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专题 6.27 反比例函数与动点问题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且
， ，反比例函数 的图象经过点E，若 ， ，则
值是（ ）
A． B．15 C． D．12
2．如图，点 为坐标原点，菱形 的边 在 轴的正半轴上，对角线 、
交于点 ，反比例函数 的图象经过点 和点 ，若菱形 的面积为 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P是y轴正半轴上的一动点，过点P作AB∥x轴，分别交反比例函数
（x＜0）与 （x＞0）的图象于点A，B，连接OA，OB，则以下结论：
①AP=2BP；②∠AOP=2∠BOP；③△AOB的面积为定值；④△AOB是等腰三角形，其中
一定正确的有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于 和 两点，点 是线段 上
一动点（不与点 和 重合），过 点分别作 轴， 轴的垂线 ， 交反比例函数图
象于点 ， ，则四边形 面积的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
5．如图，点 是反比例函数 上的一个动点，点 分别
在 轴、 轴上．当点 到 所在直线距离最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在反比例函数 的图象上有一动点A（点A位于第二象限），连
接 并延长交图象的另一分支于点B．在第一象限内有一点C，满足 ，当点A运动时，点C始终在函数 的图象上运动．若 ，则k的值为（ ）
A． B．6 C．8 D．16
7．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于A、B两点，与
x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 轴于点 ，交 于点
．设点A的横坐标为 ．若 ，则 的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在第二象限，其余顶点都在第
一象限， 轴， ， ．过点 作 ，垂足为 ， ．
反比例函数 的图象经过点 ，与边 交于点 ，连接 ， ， ．若
，则 的值为（ ）A． B． C．7 D．
9．如图，直线AC与反比例函数 的图像交于A，C两点（点A在点C的左
边），与x轴交于点B，以点A为顶点向下作矩形ADMN，其对角线相交于点O，且AD平
分∠OAB，AC =CB，连结CD，若△ACD的面积为6，则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 、 分别在 轴和 轴上，已
知对角线 ． ． 是 边上一点，过点 的反比例函数
的图象与 边交于点 ，若将 沿 翻折后，点 恰好落在 上的点 处，则
的值为（ ）A．2 B． C．3 D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的边 垂直 轴于点 ，反
比例函数 的图像经过 的中点 ，与边 相交于点 ，若 的坐标为 ，
．
（1）反比例函数 的解析式是_________；
（2）设点 是线段 上的动点，过点 且平行 轴的直线与反比例函数的图像交于
点 ，则 面积的最大值是_________．
12．如图，在矩形 中， ， ，分别以 ， 所在直线为 轴和
轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 是边 上的一个动点（不与 ， 重合），过
点的反比例函数 的图象与 边交于点 ，将 沿 对折后， 点恰
好落在 上的点 处，则 的值为 __．
13．如图，反比例函数 的图象经过点（－1， ），点A是该图象第一象限
分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶
点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，
点A的坐标是____________．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于
点A和点B，与反比例函数y＝ （m＞0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点，
若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接
OD，OE，则 ODE面积的最大值为___．
△
15．如图，等腰直角三角形 的一条直角边在 轴上，点 是边 上的一个动点，
过点 的反比例函数 的图象交斜边 于点 ，
（1）当 为 中点时， _________
（2）若 为 的三等分点，当 的面积为 时， 的值为________．16．如图，点 在反比例函数 图象上，且 （1， ）， 是第三象限内反比
例函数 的图象上一个动点．过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
连接 ．若四边形 的面积为6，则点 的坐标为______．
17．已知点 是反比例函数 图象上的动点， 轴， 轴，
分别交反比例函数 的图象于点 、 ，交坐标轴于 、 ，且 ，连接
.现有以下四个结论：① ；②在点 运动过程中， 的面积始终不变；③连接
，则 ；④不存在点 ，使得 .其中正确的结论的序号是
__________．
18．如图，点A（1，a）是反比例函数y＝﹣ 的图象上一点，直线y＝﹣ x+ 与反
比例函数y＝﹣ 的图象在第四象限的交点为点B，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，
当线段PA与线段PB之差达到最大时，则点P的坐标是_____．三、解答题
19．如图，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，且OB＝4，OA＝3．F是BC边上一
个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数 （k＞0）的图象与边AC交于点
E．当点F运动到边BC的中点时．
(1)求k的值；
(2)求直线EF的解析式．
20．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点
(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数 的图象与边AB交于点E(8,m)，AB＝
4．(1)如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段
OG的长度．
(2)如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积
的最大值．
21．如图，直线AB：y 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y （x＞
0）的图像交于点M，点A是线段BM的中点．
(1) 求k的值；
(2) 若点P是线段BM上一动点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交反比例函数的图
像于点Q，求△OPQ的面积S关于点P的横坐标x的函数关系式，并注明自变量的取值范
围．22．如图，点 为直线 上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴于点 ，
将点 向右平移 个单位长度到点 ，以 ， 为边构造矩形 ，经过点 的反比
例函数 的图像交 于点 ．
(1) 若 ，求点 的坐标；
(2) 连接 ，当 时，求点 的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，
BA=3，BC=5，有一反比例函数图像刚好过点B．(1) 分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
(2) 动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图像于
点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数 和
的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点，
， ．(1) 求反比例函数 的表达式；
(2) 连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，
使得 是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
参考答案
1．A
【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求
出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入 (x＞0)，求出k的值即可．
解：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3，
∴DA= AC，DB= OB，AC=OB，AB=OC=3，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=5，OC=3，
∴EF=DF= OA= ，AF= AB= ，5+ = ，
∴点E坐标为：（ ， ）．
∵反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点E，
∴k= ，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征
以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．
2．A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C
的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面
积求出m即可．
解：
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴ ，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF= ，即点D的纵坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过点 和点 ，
∴D（2m， ），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m， ）代入得： ，
解得： ，
∴AD所在的直线函数表达式为： ，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE= ，∵菱形 的面积为 ，
∴OC×AE= ，解得：m= ，
∴AE= ，
∴A（ ，2），
故选：A
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关
性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
3．B
解：设P的坐标为（0，b），b＞0
过点A、B作AC⊥x轴于点C、BD⊥x轴于点D，令y=m分别代入 ， ，∴A
（ ，b），B（ ，b），∴AB= ，AP= ，BP= ，∴AP=2AB，故①正确；
tan∠AOP= = ，tan∠BOP= = ，∴tan∠AOP=2tan∠BOP，但∠AOP≠BOP，
故②错误；
△ABO的面积为： AB•OP= × ×b= ，故③正确；
由勾股定理可知：OA2= +b2，OB2=b2+ ，∵AB2= ，∴OA、OB、OA三边不一
定相等，故④错误；
故选B．点睛：本题考查反比例函数 的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，勾股
定理等知识．
4．C
【分析】由 两点的坐标可求出一次函数解析式和反比例函数的解析式分别
，设 点的坐标为 ，根据割补法
表示出四边形 的面积，再根据二次函数顶点式即可求出
面积最大值．
解：设反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 ，代入
得：
和 解得： 和
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为
∵点 是线段 上一动点（不与点 和 重合）
∴设 点的坐标为
根据 的几何意义：
∴ =
∵
∴当 时，四边形 面积最大，最大面积为 ．
【点拨】掌握反比例函数中 的几何意义的应用；面积求算学会用割补法；求二次函
数的最大值通常配方成顶点式．
5．A
【分析】过点M作MB⊥AP，垂足为B，分析得出当AB最小时，MB最大，过点P作
PN⊥x轴，垂足为N，证明△PAN∽△AMO，得到AN=4PN，设PN=x，表示出点P坐标，代
入反比例函数表达式，求出x值即可．解：过点M作MB⊥AP，垂足为B，
可知△AMB为直角三角形，
∵AM固定不变，则当AB最小时，MB最大，
此时点B与点A重合，
过点P作PN⊥x轴，垂足为N，
∵∠MAP=90°，
∴∠PAN+∠MAO=90°，又∠PAN+∠APN=90°，
∴∠MAO=∠APN，又∠PNA=∠MOA=90°，
∴△PAN∽△AMO，
∴ ，即 ，
∴AN=4PN，
∴ON=AO+AN=2+4PN，设PN=x，
∴P（-2-4x，x），代入 中，
得： ，
解得：x=1或x= （舍），
∴P（-6，1），
故选A．
【点拨】本题考查了反比例函数综合，相似三角形的判定和性质，最短距离，解题的
关键是分析出MB最小时的位置情况，从而构造相似三角形得到线段的关系．
6．D
【分析】由反比例函数的性质可知 ，由等腰三角形三线合一可得 ，进而得出三角形相似，然后将 ，转化为 ，由勾股定理可得 ，即
三角形的相似比为 ，设 、 的长，就能表示出 、 的长，根据反比例函数
图象上点的特征，可以求出 的值．主要考查反比例函数、相似三角形、等腰三角形的性
质等知识．
解：过点 、 作 轴、 轴，垂足为 、 ，连接 ，
则 ，如图所示：
、 是反比例函数 图象上关于原点对称的两点，
，
又 ，
∴OC⊥AB，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵ADO =90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
∵ ，
，
，
又 ，
，，
设 ， ，则 ， ，
，
即：
故选： ．
【点拨】此题考查反比例函数、等腰三角形、相似三角形等知识的综合应用，合理而
正确的转化是解决问题的关键，点的坐标与线段的长度相互转化在本题中起到十分重要的
作用；函数思想、转化思想、整体代入等思想得以充分的应用．
7．B
【分析】作BG丄x轴于G点，设A(m， )，B(n， )，由反比例函数k的几何意义
可知，S AO =S BOG= |k|=2，由S OAF+S EFBC=4，得S BGC=2S OEF，又由
E 四边形
△ △ △ △ △
OEF∽△OGB列比例式把EF用含m、n的式子表示出来，再代入S BGC=2S OEF，化简
△后即可求出m的值． △ △
解：
作BG丄x轴于G点，
设A(m， )，B(n， )，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，
∴∠BCG=45º
∴∠CBG=45º∴GB=CB=
∵AE丄x轴，
∴OE=m，
∵A、B两点都在 上，
由k的几何意义可知
S AOE=S BOG= ，
△ △
∵S OAF+S EFBC=4，
四边形
△
即S OAE-S OEF+S OBG-S OEF+S BCG=4，
△ △ △ △ △
2-2S OEF+2+S BCG=4，
△ △
∴S BCG=2S OEF，
△ △
由 轴，BG丄x轴，
得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
，
∵m＞0，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数图像的交点，反比例函数k的几何意义，利用面积法求参数的值．熟练掌握设参数法解题是解答本题的关键．
8．A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用
AO⊥AD，AO＝AD证明 DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形
△
ABCD是菱形，可得AD＝CD＝ DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA
＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形
AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（ a，4a），利用S OEF＝S OEG
△ △
＋S EGHF−S OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求．
梯形
解：如图，△延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE＋∠OAG＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＋∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG，
在 DAE和 AOG中， ，
△ △
∴△DAE≌△AOG（AAS），
∴DE＝AG，AE＝OG，
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，∴AD＝CD＝ DE，
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，
∴OG＝AE＝ ＝3a，
∴EG＝AE＋AG＝7a，
∴E（3a，7a），
∵反比例函数 的图象经过点E，
∴k＝21a2，
∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，
∴四边形AGHF为矩形，
∴HF＝AG＝4a，
∵点F在反比例函数 的图象上，
∴x＝ ，
∴F（ ，4a），
∴OH＝ ，FH＝4a，
∴GH＝OH−OG＝ ，
∵S OEF＝S OEG＋S EGHF−S OFH，S EOF＝ ，
梯形
△ △ △ △
∴ OG•EG＋ （EG＋FH）•GH－ OH•HF＝ ，
∴ ×21a2＋ (7a＋4a)× － ×21a2＝ ，
解得：a2＝ ，
∴k＝21a2＝21× ＝ ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形判定与性质，菱形的性质，勾股定理等．熟练掌握利用点的坐
标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
9．A
【分析】连接OC，分别过点A、C作x轴的垂线交x轴于点E、F，设点A（a，
），首先证明AB∥OD，结合AC =CB可求出S AOB＝2S AOC＝12，然后证明
BCF∽ BAE，求出CF和OF，得到点C的坐△标，然后将△点C的坐标代入反比例函数解析
△式求出k△即可．
解：如图，连接OC，
∵四边形ADMN是矩形，AD平分∠OAB，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，
∴S AOC＝S ADC＝6，
∵A△C =CB，△
∴S AOB＝2S AOC＝12，
△ △
分别过点A、C作x轴的垂线交x轴于点E、F，设点A（a， ），
则S AOB＝ ，即 ，
△
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴AE∥CF，
∴ BCF∽ BAE，
△ △
∴ ，
∴CF＝ ，EF＝ ，
∴OF＝ ，∴点C的坐标为（ ， ），
∵点C在反比例函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角
形的判定和性质以及反比例函数图像上点的坐标特征，作出合适的辅助线，证明
BCF∽ BAE是解答此题的关键．
△ 10．△D
【分析】作 交OB于点G，利用 ． ．求出 ，
，表示出 ， ，进一步求出 ， ，
，证明 ，利用相似的性质求出 ，再利用勾股定理
即可求出k的值．
解：作 交OB于点G，∵矩形 的对角线 ． ．
∴ ， ，即 ，
∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数 上，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折后，点 恰好落在 上的点 处，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
又∵ ，
即 ，解得： ．
故选：D
【点拨】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边
长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出 ， ，表示出
， ， ，利用相似的性质求出 ．11．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函
数中即可得出结论；
（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，
进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m＋3），
∵点C是OA的中点，
∴ ，
∵点C，D在双曲线y＝ 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax＋b，
∴ ，
∴
∴直线CD的解析式为 ，故答案为： ；
如图，设点 ，
C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线 于F，
∴ ，
∴EF＝− n＋3− ，
∴S OEF＝
△
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为 ，
故答案为：
【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，
解本题的关键是建立S OEF与n的函数关系式．
△
12．【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则 ，而EM：DB=ED：DF=4：3，求
出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
解：如图，过点 作 轴于点 ，
将 沿 对折后， 点恰好落在 上的 点处，
， ， ，
，
而 ，
，
，
；
又 ， ，
， ，
；
，而 ，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
故答案为 ．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾
股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．
13．
【分析】把点（－1， ）代入反比例函数 ，求出k. 连接OC，过点A作
AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE＝OF、OE＝
CF，根据角平分线的性质及三角形面积可得出 ，易证 ,利用三角形
性质可得出 ,即 ，设点A的坐标为（ ）（a＞0），由
可求出a值，进而得到点A的坐标．
解：
解：把点（－1， ）代入反比例函数 得：
k＝−1×（ ）＝ ，
∴
连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝OC，OC⊥AB，
∴∠AOE＋∠COF＝90°．
∵∠COF＋∠OCF＝90°，
∴∠AOE＝∠OCF．在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE＝OF，OE＝CF．
设点P到AB的距离为h，
∵BP平分∠ABC，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设点A的坐标为（ ），
解得：a＝ 或a＝− （舍去），
∴ ，
∴点A的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角
平分线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，构造全等
三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
14． ．【分析】一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，用k、b的值表示
点A和点B的坐标，根据B为线段AC的中点，求得点A和点B的坐标及k、b的值，可得
一次函数解析式，根据点C坐标可得反比例函数解析式，延长ED交y轴于点F，设点E纵
坐标为a，可得点E和点D坐标，根据S ODE= S OFE- S OFD可求得关于a的二次函数，
△ △ △
利用二次函数的性质即可得到△ODE面积的最大值．
解：对于一次函数y＝kx+b，
当x=0时，y=b，
∴B(0，b)，
当y=0时，kx+b=0，
解得x= ，
∴A( ,0)，
∵点C（2，4），B为线段AC的中点，
∴点B纵坐标为2，
∴B(0，2)，
即b=2，
∵点A与点C关于点B对称，
∴点A横坐标为-2，
∴A(-2,0)，
即 =-2，
∴k=1，
∴一次函数解析式为y=x+2，
∵反比例函数y＝ （m＞0）的图象过点C(2，4)，
∴将点C(2，4)代入，得m=8，
∴反比例函数y＝ ，
延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，把y=a代入y＝ ，得x= ，
则E( ,a)，
把y=a代入y=x+2，得x+2=a，
∴x=a-2，
∴D(a-2,a)，
∴S ODE= S OFE- S OFD= ，
△ △ △
∵EF= ，DF=a-2，OF=a，
∴S ODE= = ，
△
∴当a=1时，S ODE有最大值，最大值为 ．
△
故答案为 ．
【点拨】本题考查了一次函数和与反比例函数综合，二次函数的性质，求一次函数解
析式和反比例函数解析式等知识点．正确作出辅助线是解题的关键．
15． 2或
【分析】（1）设 ，根据线段中点的性质找出点 、 的坐标，再结合反比例
函数图象上点的坐标特征可找出点 的坐标，由此即可得出结论；
（2）设 ， ，根据三等分点的定义找出点 的坐标（两种情况），由此即
可得出直线 的解析式，联立直线 和反比例函数解析式得出点 的坐标，再根据三角
形的面积公式找出关于 的一元一次方程，解方程即可得出结论．解：（1）设 ，
为 中点，
， ，
， ，
．
故答案为： ．
（2）设 ， ．
为 的三等分点分两种情况：
① ，
， ，
直线 的解析式为 ，
联立直线 与反比例函数解析式，得： ，
解得： ，或 （舍去）．
，
解得： ；
② ，
， ， ，直线 的解析式为 ，
联立直线 与反比例函数解析式，得： ，
解得： ，或 （舍去）．
，
解得： ．
综上可知： 的值为2或 ．
故答案为：2或 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三
角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点 的坐标；（2）分两种情况考虑．本题属
于中档题，难度不小，在解决第二问时，需要联立直线与反比例函数的解析式找出交点坐
标，再结合三角形的面积公式找出关于 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
16．
【分析】连接AD，由反比例函数的性质可知S =2.5，可求S =3.5，求出A点坐
ACD ABD
△ △
标，设B点坐标，表示面积列方程即可．
解：连接AD，延长AC、BD交于点E，设B点坐标为（a， ），点 在反比例函数 图象上，且 （1， ），
代入得，y=5，
A点坐标为（1，5），
∵ 轴， 轴，
∴CE⊥DE，
S = 2.5，
ACD
△
S = ，
ABD
△
∵四边形 的面积为6，
∴S =3.5，
ABD
△
，
解得， ，
经检验， 是原方程的解，
代入 得，y=-2，
B点坐标为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是通过反比例函数图象上点的坐标
表示面积，构建方程解决问题．17．①②③
【分析】①由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点
C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②根据①得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的
长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；
③已知B( , )，C(a, )，D(a,0)，E(0, )四点坐标，B、C、D、E四点坐标，经过
B、C两点的直线斜率k= ，经过D、E两点的直线斜率k= ，得出
1 2
，即
④先假设 ，得到对应边成比例 ，列出关于a的等式，看a是
否有解，即可求解．
解：①∵A(a,b)，且A在反比例函数 的图象上，
∴
∵AC∥y轴，且C在反比例函数 的图象上，
∴C(a, )
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即
∴k=2．
故①正确
②由①可知：A(a, )，C(a, )
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为 ，∵点B在反比例函数 的函数图象上，
∴ ，解得：x= ，
∴点B( , )，
∴AB=a− = ，AC= − =
∴S= AB×AC= × × =
∴在点A运动过程中， ABC面积不变，始终等于
△
故②正确
③连接DE，如图所示
∵B( , )，C(a, )
∴经过B、C两点的直线斜率k=
1
∵ 轴， 轴
∴D(a,0)，E(0, )
∴经过D、E两点的直线斜率k=
2
∴ ，即
故③正确
④假设∴
∴
解得
∴当 时，
故④错误
故答案为：①②③
【点拨】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，
一次函数斜率求法．
18．（4，0）
【分析】先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a的值，得到A点坐标，解方程
组 ，得B点坐标，利用待定系数法求出AB的解析式；再设直线AB交x轴
于点Q，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取
等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P
点坐标．
解：把A（1，a）代入y＝ ，得a＝﹣3，则A（1，﹣3），
解方程组 ，得 或 ，则B（3，﹣1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得 ，
解得 ，
所以直线AB的解析式为y＝x﹣4；
设直线AB交x轴于点Q，如图，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝4，则Q（4，0），
因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，
0）．
故答案为（4，0）．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的
交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无
解，则两者无交点．也考查了待定系数法求直线的解析式以及三角形三边关系定理．
19．(1)6(2)y＝﹣ x+
【分析】（1）根据题意求出点F的坐标，进而求出k；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标，利用待定系数法求出直线
EF的解析式．
（1）解：∵OB＝4，OA＝3，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4， ），∵点F在反比例函数 （k＞0）的图象上，
∴k＝4× ＝6；
（2）解：设直线EF的解析式为：y＝mx+n，
由（1）可知，反比例函数的解析式为 ，
∵E点的纵坐标为3，
∴点E的坐标为（2，3），
则 ，
解得： ，
∴直线EF的解析式为：y＝﹣ x+ ．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数的解析
式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．(1)①y ② (2)20
【分析】(1 )①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，
FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
(2 )利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去 OCF
和 BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值． △
△（1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E(8，1)，
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y ；
②当y＝4时，x＝2，∴F(2,4)，
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
，
解得x ，
∴OG ；
（2）解：∵点E、F在反比例函数 的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4
=- +4m+16＝﹣ +20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
【点拨】本题考查待系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，坐标与图
形，二次函数的最值，熟练掌握用待系数法求反比例函数解析式、勾股定理、二次函数的
性质是解题的关键．
21．(1) (2)
【分析】（1）根据直线 的关系式可求出直线与 轴， 轴的交点坐标，再利用全
等三角形，求出， ， ，进而确定点 的坐标，再将点 的坐标代入可求出 的
值；
（2）设出点 的坐标，利用三角形面积的计算公式得出 的面积 与点 的横坐
标与之间的函数关系式．
（1）解：如图，过点 作 轴于 ，当 时， ，因此直线 与 轴交于点 ，即 ，
当 时，即 ，解得 ，
因此直线 与 轴的交点 ，即 ，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
点 ，
点 在反比例函数 的图像上，
；
（2）解：连接 ， ，设 ，则点 ，
，
的面积 ．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握一次函数，反比例函数图
像上的点的坐标特征是解题的关键．
22．(1) (2)点 坐标为
【分析】（1）由直线解析式求得 的坐标，即可根据待定系数法求得反比例函数的解
析式，把点 的横坐标代入即可求得 的坐标；
（2）设点 ，由 ， 可得 ，从而可得 的
值，进而求解．
（1）解：由题意可知 的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
，
反比例函数 的图像经过点 ，
，
∴ ，
， ，
，把 代入得， ，
∴ ；
（2）解：设点 ，
四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
点 ， 都在反比例函数图像上，
∴ ，
解得 ，
点 坐标为 ．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、矩形的性质，解题关键是掌握
待定系数法求函数解析式，掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的判定及性质．
23．(1) ， (2)存在， Q点的坐标为（5，- ）或（5，- ）或（，3）．
【分析】（1）根据题意分别求出A点，B点和C点的坐标，然后用待定系数法求出函
数解析式即可；
（2）根据函数解析式设出P点和D点的坐标，分点Q在直线BA上和点Q在直线BC
上两种情况讨论，找出等量关系列方程求解即可．
（1）解：（1）由题意知，A（5，0），B（5，3），C（0，3），
设过点B的反比例函数解析式为y= ，
代入B点坐标得，3= ，
解得k=15，
∴过点B的反比例函数的解析式为y= ，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
代入A点和C点坐标得， ，
解得 ，
∴过A，C两点的一次函数的表达式为y=- x+3；
（2）解：存在，
设P（m，- m+3），则D（m， ），
①若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BA上，且PD=DB=BQ，
∴ -（- m+3）= ，
整理得 ，
解得m= 或 ，
经检验，m的值是方程的解，当m= 时，
PD= -（- m+3）= =BQ，
∴此时Q（5，3- ），
即Q（5，- ）；
当m= 时，
PD= -（- m+3）= =BQ，
∴Q此时（5，3- ），
即Q（5，- ）；
②若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线BC上，且PD与BQ互相
垂直平分，
则Q点的纵坐标为3，且 =3，
解得m= ，
经检验，m的值是方程的解，
∵m＞0，
∴m= ，
∴Q（ ，3），
综上所述，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则Q点的坐标为（5，- ）或（5，- ）或（ ，3）．
【点拨】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函
数的性质，反比例函数的性质，菱形的性质，解一元二次方程等知识是解题的关键．
24．(1) (2)5(3)存在， 或 或
【分析】（1）先求出点 的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出 ， ， 的面积，利用
即可得到答案；
（3）分三种情况，当 ， 时；当 ， 时；当
， 时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
（1）解：由题意可知 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，∴ ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ，
，
，∴ ；
（3）解：存在
分三种情况，∵ ，
∴直线 的表达式为 ．
①如图1，当 ， 时，
设点 ，则
∵
∴ 平分 ．
∴ ，解得
∴
∴ ；
②如图2，当 ， 时，设点 ．∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ；
③如图3，当 ， 时，点 与点 重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，综上所述，存在点 使得 是等腰直角三角形，其坐标为 或 或
．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰
三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点 的坐标．
