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难点 14 电场性质的综合应用
一、电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始
下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空
气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法
正确的是( )
A．该匀强电场的电场强度为
B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为
C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h)
D．弹簧的弹性势能的增加量为
二、电场中的图像问题
（一）电场中的v－t图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大
小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例2】(多选)如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖直平面重合．一光滑
细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为 m＝10 g的带正电的小球，小球所带电荷量
q＝5.0×10－4 C．小球从C点由静止释放，其沿细杆由C经B向A运动的v－t图像如图乙所示．小球运动
到B点时，速度图像的切线斜率最大(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是( )A．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后变大
B．由C到A电势逐渐降低
C．C、B两点间的电势差 U ＝0.9 V
CB
D．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m
（二）φ－x图像(电场方向与x轴平行)
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线
是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以
判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．【例3】(多选)两电荷量分别为q 和q 的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随
1 2
坐标x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且x 0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒
子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．
【例4】(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x ＝0和x ＝3a的两点上，在它们
1 2
连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是( )
A．点电荷M、N一定为同种电荷
B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1
C．把一个检验电荷由x 位置静止释放，其加速度一直减小
1
D．把一个正检验电荷由x＝a的位置静止释放，其电势能一直减小
3
（四）E －x图像、E －x图像
p k
1．E－x图像
p
由静电力做功与电势能变化关系 F x＝E －E ＝－ΔE 知E －x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，
电 p1 p2 p p
斜率正负代表静电力的方向．
2．E－x图像
k
当带电体只有静电力做功，由动能定理F x＝E－E ＝ΔE 知E－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电
电 k k0 k k
力．
【例5】(多选)如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，x 、x 、x 、x 是x轴上的四个点，质量为m、带电
1 2 3 4
荷量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v 从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，其
0
电势能E 沿x轴的变化如图所示，下列说法正确的是( )
p
A．粒子在x 点的速度为v
2 0
B．从O点到x 点的过程中，电场的电势先升高再降低再升高
3
C．若粒子能到达x 处，则v 的大小至少应为
4 0
D．若v＝2，则粒子在运动过程中的最大动能为2E
0 p0一、单选题
1．（2019·湖北·武汉市第四十九中学高三阶段练习）如图所示，在粗糙、绝缘且足够大的水平面上固定着
一个带负电荷的点电荷Q．将一个质量为m，带电量为q的小金属块（金属块可以看成质点）放在水平面
上并由静止释放，金属块将在水平面上沿远离Q的方向开始运动．则在金属块运动的整个过程中（ ）
A．电场力对金属块做的功等于金属块增加的机械能
B．金属块的电势能先减小后增大
C．金属块的加速度一直减小
D．电场对金属块所做的功一定等于摩擦产生的热
2．（2021·河北衡水中学高三阶段练习）如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面
上。平行板电容器两极板间距离为 ，右极板上有一小孔，一长为 的绝缘杆穿过小孔，左端固定在左
极板上，电容器两极板连同底座、绝缘杆总质量为 ，有一质量为 、电荷量为 的带正电圆环套在杆上，
环以某一初速度 从杆右端对准小孔向左运动。已知 ，取水平向左为正方向。假设带电环不影响
电容器极板间电场的分布，两极板间的电场为匀强电场，电容器外部电场和接触面的摩擦均忽略不计。若
带电环进入电容器后距左板的最小距离为 ，则（ ）
A．带电环与左极板间相距最近时的速度为
B．带电环从右极板小孔离开电场时的速度为
C．极板间的电场强度大小为D．极板间的电场强度大小为
3．（2018·福建厦门·高三阶段练习）如图所示，a、c、b为同一条电场线上的三点，c为ab中点， a、b
电势分别为 ， ，则（ ）
A． c 点的电势一定为4V
B． a 点的场强一定比b点场强大
C．正电荷从c 点运动到b点电势能一定减少
D．正电荷从a 点运动到b点动能一定增加
4．（2022·湖南长沙·高三开学考试）如图所示，水平向右的匀强电场 ，质量分别为 、 的小球
A、 固定在直角形轻质绝缘轻杆两端，顶点 处有固定的光滑转动轴， ， 球带电量为 ，
球不带电，重力加速度为 ，此装置从图示位置静止释放后的转动过程中，下列说法中正确的是
（ ）
A． 球、 球和杆组成的系统机械能守恒 B．小球 的最大速度为
C．转动过程中电场力不可能做正功 D． 球达到 点正下方时机械能最大
5．（2021·河南·高三阶段练习）如图所示，匀强电场中有一与电场方向平行的直角三角形 ，
， 边长为 ， 长度为 的一半.从 点以速率 向 所在平面内各方向发射电子，过
点的电子通过 点时的速率为 ，过 点的电子通过 点时的速率为 。已知电子质量为 、电荷
量为 ， 点电势为0，不计电子的重力及电子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）A． 点电势为
B．匀强电场的方向由 指向
C．匀强电场的电场强度大小为
D．电子通过 点时的速率为
6．（2021·江苏·高三期中）如图所示，水平面上固定一绝缘光滑斜面，斜面顶端有一固定挡板，涂有绝缘
漆的轻弹簧一端与挡板相连，整个装置放在沿斜面向上的匀强电场中。一带电滑块从斜面上某处由静止释
放，运动一段时间后压缩弹簧，设运动过程中滑块的带电量不变，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，
则（ ）
A．滑块带电量越大，滑块的最大加速度越小
B．电场强度越大，滑块的最大速度越大
C．滑块释放点越低，滑块最大速度的位置越高
D．弹簧劲度系数越大，弹簧的最大弹性势能越大
7．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图所示，在 轴坐标原点 左右两侧对称固定安放等量的同
种电荷 ， 时刻在原点 左侧离 较近的A点（ ）静止释放入 点电荷，以下关于点电荷速
度 、加速度 随时间以及合力 电势能 随坐标 变化关系图像可能正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）某静电场在x轴上各点的电势φ随坐标x的分布图像如图所示。x轴上A、
O、B三点的电势分别为φ 、φ 、φ ，电场强度沿x轴方向的分量大小分别为E 、E 、E ，电子在A、
A O B Ax Ox Bx
O、B三点的电势能分别为W、W 、W 。下列判断中正确的是（ ）
A O B
A．φ ＞φ ＞φ
O B A
B．E ＞E ＞E
Ox Bx Ax
C．W ＜W ＜W
O B A
D．W -W＞W -W
O A O B
9．（2019·重庆市江津中学校高三阶段练习）两电荷量分别为q 和q 的点电荷放在x轴O、M两点，两电
1 2
荷连线上各点电势随x 变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，
不计重力，则( )
A．A、N点的电场强度大小为零B．NC间场强方向向x轴正方向
C．将一正点电荷静放在x轴负半轴，它将一直做加速运动
D．将一正电荷在C点由静止释放，它将沿x轴正方向运动
10．（2021·全国·高三专题练习）x轴上有两点电荷Q 和Q，Q 和Q 之间连线上各点电势高低如图曲线所
1 2 1 2
示（AP＞PB），选无穷远处电势为0，从图中可以看出（ ）
A．Q 电量一定小于Q 电量
1 2
B．Q 和Q 一定是同种电荷
1 2
C．P点电场强度是0
D．Q 和Q 之间连线上各点电场方向都指向Q
1 2 2
11．（2022·上海交大附中高三阶段练习）在x轴上有两个点电荷q、q，其静电场的电势φ在x轴上分布
1 2
如图所示。下列说法正确的有（ ）
A．q 和q 带有同种电荷
1 2
B．x 处的电场强度为零
1
C．负电荷从x 移到x，电势能减小
1 2
D．正电荷从x 移到x，受到的电场力增大
1 2
12．（2022·山西太原·三模）在甲、乙电场中，试探电荷 具有的电势能 沿x方向的变化分别如
图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）A．图甲中，试探电荷在O点受到的电场力为零
B．图甲中，电场强度沿x轴正方向
C．图乙中， 处的电场强度小于 处的电场强度
D．图乙中， 处的电势高于 处的电势
二、多选题
13．（2021·湖南省邵东市第三中学高三阶段练习）如图所示，在空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m
电量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为 ，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到
达最低点C。在由A运动到C的过程中（空气阻力不计），则（ ）
A．物块机械能减少
B．物块和弹簧组成的系统机械能减少
C．物块在B点的速度最大
D．对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和
14．（2022·河北·高三专题练习）如图所示，b、c、d是匀强电场中的三个点，它们恰好位于以O点为圆
心的圆上，cd是该圆的一条直径， ，已知电场方向平行于圆所在的平面（纸面）。将质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子从d点移到c点，电场力做的功为W（W>0）；再将该粒子从b点移到c点，
电场力做的功为 。若将该粒子从d点以一定初速率向纸面内任意方向射出，沿垂直cd向上射出时，粒
子恰好经过c点，不计粒子重力。已知 ，下列说法正确的是（ ）A．该匀强电场的电场强度大小为
B．该匀强电场的场强方向与cb平行
C．粒子从d点运动到c点所用的时间为
D．粒子经过圆周时，最大动能为
15．（2021·福建·高三专题练习）如图甲所示，一绝缘的竖直圆环上均匀分布着负电荷，一光滑细杆从圆
心垂直圈环平面穿过圆环，杆上套有带电的小球，现使小球从a点以某一初速度向右运动。到达c点速度
为零。取a点为零电势能点，运动过程中小球的电势能E 随其运动位移x的变化规律如图乙所示，下列说
p
法正确的是（ ）
A．小球带负电 B．电势差Uba大于Ucb
C．a点场强大于b点场强 D．小球经过b点时的动能为2J
16．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）空间存在一沿x轴方向的静电场，一正电荷由O点开始仅在电
场力的作用下沿x轴的正方向运动，该过程中电荷的电势能关于位移x的变化规律如图所示，电荷运动到
x 处时速度为0。其中图像0~x 为顶点在x的开口向上的抛物线，x 以后的图线为倾斜的直线。则下列说法
3 2 2
正确的是（ ）A．电荷由x 位置运动到x 的位置做匀加速直线运动
2 3
B．x 处的电势最低、x 处的电势最高
1 3
C．电荷的初动能为E -E
P3 P2
D．该电场沿x轴的正方向
三、解答题
17．（2021·甘肃省民乐县第一中学模拟预测）在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L
的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为m的带电小球，它静止时细线与竖直方向成37°角．如图
所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动， ，重力加速度为g。求：
（1）小球受到电场力的大小；
（2）小球恰能做圆周运动的动能最小值；
（3）小球在圆周上运动到何处时，机械能最小。
18．（2021·上海金山·一模）如图，一个质量为m、带电量为﹣q的小球用长为L的绝缘细线静止悬挂在竖
直方向A处。在水平方向突然增加一个匀强电场，小球开始向右摆动，起动瞬间加速度大小为a，在空气
阻力的影响下，小球摆动一段时间后最终静止于B处。摆动过程中小球带电量不变，细线与竖直方向夹角
不超过90°。求：
(1)匀强电场的电场强度；
(2)小球最终静止时细线与竖直方向的夹角；
(3)求小球从A第一次运动到B过程中电势能的改变量，并说明此过程中能量的转化情况。19．（2022·全国·高三专题练习）绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电荷量不等的正电
荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知A处电荷的电荷量为＋Q，图乙是A、B连线之间的电势φ与位置
x之间的关系图像，图中x＝L处对应图线的最低点，x＝－2L处的纵坐标φ＝2φ，x＝2L处的纵坐标φ＝
0
φ，若在x＝－2L处的C点由静止释放一个质量为m、电荷量为＋q的带电物块（可视为质点），物块随
0
即向右运动（假设此带电物块不影响原电场分布），求：
（1）固定在B处的电荷的电荷量QB；
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ为多大，才能使小物块恰好到达x＝2L处？
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数 ，小物块运动到何处时速度最大？
20．（2018·北京房山·一模）粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场
线与x轴平行，且沿x轴方向的电势φ与坐标值x的函数关系满足 （V），据此可作出如图所示
的φ
-x 图象．图中虚线AB为图线在x=0.15m处的切线．现有一个带正电荷的滑块P(可视作质点)，其质量为
m=0.10kg，电荷量为q=1.0×10-7 C，其与水平面间的动摩擦因数μ=0.20，g 取10m/s2．求:（1）沿x轴方向上，x=0.1m和x=0.15m两点间的电势差；
1 2
（2）若将滑块P无初速度地放在x=0.10m处，滑块将由静止开始运动，滑块运动到x=0.15m处时速度的
1 2
大小；
（3）对于变化的电场，在极小的区域内可以看成匀强电场．若将滑块P无初速度地放在x=0.1m处，滑块
1
将由静止开始运动，
a．它位于x=0.15m处时加速度为多大；
2
b．物块最终停在何处？分析说明整个运动过程中加速度和速度如何变化．
