落在斜面上，故
解得
根据竖直方向运动规律，有
解得
竖直位移为
解得
故落点距离地面的高度为
运动员跳离斜面到落地的时间为t，则
2解得
故运动员落地的总时间为
（2）运动员飞离斜面到落到斜面底端过程的水平初速度最大，此过程的水平位移为
，
解得
14．（2022·全国·高三专题练习）如图，两级台阶高度相同，一小球从台阶顶部的边缘以某一速度向右水
平抛出，其落点恰为第一个台阶靠近边缘A点处；反弹后再次下落正好落在第二个台阶的边缘B点。小球
与台阶的碰撞为弹性碰撞，忽略空气阻力。求第二个台阶的宽度与第一个台阶的宽度的比值。
【答案】（ +1）：1
【解析】设台阶高度均为h，从抛出到A点时间为t，从A反弹到B时间为t
1 2
h＝
到A竖直方向速度
v＝gt
1 1
由于弹性碰撞竖直方向反弹速度
v＝v
2 1
从A到B，竖直方向上做匀变速直线运动，向下为正方向
联立解得水平方向上做匀速直线运动
x＝vt
所以
15．（2022·北京房山·二模）跳台滑雪比赛时，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，
如图所示。测得A、B间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为37°。 ， ，不计
空气阻力，重力加速度g取 ，试计算：
（1）运动员在空中的飞行时间t；
（2）运动员在A处水平飞出时速度大小 ；
（3）运动员着陆时速度大小 。
【答案】（1）3s；（2）20m/s；（3）
【解析】（1）运动员的竖直位移大小为
解得
（2）运动员的水平位移大小为
运动员在A处水平飞出时速度大小为（3）运动员在B点的竖直分速度大小为
根据速度的合成可得
16.（2022·全国·高三专题练习）2022年2月15日，北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国选手苏翊
鸣第二跳挑战内转1800，腾空高度达到8.49m，完美落地，锁定胜局并最终夺冠。运动员的重心运动过程
简化图如图所示，若其滞空时间 ，最高点B与着坡点C的高度差 、水平间距 ，
取重力加速度大小 ， ，求：
（1）运动员过B点时的速度大小 ；
（2）起跳点A与着坡点C的水平间距 。
【答案】（1） ；（2） 。
【解析】（1）运动员从B点运动至C点的过程为平抛运动，设运动时间为 ，有
解得
又
解得（2）运动员从A点运动至B点的逆过程满足平抛运动规律，设其运动时间为 ，有
解得
解得
则
解得
