文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 4 章 基本平面图形》
专题 与线段有关的计算问题（解答题 35 题）
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
题型一 基础题
1．（2023秋•历下区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6且BC＝2AC，点M是线段AB的中点，求线
段CM的长度．
【分析】先根据AC＝6且BC＝2AC求出线段AB的长度，然后根据线段中点的定义求出AM的长，最后
用AM减去AC即可求出线段CM的长．
【解答】解：∵AC＝6，BC＝2AC，
∴BC＝12，AB＝18，
∵点M是线段AB的中点，
1
∴AM= AB＝9，
2
∴CM＝AM﹣AC＝9﹣6＝3．
【点评】本题主要考查线段的和差倍分以及线段中点定义，熟练掌握线段的和差倍分的计算方法是解决
问题的关键．
2．（2023秋•闽清县期末）已知：如图，线段 AB＝24，点C、D是线段AB的三等分点，点E是线段AB
的中点．求线段CE的长．
【分析】先利用线段中点的定义得到AE＝12，利用线段三等份的定义得到AC＝8，于是可得CE＝4．
【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，
1 1
∴AC= AB= ×24=8，
3 3
∵点E是线段AB的中点，
1 1
∴AE= AB= ×24=12，
2 2
1∴CE＝AE﹣AC＝12﹣8＝4．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
3．（2023秋•定陶区期中）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，若AM＝2厘米，
BC＝8厘米，求MN的长度．
1
【分析】先根据线段中点的定义得到CM＝AM＝2厘米，CN= BC=4厘米，再根据相等的和差关系
2
进行求解即可．
【解答】解：∵M是AC的中点，AM＝2厘米，
∴CM＝AM＝2厘米，
∵N是BC的中点，BC＝8厘米，
∴CN＝BC＝4厘米，
∴MN＝CM+CN＝6厘米．
【点评】本题主要考查了与线段中点有关的计算，
4．（2024春•桓台县期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的
中点．求线段BC，MN的长．
【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵M是AC的中点，AC＝6cm，
1
∴MC＝AM= AC＝3cm，
2
∴BC＝MB﹣MC
＝10﹣3
＝7（cm），
又∵N为BC的中点，
1
∴CN= BC＝3.5cm，
2
∴MN＝MC+NC＝6.5cm．
【点评】本题考查两点之间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的
关键．
25．（2024春•莱芜区期末）如图，线段AB＝12，C是线段AB的中点，M是线段AB上的一点，AM＝8，N
是线段BM的中点．求线段CN的长．
【分析】根据线段中点的定义，结合图形中线段之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵AB＝12，C是线段AB的中点，
1
∴AC＝BC= AB＝6，
2
又∵AM＝8，
∴BM＝AB﹣AM＝12﹣8＝4，
∵N是线段BM的中点．
1
∴BN＝MN= BM＝2，
2
∴CN＝BC﹣BN＝6﹣2＝4．
【点评】本题考查两点间的距离，掌握相等中点的定义是正确解答的关键．
6．（2023秋•思明区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，点E是线段AD的
中点，AD＝12cm，CE＝2cm，求线段AB的长．
【分析】根据点E是线段AD的中点，AD＝12cm，先求出AE，进而求出AC，根据点C是线段AB的中
点求出AB即可．
【解答】解：∵E是线段AD的中点，
1
∴AE= AD，
2
∵AD＝12cm，
1
∴AE= ×12=6（cm），
2
∵CE＝2cm，
∴AC＝AE+CE＝6+2＝8（cm），
∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC＝2×8＝16（cm），
即线段AB的长为16cm．
【点评】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属
3于中考常考题型．
2
7．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，已知点 C为AB上一点，AC＝30cm，BC= AC，D，E分别为
5
AC，AB的中点，求DE的长．
【分析】根据题意求出BC，进而求出AB，再根据线段中点的定义计算即可．
2
【解答】解：∵BC= AC，AC＝30cm，
5
2
∴BC= ×30＝12cm，
5
∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm），
∵E为AB的中点，
1
∴AE= AB＝21cm，
2
∵D为AC的中点，
1
∴AD= AC＝15cm，
2
∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6（cm）．
【点评】本题考查的是两点间的距离、线段中点的定义，熟记线段中点的定义是解题的关键．
8．（2023春•栖霞市期末）如图，已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，满足BD：AB＝1：4，且点
D，E分别是线段AC，AB的中点，若EC＝24，求线段AB和AC的长度．
1 1
【分析】设BD＝x，得到AB＝4BD＝4x，根据线段中点的定义得到BE＝AE= AB= ×4x＝2x，求得
2 2
AD＝3x，得到AC＝2AD＝6x，于是得到结论．
【解答】解：设BD＝x，
∵BD：AB＝1：4，
∴AB＝4BD＝4x，
∵点E是线段AB的中点，
1 1
∴BE＝AE= AB= ×4x＝2x，
2 2
∴DE＝x，
4∴AD＝3x，
∵点D是线段AC的中点，
∴AC＝2AD＝6x，
∴CE＝AC﹣AE＝6x﹣2x＝24，
解得：x＝6，
∴AB＝4x＝4×6＝24，AC＝6x＝6×6＝36．
【点评】本题综合考查了两点间的距离，线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上
两点之间的距离公式计算方法．
9．（2023秋•垫江县期末）如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．
（1）如果AB＝30cm，AM＝8cm，求NC的长；
（2）如果MN＝6cm，求AB的长．
【分析】（1）根据M是AC的中点，有AC＝2AM，再根据BC＝AB﹣AC即可求解；
（2）根据M是AC的中点，N是BC的中点，可得AB＝AC+BC＝2MN，即可求解．
【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点，AM＝8cm，
∴AC＝2AM＝16cm．
∵AB＝30cm，
∴BC＝AB﹣AC＝30﹣16＝14（cm）．
∵点N是线段BC的中点，
1 1
∴CN= BC= ×14=7(cm)；
2 2
（2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，MN＝6cm，
1 1
∴NC= BC，CM= AC，
2 2
1 1
∴MN=NC+CM= (BC+AC)= AB=6，
2 2
∴AB＝12（cm）．
【点评】本题考查了线段中点有关的计算以及线段之间的数量关系等知识，理清线段之间的数量关系是
解答本题的关键．
1
10．（2023秋•肥西县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21cm，BC= AB．
3
（1）试求出线段AC的长；
5（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．
1
【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝21cm，BC= AB代入即可得到答案；
3
（2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．
1
【解答】解：（1）∵AB＝21cm，BC= AB＝7cm，
3
∴AC＝AB+BC＝21+7＝28（cm）；
（2）由（1）知：AC＝28cm，
∵点O是线段AC的中点，
1 1
∴CO= AC= ×28＝14（cm），
2 2
∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7（cm）．
【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
11．（2023•克东县校级开学）如图，已知A、B、C、D、E五点在同一直线上，D是线段AB的中点，点E
是线段BC的中点，线段AC＝12．
（1）写出AC、DC、CB的数量关系；
（2）求线段DE的长．
【分析】（1）根据线段的中点求出AD＝BD，CE＝BE，BC＝2CE，求出AC＝AD+DC＝2CE+2CD即可；
（2）根据（1）得出AC＝2CE+2CD＝12，再求出CE+CD即可．
【解答】解：（1）∵D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，
∴AD＝BD，CE＝BE，BC＝2CE，
∴AC＝AD+DC
＝BD+DC
＝BE+CE+DC+DC
＝2CE+2CD
＝CB+2CD，
即AC、DC、CB的数量关系是AC＝CB+2CD；
（2）由（1）知：AC＝2CE+2CD＝12，
所以CE+CD＝6，
6即DE＝CE+CD＝6．
【点评】本题考查了两点间的距离，能求出AC＝2CE+2CD是解此题的关键．
1
12．（2023秋•惠城区期末）已知点C是线段AB上一点，AC= AB．
3
（1）若AB＝60，求BC的长；
（2）若AB＝a，D是AC的中点，E是BC的中点，请用含a的代数式表示DE的长，并说明理由．
1
【分析】（1）首先根据AB＝60，AC= AB，求出AC的长度是多少；然后用AB的长减去AC的长，求
3
出BC的长是多少即可．
1 1 1
（2）首先根据D是AC的中点，E是BC的中点，可得：DC= AC，CE= BC，推得DE= AB；然后
2 2 2
根据AB＝a，用含a的代数式表示DE的长即可．
1
【解答】解：（1）∵AB＝60，AC= AB，
3
1
∴AC= AB=20，
3
∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40．
（2）如图， ，
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
1 1
∴DC= AC，CE= BC，
2 2
1 1 1 1 1
∴DE＝DC+CE= AC+ BC= （AC+BC）= AB= a．
2 2 2 2 2
【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
题型二 提升题
1 1
13．（2024春•泰山区期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、CD的
3 4
中点E、F之间距离是10cm，求AB，AC的长．
7【分析】设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm，则AC＝6x cm．根据线段中点的定义可得出
1 1
AE= AB=1.5x cm，CF= CD=2x cm．再根据EF＝2.5x cm，即可得出关于x的一元一次方程，
2 2
求解即可得出BD的值，进一步即可得出答案．
【解答】解：设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm，则AC＝6x cm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，
1 1
∴AE= AB=1.5x cm，CF= CD=2x cm．
2 2
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5x cm．
∵EF＝10cm，
∴2.5x＝10，
解得：x＝4．
∴AB＝12cm，AC＝24cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是注意运用数形结合思想和方程思
想．
14．（2023秋•路桥区期末）如图，C是线段AB上的一点，且AB＝8，AC＝3BC，D为AB的中点，E为
BC的中点．
（1）线段BC的长为 ；
（2）求线段DE的长．
【分析】（1）根据AC+BC＝AB，AB＝8，AC＝3BC得3BC+BC＝8，据此可得BC的长；
1
（2）根据AB＝8，D为AB的中点得DB= AB＝4，再由（1）可知BC＝2，则DC＝DB﹣BC＝2，然后
2
1
根据E为BC的中点得CE= BC＝1，由此可得DE的长．
2
【解答】解：（1）∵C是线段AB上的一点，
∴AC+BC＝AB，
又∵AB＝8，AC＝3BC，
∴3BC+BC＝8，
∴BC＝2，
故答案为：2．
8（2）∵AB＝8，D为AB的中点，
1
∴DB= AB＝4，
2
由（1）可知：BC＝2，
∴DC＝DB﹣BC＝4﹣2＝2，
又∵E为BC的中点，
1
∴CE= BC＝1，
2
∴DE＝DC+CE＝3．
【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是
解决问题的关键．
15．（2022秋•玉环市期末）如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，AB＝12，CD＝
4BD．
（1）若BC＝15，求AD的长；
（2）若AB＝2BD，E为AC的中点，求BE的长．
【分析】（1）根据BC＝5BD，可求得BD＝3，据此即可求得答案；
（2）先求得BD＝6，进而可求得AC＝42，根据线段中点的定义，可求得AE＝21．
【解答】解：（1）∵DC＝4BD，
∴BC＝5BD．
∵BC＝15，
∴BD＝3．
∵AB＝12，
∴AD＝AB+BD＝15．
（2）∵AB＝2BD＝12，
∴BD＝6．
∵DC＝4BD＝24，
∴AC＝AB+BD+CD＝42．
∵E是AC的中点，
1
∴AE= AC=21．
2
∴BE＝AE﹣AB＝9．
9【点评】本题主要考查线段和线段的中点，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．（2023秋•海珠区期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
1
【分析】（1）根据图示知AM= AC，AC＝AB﹣BC；
2
（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．
【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．
又∵点M是AC的中点．
1 1 5 5
∴AM= AC= ×5= ，即线段AM的长度是 ．
2 2 2 2
（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，
2 2
∴CN= BC= ×15＝6．
5 5
又∵点M是AC的中点，AC＝5，
1 5
∴MC= AC= ，
2 2
17 17
∴MN＝MC+NC= ，即MN的长度是 ．
2 2
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
17．（2023秋•化州市期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BD＝2cm．
（1）求AC的长．
（2）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．
【分析】（1）根据AC＝AD﹣CD＝AC﹣2BC，即可求出答案；
（2）分点E在A的左边和右边两种情形求解即可．
【解答】解：（1）∵点B为CD的中点，
∴CB＝BD＝2cm，
∴CD＝BC+BD＝4cm，
10∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5cm，
答：AC的长为5cm．
（2）AB＝AC+BC＝7cm，EA＝3cm，
当点E在线段AD上时，
BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4cm，
当点E在线段DA的延长线上时，
BE＝AB+AE＝7+3＝10cm．
答：BE的长为4cm或10cm．
【点评】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本
题的关键．
18．（2023秋•仓山区期末）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝
12cm．
（1）求AB的长；
（2）若F为CB的中点，求EF长．
【分析】（1）由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得AB的长20cm；
（2）由线段的中点，线段的和差计算出EF长为6cm．
【解答】解：如图所示：
（1）设EC的长为x，
∵EC：CB＝1：4，
∴BC＝4x，
又∵BE＝BC+CE，
∴BE＝5x，
又∵E为线段AB的中点，
1
∴AE＝BE= AB，
2
∴AE＝5x，
11又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm，
∴6x＝12，
解得：x＝2，
∴AB＝10x＝20cm；
（2）∵F为线段CB的中点，
1
∴CF= BC=2x，
2
又∵EF＝EC+CF
∴EF＝3x＝6cm．
【点评】本题综合考查了线段的和差倍分，线段的中点等知识点，重点掌握两点间距离计算方法．
19．（2023秋•锡山区期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段AB上．
1
（1）如图，若线段AB＝24，点C是线段AB的中点，CD= BD，求线段CD的长度；
3
（2）若线段AB＝21a，点C是线段AB上一点，且满足 AC＝2BC，AD：BD＝3：4，求线段CD的长度
（用含a的式子表示）．
1 1 1
【分析】（1）根据线段中点的定义得到AC＝BC= AB=12，于是得到CD= BC= ×12＝3；
2 4 4
（2）根据AB＝21a，AD：BD＝3：4，得到AD＝9a，BD＝12a，求得AC＝14a，BC＝7a，于是得到结
论．
【解答】解：（1）∵线段AB＝24，点C是线段AB的中点，
1
∴AC＝BC= AB=12，
2
1
∵CD= BD，
3
1 1
∴CD= BC= ×12＝3；
4 4
（2）∵点D在线段AB上，AB＝21a，AD：BD＝3：4，
∴AD＝9a，BD＝12a，
∵AB＝21a，AC＝2BC，
∴AC＝14a，BC＝7a，
∴CD＝AC﹣AD＝14a﹣9a＝5a；
故线段CD的长度为5a．
12【点评】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点、三等分点的概念是解题的关键．
20．（2023秋•河东区校级期末）如图，线段AB＝20，BC＝14，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝3：4．求MN的长．
1
【分析】（1）根据图示知AM= AC，AC＝AB﹣BC；
2
（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．
【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝14，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣14＝6．
又∵点M是AC的中点．
1 1
∴AM= AC= ×6＝3，即线段AM的长度是3．
2 2
（2）∵BC＝14，CN：NB＝3：4，
3 3
∴CN= BC= ×14＝6．
7 7
又∵点M是AC的中点，AC＝6，
1
∴MC= AC＝3，
2
∴MN＝MC+NC＝9，即MN的长度是9．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
21．（2023秋•九江期末）如图，点C、D为线段AB上两点，点M为线段AC的中点，点N为线段BD的
中点．
（1）若AB＝14cm．CD＝4cm．求AC+BD的长及MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b．直接用含a、b的式子表示MN的长．
【分析】（1）已知AB＝14cm，CD＝4cm，可得AC+BD的长，因为点M为线段AC的中点，点N为线
1
段BD的中点，所以CM+DN= （AC+BD），因为MN＝MC+CD+DN，可得MN的长；
2
（2）已知AB＝a，CD＝b，可得AC+BD的长，因为点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，
131
所以CM+DN= （AC+BD），因为MN＝MC+CD+DN，可得MN的长．
2
【解答】解：（1）∵AB＝14cm，CD＝4cm，
∴AC+BD＝10cm，
∵点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，
1
∴CM+DN= （AC+BD）＝5cm，
2
∵MN＝MC+CD+DN，
∴MN＝9cm；
（2）∵AB＝a，CD＝b，
∴AC+BD＝a﹣b，
∵点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，
1 1
∴CM+DN= （AC+BD）= （a﹣b），
2 2
∵MN＝MC+CD+DN，
1
∴MN= （a+b）．
2
【点评】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．
1
22．（2023秋•姜堰区期末）如图，点 M，C、N在线段AB上，给出下列三个条件：①AM= AC、
2
1 1
②BN= BC、③MN= AB．
2 2
（1）如果 ，那么 ．（从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，
填序号，完成上面的填空，并说明结论成立的理由．）
（2）在（1）的条件下，若AM＝3cm，MN＝5cm，求线段BN的长．
【分析】（1）根据线段中点的定义以及线段和差关系，即可求解；
（2）设BN＝xcm，根据题意，列方程求解即可．
1 1 1
【解答】解：（1）如果AM= AC，BN= BC，那么MN= AB；
2 2 2
1 1
证明：AM= AC，BN= BC，
2 2
141 1
则MC=AC−AM= AC，CN=BC−BN= BC，
2 2
1 1 1
∴MN=MC+CN= AC+ BC= AB，
2 2 2
故答案为：①②，③；
（2）设BN＝x cm，
1
∵BN= BC，
2
∴BC＝2BN＝2x cm，
1
∵AM＝3cm，AM= AC，
2
∴AC＝2AM＝6cm，
则AB＝AC+BC＝（6+2x）cm，
1
由（1）可得，5= (6+2x)，
2
解得x＝2cm，
即线段BN的长为2cm．
【点评】此题考查了线段的中点以及线段的和差计算，解题的关键是理解题意，找到线段之间的关系，
正确列出方程．
23．（2024春•双流区校级月考）如图，线设AB＝18，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）如图①，求线段AD的长；
（2）如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC：AN＝3：1，求DN的长度．
【分析】（1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可；
（2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，
1
∴AC＝BC= AB＝9，
2
又∵点D是线段BC的中点，
1 9
∴CD＝BD= BC= ，
2 2
∴AD＝AC+CD
159
＝9+
2
27
= ；
2
（2）∵NC：AN＝3：1，
3 27
∴NC= AC= ，
3+1 4
∴DN＝NC+CD
27 9
= +
4 2
45
= ．
4
【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．
5
24．（2024春•烟台期末）如图，点C在线段AB的延长线上，AC= BC，点D在AB的反向延长线上，
3
3
BD= DC．
5
（1）设线段AB长为x，请用含x的代数式表示BC和AD的长；
（2）设AB＝12cm，求线段CD的长．
5 3
【分析】（1）根据AC＝AB+BC和AC= BC求出BC，根据BD= DC、CD＝BD+BC和BD＝AD+AB
3 5
求出AD即可；
（2）根据CD＝AD+AB+BC和AB＝x＝12cm计算即可．
【解答】解：（1）AC＝AB+BC，
5
∵AC= BC，AB＝x，
3
5
∴ BC＝x+BC，
3
3
∴BC= x；
2
3
∵BD= DC，CD＝BD+BC，
5
∴2BD＝3BC，
16∵BD＝AD+AB，
9
∴2（AD+AB）＝3BC，即2（AD+x）= x，
2
5
∴AD= x．
4
（2）∵AB＝x＝12cm，
∴CD＝AD+AB+BC
5 3
= x+x+ x
4 2
15
= x
4
15
= ×12
4
＝45（cm）．
【点评】本题考查两点间的距离、列代数式，找到线段之间的关系是解题的关键．
25．（2023秋•黄石港区期末）如图，点 C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝
4CD．
（1）求AC的长；
（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据线段中点的性质，可用CD表示BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据
解方程，可得CD的长，AC的长；
（2）分类讨论：点E在线段AB上，点E在线段BA的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）由点D为BC的中点，得BC＝2CD＝2BD，
由线段的和差，得AB＝AC+BC＝4CD+2CD＝12，
解得：CD＝2，
∴AC＝4CD＝4×2＝8；
（2）①当点E在线段AB上时，
由线段的和差，得DE＝AB﹣AE﹣DB＝12﹣3﹣2＝7，
②当点E在线段BA的延长线上，
17由线段的和差，得DE＝AB+AE﹣BD＝12+3﹣2＝13．
综上所述：DE的长为7或13．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差；分类讨论是解题关键．
题型二 压轴题
26．（2022秋•温州期末）如图，线段AB＝10，C为AB延长线上的一点，D是线段AC中点，且点D不与
点B重合．
（1）当BC＝6时，求线段BD的长．
（2）若线段BD＝4，求线段BC的长．
【分析】（1）如图1，根据线段的和差得到AC＝AB+BC＝16，根据线段中点的定义即可得到结论；
（2）当点D在B的右侧时，如图2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，当点D在B的左侧时，如图3，AD＝
AB﹣BD＝10﹣4＝6，根据线段中点的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝AB+BC＝16，
∵D是线段AC中点，
1
∴AD= AC＝8，
2
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2；
（2）当点D在B的右侧时，如图2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，
∵D是线段AC中点，
∴AD＝CD＝14，
∴BC＝BD+CD＝4+14＝18；
18当点D在B的左侧时，如图3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6，
∵D是线段AC中点，
∴AD＝CD＝6，
∴BC＝CD﹣BD＝6﹣4＝2，
综上所述，线段BC的长为18或2．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质，分类讨论是解题关键，以防
遗漏．
27．（2023春•福山区期中）如图，已知线段AB＝18cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和
BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE＝ cm；
（2）若AC＝8cm，求DE的长；
（3）说明不论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变．
【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可；
（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算；
（3）同（1）的解法相同．
【解答】解：（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
1 1
∴DC= AC，CE= CB，
2 2
1
∴DC+CE= （AC+CB）＝9cm；
2
故答案为：9；
（2）∵AC＝8cm，
∴CD＝4cm，
∵AB＝18cm，AC＝8cm，
∴BC＝10cm，
∴CE＝5cm，DE＝DC+CE＝4+5＝9（cm）；
（3）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
191 1
∴DC= AC，CE= CB，
2 2
1
∴DC+CE= （AC+CB），
2
1
即DE= AB＝9cm，
2
故无论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．
28．（2023秋•自贡期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点．
（1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为 cm；
（2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为 cm；
（3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由．
【分析】（1）根据线段的和，可得（MB+CN）的长，根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，
CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案；
（2）先根据线段的和与差，计算出BM+CN的长，再根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD
与CN的关系，根据线段的和，可得答案；
（3）根据（2）的解题过程，即可解答．
【解答】解：（1）∵MB＝2cm，NC＝1.8cm，
∴MB+NC＝3.8，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，
∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝7.6，
∴AD＝AB+CD+BC＝7.6+5＝12.6（cm），
故答案为：12.6；
（2）∵MN＝10cm，BC＝6cm，
∴BM+CN＝MN﹣BC＝10﹣6＝4，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，
∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝8，
∴AD＝AB+CD+BC＝8+6＝14（cm），
20故答案为：14；
（3）∵MN＝a，BC＝b，
∴BM+CN＝a﹣b，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，
∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN），
∴AB+CD＝2（a﹣b），
∵AD＝AB+CD+BC，
∴AD＝2（a﹣b）+b＝2a﹣2b+b＝2a﹣b．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出（MB+CN）的长，利用线段中点的性质，得
出AB＝2MB，CD＝2CN．
29．（2023秋•凉州区期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C
是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝ cm．②求线段CD的长度．
（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请
说明理由．
【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）分类讨论；
（3）直接根据中点公式即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm．
故答案为：4；
②∵AD＝10cm，AB＝4cm，
∴BD＝10﹣4＝6cm，
∵C是线段BD的中点，
211 1
∴CD= BD= ×6＝3cm；
2 2
（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当0≤t≤5时，AB＝2t；
当5＜t≤10时，AB＝10﹣（2t﹣10）＝20﹣2t；
（3）不变．
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
1
∴EC= （AB+BD）
2
1
= AD
2
1
= ×10
2
＝5cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键．
30．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持
BC＝n（n大于0且小于4.5），设点B表示的数为m．
（1）如图1，当动点B，C在线段OA上移动时，
①若n＝2，且B为OA中点时，则点C表示的数为 ；
②若AC＝OB，求多项式4m+2n﹣20的值；
1
（2）当线段BC在射线AO上移动时，且AC﹣OB= AB，用含n的式子表示m．
2
【分析】（1）①运用两点间的距离公式求解；②根据AC＝OB得到2m+n＝9，然后整体代入求值；
（2）分类讨论：点C在线段OB上和点C在线段AB上两种情况．
【解答】解：（1）①∵点A表示的数为9，B为OA中点，
∴OB＝4.5，
∵BC＝2，
∴OC＝4.5+2＝6.5，
22故答案为：6.5；
②∵OA＝9，
∴OB+BC+CA＝9．
又∵AC＝OB，
∴2OB+BC＝9．
∴2m+n＝9．
∴4m+2n﹣20＝2（2m+n）﹣20＝﹣2；
（2）如图1，
当点B位于原点左侧时，由题意，得：
1
9﹣（m+n）+m= （9﹣m）．
2
解得：m＝2n﹣9．
如图2，
当点B位于原点右侧时，由题意，得：
1
9﹣（m+n）﹣m= （9﹣m）．
2
2
解得：m＝3− n；
3
2
综上可知，m＝3− n或2n﹣9．
3
【点评】本题主要考查了列代数式和数轴，解题的关键是找到等量关系，列出代数式，注意运用分类讨
论的数学思想解答（2）题．
31．（2023秋•青羊区校级期末）（1）已知：代数式（3y﹣ax2﹣3x﹣1）﹣（5﹣y+bx﹣2x2）的值与x的取
值无关，且ax2﹣x+b＝0．
①求a，b的值；
②求代数式ax3﹣5x2﹣x﹣10b的值．
（2）已知方程5m﹣10＝4m的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝11的解．
23①求m，n的值；
②如图，已知直线l上有两点A，B（点A在点B的左边），且AB＝m，在直线l上增加两点C，D（点
C在点D的左边），作线段AD的中点M，作线段BC的中点N，若线段MN＝n，求线段CD的长度．
【分析】（1）①去括号、合并同类项后，令x项的系数为0即可；
②整体代入计算即可；
（2）①解方程5m﹣10＝4m可求出m的值；再将x＝10代入关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝11可求出n
的值；
②根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）①（3y﹣ax2﹣3x﹣1）﹣（5﹣y+bx﹣2x2）
＝3y﹣ax2﹣3x﹣1﹣5+y﹣bx+2x2
＝（2﹣a）x2﹣（3+b）x+4y﹣6，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴2﹣a＝0，3+b＝0，
即a＝2，b＝﹣3；
②当a＝2，b＝﹣3，ax2﹣x+b＝0可变为2x2﹣x﹣3＝0，即2x2﹣x＝3，
∴ax3﹣5x2﹣x﹣10b
＝2x3﹣5x2﹣x+30
＝2x3﹣x2﹣4x2﹣x+30
＝x（2x2﹣x）﹣4x2﹣x+30
＝3x﹣4x2﹣x+30
＝﹣2（2x2﹣x）+30
＝﹣6+30
＝24；
（2）①方程5m﹣10＝4m的解为m＝10，
把x＝10代入关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝11，得14﹣n＝11，
解得n＝3，
即m＝10，n＝3；
②如图1，∵点M是AD的中点，点N是BC的中点，
241 1
∴AM＝DM= AD，BN＝CN= BC，
2 2
1
∴MN＝NC﹣CD− AD，
2
1 1
即MN= （AB+CD+AD）﹣CD− AD，
2 2
1
∴MN= （AB﹣CD），
2
即2MN＝AB﹣CD，
∴CD＝AB﹣2MN＝m﹣2n＝4；
如图2，∵点M是AD的中点，点N是BC的中点，
1 1
∴AM＝DM= AD，BN＝CN= BC，
2 2
∴MN＝MC﹣NC
＝MA+AC﹣NC
1 1
= （CD﹣AC）+AC− BC
2 2
1
= （CD+AC﹣BC）
2
1
= （CD﹣AB），
2
即2MN＝CD﹣AB，
∴CD＝2MN+AB＝2n+m＝16，
综上所述，CD＝6或CD＝16．
【点评】本题考查两点间的距离以及线段中点，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是
正确解答的前提．
32．（2023秋•渝北区期末）如图1，点A，C在射线OM上，OA＝10cm，AC＝35cm，点P从点O出发，
25沿OM方向以1cm/s的速度向右匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向左匀速运动，两点同时出
发．
（1）若点Q运动速度为8cm/s，当点P和点Q都运动到线段OA上，且点Q恰好为线段PA的中点时，
求点Q运动的时间；
（2）如图2，若点B也为射线OM上一点，且AB＝30cm，当PA＝2PB时，点Q运动到线段AB上且恰
1
好满足AQ= AB，求点Q的运动速度．
3
1
【分析】（1）设运动时间为t秒，表示出AQ和AP，根据AQ= AP列出方程，解之即可；
2
（2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t秒，分P在线段AB上和P在射线BM上两种情况，分
别求解．
【解答】解：（1）设运动时间为t秒，
由题意可得：
OP＝t，CQ＝8t，
则AQ＝CQ﹣AC＝8t﹣35，AP＝OA﹣OP＝10﹣t，
1 1
∴AQ= AP，即8t−35= (10−t)，
2 2
80
解得：t= ，
17
80
即点Q运动的时间为 s；
17
（2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t秒，
当P在线段AB上时，
t﹣10＝2（10+30﹣t），
解得：t＝30，
261
∵AQ= AB，
3
1
∴35−30x= ×30，
3
5
解得：x= ；
6
当P在射线BM上时，
t﹣10＝2（t﹣10﹣30），
解得：t＝70，
1
∵AQ= AB，
3
1
∴35−70x= ×30，
3
5
解得：x= ；
14
5 5
综上：点Q的运动速度为 cm/s或 cm/s．
6 14
【点评】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键是能用未
知数表示出相应线段的长度．
33．（2024秋•吴中区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直
尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点
与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A
点对应的数；
（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以1个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点 P从点A
出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；
②当t＝10时，B、P、C三个点互不重合，且恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有
满足条件的m的值．
27【分析】（1）根据题意列代数式求解；
（2）根据“B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍”列方程求解；
（3）①根据“B、P、C三点恰好在同一时刻重合”列方程组求解；
②根据“恰好有一个点到另外两个点的距离相等”列方程求解．
1
【解答】解：（1）由题意得：AB＝OA＝BC= ×60＝20，
3
故答案为：20；
（2）设A点对应的数为x，
则：60﹣（x+20）＝4x，
解得：x＝8，
答：此时A点对应的数为8；
（2）点B表示的数为28+t，点P表示的数为8+mt，点C表示的数为60，
①由题意得：28+t＝60且8+mt＝60，
13
解得：t＝32，m= ；
8
②当t＝10时，点B表示的数为38，点P表示的数为8+10m，点C表示的数为60，
由题意得：2（8+10m）＝38+60或2×38＝8+10m+60或2×60＝38+8+10m，
解得：m＝4.1或m＝0.8或m＝7.4．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系和两点之间的距离公式是解题的关键．
34．（2023秋•义乌市期末）【问题探究】
（1）如图，点C，D均在线段AB上且点C在点D左侧，若AC＝BD，CD＝6cm，AB＝9cm，则线段
AC的长为 cm．
【方法迁移】
（2）已知点C，D均在线段AB上，若AC＝BD，CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a），则线段AC的长
cm．（用含a，b的代数式表示）
【学以致用】
（3）已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有n人（n＜
282
m），其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的 ，
3
求m与n的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为
几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别
注明相应线段的实际意义）
【分析】（1）先由CD＝6cm，AB＝9cm求出AC+BC＝3cm，再根据AC＝BD可得AC的长；
（2）先根据CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a），求出AC+BD＝b﹣a，再根据AC＝BD可得AC的长；
（3）依题意画出线段图，根据线段图说明相应线段所表示的实际意义，然后根据线段的和差计算即可
得出m和n的数量关系．
【解答】解：（1）∵CD＝6cm，AB＝9cm，
∴AC+BC＝AB﹣CD＝9﹣6＝3（cm），
∵AC＝BD，
∴AC＝1.5cm，
故答案为：1.5．
（2）∵点C，D均在线段AB上，且CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a），
∴有以下两种情况：
①当点C在点D左侧时，如图所示：
∴AC+BD＝AB﹣CD＝b﹣a，
∵AC＝BD，
b−a
∴AC= ，
2
②当点C在点D的右侧时，如图所示：
∴AC＝BD，
∴AC﹣CD＝BC﹣CD，
∴AD＝BC，
∵AD+BC+CD＝AB，
∴2AD+b＝a，
29a−b
∴AD= ，
2
a−b a+b
∴AC＝AD+CD= +b= ．
2 2
b−a a+b
综上所述：线段AC的长 或 ．
2 2
b−a a+b
故答案为： 或 ．
2 2
（3）如图所示：
线段AB表示七年级某班人数，
线段AD表示该班男生人数，
线段BD表示该班女生人数，
线段AC表示参加围棋课的男生人数，
线段CD表示未参加围棋课的男生人数，
线段BE表示参加围棋课的女生人数，
线段DE表示未参围棋课的女生人数，
设CD＝x，DE＝y，
2
∴AC＝2CD＝2x，BE= BD＝2y，
3
∴AD＝AC+CD＝3x，BD＝BE+DE＝3y，
∵选择围棋课的人数有n人，
∴AC+BE＝n，
即2x+2y＝n，
n
∴x+y= ，
2
又∵七年级某班共有m人，
∴AB＝m，
∵AB＝AD+BD＝3x+3y，
∴3x+3y＝m，
m
即x+y= ，
3
30n m
∴ = ，
2 3
3
∴m= n．
2
【点评】此题主要考查了线段和差的计算，准确识图，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．
35．（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动（点A在点B
的左侧，点C在点D的左侧），且|m﹣14|+（7﹣n）2＝0
（1）若BC＝4，求AD的长．
（2）当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的
长．
（3）当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断
PA+PB
是否为定值，并说明理由．
PC
【分析】先根据非负数的性质求出m＝14，n＝7，则AB＝14，CD＝7．
（1）若BC＝4，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则BD＝CD﹣BC＝3，根据AD＝
AB+BD可得AD的长；②当点C在点B的右侧时，根据AD＝AB+BC+CD可得AD的长；
1 1 1
（2）设BC＝a，则AD＝AB+BC+CD＝21+a，根据线段中点定义得，AM= AD= （21+a），BN= BC
2 2 2
1 1
= a，从而得BM＝AM﹣AB= （a﹣7），由此可得MN的长；
2 2
（3）设PB＝t，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段AB上，再根据点P在线段AB
的延长线上画出图形，结合图形得PA＝14+t，PC＝7+t，则PA+PB＝2（7+t），据此可得出结论．
【解答】解：∵|m﹣14|≥0，（7﹣n）2≥0，|m﹣14|+（7﹣n）2＝0，
∴m﹣14＝0，7﹣n＝0，
解得：m＝14，n＝7，
∴AB＝m＝14，CD＝n＝7，
31（1）若BC＝4，则有以下两种情况，
①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：
∵AB＝14，CD＝7，BC＝4，
∴BD＝CD﹣BC＝7﹣4＝3，
∴AD＝AB+BD＝14+3＝17；
②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：
∵AB＝14，CD＝7，BC＝4，
∴AD＝AB+BC+CD＝14+4+7＝25；
综上所述：线段AD的长为17或25．
（2）设BC＝a，如图2所示：
∴AD＝AB+BC+CD＝14+a+7＝21+a，
∵点M，N分别是线段AD，BC的中点，
1 1 1 1
∴AM= AD= （21+a），BN= BC= a，
2 2 2 2
1 1
∴BM＝AM﹣AB= （21+a）﹣14= （a﹣7），
2 2
1 1 7
∴MN＝BN﹣BM= a− （a﹣7）= ；
2 2 2
PA+PB
（3） 为定值，理由如下：
PC
设PB＝t，
∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，
∴点C在线段AB上，
又∵点P在线段AB的延长线上，如图3所示：
32∴PA＝PB+PD＝14+t，PC＝CD+PB＝7+t，
∴PA+PB＝14+t+t＝2（7+t），
PA+PB
∴ = 2．
PC
【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是
解决问题的关键．
33
