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难点 07 圆周运动的临界问题
一、水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆．
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动．
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，
会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，
从而出现临界问题．
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
4．解决方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，
然后再列方程求解．
【例1】（2022·云南·德宏傣族景颇族自治州教育体育局教育科学研究所高三期末）如图所示，将一个质量
为m=0.2kg的物体放在水平圆桌上，物体到圆心的距离L=0.2m，圆桌可绕通过圆心的竖直轴旋转，若物体
与桌面之间的动摩擦因数为μ=0.5，物体可看成质点，物体与圆桌一起绕固定轴匀速转动（设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）。下列说法中正确的是（ ）
A．物体与圆桌一起匀速转动的线速度大小与圆桌边缘线速度大小相等
B．物体与圆桌一起匀速转动的最大向心加速度是5m/s2
C．物体与圆桌一起匀速转动的最大角速度是25rad/s
D．在角速度一定时，物体到转轴的距离越近，物体越容易脱离圆桌【例2】（2022·河北衡水·二模）2022年2月7日，我国运动员任子威、李文龙在北京冬奥会短道速滑男子
1000米决赛中分获冠、亚军。如图所示为短道速滑比赛场地示意图，比赛场地周长约为 ，其中直
道长度为 ，弯道半径为 。若一名质量为 的运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，
转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员可看作质点，重力加速
度g取 ，则（ ）
A．该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为
B．该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为
C．运动员受到冰面的作用力最大为
D．运动员受到冰面的作用力最大为
二、竖直面内圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的
实例 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
“过山车”等
图示
受力
示意
图
F 弹 向下或等于零 F 向下、等于零或向上
弹
力学
mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
方程
F ＝0 v＝0
弹
临界
mg＝m 即F ＝0
向
特征
即v ＝ F ＝mg
min 弹
(1)最高点，若v≥，F 弹 ＋mg＝m，绳或 (1)当v＝0时，F 弹 ＝mg，F 弹 背离圆心
讨论
分析 轨道对球产生弹力F 弹 (2)当0时，mg＋F ＝m，F 指向圆心
弹 弹
并随v的增大而增大
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例3】（2022·江苏·公道中学模拟预测）如图所示，A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直
光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心
O。两球用轻质铰链与长为L（L>2R）的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，某时刻小球A获
得水平向左的初速度，沿着圆环恰能上升到P点。其中M、N、P三点分别为圆轨道上最低点、圆心的等
高点和最高点，重力加速度为g（ ）
A．小球A的初动能为
B．当小球A到达P点时，其加速度大小一定为g
C．当小球A运动到N点时，A球与B球的速度大小之比为2：1
D．小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小
【例4】（2021·湖南·模拟预测）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，管径略
大于小球的直径，内侧壁半径为R，小球半径为r，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度为
B．小球通过最低点时的最小速度为C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
三、斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此
类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例5】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离
转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定
越大
C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D．ω的最大值是1.0 rad/s
一、单选题
1．（2022·黑龙江·汤原县高级中学一模）如图所示，一轻杆一端固定在O点，杆长10cm，另一端固定一
小球，小球质量是0.2kg，在竖直面内做圆周运动，到达最高点时，杆与小球间弹力大小为N，小球在最高
点的速度大小为v， g取10m/s2 下列说法正确的是（ ）
A．当v为3m/s 时，杆对小球弹力N方向向上B．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力N为10N
C．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力方向向上
D．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力N为0N
2．（2022·海南·西南大学东方实验中学模拟预测）汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象。
如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球。当汽车通过拱形桥面的最高点和通过
凹形桥面最低点时速度大小均为v。已知汽车的质量为M，小球的质量为m，桥面的圆弧半径均为r，重力
加速度取g。下列说法正确的是（ ）
A．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
B．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
C．甲图中力传感器的示数大小为
D．乙图中力传感器的示数大小为
3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止
时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距
离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的
是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于C．若转台转动的角速度为 ，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
4．（2022·广东茂名·二模）金家庄特长螺旋隧道为2022年冬奥会重点交通工程。该隧道工程创造性地设
计了半径为860m的螺旋线，有效减小了坡度，通过螺旋线实现原地抬升112m，如图所示。对这段公路的
相关分析，下列说法正确的是（ ）
A．车辆以额定功率上坡时，速度越大，牵引力越大
B．螺旋隧道设计能有效减小坡度，主要目的是增大车辆行驶过程中的摩擦力
C．车辆转弯处，路面应适当内低外高
D．车辆以某一恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需的向心力越大
5．（2022·江苏·三模）无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮
转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，
冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是（ ）
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．管状模型转动的角速度 最大为
D．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
6．（2022·湖南衡阳·三模）如图所示，在粗糙的水平地面上有一斜面，轻绳绕过两光滑的定滑轮，左端与
粗糙斜面上的物块P相连，右端与小球相连，轻绳PC恰好与斜面垂直。现将小球从A处由静止释放，小球在AB间摆动过程中，斜面体和物块P始终保持静止不动，则小球从A→O→B的运动过程中（ ）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
C．若小球运动到O点，轻绳断裂，小球将做自由落体运动
D．若小球运动到O点，轻绳断裂，物块P可能会沿斜面运动
7．（2022·重庆一中高三阶段练习）智能呼啦圈轻便类观，深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨
道，将滑轮置于轨道内，滑轮通过一根不可伸长的绳子与配重连接，其简化模型如图乙所示。水平固定好
腰带，通过人体的微小扭动，配重将在滑轮的带动下一起在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹
角为 ，运动过程中腰带可看作不动，下列说法正确的是（ ）
A．若以更大的转速匀速转动，则绳子上的拉力将增大
B．若以更大的转速匀速转动，则身体对腰带的摩擦力将增大
C．增大转速的过程中，绳子对配重的拉力不会对配重做功
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将减小
8．（2022·河北张家口·三模）如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度
匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力。
已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（ ）
A．小物块a和b做圆周运动的向心力之比为B．小物块a和b对容器壁的压力之比为
C．小物块a与容器壁之间无摩擦力
D．容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下
二、多选题
9．（2022·广东·高三专题练习）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，
A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径
稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰
动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）
A．小球不能返回到A点
B．小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大
C．小球在C点时的机械能为2mgRsinθ
D．小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末）如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽
车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动，甲运动的半径小于乙运动的半径。下列说法正
确的是（ ）
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲、乙两辆车所受的摩擦力大小相同
C．若角速度增大，则乙先发生侧滑
D．甲的加速度小于乙的加速度
11．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管（忽
略管的内径），半径OB水平，OA竖直，一个直径略小于管内径的小球由B点以某一初速度 进入细管，之后由管内的顶部A点以大小为 的水平速度飞出。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足
B．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足
C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为
D．小球从A点飞出的水平初速度必须满足 ，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点
12．（2022·山东·高三专题练习）如图所示，在水平桌面上有一个固定竖直转轴且过圆心的转盘，转盘半
径为r，边缘绕有一条足够长的细轻绳，细绳末端系住一木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数 。
当转盘以角速度 旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同。已知
，下列说法正确的是（ ）
A．当 稳定时，木块做圆周运动的半径为2m
B．当 稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为
C．要保持上述的稳定状态，角速度D．无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态
三、解答题
13．（2018·湖南·宁乡市教育研究中心高三阶段练习）如图所示，质量分布均匀、半径为R的光滑半圆形
金属槽，静止在光滑的水平面上，左边紧靠竖直墙壁。质量为 的小球从距金属槽上端 处由静止下落，
恰好与金属槽左端相切进入槽内，且刚好能到达金属槽右端最高点，重力加速度为 ，不计空气阻力。求：
（1）小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小；
（2）小球到达金属槽右端最高点时的速度和金属槽的质量大小。
14．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆
弧和r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦
力是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°弯道上做匀速圆周运动，若
，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度为g）。求
（1）赛车行驶的最大速率；
（2）赛车绕赛道一圈的最短时间。
15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，光滑的半圆形轨道ACB竖直放置，AB是其直径且竖
直，粗糙的水平轨道在B点与半圆轨道相连，小滑块a从与圆心O等高的C点无初速度地释放，滑到水平
轨道上的D点时速度减为零，此时恰好与向右运动的小滑块b发生弹性碰撞，此后滑块a恰能运动到半圆
轨道的最高点A点，已知半圆形轨道半径 ，BD间距离 ，重力加速度 ，b的质量
是a的5倍，a、b均可视为质点．
（1）求滑块a与水平轨道间的动摩擦因数；
（2）求滑块b与滑块a碰前的瞬时速度大小．16．（2022·黑龙江·虎林市实验高级中学高三期末）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转
动（加速度很小），当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径
R=1m，离水平地面的高度H=1.25m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=1.57m。设物块所受的最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 ， ，求：
（1）物块与转台间的动摩擦因数 ；（结果保留两位有效数字）
（2）物体落地时离抛出点的距离。（结果保留三位有效数字）
