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全等三角形模型——截长补短与倍长中线
截长补短
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
截长补短法是几何证明题中十分重要的
A
方法，通常来证明几条线段的数量关系，
常见做辅助线方法有：
D 截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
B C ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的
线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
在线段 上截取 ⑴延长短边。
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，
证与长边相等。
A
B C
D
延长 ，使得
1. 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
2. 阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等
再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在 中， ， 平分 ．求证： ．
证明：在 上截取 ，连接
（2）如图2， ， ， 分别平分 ， ， 过点 ，求证： ．3. 如图，在 中， 平分 交 于 ，在 上截取 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．
4. （2020秋•武昌区期中）如图， 中， ， 、 分别平分 、 ， 、
相交于点
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求线段 的长．
5. 如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，求 的度数．
6. 如 图 ， 五 边 形 中 ， ， ， ，
，连接 ．求证： 平分 ．7. 已知：如图，在 中， 是 延长线上一点， 是 的平分线， 是 上的一点（点
不与点 重合），连接 ， ．通过观察，测量，猜想 与 之间的大小关系，
并加以证明．
8. 已知 中， ， 平分 交边 于 ．
（1）如图（1），当 时，证明： ；
（2）如图（2），当 时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于
，若有请写出结论并完成证明．
9. （2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在 中， 平分 ， ．求证：
．”
李老师给出了如下简要分析：要证 ，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：
方法一：“截长法”．如图2，在 上截取 ，连接 ，只要证 即可，这就将证
明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ △ ，得出 及 ，再
证出 ，进而得出 ，则结论成立．此种证法的基础是“已知 平分 ，将
沿直线 对折，使点 落在 边上的点 处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图3，延长 至点 ，使 ．只要证 即可，此时先证
，再证出△ △ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
倍长中线
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形；
其本质是转移边和角．
A
倍长中线常见题型：
已知角平分线+中线证等腰三角形，
已知角平分线+高证等腰三角形，
已知中线+高证等腰三角形．
B C
D
E
其中 ，延长 使得 ，则 ．
10. 三角形 中， 是中线，且 ， ，求 的取值范围是 ．
11. （2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，
中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下
的解决方法：延长 到点 ，使 ，则得到 ，小明证明 用到的
判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓 展 应 用 ： 以 的 边 ， 为 边 向 外 作 和 ， ， ，， 是 中点，连接 ， ．当 时，求 的长．
12. 如图， 中， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
13. 如图，平面直角坐标系中， 为 轴正半轴上一点， 、 分别为 轴负半轴， 轴正半轴上的点，
， ， ，连 ．如图， 为 的中点，求证： ．
14. 如图， 是 的边 上的中线， ， 是 的边 上的中线．求证：
．
15. 如图，在 中， ， 是 边上的两点， ， 是 边上的中线，则求证
．16. 如图1， 中， 为 的中线，点 在 上，且 ．
（1）求证： ．
（2）如图2，连接 ，若 ， ，则 的度数为 （直接写出结果），
17. 如图， 中，点 是 中点，连接 并延长到点 ，连接 ．
（1）若要使 ，应添上条件： ；
（2）证明上题：
（3）在 中，若 ． ，可以求得 边上的中线 的取值范围 ．请看解题过程：
由 得： ， ，因此 ，即 ，而 ，则
请参考上述解题方法，可求得 ，则 的值为 ．
（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证
明）
