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专题训练 乘法公式的几何背景
一．选择题（共11小题）
1．（2022秋•香坊区校级期中）从边长为 的正方形中去掉一个边长为 的小正方形，如
图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是
A． B．
C． D．
【分析】由大正方形的面积 小正方形的面积 矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解： 大正方形的面积 小正方形的面积 ，
矩形的面积 ，
．
故选： ．
2．（2022秋•东城区校级期中）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式
摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是
A． B． C． D．
【分析】求出小正方形的边长，即可求解．
【解答】解：设小正方形的边长是 ，
由题意得： ，
，
图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ，故选： ．
3．（2022秋•芝罘区期中）在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形
（如左图），把余下的部分拼成一个矩形（如右图），根据两个图形中阴影部分的面积相
等，可以验证
A． B．
C． D．
【分析】由图（1），图（2）阴影部分的面积相等，即可推出公式．
【解答】
解： 图（1）的阴影的面积为： ，
图（2）的阴影的面积为： ，
，
故选： ．
4．（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为 、宽为 的长方形，用剪刀沿图
中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 2形式拼
成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【分析】阴影部分的面积 大正方形的面积 四个小长方形的面积，四个小长方形的面积
图1中的长 、宽 的长方形的面积，图2中的大正方形的面积 ，化简后求得阴影的面积．
【解答】解：方法一：
图2中四个长方形的面积的和 图1的长方形的面积 ，
图2的大正方形的面积 ，
图2中阴影部分的面积 图2的大正方形的面积 图2中四个长方形的面积的和
．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是 ，
阴影部分的面积 ．
故选： ．
5．（2022春•岳阳期末）有两个正方形 ， ，现将 放在 的内部如图甲，将 ，
并排放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，则正
方形 ， 的面积之和为
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，然后根据题意易得 ，
，进而根据完全平方公式可进行求解．
【解答】解：设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
由题意得： ， ，
， ，
， ，
正方形 ， 的面积之和为3．故选： ．
6．（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样
的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方
形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】设标号为①的正方形的边长为 ，标号为②的正方形的边长为 ，根据图形及已
知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为 16及大长方形的
面积为100，得出 与 的数量关系，然后解得 即可．
【解答】解：设标号为①的正方形的边长为 ，标号为②的正方形的边长为 ，则标号为
③的长方形长为 ，宽为 ，
每个小长方形③的面积均为16，
，
，
大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标
号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，
大长方形的长为： ，宽为： ，
大长方形的面积为100，
，
，
，
，
即标号为②的正方形的面积为 ．
故选： ．
7．（2022春•市北区期中）如图将4个长、宽分别均为 和 的长方形，摆成了一个大的
正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数式是A． B．
C． D．
【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，再由
阴影部分的面积关系建立等式即可．
【解答】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
阴影部分的面积 ，
阴影部分的面积是4个小长方形的面积和，
阴影部分的面积 ，
，
故选： ．
8．（2022秋•余庆县期末）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为
A． B．
C． D．
【分析】用两种方法不是同一个图形面积即可．
【解答】解：图中阴影部分面积可以表示为： ，
还可以表示为： ．
．
故选： ．
9．（2022春•盱眙县期中）如图，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作
正方形，面积分别是 和 ，两正方形的面积和 ，已知 ，则图中阴影
部分面积为A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】由完全平方公式，求出 与 的积，即可求解．
【解答】解：设 ， ，
四边形 是正方形，
，
两正方形的面积和 ，
，
，
，
，
，
故选： ．
10．（2022春•鹿城区校级期中）如图，在长方形 中， ， ，其内部
有边长为 的正方形 与边长为 的正方形 ，两个正方形的重合部分也为正方形，
且面积为5，若 ，则正方形 与正方形 的面积之和为
A．20 B．25 C． D．
【分析】先利用 边长，推导出 ，则可得 ， ，从而得到
， 再 由 ， 求 出 ， 可 求 ， 根 据
，求出 ，再由 ，求出
，即为所求．【解答】解： 两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
延长 交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
正方形 与正方形 的面积之和为25，
故选： ．
11．（2022秋•黄冈月考）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，
构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，
其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为A．5 B．10 C．20 D．30
【分析】利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，确定小长方形的面积．
【解答】解：设长方形的长为 ，宽为 ，
由图1可知， ，即 ①，
由图2可知， ，即 ②，
由① ②得 ，
，
即长方形的面积为5，
故选： ．
二．填空题（共7小题）
12．（2022春•新城区校级期中）如图，长方形 的周长是 ，以 ， 为边
向外作正方形 和正方形 ，若正方形 和 的面积之和为 ，那
么长方形 的面积是 ．
【分析】由完全平方公式，求出 的值，即可解决问题．
【解答】解： 正方形 和 的面积之和为 ，
，
长方形 的周长是 ，
，
，
，
，长方形 的面积是 ．
故答案为： ．
13．（2022春•钟楼区期中）如图是 型卡片（边长为 的正方形）、 型卡片（长为 、
宽为 的长方形）、 型卡片（边长为 的正方形）．现有4张 卡片，11张 卡片，7
张 卡片，取其中的若干张卡片 种类型卡片都要取到）无缝隙、无重叠地拼正方形或长
方形，下列说法正确的是 ②③④ ．（只填序号）
①可拼成边长为 的正方形；
②可拼成长、宽分别为 、 的长方形；
③用所有卡片可拼成一个大长方形；
④最多可拼出4种面积不同的正方形．
【分析】根据长方形、正方形的面积，结合完全平方公式确定所需卡片型号和数量即可．
【解答】解： 边长为 的正方形的面积为 ，
需要1张 型卡片，9张 型卡片，6张 型卡片，
型卡片只有7张，
不能拼成边长为 的正方形；
故①不符合题意；
长、宽分别为 、 的长方形的面积为 ，
需要4张 型卡片，4张 型卡片，10张 型卡片，
可拼成长、宽分别为 、 的长方形；
故②符合题意；
所有卡片的面积和为 ，
用所有卡片能可拼成一个大长方形，长方形的长为 ，宽为 ，
故③符合题意；
，需要1张 型卡片，1张 型卡片，2张 型卡片，
，需要1张 型卡片，4张 型卡片，4张 型卡片，
，需要4张 型卡片，1张 型卡片，4张 型卡片，
，需要4张 型卡片，4张 型卡片，8张 型卡片，
最多可拼出4种面积不同的正方形；
故④符合题意；故答案为：②③④．
14．（2022春•亭湖区校级期末）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合
起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直
观，形少数时难入微”．如图是由四个长为 ，宽为 的长方形拼摆而成的正方形，其中
，若 ， ，则 的值为 2 ．
【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即 ，将 和 代入求出 ，根据 即可求出
．
【解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即 ，
， ，
，
，
．
故答案为：2．
15．（2022春•东至县期末）如图，长方形 的周长为6，面积为1，分别以 ，
为边作正方形，则图中阴影部分的面积为 7 ．
【 分 析 】 设 ， ， 可 得 ， ， 由 完 全 平 方 公 式
可得， ，代入即可求得此题结果．
【解答】解：设 ， ，
可得 ， ，由完全平方公式 可得，
，
故答案为：7．
16．（2022春•海珠区期末）如图，正方形 被分成两个小正方形和两个长方形，如
果两个小正方形的面积分别是 和 ，那么两个长方形的面积和为 ．
【分析】由题意可求得两个小正方形的边长，即可求得每个小长方形的面积．
【解答】解：由题意可得，两个小正方形的边长各为 和 ，
每个小长方形的面积为 ，
两个长方形的面积和为 ，
故答案为： ．
17．（2022春•青羊区期末）如图，两个正方形的边长分别为 ， ．若 ， ，
则图中阴影部分的面积为 1 6 ．
【分析】用间接法求图中阴影部分的面积，图中阴影部分的面积 大正方形的面积的一半
小正方形面积的一半 个空白直角三角形的面积．
【 解 答 】 解 ： 图 中 阴 影 部 分 的 面 积
， ，，
图中阴影部分的面积 ，
故答案为：16．
18．（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形 中放置两个长和宽分别为 ，
的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分面积
12. 5 ．
【分析】由长方形的周长16，面积为15.75，确定 ， ，通过观察图形分
别用含有 和 的式子表示出阴影部分的面积 、 、 ，然后整理化简 ，通
过完全平方公式计算出 ，从而求出值．
【解答】解：由题知， ， ．
，
，
，
， ， ，
阴影部分面积
．
故答案为：12.5．
三．解答题（共9小题）
19．（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片 、 、 分别是边长为 的正方形，
边长为 的正方形和宽与长分别为 与 的长方形．
（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片 ，一张纸片 和两张纸片 ，拼成了如图2所
示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；
（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为 的大长方形，需要 、、 三种纸片分别 张．
【分析】（1）根据完全平方公式得出结论即可；
（2）根据多项式乘多项式得出结论即可．
【解答】解：（1）由题意知， ，
故答案为： ；
（2） ，
需要 、 、 三种纸片分别2张，1张，3张，
故答案为：2，1，3．
20．（2022秋•同心县校级期中）如图（1），边长为 的正方形内有一个边长为 的小正
方形．
（1）请用 、 的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用 、 的代数式表示）
（2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的面积又是多少？
（3）根据图（1）和（2）给你的启发，你能验证什么乘法公式？
【分析】（1）求大正方形与小正方形的差即可；
（2）应用长方形的面积公式，即可计算；
（3）由图1和图2的阴影面积相等，即可判断．
【解答】解：（1）图1的阴影面积是 ；
（2）图2的阴影面积是 ；
（3）可以验证平方差公式，
图1和图2的阴影面积相等，
．21．（2022春•桐城市期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，
种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 ，宽为
的长方形，并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方
形的面积．
【分析】（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①根据完全平方公式计算出 的值即可；
②利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）由图2可知， ，
故答案为： ；
（2）① ，
，
，
，
；
②由（1）知， ，
，
，
，
故这个长方形的面积为8．
22．（2022•惠水县模拟）下列图形是由四块完全相同，底角为 的等腰梯形拼接而成的
平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示．（1）设图1中的阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积 ．请你用含 、 的代数式表
示 ， ；
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式；
（3）当 ， ， 时，试利用这个公式计算 的值．
【分析】（1）由图1的面积等于等腰梯形面积的4倍，图2的面积等于大正方形的面积减
去小正方形的面积，即可计算；
（2）由（1）的结果即可得到答案；
（3）应用平方差公式即可计算．
【解答】解：（1）作 于 ， 于 ，
，
， 是等腰直角三角形，
，
等腰梯形的面积 ，
，
；
（2）以上结果可以验证平方差公式；
（3）
．
23．（2022秋•西城区校级期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的
方 法 计 算 同 一 个 图 形 的 面 积 ， 探 索 了 单 项 式 乘 多 项 式 的 运 算 法 则 ：
（ 如 图 ， 多 项 式 乘 多 项 式 的 运 算 法 则 ：（如图 ，以及完全平方公式：
（如图 ．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究
数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式 成立（画出示意图，并标上字
母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形 拼成
的一个大正方形 ．如果每个直角三角形的较短的边长为 ，较长的边长为 ，最长
的边长为 ，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边
长 、 、 的什么数量关系？（注 写出解答过程）
【分析】（1）由 即可画出图形；
（2）由大正方形面积的两种表示方法，即可解决问题．
【解答】解：（1） ，
（2） ．理由如下：
，
，
，
．
24．（2022秋•西城区校级期中）我们知道用几何图形的面积可以解释多项式乘法的运算：
（1）如图1，可知： ；
（2）如图2，可知： ；（3）计算： ；
（4）在右面虚线框内画图说明（3）中的等式．
【分析】（1）利用长方形的面积的两种求法确定等式关系即可；
（2）利用正方形面积的两种求法确定等式关系即可；
（3）利用多项式乘多项式法则运算即可求解；
（4）仿照（1）（2），将长方形面积进行分割即可画出图形．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3） ，
故答案为： ；
（4）如图：
25．（2022春•盱眙县期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得
到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；
（2）解决问题：如果 ， ，求 的值；
（ 3 ） 类 比 探 究 ： 如 果 一 个 长 方 形 的 长 和 宽 分 别 为 和 ， 且，求这个长方形的面积．
【分析】（1）由图形可知应该是完全平方公式；
（2）由完全平方公式即可求解；
（3）由完全平方公式求出 和 的乘积即可．
【解答】解：（1） ；
（2） ，
，
，
，
；
（3） ，
，
，
，
，
长方形的面积是8．
26．（2021秋•唐河县期末）读下列材料，完成文后任务．
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果 满足 ．求
的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：
方法1：设 ， ，则 ， ，
方法
， ， ，
．
任务：（1）方法1用到的乘法公式是 （填“平方差公式”或“完全平方公式” ．
（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ，求
的值．
（3）如图，在长方形 中， ， ， ， 是 ， 上的点，且
，分别以 ， 为边在长方形 外侧作正方形 和 ，若
长方形 的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
【分析】（1）根据方法1用到的方法，可知方法1用到的乘法公式是完全平方公式．
（2）使用方法 1：设 ， ，则可得 ，
，根据完全平方公式化简得 ，即 ；使用
方法2：将 用完全平方公式打开并化简得 ，再用多项
式乘多项式法则计算 得 ，最后将 即可求解．
（ 3 ） 根 据 ， ， ， 得 到 ，
， 即 有 ： ， 设 ， ， 可 得
， ，再利用完全平方公式化简计算即可求解．
【解答】解：（1）根据方法1用到的方法，可知方法1用到的乘法公式是完全平方公式；
故答案为：完全平方公式．
（2）使用方法1：设 ， ，
则 ，
，
，
，
，
即： ；
使用方法
，
，即 ，，
．
（3） ， ， ，
， ，
长方形 的面积为40，
即有： ，
设 ， ，
则 ， ，
，
，
四边形 和 均是正方形，
图中阴影部分的面积和是：
．
27．（2022秋•榆树市期中）实践与探索：如图1，边长为 的大正方形里有一个边长为
的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是： （请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个等式完成下列各题：
①已知 ， ，则 ．
②计算： ．【分析】（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；
（2）①利用平方差公式解答即可；
②将9看成 ，利用平方差公式解答即可．
【解答】解：（1）由于拼接前后的面积相等，
，
上述操作能验证的等式是 ，
故答案为： ；
（2）① ， ， ，
，
，
故答案为：4；
② ，
原式
．
