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全等三角形模型——手拉手模型与半角模型
手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示
结论：（1）△ABD≌△AEC
（2）∠α +∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：
1. 如图，以 的边 ， 为边，向外作等边 和等边 ，连接 ， 相交于点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
（3）求证： 平分 ．
（4）求证： ．2. 等边 和等边 如图所示，连接 与 ，证明：（1） ；（2） 与 的夹角
为 ；（3） 延长线与 的交点设为 ，求证： 平分 ．
3. （2021春•宁阳县期末）如图两个等腰直角 与 ， ，连接 ，
交于点 ．
证明：（1） ；
（2） ．
4. 如图，两个等腰 与 ，连接 ， 交于点 ，连接 ．求证： ．5. 如图，两个正方形 和 ，连接 与 ，二者相交于 ．问：
（1）求证： ．
（2） 与 的关系？并说明理由．
（3）求证： 平分 ．
6. （2021秋•南岗区校级期中）已知： ， ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时， 、 交于点 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过 作 于 ，在 上取点 ，连接 并延长至 ，使
，连接 ，若 ，求 的度数．
7. （2021秋•天河区期末） 是等边三角形，点 是 边上动点， ，把沿 对折，得到△ ．
（1）如图1，若 ，则 ．
（2）如图2，点 在 延长线上，且 ．
①试探究 ， ， 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若 ， ，求 的长．（用含 的式子表示）
半角模型
图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有 套 的情况。求证的结论一般
是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，
补短法。
8. （2021秋•东坡区期末）如图， 是边长为6的等边三角形， ， ，以点
为顶点作一个 角，使其两边分别交 于点 ，交 于点 ，连结 ，则 的周长是
．
9. 已知，如图，四边形 是正方形， 、 分别在边 、 上，且 ，我们把这种模
型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法
（1）在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小明将 绕点 顺时针旋转 后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当 的两边分别与 、 的延长线交于点 、 ，连接 ，试探究线段 、 、
之间的数量关系，并证明．
10. （2020秋•荔湾区期末）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边
， 上的点，且 ，求证： ．
11. 已知：边长为1的正方形 中， 、 分别是 、 上的点．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 得周长为2，求 的度数．
12. （2020秋•新建区校级期中）（1）如图（1），在 中， 是 边上的中点， ，
交 于点 ， 交 于点 ，连接 ．若 ，探索线段 、 、 之间的数量关
系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一个
角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 、 、 之间的数量关系，
并加以证明．13. 【感知】如图①，点 是正方形 的边 上一点，点 是 延长线上一点，且 ，易
证 ，进而证得 （不要求证明）
【应用】如图②，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ．求证：
．
【拓展】如图③，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在
边 、 上，且 ，若 ， ，则四边形 的周长为 ．
14. 问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形 中， ， ， ． ， 分别是 ，
上的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．
小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“ ， ”换为 ．其它条件不变．如图1，试问
线段 、 、 具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
，请直接写出线段 、 、 它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 延长线上的点，且 ，试问线段 、 、 具有怎样的数量关系，并证明．
