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难点 15 带电粒子在电场中的力电综合问题
一、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”．
2.
3．举例
【例1】(多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为 m、电荷量为＋q的小球，系在一根
长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动．AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
【答案】BD
【解析】因为电场强度E＝，所以小球所受静电力大小也为mg，故小球所受合力大小为mg，方向斜向右下
方，与竖直方向夹角为45°，故小球通过圆弧AD的中点时速度最小，此时满足mg＝m，因此小球在竖直
面内做圆周运动的最小速度v ＝，A项错误；由功能关系知，小球机械能的变化等于除重力之外的力所
min
做的功，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的
机械能最大，B项正确；小球在A点由静止开始释放后，将沿合外力方向做匀加速直线运动，C项错误；
若将小球以的速度竖直向上抛出，由对称性知经时间 t＝回到相同高度，其水平位移s＝·t2＝2L，故小球刚
好运动到B点，D项正确．
二、电场中的力电综合问题
1．带电粒子在电场中的运动
(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，
然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题．
(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力
相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子
的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用．
2．用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理
也常常更简捷．具体方法有：
(1)用动能定理处理
思维顺序一般为：
①弄清研究对象，明确所研究的物理过程．
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
③弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)．
④根据W＝ΔE 列出方程求解．
k
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E＝E)列方程．
1 2
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．(3)两个结论
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
【例2】如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d.两金属板正中间有一水平放置的金属网 G，P、Q、G
的尺寸相同．G接地，P、Q的电势均为φ(φ>0)．质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G
为h的位置，以速度v 平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计．
0
(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
【答案】(1)mv2＋qh v (2)2v
0 0 0
【解析】(1)PG、QG间场强大小相等，均为E.粒子在PG间所受静电力F的方向竖直向下，设粒子的加速
度大小为a，有
E＝①
F＝qE＝ma②
设粒子第一次到达G时动能为E，由动能定理有
k
qEh＝E－mv2③
k 0
设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有h＝at2④
l＝vt⑤
0
联立①②③④⑤式解得
E＝mv2＋qh
k 0
l＝v
0
(2)若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短．由对称性知，此时金属板的长度为 L＝
2l＝2v.
0
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在水平方向的匀强电场中，一质量为m的带电小球用一轻绳连
接恰好在竖直平面内顺时针绕O点做半径为R的圆周运动，运动轨迹上均匀地分布着A、B、C、D、F、
G、H和P点，OA垂直于电场强度方向。已知小球带电荷量为q(q>0)，电场强度 (g为重力加速度)，
则下列说法正确的是( )A．小球在A点时的速度为
B．小球运动至C点和H点时绳子拉力大小相等
C．小球运动过程中绳子的最大拉力为6 mg
D．小球运动过程中的最小速度为
【答案】C
【解析】D．以小球为研究对象，受到重力、静电力和轻绳的拉力，重力与静电力的合力
由于小球恰好做圆周运动，所以圆周运动过程中速度的最小值出现在P点，由牛顿第二定律得
小球的最小速度
故D错误；
A．小球从P点运动到A点，由动能定理得
解得
故A错误；
B．小球在C点时，有
小球从H点运动到C点，由动能定理得在H点时，有
所以FHvB
D．从B点抛出后，小球速度的最小值为
【答案】D
【解析】A．从A到B过程中，电场力一直做负功，小球的机械能一直减小，故A错误；
B．等效重力的与竖直线夹约37°偏左下方，所以从A到B过程中，小球速度先增大后减小，对轨道的压力
先增大后减小，故B错误；
C．B点比A点更靠近等效最低点，所以
故C错误；
D．从A到B，由动能定理解得
之后小球做斜抛运动，在垂直于等效场方向上的分速度即为最小速度，则
故D正确。
故选D。
6．（2022·内蒙古·莫旗一中高三期末）用30cm的细线将质量为 kg的带电小球P悬挂在O点下，当
空中有方向为水平向右，大小为 N/C的匀强电场时，小球偏转37°后处在静止状态，则（ ）
A．小球带负电
B．小球的带电量是 C
C．小球的带电量是 C
D．小球所受合力是 N
【答案】C
【解析】A．小球所受电场力的方向与电场线方向一致，因此小球带正电，A错误；
BC．对小球进行受力分析可知
解得
B错误，C正确；D．由于小球处于静止状态，因此所受合力为零，D错误。
故选C。
二、多选题
7．（2022·四川·遂宁安居育才卓同国际学校高三阶段练习）如图，在水平向右的匀强电场中，质量为m的
带电小球，以初速度 从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向斜向下，且与电场方向的
夹角为45°（图中未画出），则小球从M运动到N的过程（ ）
A．重力势能减少 B．重力势能减少
C．电势能减少 D．电势能减少
【答案】BC
【解析】AB．将N点的速度进行分解，则在水平方向有
竖直方向有
在竖直方向根据速度位移公式有
重力做功
W =mgh
G
联立解得
则重力势能减少 ，故A错误，B正确；
CD．根据动能定理有联立解得
W =mv2
电
则电势能减少mv2，故C正确，D错误。
故选BC。
8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A点相切，
B点为圆轨道的最低点，C点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为 kg，
电荷量为 的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度 ，
，圆轨道半径 m，g取10m/s2， ， 。则以下说法中正确的是（ ）
A．刚释放小球时小球的加速度的大小为12.5m/s2
B．若小球能到达C点，释放点与A的距离至少为12.75m
C．若小球恰能到达C点．此运动过程中小球对轨道的最大压力为67.5N
D．若电场方向相反，大小不变，小球恰能到达C点，小球运动在过程中对轨道的最大压力为67.5N
【答案】AC
【解析】A．对小球受力分析，小球所受电场力水平向右，且题设小球始终沿轨道运动，由牛顿第二定律
得
解得
m/s2
故A正确；
B．小球若恰好到达C点，在C点由牛顿第二定律得
从释放到到达C点，由动能定理得
代入数据解得m
故B错误；
C．设重力与电场力的合力方向与竖直方向成α角，故
解得
方向恰好沿斜面方向，大小为
由释放点到最大速度点由动能定理得
对该点由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得压力
N
故C正确；
D．若电场反向，设小球于B点左侧α角处达到最大速度，同理解得
沿如图所示OD方向
此时若小球能到达C点，应先恰能到达E点，对E点受力分析得
解得m/s
对D到E由动能定理得
解得
m/s
对该点由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得压力
N
故D错误。
故选AC。
9．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）如图所示，一斜面倾斜角度为53°，斜面末端连接一处于竖直平面的
光滑绝缘半圆轨道，O为圆心，A、B为其竖直方向上的直径的上下两端点，现有一个质量为0.4kg，带电
荷量q=+1.0×10-5C的小球（可视为质点）以初速度v=10m/s从斜面上某点垂直斜面方向抛出，小球恰好沿
0
切线从半圆轨道的最高点A飞入半圆轨道，已知整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度为
E=3×105N/C，重力加速度g=10m/s2,下列说法正确的是（ ）
A．小球从开始到A点的运动是类平抛运动
B．小球在A点处的速度大小为12.5m/s
C．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中会在某处脱离半圆轨道
D．小球第一次在半圆轨道上滑行过程中对轨道的最大压力大小为33.5N
【答案】AB【解析】A．小球受到重力和电场力的作用，如图所示
设F与水平方向夹角为θ
F与v 垂直，所以小球做类平抛运动，故A正确；
0
B．因为小球做类平抛运动，由图可知
故B正确；
C．如图所示，根据受力情况画出小球运动过程中等效的最低点为C点，小球到C点时对轨道的压力最大，
因为在A点小球恰好能无碰撞飞入半圆轨道，在A点对轨道的压力为零，所以小球第一次在半圆轨道上滑
行过程中不会在脱离半圆轨道
故C错误；
D．在A点根据牛顿第二定律得
从A至C过程中根据动能定理
根据牛顿第二定律得解得
根据牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小为27N，故D错误。
故选AB。
10．（2022·河北·鸡泽县第一中学高三阶段练习）用一条长为1m的绝缘轻绳，悬挂一个质量为 、
电荷量为 的小球，细线的上端固定于O点。如图所示，现加一水平向右的匀强电场，平衡时绝
缘绳与竖直方向的夹角为37°，取重力加速度 ， ， 。下列说法正确的是
（ ）
A．匀强电场的场强为
B．平衡时细线的拉力为
C．若撤去电场，小球回到最低点时绳上的拉力为
D．若剪断细绳，小球将做加速度为12m/s2的匀加速直线运动
【答案】BC
【解析】A．平衡时，有
可得
故A错误；
B．平衡时细线的拉力为故B正确；
C．撤去电场，由动能定理可得
由牛顿第二定律可得
联立可得小球回到最低点时绳上的拉力为
故C正确；
D．剪断细线后，电场力与重力的合力产生加速度，由牛顿第二定律可得
故D错误。
故选BC。
三、解答题
11．（2017·天津市红桥区教师发展中心高三期末）如图所示，空间存在着电场强度E＝1.5×102N/C、方向
竖直向上的匀强电场，在电场内一长为L＝0.5m的绝缘细线一端固定于O点，另一端拴着质量m＝0.5kg、
电荷量q＝6×10－2C的小球。现将细线拉至水平位置，将小球由静止释放，当小球运动到最高点时细线受
到的拉力最大。取g＝10m/s2求：
（1）小球的电性；
（2）细线受的最大拉力值。
【答案】（1）小球带正电；（2）12N
【解析】（1）由小球运动到最高点可知，小球带正电。
（2）设小球运动到最高点时速度为v，由动能定理有在最高点由牛顿第二定律有
解得
12．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用
一根长度为L=0.4m的绝缘细线把质量为m=0.4kg、电荷为q=+2C的金属小球悬挂在O点，小球静止在B
点时细线与竖直方向的夹角为θ=37°。已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，求：
（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
（1）匀强电场的场强大小；
（2）将小球从A点由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力大小；
（3）如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初速度最少为多
少？（结果可用根号表示）
【答案】（1） ；（2）6N；（3）
【解析】（1）带电小球在 B点静止受力平衡，根据平衡条件得
得
（2）设小球运动至C点时速度为 ，则
解得在C点，小球所受重力和细线的合力提供向心力
联立解得
（3）分析可知小球做完整圆周运动时必须通过B点关于O点的对称点，设在该点时小球的最小速度为 ，
则
由动能定理得
联立解得
13．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，一带电荷量为＋q、质量为m的小物块处于一倾角为37°的光
滑斜面上，当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中，小物块恰好静止。重力加速度取g，sin37°＝
0.6，cos 37°＝0.8。求：
（1）水平向右电场的电场强度的大小；
（2）若将电场强度减小为原来的 ，小物块的加速度是多大；
（3）电场强度变化后小物块下滑距离L时的动能。
【答案】（1） ；（2）0.3g；（3）0.3mgL
【解析】（1）对物块受力分析，根据共点力的平衡条件可得
解得（2）对物块受力分析，若将电场强度减小为原来的 ，根据牛顿第二定律可得
解得
（3）根据动能定理可得下滑L时的动能为
14．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道AB与水平放
置的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角 ，线段OC垂直于
OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R。整个轨道处于电场强度为E的匀强电场中，电场强度
方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD。现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点
无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数 ， ， ，忽略空气阻力。求：
（1）小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小 ；
（2）小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离；
（3）小物块在直线轨道AB上运动的总路程。
【答案】（1）5.4qE；（2） R；（3）15R
【解析】（1）设小物块第一次到达C点时的速度大小为vC ，根据动能定理有
1
解得
在C点根据向心力公式得解得
根据牛顿第三定律得
（2）设小物块第一次到达D点时的速度大小为vD，根据动能定理有
1
解得
小物块第一次到达D点后先以速度vD 逆着电场方向做匀减速直线运动，设运动的最大距离为x ，根据动
1 m
能定理得
解得
（3）分析可知小物块最终会在圆弧轨道上做往复运动，到达B点的速度恰好为零时，动能和电势能之和
不再减小。设小物块在直线轨道AB上运动的总路程为s，则根据功能关系得
解得
s＝15R
15．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在B点平滑连接，
导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速
度大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与x轴
夹角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电荷量保持不
变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程16．（2022·河南·模拟预测）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管A固定在竖直平面内。圆环的圆心为O，
D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB=2L，圆环的半径为r= L（圆管的直径忽略不
计），过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点。在虚线AB的上方存在水平向右的、范围足够大的匀
强电场；虚线AB的下方存在竖直向下的、范围足够大的匀强电场，电场强度大小等于 。圆心O正上
方的P点有一质量为m、电荷量为−q（q>0）的绝缘小物体（视为质点），PC间距为L。现将该小物体无
初速释放，经过一段时间，小物体刚好沿切线从A点无碰撞地进入圆管内，并继续运动。重力加速度用g
表示。
（1）虚线AB上方匀强电场的电场强度为多大？
（2）小物体从管口B离开后，经过一段时间的运动落到虚线AB上的N点（图中未标出N点），则N点距
离C点多远？
【答案】（1） ；（2）7L
【解析】（1）小物体释放后，在重力和电场力作用下做匀变速运动，小物体刚好沿切线进入圆管内，故
小物体刚好沿PA连线运动，重力与电场力的合力沿PA方向；又PC=AC=L ，则有
解得
（2）小物体从P到A的运动由动能定理可得
解得虚线AB的下方存在竖直向下的、范围足够大的匀强电场，电场强度大小等于 ，电荷量为−q（q>0）的
绝缘小物体所受电场力
方向竖直向上，故小物体从A到B做匀速圆周运动，速度大小关系则有
小物体从管口B离开后，小物体在竖直方向做匀减速运动，经过一段时间的运动落到虚线AB上的N点，
对竖直方向运动所用时间，即从B到N的时间
解得
水平方向是匀加速运动，则有
小物体在t时间内的水平位移为
解得
N点距离C点
