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专题 15 功能关系 能量守恒定律
1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题.
2.掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系.
3.会应用能量守恒观点解决综合问题．
考点一 功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对
应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
重力做功等于重力势能减少量
弹力做功等于弹性势能减少量
势能 W＝E －E ＝－ΔE
p1 p2 p
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能 合外力做功等于物体动能变化量 W＝E －E ＝mv2－mv2
k2 k1 0
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械
机械能 W ＝E－E＝ΔE
其他 2 1
能变化量
摩擦
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝
产生 Q＝F·x
f 相对
对值等于产生的内能
的内能
电能 克服安培力做功等于电能增加量 W ＝E－E＝ΔE
电能 2 1
1．功的正负与能量增减的对应关系
(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功．
(3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．
2．摩擦力做功的特点
(1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；(2)一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量；
(3)说明：无论是静摩擦力还是滑动摩擦力，都可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功．
【典例1】在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为 m的跳水运动员进入水中后受到水
的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，当地的重力加速度为g，那么在他减速下降高度为h的
过程中，下列说法正确的是( )
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能增加了mgh
C．他的机械能减少了(F－mg)h
D．他的机械能减少了Fh
【典例2】(多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重
力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【典例3】(多选)如图所示，一个长为L，质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块
(可视为质点)，以水平初速度v，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与
0
木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为
g.则在此过程中( )
A．摩擦力对物块做功为－μmg(s＋d)
B．摩擦力对木板做功为μmgs
C．木板动能的增量为μmgd
D．由于摩擦而产生的热量为μmgs考点二 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的
物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE ＝ΔE
减 增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、
内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量 ΔE 和增加的能量ΔE 的表达
减 增
式．
【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）光伏发电系统是利用半导体材料的光伏效应将太阳的辐射能转化为
电能的一种发电系统。如图所示，某居民的楼顶平台安装了 的太阳能电池板，当太阳直射时满载发
电功率可达5.0kW，输出电压为380V的直流电。已知太阳直射时地面附近单位时间单位面积内的太阳能
为 ，全年发电总量相当于平均每天满载发电4小时的总量，其中30%的电能供居民自家
使用，其余电能并入国家电网。下列说法正确的是（ ）
A．该居民家全年用电总量约为
B．电池板将太阳能转化为电能的效率约为2%
C．太阳能是一种清洁、安全、不可再生的能源
D．太阳能电池板输出的电流可直接并入国家电网
【典例5】（2022·辽宁·模拟预测）如图（a）所示，一个可视为质点的小球从地面竖直上抛，小球的动能
随它距离地面的高度 的变化关系如图（b）所示，取小球在地面时的重力势能为零，小球运动过程中受到的空气阻力大小恒定，重力加速度为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．小球受到空气阻力的大小为
C．上升过程中，小球的动能等于重力势能时，小球距地面的高度为
D．下降过程中，小球的动能等于重力势能时，小球的动能大小为
一、单选题
1.（2022·上海·模拟预测）随着能源危机的不断加剧，我们不但要合理节约常规能源，还要大力开发新能源，
下列能源中属于新能源的是（ ）
A．石油 B．天然气 C．太阳能 D．煤炭
2．（2022·浙江·模拟预测）如图所示是工业上疏浚河道的船只。其参数性能如下表所示：
发动机最大功率 最大提升高度
单次开挖泥沙最大量 1.74吨 最大输送量
则该船只开挖一次泥沙对泥沙做的功最大约为（ ）A． B． C． D．
3．（2021·湖北十堰·高三期中）如图所示，两个皮带轮顺时针转动，带动水平传送带以不变的速率 运行。
将质量为 的物体 （可视为质点）轻轻放在传送带左端，经时间 后， 的速度变为 ，再经过时间 后，
到达传送带右端，则整个过程（ ）
A．物体 由传送带左端到右端的平均速度为
B．传送带对物体 做的功为
C．放上物块 后，电动机多消耗的电能为
D．传送带与物体间摩擦而产生热量为
4．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在名为“勇敢者”的课堂演示实验中，用不可伸长的轻长绳将
一铁球悬挂在天花板上。一同学靠墙站立，双手拉球使其与鼻尖恰好接触，然后由静止释放铁球。若该同
学保持图示姿势不变，则下列说法中正确的是（ ）
A．铁球可能会撞击该静止不动的同学 B．铁球运动到最低点时处于失重状态
C．释放瞬间铁球的加速度水平向右 D．释放瞬间长绳拉力小于铁球重力
5．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）传送装置在物流快递中的应用使得分拣工作更加智能化。如图所
示，水平传送带在电机的带动下，始终以速度 沿图示方向匀速运动：一质量为m的快递件以 的速度从左端水平滑上传送带，最终快递件与传送带共速，则快递件与传送带间由于摩擦产生的热量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）如图所示，水平轻质弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为 的小
物块相连，弹簧处于自然长度时，物块位于O点。将小物块向右拉到P点后由静止释放。已知弹性势能
，式中x为弹簧的形变量，若弹簧的劲度系数 ，小物块与水平面间的动摩擦
因数为 取 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下判断错误的是（ ）
A． 时，小物块将停在P点 B． 时，小物块将停在P点与O点之间
C． 时，小物块将停在O点 D． 时，小物块将停在P点与O点之间
7.（2022·云南·富宁县第一中学高三开学考试）如图所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右
匀速运动，现将质量为m的物体竖直向下轻轻地放置在木板上的右端，已知物体m和木板之间的动摩擦因
数为μ，为保持木板的速度不变，从物体m放到木板上到它相对木板静止的过程中，须对木板施一水平向
右的作用力F，那么力F对木板做功的数值为（ ）
A． mv2 B． mv2 C．mv2 D．2mv2
8．（2021·广东茂名·高三阶段练习）某同学在游乐场乘坐了过山车后，对过山车所涉及的物理知识产生了
兴趣，于是自己动手制作了一个过山车轨道模型，如图所示。他将质量为m的小球从倾斜轨道上的某一位
置由静止释放，小球将沿着轨道运动到最低点后进入圆轨道。该同学通过测量得到圆轨道的半径为R，轨
道连接处都是平滑连接，当小球的释放点距轨道最低点的高度为3R时，小球恰能通过圆轨道的最高点。
已知重力加速度为g，则小球从开始释放到通过圆轨道最高点的过程中损失的机械能为（ ）A． B． C． D．mgR
9．（2021·广东·高三阶段练习）如图所示，一根轻质弹簧一端固定于水平墙上，另一端系一个重物。现用
手托着重物，使得弹簧处于原长状态，然后突然松开手，重物竖直落下，不计空气阻力，重物运动到最低
点过程中（ ）
A．重物的机械能保持不变 B．重物的机械能减少
C．重物的机械能增加 D．弹簧对物块做功大于重力做功
10．（2022·山东·高三学业考试）如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率 运行，初速度大小为
的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物
块在传送带上运动的v-t图象（以地面为参考系）如图乙所示。已知 ，物块和传送带间的动摩擦因数
为 ，物块的质量为m。则（ ）A． 时刻，小物块离A处的距离最大
B． 时间内，小物块的加速度方向先向右后向左
C． 时间内，因摩擦产生的热量为
D． 时间内，物块在传送带上留下的划痕为
二、多选题
11．（2022·广西·南宁二中模拟预测）如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，
质量m=0.1kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下
落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势
能随小球位移变化关系如图乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始
终在弹性限度范围内，取重力加速度g=10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．弹簧原长为0.6m
B．小球释放位置距地面的高度为0.7m
C．小球在下落过程受到的风力为0.2N
D．小球刚接触弹簧时的动能为0.45J
12．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图甲所示，倾角为θ的斜面足够长，质量为m的物块受沿
斜面向上的拉力F作用，静止在斜面中点O处，现改变拉力F的大小（方向始终沿斜面向上），物块由静
止开始沿斜面向下运动，运动过程中物块的机械能E随离开O点的位移x变化关系如图乙所示，其中O～x 过程的图线为曲线x～x 过程的图线为直线，物块与斜面间动摩擦因数为μ。物块从开始运动到位移为x
1 1 2 2
的过程中（ ）
A．O～x 过程物块的加速度在不断变大
1
B．物块减少的机械能等于物块克服合力做的功
C．物块减少的机械能等于物块克服摩擦力做的功
D．物块减少的机械能小于减少的重力势能
三、解答题
13．（2022·云南昆明·一模）传送带是自动化工业生产中一种重要的输送装置。如图所示，是一条罐头生
产线部分示意图，电动机带动传送带始终以v=2m/s的速率运动，传送带两端A、B间的距离L=4m。工作
时，机器手臂将一瓶罐头无初速放到A点，当该罐头刚离开B点时，机器手臂将下一瓶罐头放到A点，此
后不断重复此过程。已知每瓶罐头质量m=0.8kg，与传送带间的动摩擦因数均为 ，罐头可视为质点
且不发生滚动，取重力加速度g=10m/s2。从第一瓶罐头放到A点开始计时，求∶
（1） 1min内能运送多少瓶罐头；
（2） 1min 内因运送罐头需要多消耗的电能。
14.（2022·新疆喀什·高三期末）轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m
的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另
一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半
圆的直径BD竖直，如图所示。P的质量为m，物块P与AB间的动摩擦因数 。用外力推动物块P，
将弹簧压缩至长度L，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
（1）弹簧长度为L时的弹性势能为多少？（2）求P到达B点时速度的大小；
（3）求它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离。
15．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）如图所示，用火箭发射人造卫星，假设最后一节火箭的燃料用
完后，火箭壳体和卫星一起以速度 ，绕地球做匀速圆周运动。知卫星质量 ，最后
一节火箭壳体的质量 ，某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时火箭壳体的速度为 ，
方向与原方向相同，试分析计算：
（1）分离后卫星的速度是多大？
（2）卫星与火箭壳体分离过程中动能的增加量。（结果保留两位有效数字）
16．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）如图所示为某商家为了吸引顾客设计的抽奖活动。4块尺寸相同
的木板A、B、C、D随机排序并紧挨着放在水平地面上，木板长度均为L，质量均为m；下表面与地面间
的动摩擦因数均为μ，A、B、C、D的上表面各有不同的涂层，滑块与涂层间的动摩擦因数分别为 、
、 、 。顾客以某一水平速度 （未知），从左侧第一块木板的左端推出一质量
的滑块（视作质点）。从左向右数，若滑块最终停在第一、二、三、四块木板上就会分别获得四、
三、二、一等奖，滑离所有木板则不获奖。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度为g。（1）若木板全部固定，要想获奖，求 的取值范围；
（2）若木板不固定，从左向右按照A、B、C、D的方式放置，要获得最高奖项，求 的最小值；
（3）若木板不固定且随机排序，当 时，求获得三等奖的概率。
