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专题训练 平行线的拐点问题
一、单拐点
1. （2022秋•榆树市期末）如图， ，则图中 、 、 关系一定成立的是
A． B．
C． D．
【分析】首先过点 作 ，由 ，可得 ，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得 ， ，继而可得 ．
【解答】解：过点 作 ，
，
，
， ，
．
故选： ．
2. （2022秋•南关区校级期末）如图，直线 ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若
，则 的度数为A． B． C． D．
【分析】先利用平行线的性质得出 ，进而利用三角板的特征求出 ，最后利用平行线的性质即可．
【解答】解：如图，
过点 作 ，
，
，
，
， ，
，
，
故选： ．
3. 如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【解题思路】过点C作CF∥AB，由题意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行线的性质可得∠ACF
＝∠BAC＝45°，CF∥DE，从而可求∠DCF的度数，则可求∠D的度数．
【解答过程】解：过点C作CF∥AB，如图所示：
∵∠1＝135°，
∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，
∵CF∥AB，AB∥DE，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，
∴∠DCF＝∠D，
∵∠ACD为直角，
∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，
∴∠D＝45°．
故选：C．
4. 将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（ ）
A．127° B．133° C．137° D．143°
【解题思路】过点 E作EF∥AC，由平行线的性质可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，从而可得
∠2+∠DEF＝180°，结合条件可求得∠DEF的度数，即可求解．
【解答过程】解：过点E作EF∥AC，如图所示：
∵AC∥EF，AC∥BD，
∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，
∴∠2+∠DEF＝180°，
∵∠CED＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，
∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．
故选：C．
5. （2022 秋•龙岗区校级期末）如图，直线 ，点 在 上， 交 于点 ，若
， ，点 在 上，求 的度数．【分析】由平行线的性质求出 ，由三角形的外角性质得出 ，即可求
出 的度数．
【解答】解： ，
，
，
，
．
6. （ 2022 秋 • 峄 城 区 校 级 期 末 ） （ 1 ） 已 知 ： 如 图 （ a ） ， 直 线 ． 求 证 ：
；
（2）如图（b），如果点 在 与 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什
么新的猜想？
【分析】（1）首先过点 作 ，由直线 ，可得 ，然后由两直线平行，内错
角相等，即可证得 ；
（2）首先由两直线平行，内错角相等，可得 ，然后根据三角形外角的性质即可证得
．
【解答】（1）证明：过点 作 ，
，，
， ，
；
（2）结论： ，
证明：如图：
，
，
在 中， ，
，
．
7. （2022秋•伊川县期末）如图：
（1）若 ，猜想图①中， 、 与 之间的数量关系并加以证明；
（2）若 ，如图②，直接写出 、 与 之间的数量关系： ．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示， 垂直地面 于 ， 平行于地面 ，
若 ，则 ．
【分析】（1）过点 作 ；通过平行线的性质倒角即可；
（2）过点 作 ；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；
（3）由（2）中的结论计算即可．
【解答】解：（1） ；理由如下：
如图，过点 作 ；，
，
，
，
，
；
（2） ；理由如下：
如图，过点 作 ；
，
，
， ，
，
故答案为： ；
（3）解：由（2）可知： ，
，
，
，
故答案为：120．
8. （2022秋•临汾期末）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线 ，直线 与 ， 分别交于点 ， ，点 在直
线 上，且在点 的左侧，点 在直线 上，且在点 的左侧，点 是直线 上的一个动点（点 不与点
， 重合）．当点 在点 ， 之间运动时，试猜想 ， ， 之间的数量关系，并说
明理由．
独立思考：
（1）请解答老师提出的问题．实践探究：勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点 在 ， 两点的外侧运动时， ， ，
之间的数量关系又是如何？
（2）如图2，当点 运动到点 上方时，试猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点 运动到点 下方时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【分析】（1）过 点作 ，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由与平行线中的一条平
行，与另一条也平行得到 ，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2） ，如图2所示，过点 作 ，同理即可得证；
（3） ，如图2所示，过点 作 ，同理即可得证．
【解答】解：（1） ．
理由如下：如图1，过点 作 ，则 ．
，
，
，
；
（2） ．
理由如下：如图2，过点 作 ，则 ．
，，
，
；
（3） ．
理由如下：如图3，过点 作 ，则 ．
，
，
，
．
9. （2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若 ， ， ．则；
（2）【问题归纳】如图1，若 ，请猜想 ， ， 之间有何数量关系？请说明理
由；
（3）【联想拓展】如图2， ，点 在 的上方，问 ， ， 之间有何数量关系？
直接写出结论．
【分析】（1）过点 作 ，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质求解即可；
（3）过 点作 ，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图1，过点 作 ，
，
，
， ，
．
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：如图1，
，
，
， ，
；
（3） ，
理由如下：如图2，过 点作 ，
，
，
， ，．
10. （2022秋•南关区校级期末）已知 ，点 在直线 、 之间， ．
（1）如图1，请直接写出 和 之间的数量关系： ．
（2）如图2， 和 满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ，则 的度数为 ．
【分析】（1）过点 作 ，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点 作 ，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【解答】解：（1） 过点 作 ，如图，
，
．
， ，．
．
．
．
故答案为： ；
（2） 和 满足： ．理由：
过点 作 ，如图，
，
．
， ，
．
．
．
．
．
．
．
（3）设 与 交于点 ，如图，
平分 ，
．
平分 ，
．，
．
，
．
，
．
由（2）知： ，
．
故答案为： ．
二、多拐点
11. （2023•惠阳区校级开学）如图， ， ， 平分 ， 平分 ，则
A． B． C． D．
【分析】首先过点 作 ，过点 作 ，由 ，即可得 ，然后
根据两直线平行，同旁内角互补，由 ，即可求得 ，又由 平分
， 平分 ，根据角平分线的性质，即可求得 的度数，又由两只线平行，
内错角相等，即可求得 的度数．
【解答】解：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ，
，，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
， ，
．
故选： ．
12. （2022秋•渠县校级期末）如图，直线 ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得 ，
，再根据两直线平行，同旁内角互补求出 ，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，
， ，
，
，
，
，
．
故选： ．13. （2022秋•大渡口区校级期末）如图， ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】如图，作 ．利用平行线的性质得 ， ，即可解决问题．
【解答】解：如图，作 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
．
故选： ．
14. （2022秋•秦州区校级期末）如图，直线 ， ， ，则
A． B． C． D．【分析】过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得 ，
，再根据两直线平行，同旁内角互补求出 ，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，过点 作 的平行线 ，过点 作 的平行线 ，
则 ， ，
，
，
，
，
．
故选： ．
15. （2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知 ， ，则 、 与 的关系是 ．
【分析】首先过点 作 ，过点 作 ，由 ，即可得 ，然后
由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解答】解：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ， ，
①， ②，由①②得： ．
故答案为： ．
16. （1）如图（1），已知 ，探索 、 、 、 ， 、 、 、 之间的关系；
（2）如图（2），已知 ，探索 、 、 、 ， 、 之间的关系；
（ 3 ） 如 图 （ 3 ） ， 已 知 ， 探 索 、 、 、 之 间 的 关 系 ．
【 分 析 】 （ 1 ） 过 点 作 ， 由 平 行 线 的 性 质 证 得 ， ， 则
，即 ．
（2）如图2，证法同上；
（3）过 作 ，结合平行线的性质可得出结论，从而找到规律，利用规律解题即可．
【解答】解：（1）如图1，过点 作 ， ，则 ．
，
，，
，
；
（2）由证法（1）可知： ；
（3）过 作 ，如图（3），
，
，
，
，
同理可得 ， ，
．
17. （2022秋•即墨区期末）如图， ， 平分 ， 平分 ， ，
求 ．
【分析】连接 ，过 作 ，由 ，得到 ，利用两直线平行内错角相等，得到两对角相等， 进而求出 的度数， 由 平分 ， 平分 ，利用
角平分线定义得到 的度数， 在三角形 中， 利用内角和定理得到
的度数， 进而求出 的度数， 求出 度数即可 ．
【解答】解： 连接 ，过 作 ，由 ，得到 ，
， ，
， ，
平分 ， 平分 ，
，
，
则 ．
