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专题 12 功 功率
1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.
2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.
3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负
功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
【典例1】（2022·新疆·三模）如图甲所示，质量 的足够长的木板静止在光滑水平面上，质量的小物块静止在木板的右端。现对木板施加一水平向右的拉力，小物块与木板运动的速度图像如
图乙所示， 取 。下列说法正确的是（ ）
A．水平拉力为
B．小物块与长木板间的动摩擦因数为
C．在 时间内，水平拉力做的功为
D．在 时间内，木板克服摩擦力所做的功为
【答案】D
【解析】B．设小物块与长木板间的动摩擦因数为 ，由 图像可知木板与小物块发生相对滑动，小物
块 的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
B错误；
A．由 图像可知木板 的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
A错误；
C．在 时间内，木板 的位移大小为
水平拉力 做的功为C错误；
D．在 时间内，木板克服摩擦力所做的功为
D正确。
故选D。
【典例2】（天津市红桥区教师发展中心高三期末）起重机以a=2m/s2的加速度，将重G=104N的货物由静
止匀加速向上提升。那么，在1s内起重机对货物做的功是（g=10m/s2）（ ）
A．10000J B．12000J C．15000J D．20000J
【答案】B
【解析】货物收到竖直向上的拉力以及竖直向下的重力作用，根据牛顿第二定律可得
解得
1s内货物上升的距离为
故起重机对货物做的功
故选B。
考点二 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx应用动
能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
【典例3】（2021·全国·高三专题练习）水平桌面上，长R=5m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视
图），另一端系一质量m=2.0kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动
到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取
g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】将圆弧分成很多小段l，l，…，l，拉力F在每小段上做的功为W，W，…，W，因拉力F大
1 2 n 1 2 n
小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W=Flcos37°
1 1
W=Flcos37°…
2 2
W=Flcos37°
n n
W=W+W+…+W=F（cos37°）（l+l+…+l）=Fcos37°· R= πJ
1 2 n 1 2 n
同理可得小球克服摩擦力做的功
Wf=μmg· R= πJ
拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2。
故选C。
【典例4】（2021·全国·高三专题练习）一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，
力F对物体做的功为（ ）A．3 J B．6 J
C．7 J D．8 J
【答案】B
【解析】力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和，0-4s这段时间内力F对物体做的功为
4-5s这段时间内力F对物体做的功为
全过程中，力F对物体做的功为
W＝7 J－1 J＝6 J
故选B。
【典例5】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的
拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F
做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2
A．W>W
1 2
B．WΔl ，故W>W，A正确．
AB BC 1 2考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可
以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向
上的分速度．
【典例6】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）做俯卧撑时，要求身体俯卧、伸直，两脚用力撑地，使得
上半身在手臂的支持下慢慢抬起，直到两臂伸直，如图所示。某同学身高1.75m，手臂长度为0.7m，体重
750N，他在1分钟内完成了40个俯卧撑。估算该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为（ ）
A．180W B．260W C．360W D．480W
【答案】A
【解析】该同学一分钟做俯卧撑克服重力做的功为
则该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为A正确，BCD错误。
故选A。
【典例7】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中
可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m
和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则1min内克服重力做的功和
相应的功率约为（g取10m/s2）（ ）
A．430J，7W B．4320J，72W C．720J，12W D．7200J，120W
【答案】B
【解析】设重心上升的高度为h，如下图所示根据相似三角形有
解得
h = 0.24m
则做一次俯卧撑克服重力做的功为
WG = mgh = 144J
所以一分钟克服重力做的功为
W = 30WG = 4320J
功率约为
P = W = 72W
故选B。
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动P－t图像
和v－t
图像
过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到P
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
OA 分析 ＝P ＝Fv
额 1
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F 阻⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
AB 分析
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F 阻⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速直
BC段
线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
